föreläsning 7 fysikexperiment 5p

Foumlrelaumlsning 7 Fysikexperiment 5p

01 2005-11-18

Poissonfoumlrdelningen

Poissonfoumlrdelningen aumlr en sannolikhetsfoumlrdelning foumlr diskreta variabler som aumlr mycket viktig den dyker upp i maringnga sammanhang daumlr man rdquoraumlknar haumlndelserrdquo Det mest anvaumlnda exemplet (foumlr att det saring vaumll uppfyller de grundlaumlggande antagandena som anvaumlnds foumlr att haumlrleda Poissonfoumlrdelningen) aumlr radio-aktivt soumlnderfall daumlr antalet soumlnderfall under en given tid aumlr Poissonfoumlrdelad

Possionfoumlrdelningen kan ses som ett graumlnsfall foumlr binomialfoumlrdelningen (en foumlrdelning som vi inte beroumlr i denna kurs) daring antalet foumlrsoumlk blir mycket stort samtidigt som sannolikheten foumlr ett rdquolyckat utfallrdquo blir mycket litet paring saring saumltt att produkten haringlls konstant

De grundlaumlggande antagandena aumlr alltsaringbull Vi goumlr rdquomaringngardquo foumlrsoumlkbull Sannolikheten att rdquolyckasrdquo aumlr litenbull Vi undersoumlker en diskret variabel - antingen haumlnder det eller ocksaring inte - och raumlknar antalet rdquolyckade

haumlndelserrdquo

Foumlr Poissonfoumlrdelade variabler gaumlller att sannoliketen att raumlkna lyckade haumlndelser aumlr foumlrdelad som

)(

eP Poissonfoumlrdelningen har alltsaring endast en parameter

Notera den matematiska konstruktionen v (v-fakultet) i formeln Fakulteten definieras genom sambandet

Vi undersoumlker haumlr nedan foumlrdelningens egenskaper (foumlr de matematiskt intressrade) 1 - normalisering

132

132

000

eeeeeP

)(

2 - medelvaumlrde

ee

eeeP

)(32

111

32

1

1

10

3 - standardavvikelseFoumlr ett stort antal foumlrsoumlk ges standard-avvikelsen foumlr en distribution av medelvaumlrdet av (x-)2

)( 1321

Fraringn Sten Hellmans foumlrelaumlsning i Experimentella Metoder 2003

22

222

0

22

0

222 22

PP

Vi skaffar ett uttryck foumlr den foumlrsta termen genom att derivera normaliseringsvillkoret tvaring garingngermap och multplicera med 2

insatt i ovan farings2 det vill saumlga

02

12

2222

000

2

02

22

)(

eeee

dd

Fysikexperiment 5p Foumlrelaumlsning 7

2005-11-18 02Fraringn Sten Hellmans foumlrelaumlsning i Experimentella Metoder 2003

Naringgra exempel paring Poissonfoumlrdelningar

Medelvaumlrde = 1

0

005

01

015

02

025

03

035

04

0 1 2 3 4 5 6

Medelvaumlrde = 05

0

01

02

03

04

05

06

07

0 1 2 3 4 5

Medelvaumlrde = 4

0

005

01

015

02

025

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Medelvaumlrde = 25

0

005

01

015

02

025

03

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Medelvaumlrdet behoumlver inte vara ett heltal

Poissonfoumlrdelningarna aumlr skeva - de straumlcker sig mot den positiva sidan

Om aumlr ett heltal saring ligger max i tvaring binnar och -1

Ju houmlgre blir desto mer symmetrisk blir foumlrdelningen

Medelvaumlrde = 250

0

001

002

003

004

005

006

007

008

009

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Poissonfoumlrdelning Normalfoumlrdelning


03 2005-11-18Fraringn Sten Hellmans foumlrelaumlsning i Experimentella Metoder 2003

Foumlr stora kommer enveloppen av Poissonfoumlrdelningen att ges av normalfoumlrdelningen med samma medelvaumlrde och standardavvikelse som Poissonfoumlrdelningen

En annan viktig egenskap hos Poissonfoumlrdelningar aumlr att summan av tvaring eller fler Poissonfoumlrdelade variabler ocksaring aumlr Poissonfoumlrdelad

Detta medfoumlr att vi kan anvaumlnda varingr kunskap om Poissonfoumlrdelningen naumlr vi till exempel studerar radioaktiva soumlnderfall med bakgrund till varingr maumltning

Raumlknarexperiment

Laringt oss ta naringgra exempel I kapitel 32 i kursboken anges kvadratrotsregeln foumlr raumlknarexperimentSom ett exempel anges antalet nyfoumldda paring ett sjukhus under en 14 dagars period Antalet bebisar varierar av naturliga skaumll under en tidsperiod men man menar att det borde finnas naringgot slags medeltal foumlr antalet foumldda under en viss tid I detta fall raumlknades 14 foumldda under tvaring veckor Utifraringn denna iakttagelse allena kan vi dra slutsatsen att i medeltal foumlds 14 barn under en tvaringveckorsperiod Vi kan dessutom saumlga att osaumlkerheten i detta medelvaumlrde aumlr Det sanna medelvaumlrdet kan alltsaring vara 10 eller 18 med relativt houmlg sannolikhet

Foumlr att noggrannare bestaumlmma medelvaumlrdet i ovanstaringende undersoumlkning kraumlvs naturligtvis att vi raumlknar antalet nyfoumldda under en mycket laumlngre tidsperiod Laringt oss anta att foumlljande antal foumldda har aumlgt rum under 6 paring varandra tvaring-veckors intervall14 10 12 18 8 16 Totalt har det foumltts 78 bebisar dvs 13 bebisar i genomsnitt per 2-veckors intervall Vad aumlr nu osaumlkerheten i detta nya medelvaumlrde Om foumlrdelningen aumlr Poissonfoumlrdelad aumlr osaumlkerheten i vaumlrdet 78 som tidigare roten ur antalet dvs Vi har nu ett uppskattat medelvaumlrde foumlr hela 12-veckors perioden som aumlr 78 plusmn 9 Foumlr en 2-veckors period faringr vi medelvaumlrdet 130 plusmn 15 ett mycket noggrannare medelvaumlrde aumln det tidigare 14 plusmn 4 Men - notera att aumlven om osaumlkerheten i medelvaumlrdet kan goumlras mycket liten - kommer fluktuationerna i varje enskild 14-dagars period att vara Poissonfoumlrdelade dvs vi kan bara foumlrvaumlnta oss att i 11 av antalet 2-veckors intervall vi har exakt 13 foumldslar som foumlrdelningen nedan visar


2005-11-18 04

Poissonfoumlrdelning med medelvaumlrde = 13

00

50

100

150

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31

Antal foumldda under 2-veckors period

San

no

likh

et

i

Det maumlrkliga med Poissonfoumlrdelningen aumlr att i detta fall aumlr det precis lika stor sannolikhet att det foumlds12 barn - oaktat medelvaumlrdet aumlr 13

Visa som en enkel oumlvning att foumlr heltal gaumlller att sannolikheterna

)1()( PP

414

83878









Naringgra kommentarer till Chi-kvadrat- testet

Foumlr en given procentsats saring oumlkar 2 naumlr antalet frihetsgrader oumlkar Detta aumlr laumltt att foumlrstaring eftersom vi foumlrvaumlntar oss att varje oberoende maumltpunkt skall bidraga med 1 till totala 2 Detta faktum ger oss anledning att definiera en rdquoreducerad 2 variabelrdquo eller 2 per frihetsgrad genom att dividera 2 med antalet frihetsgrader Som framgaringr av figuren aumlr kurvor med konstant sannolikhet inte riktigt flat som funktion av n Det aumlr daumlrfoumlr noumldvaumlndigt att konsultera tabeller med sannolikhet som funktion av reducerad 10485782 och antalet frihetsgrader aumlven om man anvaumlnder denna variabel











Slide 1

Slide 2

Slide 3

Slide 4

Slide 5

Slide 6

Slide 7

Slide 8

Slide 9

Slide 10

Slide 11

Slide 12

Slide 13



Naringgra exempel paring Poissonfoumlrdelningar

Medelvaumlrde = 1

0

005

01

015

02

025

03

035

04

0 1 2 3 4 5 6

Medelvaumlrde = 05

0

01

02

03

04

05

06

07

0 1 2 3 4 5

Medelvaumlrde = 4

0

005

01

015

02

025

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Medelvaumlrde = 25

0

005

01

015

02

025

03

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Medelvaumlrdet behoumlver inte vara ett heltal

Poissonfoumlrdelningarna aumlr skeva - de straumlcker sig mot den positiva sidan

Om aumlr ett heltal saring ligger max i tvaring binnar och -1

Ju houmlgre blir desto mer symmetrisk blir foumlrdelningen

Medelvaumlrde = 250

0

001

002

003

004

005

006

007

008

009

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50







Raumlknarexperiment




2005-11-18 04


00

50

100

150

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31


San

no

likh

et

i



)1()( PP

414

83878





















Slide 1

Slide 2

Slide 3

Slide 4

Slide 5

Slide 6

Slide 7

Slide 8

Slide 9

Slide 10

Slide 11

Slide 12

Slide 13

Medelvaumlrde = 250

0

001

002

003

004

005

006

007

008

009

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50







Raumlknarexperiment




2005-11-18 04


00

50

100

150

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31


San

no

likh

et

i



)1()( PP

414

83878





















Slide 1

Slide 2

Slide 3

Slide 4

Slide 5

Slide 6

Slide 7

Slide 8

Slide 9

Slide 10

Slide 11

Slide 12

Slide 13

Raumlknarexperiment




2005-11-18 04


00

50

100

150

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31


San

no

likh

et

i



)1()( PP

414

83878





















Slide 1

Slide 2

Slide 3

Slide 4

Slide 5

Slide 6

Slide 7

Slide 8

Slide 9

Slide 10

Slide 11

Slide 12

Slide 13





















Slide 1

Slide 2

Slide 3

Slide 4

Slide 5

Slide 6

Slide 7

Slide 8

Slide 9

Slide 10

Slide 11

Slide 12

Slide 13

föreläsning 7 fysikexperiment 5p

Documents