Föreläsning 4

Partikeldynamik II

Avsnitt 6.1-6.3

Friktion

Dynamik i cirkulära rörelser

Satellitbanor

Friktion

Hittills har vi antagit en friktionsfri miljö när vi behandlat kroppars dynamik. Men i det verkliga livet kan vi inte försumma friktionens påverkan på kroppar.

Friktion är alltså en kontaktkraft som motverkar den relativa rörelsen mellan två kroppar. En kloss som dras med kraften F på ett underlag, utsätts för en friktionskraft f som är riktad i motsatt riktning.

F

f

Man har hittat följande regler för friktion:

1.Friktionskraften är proportionell mot lasten

2.Friktionskraften är oberoende av arean av kontaktytan

3.Friktionskraften är (i första approximation) oberoende av farten

Dessa är de tre reglerna som ni ska utgå ifrån när ni räknar med friktion.

Andra regeln kan verka vara konstig. men illustrationen på nästa sida kommer och visa att det är uppenbart

Det finns alltid oregelbundhet hos en yta. Den verkliga kontaktytan mellan två kroppar är därför endast en liten del av den totala ytan. Så om klossen nedan placeras på en yta på två olika sätt, kommer den den totala ytan att minska, men hur bli fallet med kontakt ytan? Om vi utgår från att tätheten för oregelbunheten är konstant i båda fallen så kommer topparna i fallet med liten yta att utsättas för en större tryckkraft än i fallet med stor yta (vikt per ytenhet). Större tryckkraft innebär större kontaktyta och därmed den totala kontakt ytan är lika í båda fallen.

Statisk och kinetisk friktion

Om ett föremål dras med en kraft F så kommer den (a) om F är än mindre friktionskraften f, stå still (b) om F är större än friktionskraften, röra sig. Friktionskraften I (a) kallas statisk friktion fs medan den I (b) kallas för kinetisk friktion.

Övergången mellan statisk friktion och kinetisk friktion sker vid den statiska friktionskraften fmax, som ges av:

fmax = sN där s är koefficienten för den statiska friktionskraften (dimensionslös) och N är normalkraften mellan kontaktytorna.

Observera att friktionskraften ökar med ökad dragkraft fram tills den når fmax. Den statiska friktionskraften fs kan därför skrivas som:

fs sN

När föremålet passerar den den maximala statiska friktionskraften så sätts den i rörelse och friktionskraften övergår i den kinetiska friktionskraften fk som till storlek är mindre än fmax, och ges av sambandet:

fk = kN där k är koefficienten för den kinetiska friktionskraften

Exempel med statisk friktion

Om vi nu tar fram vår favoritkloss och placerar den på ett lutningsbart plan så kan vi, om vi känner den statiska friktionskoefficinten s, bestämma den maximala vinkeln planet kan ha innan klossen börjar röra på sig. Låt m vara klossens massa och planets lutning.

Om klossen står stilla så befinner den sig i en statisk jämvikt. Vi ser att krafterna längs y-koordinaten inte bidrar till att påverka kroppens rörelse, utan det är bara krafterna längs x koordinaten som gör det. Vi har statisk jämvikt när summan av krafterna i x-koordinaten är lika med noll, dvs:

Ns – mgsin = 0; insättning av N = mgcos ger smgcos – mgsin = 0.

Alltså: smgcos = mgsin sin/cos = s =arctan(s)

mg

N

fs

-mgcos

-mgsin

NNs x

y

Exempel med kinetisk friktion

Samma exempel som i den statiska friktionen med skillnaden att klossen glider ner och har en kinetisk friktionskoefficient k. Ge ett uttryck för accelerationen som funktion av lutningen.

Även här bidrar krafterna längs y koordinaten inte till klossens acceleration. Från Newtons andra lag får vi för kraftkomposanter i x-led:

mgsin - Ns = mgsin - smgcos = ma a = g(sin - scos)

mg

N

fs

-mgcos

mgsin

N-Ns

x

y

a

Exempel

Ett kloss med massan m = 1.2 kg hålls fast mot en vägg med en kraft F med riktningen =10˚ ovan horisontalen. Väggens friktionskoefficient s = 0.2. Bestäm den minsta kraft som krävs för att hålla klossen på plats.

F

N

mg

fs

-N

-mg

Fcos

FsinNs

x

y

Kraftrelationerna blir:

Fcos – N = 0; (i)

Fsin + Ns – mg = 0 (ii)

Från (i) får vi N = Fcos;stoppar vi Fcos istället för N i ekvation (ii), får vi:

Fsin + sFcos – mg = 0 F = mg/(sin+scos) = 31.7 N

Exempel med dynamisk jämvikt

Ett barn drar en släde efter sig med ett rep. Släden som väger m = 3.6 kg, rör sig med konstant hastighet uppför en backe med en lutning på 15˚. Repets vinkel i förhållande till backen är 25˚ och dragkraften T är 16 N. Bestäm accelerationen hos släden om barnet släpper repet.

Det okända i det här exemplet är den kinetiska friktionskoefficienten. Vi börjar med sätta upp kraftsummorna i fallet släden åker med konstant hastighet. Vid konstant hastighet har vi en dynamisk jämvikt, dvs summan av alla krafter är lika med 0, enligt kraftekvationen.

Fx = Tcos25˚ - kN – mgsin15˚ = 0; (i)

Fy = Tsin25˚ + N - mgcos15˚ = 0: (ii)

För T = 16 N och m = 3.6 kg fås från (ii) N = 27.3 N; Från (i) fås därefter k = 0.20

När repet släpps så fås accelerationen endast från krafterna i x-led:

Fx = kN-mgsin15˚ = -ma för N = mgcos15˚ fås a = 0.67 m/s2

15˚

25˚

T

mg

N

fk

N

kN

Tcos25˚

Tsin25˚

-mgcos15˚-mgsin15˚

-mgcos15˚

-mgsin15˚

N kN

x

y

a

Gör det själv

En kloss med massan m1 = 3 kg vilar på en andra kloss med massan m2 = 5 kg som i sin tur vilar på ett friktionsfritt underlag. Friktions koefficienten mellan m1 och m2 är s = 0.25. (a) Hur stor är friktionskraften mellan klossarna om de rör sig med konstant hastighet. (b) Vilken är den maximala kraften vi kan dra m2 med så att m1 inte flyttar på sig relativ m2. (räkna med g = 10 m/s2)

m2

m1

Dynamik i cirkulära rörelserVi gick genom definitionen av centripetalacceleration under föreläsning 2. Idag ska vi prata om kraften som hör samman med den centripetalacceleration som uppstår när en partikel rör sig med konstant fart i en cirkulär bana.

ar

vř

ar = -v2 ř /r

En sten med massan m fäst på en tråd med längden r. Om stenen roteras med en konstant fart, får vi en centripetalacceleration ar som pekar inåt. Denna acceleration ger upphov till en kraft F som pekar åt samma håll som accelerationen ar. Kraften F fås ur Newtons andra lag:

F = mar Ersätter vi ar med -v2ř /r, får vi: F = -mv2ř /r som har magnituden:

vF

ar

F = mv2/r

Men vad är det för sorts kraft? I det här fallet uppstår den som en dragkraft i tråden som tvingar in stenen i en cirkulär bana.

Exempel: lådan på roterande skiva

Lådan håls kvar i en cirkulär bana av den statiska friktionskraften fs

I det här fallet är centriptalkraften = friktionskraften

fs

Exempel: låda på roterande skiva med kant

N

En låda på en friktionsfri roterande skiva med hög kant hålls kvar av kantens normalkraft som utgör centripetalkraften

Slutsats

Centripetalkraften är ingen ny form av kraft som man ritar in i de kroppfria diagrammen, utan en kraft som kan ha olika former för att hålla en kropp i en cirkulär bana. Dess former kan vara dragkraft, friktion, normalkraft m.m., eller en kombination av dessa. Centripetalkraften är alltid riktad mot centrum av cirkelrörelsen

Ett vanligt fel är att man balanserar den centripetala kraften med en motriktad kraft som man kallar för centrifugalkraft. Detta är alltså fel; en sådan kraft finns inte. Den är en så kallad fiktiv kraft.

Exempel

En person åker i en vertikal cirkulär bana. När den är högst upp i banan har den en skenbar vikt som är hälften så stor som dess riktiga vikt mg. Banan har en radie på r = 8 meter. Bestäm farten vid översta läget.

a

mg

N

x

y

Här har vi endast två krafter som verkar på personen, nämligen gravitationskraften mg och normalkraften N (från banan på personen) som påtvingar personen att hålla en cirkulär bana. Dessa krafter resulterar i en centripetalkraft ma. Vi har inga krafter i x-led så vi håller oss endast till y-led. Från Newtons andra ekvation fås:

Fy = N + mg = ma (i)

Normal kraften N motsvarar personens skenbara vikt som är lika 0.5mg. Ekvation (i) blir:

0.5mg + mg = ma = mv2/r v = (1.5gr)1/2 = 11 m/s

v

Exempel

En bil åker med en hastighet på v = 12 m/s runt en plan kurva med radien r = 40 m. Vilken är den minsta friktionskoefficienten som krävs för att bilen ska hålla sig kvar i kurvan?

mg

N

fs

a

x

y

Centripetalkraften i det här fallet är den statiska frriktionskraften fmax som håller kvar bilen i kurvan. Newtons andra lag för krafterna i x-led blir således:

Fx = fmax = mv2/r

För krafterna i y-led blir karftekvationen:

Fx = N – mg = 0 N = mg (ii)

Från fmax = Ns; Från ekvation (i) kan s uttryckas:

s = mv2/(Nr), sätter vi in N = mg från (ii) s = v2/rg = 0.37

Avancerat exempel

En kloss placeras på insidan av en cylinder med radien R = 0.4 m. Cylindern roterar ett varv på 2 s. (a) Visa att den bestämda vinkel där klossen börjar glida neråt mot bottenplanet är given av:

gsin = s(gcos + v2/R)

s = 0.75 är koefficienten för den statiska friktionen och v klossens hastighet (b) bestäm

Fx = mgsin – Ns = 0 (i)

fy = N – mgcos = mv2/R (ii)

Ersätter vi N i (ii) med N = mgsin/s som fås ur ekvation (i), får vi:

mgsin/s – mgcos = mv2/R gsin = s(gcos + v/R)

x

y

mg

N

fs

NNs

-mgcosmgsin

a

För att bestämma krävs en mattematisk trick. Vi behöver ersätta sin med något som innehåller cos: Vi vet att sin2+cos2 = 1

gsin = s(gcos + v2/R)

Löses på tavlan

Gör det själv

En bil åker på en kullig väg. Toppen på en kullan har en radie på r = 10 m, vilken är den högsta farten bilen får ha för att inte förlora kontakt med vägen. Använd den farten och räkna ut hur stor är skenbara vikten hos en m = 75 kg människa om bilen skulle befinna i längs ner i dalen. Dalen har en radie på r = 10 m. (räkna med g = 10 m/s2)

Satellitbanor

Newton tänkte sig ett scenario där en kanon som ställs på toppen av ett berg skjuter i väg en kula med en viss starthastighet. Kulan kommer att följa en vanlig parabelrörelse (luftmotsåndets effekt försummas) innan den slår i marken längre bort. Om nu starthastigheten skulle ökas succesivt så skulle kulan gå runt jorden och återkomma där den startade. I frånvaro av luftmotstånd så skulle kulan fortsätta att rotera runt jorden i en cirkulär bana (så kallad satellit bana).

Om vi antar att en en kropp med massa m roterar kring en annan kropp med en avsevärt mycket större massa M, så kan man behandla kroppen med massa M som ett fixt system.

Om nu vår lätta kropp (läs satellit) roterar med en konstant hastighet v kring den tunga kroppen (läs planet), så får vi en cirkulär bana med radien r. Den centripetala kraften F är riktad mot den tyngre kroppen och ges av:

F = mv2/r (i)

Den här gången utgörs centripetalkraften av den inåt riktade gravitaionskraften som fås ur den universella gravitaionslagen:

F = GMm/r2 (ii)

Sätter vi (i) = (ii) fås:

GmM/r2 = mv2/r .

Satellitens rotationshastighet blir.

v = (GM/r)1/2

Perioden (det vill säga tiden) det tar för satelliten att göra ett varv kring planeten bestäm av satellitens rotaionshastighet och dess rotationsradie kring planeten.

T = 2r/v (i)

Om vi ersätter v med (GM/r)1/2 i (i), får vi följande relation:

Kvadrerar vi T får vi:

3rGM

2

GM

rr2T

332

2 rrGM

4T

Detta är Keplers tredje lag. Vi ser att beror endast av M. Så i vårt solsystem representeras M av solens massa och vi ser att kvadraten av planeternas omlopstid är proportionell mot kuben av omloppsradien.

Keplers lag är är fördelaktigt vid bestämmandet av en centralkropps massa om man känner till kroppens tillhörande satelliters omloppsradie och omloppstid.

Exempel

En av Jupiters månar (Io) har en omloppsradie på 4.22x105 km och en omloppstid på 1.77 dagar. (a) omloppsradien för en annan måne (Europa) är 3.55 dagar. Bestäm omloppsradien för Europa (b) Bestäm Jupiters massa.

Löses på tavlan.

Exempel

Nov. 1984 sattes rymdfärjan Discovery i en cirkulär bana på en höjd av 315 km, för att reparera ett fel hos satelliten westar 6 som låg på en höjd 360 km. Anta att de två objekten befann sig på var sin sida av jorden. Bestäm hur många varv westar måste göra för att komma Discovery så nära som möjlig. Jorden radie RJ = 6370 km.

Löses på tavlan.

Gör det själv

Planeten A har dubbel så stor radie som Planeten B, men hälften så stor densitet. Jämför omloppstiderna för dessa planeters låg-latitud sateliter.