fÜggvÉny derivÁltja - differenciÁlhÁnyados · függvény deriváltja fÜggvÉny derivÁltja -...
TRANSCRIPT
Függvény deriváltja
FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS
1. Definíció Definíció Az ( )f x függvény pontban értelmezett deriváltja a
0x( ) ( )0 0
0x
f x x f xlim
x∆ →
+ ∆ −∆
határértékkel egyenlő, amennyiben az létezik ( lásd Fig. 16).
A deriváltat ( )0f x′ vagy ( )0
df xx xdx =
.jelöli, ez utóbbit gyakran
nevezik differenciálhányadosnak, ez az elnevezés a definícióra utal.
у f(x) f(x0 +∆x) P ∆f f(x0) M α β ∆x 0 x0 x0 + ∆x x
Figure 16
Deriválási szabályok
1. (Összeg), ( ) ( )( ) ( ) ( )u x v x u x v x′ ′ ′+ = +
2. (Különbség), ( ) ( )( ) ( ) ( )u x v x u x v x′ ′ ′− = −
3. , ahol a egy konstans (Linearitás), ( )( ) ( )а u x а u x′ ′⋅ = ⋅
4. (Szorzat), ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x v x u x v x v x u x′ ′ ′⋅ = +
1
Függvény deriváltja
5. ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )2
u x u x v x v x u xv x v x
′⎛ ⎞ ′ ′−
=⎜ ⎟⎝ ⎠
, ( ) 0v x ≠ (Hányados),
6. ( )( ) ( ) ( )f g x f g x g x′
⎡ ⎤ ′= ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦ ′ (Láncszabály),
7. ( ) ( ) ( )
1
1
1
y f x
f xf y
−
−=
′⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ′
, ahol ( )1f x− az ( )f x függvény
inverze. Elemi függvények deriváltja 1. , aholc - konstans, ( ) 0c ' =
2. , ahol - konstans, ( ) 1ax ax −′= a
′= 0 1a , a> ≠
а
3. , ( )x xa a lna
4. ( )x xe e′= ,
5. ( ) 1alog x
xlna′ = ,
6. ( ) 1ln xx
′ = ,
7. ( )sin x cos x′ = ,
8. , ( )cos x sin x′ = −
9. ( ) 21tg x
cos x′ = ,
10. ( ) 21ctg x
sin x′ = − ,
11. ( )2
1
1arcsin x
x
′ =−
,
12. ( )2
1
1arccos x
x
′ = −−
,
2
Függvény deriváltja
13. ( ) 21
1arctg x
x′ =
+,
14. ( ) 21
1arcctg x
x′ = −
+.
Derválás a Maple-ben > diff(f,x);
> Diff(f,x); ahol f egy- vagy többváltozós függvény, x a változó, ami szerint deriválunk.
Példa. Deriválja a következő függvényt: ( )468
xf x = .
Megoldás a Maple-ben. >f’:=Diff(8^(6^(4^x)),x)= diff(8^(6^(4^x)),x);
4 46 6 48 8 6 4 4 6
x x x xd 8f ' : ln .ln .lndx
⎛ ⎞= =⎜ ⎟
⎝ ⎠.
Példa. Deriválja a következő függvényt: ( ) 3 5f x x x= + .
Megoldás a Maple-ben. >f:=sqrt(x^3+5*x);>f’:=Diff(f,x)=diff(f,x);
( ) ( )23
3
3 55
2 5
xdf ' : x xdx x x
+= + =
+
Gyakorló feladatok.Deriválja a következő függvényeket:
( ) 100 42 3 4f x x x x= + + , a)
b) ( ) ( )( )4 2x 5f x sin arctg e x−= + ,
c) ( ) 41
7 7f x
x x=
+,
3
Függvény deriváltja
d) ( ) 21arccos xf x
x=
−,
e) ( )3
33x
xf x e e= − ,
f) ( ) ( ) ( )22 2 2f x tg x sin x ln arctgx= + + .
2.Deriválási módszerek
1) Logaritmikus deriválás: ( ) ( )h xg x
(1) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )g' x
ln g x g' x g x ln g xg x
′ ′⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⇒ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ .
Példa. Deriválja a következő függvényt:
( ) ( )( )21 / xf x ln x= .
Matematikai megoldás.
( )21ln f ln ln xx
=
és
( )ln f ′ = 31 1 2lnln x
ln xx⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
.
az (1) alapján következik, hogy
(2) ( ) ( )12
31 2xln x
f ' lln xx
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
n ln x .
Megoldás a Maple-ben. >diff((ln(x))^(1/x^2),x);
( ) ( )( )( )
12
3 312x
ln ln xln x
x x ln
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠x
,
Ami ekvivalens a (2)-vel.
4
Függvény deriváltja
Példa. Deriválja a következő függvényt:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
1 5 72
23
1 3 2
1 2
x x xf x
x x
− + +=
+ −.
Matematikai megoldás.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 11 5 3 7 2 1 22 3 3
ln f ln x ln x ln x ln x ln x= − + + + + − + − − ,
( ) ( ) ( ) ( )1 5 7 2 1
2 1 3 2 3 1 3 2ln f
x x x x x′ = + + − −
− + + + −⇒
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 5 72
23
1 3 2 1 5 7 2 12 1 3 2 3 1 3 21 2
x x xf ' .
x x x x xx x
⎡ ⎤− + += + + − −⎢ ⎥− + + + −⎣ ⎦+ −
.
Megoldás a Maple-ben. >restart: >f:=((x-1)^(1/2)*(x+3)^5*(x+2)^7)/((x+1)^2* (x-2))^(1/3); >f’:=simplify(diff(f,x));
( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
4 64 3 2
12 3
23 12 143 16 100 3 212
1 2 2 1 1
x x x x x xf ' :
x x x x x⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
+ − − + + +=
+ − − + −
.
2) Paraméteres függvények deriválása
Az ( )y x : ( )( )
x ty t=⎧
⎨ =⎩
ϕψ
Függvény deriváltja
( ) ( )( )t
y' xt
ψϕ′
=′
.
Példa. Deriválja a következő függvényt:
(3) . {x acosty b sint==
Matematikai megoldás.
5
Függvény deriváltja
( )( )b sint ' bcost by ctg tacost ' a sint a
′ = = − = − .
Megoldás a Maple-ben. (4) >y’:=diff(b*sin(t),t)/diff(a*cos(t),t);
( )( )
bcos ty' :
a sin t= − .
3) Implicit függvény deriváltja If , where ( )F x,y = 0 ( )y = y x , then
( )0'
' 'xx y'
y
Fy FF
= − ≠ .
Példa. Deriválja a következő függvényt:
(5) 2 2
2 2 1x ya b
+ = .
Matematikai megoldás. Az (5) egyenlet ekvivalens az ellipszis (3)-ban megadott
paraméteres alakjával, és ez az egyenlet a következő alakban is írható:
( )2 2
2 2 1 0x yF x,ya b
= + − = .
Ki kell számítani az F(x,y) parciális deriváltjait, majd ezek segítségével a kívánt deriváltat:
2 22 2' '
x yx yF , F
a b= = ⇒
2
2'x
b xya y
= −
A továbbiakban a (3)-ból és az
22
1 1 tg tcos t
= +
Összefüggés alapján:
2 2
22 21 a a xtg t
x x
2−= − + = .
Következésképpen:
6
Függvény deriváltja
2 2
'x
dy bxydx a a x
= = ±−
.
Megoldás a Maple-ben. >f:=x^2/a^2+y^2/b^2-1;>y’:=diff(f,y)/diff(f,x);
2
2b xy' :a y
= −
Második megoldás a Maple-ben. >Z:=diff(x^2/a^2+y(x)^2/b^2,x);
( ) ( )
2 2
22
dy x y xx dtZ :
a b
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= +
(6) >Q:=solve(Z=0,diff(y(x),x));
( )
2
2xbQ : y'
y x a= = −
Gyakorló feladatok.. Deriválja a következő függvényeket:
( ) ( )( )
3
2 3
2 1 3 2
5 4 1
x xf x
x x
− +=
+ −a) ,
b) ( ) ( )4 32 7f x ln x x= + ,
c) ( ) ( )( )( ) ( )
3
31 3
2 4
x xf x ln
x x
− −=
− −,
d) , ( )t
t
x e sinty x :
y e co s
⎧ =⎪⎨
=⎪⎩ te) ( ) xy x x= , f) , 0y xx y− =g) , 0x.sin y y.sin x+ =
h) ( ) ( )2 25 21
4 9x y− −
− = ,
7
Függvény deriváltja
i) ( )22 31
25 16yx −
+ = ,
k) 2 23 3x
23y a+ = ,
l) , ( ) (22 2 2 2 2x y a x y+ = − )m) ( ) ( )( )71 xf x ln x += + ,
n) ( ) ( ) ( )71 tg xf x cos x += + . 3. Magasabb rendű deiváltak
Definíció. Az ( )f x függvény x szerinti kétszeres, háromszoros
stb deriváltja a függvény magasabb rendű deriváltjai, a következő jelölések szerint:
( ) dff ' xdx
= ,
( ) ( ) ( )2
2
d df '' x f ' x f ' xdx dx
′= = =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦f ,
( ) ( ) ( )3
3
d df ''' x f '' x f '' xdx dx
′= = =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦f ,
……………………………………………
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1n
n n nn
d df x f x f xdx dx
− −′⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦f
=
..
,
ahol . 2 3 4n , , ,.= Maple utasítások: >diff(f,x$n); >Diff(f,x$n);
ahol f, x a változó, ami szerint deriválunk, és – n- a deriválás rendje.
Példa. Deriválja n-szer a következő függvényt: (7) 2f sin x=
8
Függvény deriváltja
Matematikai megoldás A deriválás eredménye rendre
2 2 2 22
f ' cos x sin x π⎛ ⎞= = +⎜ ⎟⎝ ⎠
,
24 2 2 2 22
f '' sin x sin x π⎛ ⎞= − = +⎜ ⎟⎝ ⎠
,
38 2 2 2 32
f ''' cos x sin x π⎛ ⎞= − = +⎜ ⎟⎝ ⎠
,
( )4 416 2 2 2 42
f sin x sin x π⎛ ⎞= = +⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Ezekből következtethetünk az általános esetre:
(8) ( ) ( )1 12 2 12
n ny sin x n π− − ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠
,
ahol . 2 3 4n , , ,.= ..Tehát a (8) pontban szereplő függvény n-id deriváltja::
(9) ( ) ( )( )1n ny y − ′= = 2 2
2 2n cos x n⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
π π 2 22
n sin x n⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
π ,
mivel 2
cos sin⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠
πα α , 2 3 4n , , ,...= .
Következésképpen,
( )( )2 2 22
n nsin x sin x nπ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Megoldás a Maple-ben. Rendre felírható: >diff(sin(2*x),x); >diff(sin(2*x),x$2); >diff(sin(2*x),x$3); >diff(sin(2*x),x$4);
Példa. Számítsa ki a következő függvény ( )f '' x második
deriváltját
( ) ( )( )21 / xf x ln x= .
9
Függvény deriváltja
Megoldás a Maple-ben. >factor(diff(ln(x)^(1/x^2),x$2));
( )( )21
4
/ xln xx 2 2 2
1 2 1 1 23 2lnln x lnln xln x ln xx ln x x ln x
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⋅ − − − − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦.
Példa. Számítsa ki a következő függvény ( )f '' x második
deriváltját
. ( ) {x acosy x : y b sint==
t
Megoldás a Maple-ben. Előbb a (4) alapján kiszámítható:y’ >y’:=diff(b*sin(t),t)/diff(a*cos(t),t);
És felírjuk továbbá: >y’’:=diff(f’,t)/diff(a*cos(t),t);
( )( )
( )
2
2bcos tb
a a sin ty'' :
a sin t
+
= − .
Matematikai megoldás A (4) összefüggés alapján:
by cta
′ = − g t
és
( )d y' x
dty" dxdt
=
azaz
2 31by"
a sin t= − .
Példa. Számítsa ki a következő függvény ( )f '' x második
deriváltját
10
Függvény deriváltja
2 2
2 2 1x ya b
+ = .
Megoldás Maple-ben Használja a subs(M,N,P) utasítást, amivel a P
kifejezésben az M értéket N-re cseréljük: >subs(diff(y(x),x)=Q,diff(Q,x));
( ) ( )
2 2
2 3 4
b x byy x a y x a
′′ = − −4
.
A megoldás ekvivalens a matematikai megoldással.
2 2
2 2b x bya y a
′⎛ ⎞
′′ = − = − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
2 2
2 2 2 2y y x b b xy
y a y a⎛ ⎞′−
= − +⎜ ⎟⎝ ⎠
2
y.
Gyakorló feladatok. 1) Számítsa ki a következő függvények második deriváltját: :
a) ( ) 2712
f xx
= −+
,
b) , ( )( )( )1
x a t sinty x :
y a cost
= −⎧⎪⎨
= −⎪⎩
c) ( ) 2 2 21 31 13 2
f x x x x x arcsin x= − + − + ,
d) ( )25y x x ln x arcsin y, y y= + + = x . 2) Igazolja, hogy az ( ) ( ) ( )y x sin ln x cos ln x= + függvény
megoldása a következő differenciálegyenletnek: 2 0x y" xy' y+ + = .
3) Számítsa ki a következő függvények n-ik deriváltját: a) ( ) 6xf x e= , b) ( ) 3f x sin x= .
11
Függvény deriváltja
4. Függvény differenciálja
Definíció. Legyen az ( )f x függvény az pontban deriválható.
Az 0x
( )f x -nek a differenciálja, ( )0df x a következő szorzat: ( )0f x dx′ , ahol az differenciálja. dx x
Definíció. Legyen az ( )f x függvény az pontban n-szer deriválható. Az
0x
( )f x n-ed rendű differenciálját ( )2n ≥ ( )nd f x jelöli, és rekurzíven értelmezhető, azaz az ( )f x függvény ( )-ed rendű differenciáljának a differenciálja:
1n −
( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )1110 0 0 0
n nn nn nd f x d d f x d f x dx f x dx−−−= = =
. Maple utasítással. Az f differenciálja: >D(f);
Példa. Számítsa ki az ( ) 23 1 9f x arcsin x. x= − függvény
( ) ( ) ( ) ( )22df x , d f x f '' x . dx= differenciáljait: . Matematikai megoldás .
( ) ( )2
9 331 9
x.arcsin xdf x f ' x .dx dxx
⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
,
( ) ( )222
9 331 9
x.arcsin xd f x dxx
′⎛ ⎞
= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠=
( )( )
22
32 2
3 3 1 99
1 9
arcsin x x x. d
x
⎛ ⎞⎜ ⎟+ −
= − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
x .
Megoldás a Maple-ben.
12
Függvény deriváltja
>DY1:=D(arcsin(3*>DY2:=D(DY1);
x)*sqrt(1-9*x^2));
simplify(DY2); > Gyakorló feladatok. Számítsa ki a következő függv
x , d f x f '' x . dx= differenciáljait: ények
) ( ) ( ) ( )22(df
( ) ( )3 24 6 2f x x x .arctg= − x , a)
( ) 2tf t e= , b) ( ) ( )1f x arctgx.ln x= +c) , ( ) 10 5 16 4f x sin x cos x=d) − ,
e) ( ) 3 3f x x sin= x ,
( )2
2 4xf x
x=
+, f)
g) ( ) 2 3xf x e .cos x−= . 5. A deriváltak alkalmazása - a L’Hospital szabály
A szabály nevét Guillaume de l'Hôpital 17. században élt francia
matematikusról kapta, aki ezt a szabályt az Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1696) című könyvében írta en).
zható a következő függvények a kiszámítására
le (magyarul: A kis végtelenek elemzése a görbék megértésébA L’Hospital szabály alkalma
határértékeinek ( )( )
f x, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )g x f x .g x , f x , f x g x−
g x
a következő határozatlansági esetekben:
[ ] 00 0 10
, , , , ∞ ,∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∞ ⋅ ∞ [ ]∞ −∞ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∞⎣ ⎦ ⎣ ⎦Tétel. Adottak az ( ) ( )f x , g x függvények;
Amelyek egy- olyan intervallumon értelmezettek, amelynek
- Deriválhatók az pontban,
0x határpontja,
0x x≠
13
Függvény deriváltja
- Folytonosak pontban vagy határértékük egyidejűleg végtelen.!
0x x=
- ( ) ( )0 0 0f x = g x = ( ) ( )0 0f x = g x⎡ ⎤= ∞⎣ ⎦ ha ( ) 0g' x ≠ , . 0x x≠Ekkor a következő két határérték egyenlő, feltéve, hogy a
második létezik
( )( )
( )( )0 0x x x x
f x f xlim lim
g x g x→ →
′=
′.
Példa. Számítsa ki a következő határértéket:
( )( )0
36x
ln cos xlim
ln cos x→.
Matematikai megoldás
( )( )0
0
333 366 66
xx
sin x.ln cos x cos xlim lim sin xln cos x .cos x
→
→
−= =
− 0
1 3 62 6 3x
sin xcos xlimsin xcos x→
=
0 0
1 3 62 6 3x x
sin x cos xlim limsin x cos x→ →
= ⋅ =0
1 3 3 1 112 6 6 2 2x
cos xlimcos x→
14
⋅ = ⋅ = .
Megoldás a Maple-ben. >Limit(ln(cos(3*x))/ln(cos(6*x)),x=0)= limit(ln(cos(3*x))/ln(cos(6*x)),x=0);
( )( )0
3 16 4x
ln cos xlim
ln cos x→=
Példa. Számítsa ki a következő határértéket:
( ) 42
3xtg
xlim x
π
→− .
Matematikai megoldás .
( ) 42
3xtg
xA lim x
π
→= −Legyen . Ekkor
( ) ( )42 2
3 1 34
xtg
x x
xln A lim ln x lim tg .ln xπ
∞
→ →
π⎡ ⎤= − = −⎣ ⎦ =
14
Függvény deriváltja
( ) ( )2 2
33 00
4 4
L' Hospital' s Rule
x x
ln xln xlim limx xct g ct g→ →
′−⎡ ⎤− ⎡ ⎤ ⎣ ⎦= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎢ ⎥ ′π ⎣ ⎦ π⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦
( ) 2 4
2 2
2
1 1 4 43 41 3
44
x x
x. sinxlim lim A e
x.xsin
π→ →
π−− = = ⇒ =
π π − π−π
.
Megoldás a Maple-ben. >Limit((3-x)^(tan(Pi*x/4)),x=2)= limit((3-x)^(tan(Pi*x/4)),x=2);
( )4
42
3xtg
xlim x e
ππ
→− = .
Példa. Számítsa ki a következő határértéket:
( )1
12x
xlim x .tg π→
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Matematikai megoldás
( ) [ ]1
1 02x
xlim x .tg .π→
⎛ ⎞− ∞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
( )1 1
11 00
2 2
L' Hospital' s Rule
x x
xxlim limx xct g ct g→ →
′−− ⎡ ⎤= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎢ ⎥ ′π ⎣ ⎦ π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
2
1 1
2
1 21 2
22
x x
xlim lim sin
xsin
→ →
2π= − = −
π π π−π
.
Megoldás a Maple-ben. >Limit((x-1)*tan(Pi*x/2),x=1)= limit((x-1)*tan(Pi*x/2),x=1);
15
Függvény deriváltja
( )1
212x
xlim x .tg ππ→
⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠
−
Gyakorló feladatok. Számítsa ki a következő határértékeket a l’Hospital szabállyal: :
a) 1 44
1x
x
arctgx 0L lim 0
e→∞
π − ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦−
Megoldás a Maple-ben. >L[1]:=Limit((Pi-4*arctan(x))/(exp(4/x)-1), x=infinity)=limit((Pi-4*arctan(x))/ (exp(4/x)-1),x=infinity);
1 44
1x
x
arctgxL : lim =1
e→∞
π−=
−
Matematikai megoldás
, ( )4
24xg x e
x−′ = ⋅ , 1 1L = . ( ) 2
41
f xx
′ = −+
b) 2 0
2 00
x x
x
e e xL limx sin x
−
→
− − ⎡ ⎤= ⎢ ⎥− ⎣ ⎦
Megoldás a Maple-ben. >L[2]:=Limit((exp(x)-exp(-x)-2*x)/(x-sin(x)),x=0) =limit((exp(x)-exp(-x)-2*x)/(x-sin(x)),x=0);
2 0
2 2x x
x
e e xL : limx sin x
−
→
− −= =
−
Matematikai megoldás Felírható, hogy
( ) ( )2 2x x x xf x e e x e e− −′′ = − − = + − ,
16
Függvény deriváltja
( ) ( ) 1g x x sin x cos x′′ = − = − tehát
21 1 2 0
1 1 0L + − ⎡ ⎤= ⎢ ⎥− ⎣ ⎦
.
A szabály ismételt alkalmazásával: ( ) x xf x e e−′′ = − ,
( )g x sin x′′ = ⇒ 21 1 0
0 0L − ⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎣ ⎦
.
És még egyszer ( ) x xf x e e−′′′ = + , ( )g x cos x′′′ = ⇒ 2 2L = .
c) 2
3 2xx
xL lime→∞
∞⎡ ⎤= ⎢ ⎥∞⎣ ⎦
Megoldás a Maple-ben. >L[3]:=Limit(x^2/exp(2*x),x=infinity)= limit(x^2/exp(2*x),x=infinity);
2
3 2 0xx
xL : lime→∞
= =
Matematikai megoldás ( ) 2f x x′ = , ( ) 22 xg x e′ = ⇒
3 2xx
xL lime→∞
∞⎡ ⎤= ⎢ ⎥∞⎣ ⎦L' Hospital' s Rule⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
, ( ) 2f x′′ = ( ) 24 xg x е′′ = ⇒
3 21 1 0
2 xxL lim
e→∞= =
∞= .
d) 0
4 0 00x
xL lim x
→ +⎡ ⎤= ⎣ ⎦
Megoldás a Maple-ben. >L[4]:=Limit(x^x,x=0,right)=limit(x^x,x=0, right);
17
Függvény deriváltja
4 0 01x
xL : lim x
→ += =
Matematikai megoldás
0 0 0 0
x
x xE lim ln x lim xln x
→ + → += = =
0 0 1x
ln xlim
x→ +
∞⎡ ⎤= ⎢ ⎥∞⎣ ⎦L' Hospital' s Rule⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 20 0
1 01x
/ xlim/ x→ +
= ⇒−
. 04 1EL e e= = =
e) [ ]5 0
1 11xx
L limx e→
⎛ ⎞= − ∞ −⎜ ⎟−⎝ ⎠∞ ,
Megoldás a Maple-ben. >L[5]:=Limit(1/x-1/(exp(x)-1),x=0)= Limit(1/x-1/(exp(x)-1),x=0);
5 0
1 121xx
L : limx e→
⎛ ⎞= −⎜ ⎟−⎝ ⎠
1=
Matematikai megoldás
( )5 0
1 001
x
xx
e xL limx e→
− − ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦−L' Hospital' s Rule⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
0
1 001
x
x xx
elime xe→
− ⎡ ⎤= ⎢ ⎥− + ⎣ ⎦L' Hospital' s Rule⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
( ) 50
1 12 22
x
xx
elim Le x→
= = ⇒+
= .
6. A deriváltak további alkalmazásai
1. Az ( )y f x= függvény érintőjének egyenlete az ( )( )0 0x , f x pontban a következőképpen írható fel:
18
Függvény deriváltja
. ( )(0 0y y f x x x′= + − )0
Ha , akkor az érintő ( )0f x′ = ∞ 0x x= . 2. Az ( )y f x= függvény normálisának egyenlete az ( )( 0 0x , )f x pontban a következőképpen írható fel:
( ) ( )0 0
0
1y y x xf x
= − −′
.
Ha , a normális ( )0 0f x′ = 0x x= . Példa. Írja fel az görbe érintőjének és normálisának
egyenletét az
2 2 1x y+ =1 12 2
M ,⎛⎜⎝ ⎠
⎞⎟ pontban.
Megoldás a Maple-ben. >V:=diff(x^2+y(x)^2,x); >W:=solve(V=0,diff(y(x),x)); >subs(x=1/sqrt(2),y(1/sqrt(2))=1/sqrt(2),W);
Válasz. ( ) ( )2 2 дV x y x y xдx
⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠
, ( )xW
y x= − , . 1−
Matematikai megoldás Az kiszámítása után: ( )y x′
( )2 2 0 xx yy y , y My
′ ′ ′+ = ⇒ = − = 1− .
A keresett egyeneletek:
( )1 11 22 2ty x x⎛ ⎞= + − − = −⎜ ⎟
⎝ ⎠ (érintő),
( )1 112 2ny x⎛ ⎞= − − − =⎜ ⎟
⎝ ⎠x (normális).
Példa. Határozza milyen szögben metszik egymást a következő görbék , . 1y x= 3
2y x=
Megoldás a Maple-ben.
>solve(x=x^3,x); Válasz. 0 1 1, ,−>y1:=diff(x,x); Válasz. 1 1y :=
19
Függvény deriváltja
>y2:=diff(x^3,x); Válasz. 22 3y : x=
>arctan(subs(x=0,(y1-y2)/(1+y1*y2))); >arctan(subs(x=1,(y2-y1)/(1+y1*y2))); >arctan(subs(x=-1,(y2-y1)/(1+y1*y2))); Válasz. 4/π , ( )1 2arct g / , ( )1 2arct g / . Matematikai megoldás A görbék metszéspontját a következő egyenlet megoldásával
határozhatjuk meg: 3x x= ⇒ ( )( )1 1 0x x x− + = ⇒
, 1 0x ,= 2 31 1x ,x= − = 21 21 3y , y x′ ′= = .
Két esetet különböztetünk meg (lásd Fig. 17): 1) 1 1 20 1x , y , y 0′ ′= = = . A
( )1tg tgtg
tg tgα βα βα β−
− =+
képlet alapján
1 21 1
1 2
1 0 11 0 41
y ytgy y
′ ′− −= = = ⇒ =′ ′ ++
πα α .
2) 2 3 1 2 2 23 1 1 11 1 31 3 2 2,x , y , y tg arctg−′ ′= = = ⇒ = = ⇒ =+
m α α .
A görbék szimmetriájából következik, hogy
3 212
arctg= =α α .
20
Függvény deriváltja
Figure 17 Gyakorló feladatok.
1) Számítsa ki az abszcisszatengely és az 5 32 13 9
y x x= −
függvény pontbeli érintőjének szögét. Írja fel az adott pontban az érintő és a normális egyenletét.
1x =
2) Írja fel az adott pontban az érintő és a normális egyenletét: a) az 2 2 42 3 4x xy y+ + = 6 ( )1 1M ,− , b) 2 xy x −= az abszcisszájú pontban, 1x = −c) 3 1y x x= − az 9x = abszcisszájú pontban,
d) ( )2 22 2
x cost cos ty x :
y sint sin t= −⎧
⎨ = −⎩ a
2t π= paraméterértékre.
3) Számítsa ki a két görbe metszéspontjában az érintőik által
bezárt szöget: 2 28y x , y x= − = .
7. Gyakorló feladatok
21
Függvény deriváltja
1) Írja fel a következő függvények deriváltját:
a) ( ) 22f x sin x= + ,
b) ( ) ( ) ( )32 ln xf x x += + ,
c) ( ) 11
co s xf x lnco s x
−=
+,
d) ( ) 5 2f x arcsin sin x= ,
e) ( ) 2 3x xcos sin
f x e−
= ,
f) ( ) ( ) ( )2 3 8f x ln x x ln arctgx= − + + ,
g) , 2 2 5 3 12x .sin x y .cos x x y+ − − − 0=
h) ( ) ( )3 44 3 3f x ln x x x= + + ,
i) ( ) ( )6 225
tg x xf x
+= ,
j) ( )2
233
ln cos xf x lnln co s x
+=
−,
k) , ( )3
5 3
3 1
3 5
x t ty x :
y t t
⎧ = + +⎪⎨
= + +⎪⎩ 1
l) ( )
2 2
2323
1 121
x x
x
x
e .arcsin ef x ln e
e
− −
−
−
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞= + ⎜ ⎟
⎝ ⎠−− ,
m) ( )2
2 2
2 1 1 22 1 2
arcsin x xf x lnx x
⎛ ⎞− +⎜ ⎟= −⎜ ⎟+ −⎝ ⎠
.
2) Írja fel a következő függvények második deriváltját:
a) ( ) ( )21 3121
f x x ln x= − x ,
22
Függvény deriváltja
b) ( )2
x arccos ty x :
y t t
⎧ =⎪⎨
= −⎪⎩,
c) ( ) ( )2 2 2 2f x xln x a x a x= + + − + ,
d) ( )( )
2
22xf x
x=
+.
3) Igazolja, hogy megoldása az
differenciálegyenletnek. 2y x sin= + x 4 4y" y x+ =
4) Számítsa ki a ( ) ( )2df x , d f x differenciálokat:
a) ( )3 3 1 25 5t t tf t e e− + −= − ,
b) ( ) ( )3 2 1f x ln x x= + + ,
c) ( ) 2f x arctg x x= − . 5) Számítsa ki a következő határértékeket:
Feladat Eredmény
a) 2
1
1 00xx
x ln xlime e→
− − ⎡ ⎤⎢ ⎥− ⎣ ⎦
3e
b) ( )( )[ ]0
1 0xlim co s x .ctgx .→
− ∞ 0
c) [ ]220
1xlim ctg x
x→
⎛ ⎞− ∞ −⎜ ⎟⎝ ⎠
∞ 23
d) [ ]1
1 11x
limx ln x→
⎛ ⎞− ∞ −⎜ ⎟−⎝ ⎠∞ 1
2−
e) ( ) 0
2
2 1cos x
xlim x
π→
⎡ ⎤π − ⎣ ⎦ 1
f) ( )1
02x xxlim x→∞
⎡ ⎤+ ∞⎣ ⎦ 2
g) 12
01x
x
tgxlimx
∞
→
⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠
13e
23
Függvény deriváltja
h) 2
30
3 3 3 00
6
x
x
sin x xe xlimxarctgx sin x
→
− + ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦− −
18
i) 20
00x
x sin xlimx→
− ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
16
j) ( )[ ]0
0xlim arcsin x.ctgx .→
∞ 1
k) 2x /
xx
xelimx e→∞
∞⎡ ⎤⎢ ⎥∞+ ⎣ ⎦
0
l) ( )( )x bx b
ln x blim
ln e e→
− ∞⎡ ⎤⎢ ⎥∞⎣ ⎦−
1
m) ( )( )1
1x
ln xlim
ctg x→
− ∞⎡ ⎤⎢ ⎥∞⎣ ⎦π
0
n) ( )32
02 1x
xlim cos x ∞
→⎡ ⎤⎣ ⎦ 6e−
o) 3 2
3 21
3 2 004 3x
x xlimx x→
− + ⎡ ⎤⎢ ⎥− + ⎣ ⎦
35
p)
2 12
21 1
x
x
xlimx
+∞
→∞
⎛ ⎞+ ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠
e
6) Számítsa ki az abszcisszatengely és az
függvény
2 3 5y x x= − +( )2 3M , pontbeli érintőjének szögét. Írja fel az adott
pontban az érintő és a normális egyenletét.
8. Önellenőrző kérdések 1) Deriválja a következő függvényeket a) ( )5 5 4 2y x xln arctg y, y y x= + + = ,
24
Függvény deriváltja
b) ( ) ( ) ( )3 25 5y log x +2 ctg x y , y y x= − =
t
,
c) . ( ) 5
x siny x :
y t=⎧
⎨=⎩
2) Írja fel a következő függvény második deriváltját: -ben 4x =
( ) 13
f x arcctg ln x
=−
3) Írja fel a következő függvények esetén ( ) (2d )f x , d f x -et:
a) ( ) ( ) 315 tg xf x x= − ,
b) ( )23
2
xef xarccos x
−
= ,
c) ( ) 33 33xf x cos ⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠.
4) Írja fel az érintő és a normális egyenletét az
, ( ) 3
54
x costy x :
y sin=⎧
⎨=⎩
,t
Paraméteres görbe adott t paraméterhez tartozó pontjában: 23
t .π=
5) Számítsa ki a következő határértékeket:
a) 3
3x
xlim
x→+∞ ,
b) 2
0
sin x
xlim x→
.
25
Függvény deriváltja
9. Önellenőrző kérdések
1) Adja meg a derivált és a differenciál definícióját egy adott pontban.
2) Adja meg a magasabb rendű derivált és a differenciál definícióját egy adott pontban.
3) Milyen deriválási módszereket ismer? 4) Ismertetsse a L’Hospital szabályt? Adjon rá példát. 5) Magyarázza meg a következő Maple utasításokat:
diff(F,x), Diff(F,x), D(F), subs(M,N,P).
26