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Fokker-Planck-Gleichung

Beschreibungstochastischer Prozesse

David Kleinhans

[email protected]

WWU Munster

David Kleinhans, WWU Munster – Fokker-Planck-Gleichung – Beschreibung elementarer stochastischer Prozesse 1

Geschichte

Historische ’Highlights’ der stochastischen Prozesse:

1905 Einsteins Beschreibung der Diffusion bei der Brown’schen Bewegung

1908 Langevin-Gleichung

1914/17 Fokker-Planck-Gleichung

1928 Mastergleichung

1940-49 Kramers-Moyal-Entwicklung


Geschichte

Historische ’Highlights’ der stochastischen Prozesse:

1905 Einsteins Beschreibung der Diffusion bei der Brown’schen Bewegung

1908 Langevin-Gleichung

1914/17 Fokker-Planck-Gleichung

1928 Mastergleichung

1940-49 Kramers-Moyal-Entwicklung

Jetzt: Stochastik im Zweitraffer!


Wegweiser

Einführung in die Stochastik

Zufallsprozesse

Wahrscheinlichkeitsdichten / bedingte Wahrscheinlichkeiten

Charakteristische Funktion

Momente und Kumulanten

Elementare stochastische Prozesse: Langevin-Gleichung

Modell: Brownsche Bewegung

Nichtlineare Gleichung

Zeitverhalten von Wahrscheinlichkeitsdichten: Fokker-P lanck-Gleichung

Kramers-Moyal-Entwicklung

Berechnung der Entlicklungskoeffizienten für Langevin

Fokker-Planck: Charakterisierung der Gleichung


Einführung in die Stochastik


Stochastik: Motivation

Stochastik (griechisch): Kunst des (geschickten) Vermutens

Untersuchung makroskopischer, komplexer Systeme:

Klassische, Newton’sche Beschreibung: Sehr (, häufig zu) viele Freiheitsgrade

Mit Methoden der Stochastik:

Deterministischer Anteil

Fluktuierende, stochastischer Anteil

⇒ Stochastische Beschreibung von physikalischen Prozessen


Stochastik: Grundlagen 1

Zufallsvariable ξ: nicht vorhersagbar

Schar-Mittel : Viele Experimente oder Ensemble von Experimenten ξn

〈f(ξ)〉 = limN→∞

1N

∑

nf(ξn)

Mit der Heavyside’schen- Θ-Funktion Θ(x − ξ) =

0 für ξ > x

12

für ξ = x

1 für ξ < x

:

Verteilungsfunktion

P (ξ < x) + 12P (ξ = x) = 〈Θ(x − ξ)〉

mit: ddx

P (ξ ≤ x) > 0 ∀ x, P (ξ ≤ −∞) = 0, P (ξ ≤ +∞) = 1


Grundlagen 2

Einführung der Wahrscheinlichkeitsdichte (distribution function):

Wξ(x) := ddx

P (ξ ≤ x) = 〈 ddt

Θ(x − ξ)〉 = 〈δ(x − ξ)〉

Es gilt:∫

Wξ(x) dx = 1 und Wξ(x) ≥ 0 ∀ x

Alle Mittelwerte lassen sich mit Hilfe von Wξ(x) berechnen:

〈f(ξ)〉 = 〈∫

f(x)δ(x − ξ) dx〉 =∫

f(x)〈δ(x − ξ)〉 dx =∫

f(x)Wξ(x) dx

Momente Mn:

Mn := 〈ξn〉


Grundlagen 3

Charakteristische Funktion :

Cξ(x) := 〈eiuξ〉 =∫

eiuxWξ(x) dx Fouriertransformierte von Wξ(x)

Berechnung der Momente:

Mn := 〈ξn〉 = 1in

dn

dun Cξ(u)∣

∣

∣

u=0

Taylor-Entwicklung von Cξ(u) um u = 0:

Cξ(u) = 1 +∞∑

n=1

(iu)n

n!Mn

Kumulanten Kn:

Cξ(u) =: e

∞∑

n=1

(iu)n

n!Kn

Kumulanten und Momente sind verknüpft:

K1 = M1 M1 = K1

K2 = M2 − M21 M2 = K2 + K2

1

K3 = M3 − 3M1M2 + 2M31 M3 = K3 + 3K2K1 + K3

1

.

.

....


’Einfache’ Verteilungen

’Einfache’ Wahrscheinlichkeitsverteilungen für

Kn = 0 ∀ n > N

N = 1:

Cξ(u) = eiuK1 ⇒ Wξ(x) = δ(x − K1)

N = 2:

Cξ(u) = eiuK1− 12

u2K2

⇒ Wξ(x) = 12π

∞∫

−∞e−iux+iuK1− 1

2u2K2 du

Wξ(x) = 1√2πK2

e− 1

2(x−K1)2

K2


Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Verallgemeinerung auf mehrere Zufallsvariable :

ξ −→ ξ1, . . . , ξr und Wξ(x) −→ Wr(x1, . . . , xr)

Bedingte Wahrscheinlichkeitsdichten :

Wr(x1, . . . , xr) = P (x1|x2, . . . , xr) · Wr−1(x2, . . . , xr)

⇒ P (x1|x2, . . . , xr) =Wr(x1,...,xr)

∫

Wr(x1,...,xr)dx1

Korrelation zweier Zufallsvariablen:

κ(ξ1, ξ2) := 〈(ξ1 − 〈ξ1〉)(ξ2 − 〈ξ2〉)〉 = 〈ξ1ξ2〉 − 〈ξ1〉〈ξ2〉

Es gilt: κ(ξ, ξ) = 〈(ξ − 〈ξ〉)2〉 = K2


Zeitabhängige Zufallsvariablen

Zeitabhängigkeit der Zufallsvariablen:

ξ −→ ξ(t) und damit W1(x) −→ W1(x1, t1) = 〈δ(x1 − ξ(t))〉

Für die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichten gilt nun:

P (xn, tn|xn−1, tn−1, . . . , x1, t1) = 〈δ(xn − ξ(tn))〉|xn−1,tn−1,...,x1,t1

=Wn(xn, tn, . . . , x1, t1)

∫

Wn(xn, tn, . . . , x1, t1) dxn


Klassifikation von Zufallsprozessen

Reiner Zufallsprozess : P (xn, tn|xn−1, tn−1, . . . , x1, t1) = W (xn, tn)

Es folgt: Wn(xn, tn, . . . , x1, t1) = W1(xn, tn) · . . . · W1(x1, t1)

Beachte: Für |tn − tn−1| ≪ 1 muß ein physikalisches System eine Korrelation

haben

⇒ Reiner Zufallsprozess unphysikalisch!

Markov-Prozess : P (xn, tn|xn−1, tn−1, . . . , x1, t1) = P (xn, tn|xn−1, tn−1)

Es folgt: Wn(xn, tn, . . . , x1, t1) =

P (xn, tn|xn−1, tn−1)·P (xn−1, tn−1|xn−2, tn−2)·. . .·P (x2, t2|x1, t1)·W1(x1, t1)

es gilt: limt2→t2

P (x2, t2|x1, t1) = δ(x2 − x1),

⇒ Komplette Information steckt in W2!

Generelle Prozesse (mehr Terme)

lassen sich nach Wang, Uhlenbeck auf Markov-Prozesse zurückführen


Elementare stochastische Prozesse:

Langevin-Gleichungen


Brown’sche Bewegung

Prominentes Beispiel:

Makroskopisches Teilchen in Flüssigkeit , Newton: mx + bx = Fs(t)

Langevin-Gleichung : v = −γv + Γ(t)

Γ(t) stochastische Kraft mit folgenden Eigenschaften:

〈Γ(t)〉 = 0

〈Γ(t)Γ(t′)〉 = qδ(t − t′)

Spektrale Dichte (nach Wiener-Khintchine-Theorem):

S(ω) = 2∞∫

−∞exp(−iωτ)〈Γ(t + τ)Γ(t)〉 dτ = 2q

Man nennt Γ(t) deltakorreliertes, weißes Rauschen (⇒ Markov-Prozess)


Nichtlineare Langevin-Gleichung

Allgemeine, nichtlineare Formulierung:

ξ = h(ξ, t) + g(ξ, t)Γ(t) mit〈Γ(t)〉 = 0

〈Γ(t)Γ(t′)〉 = 2δ(t − t′)

Falls g

konstant

= g(ξ)

nennt man das Rauschen:

additiv

multiplikativ

Beachte:

Multiplikatives Rauschen: Im Allgemeinen 〈g(ξ, t)Γ(t)〉 6= 0

→ Rauschinduzierter Drift

Beispiel:

h(ξ, t) ≡ 0 und g(ξ, t) = a · ξ ⇒ ξ(t) = 〈ξ(0)〉 · ea

t∫

0Γ(t′) dt′

und 〈ξ(t)〉 = 〈ξ(0)〉 · ea2t


Zeitverhalten vonWahrscheinlichkeitsdichten:

Fokker-Planck-Gleichung


Motivation

Bis jetzt:

Beschreibung einzelner Prozesse

Bewegungsgleichung für elementare Prozesse

Ab jetzt:

Übergang zu Ensemble von Prozessen, Untersuchung der Wahrscheinlichkeit W (x, t),

das Teilchen zur Zeit t am Orte x zu finden.

Bewegungsgleichungen für Wahrscheinlichkeitsdichte

W (x, t + τ) =∫

W (x, t + τ, x′, t) dx′ =∫

P (x, t + τ |x′, t)W (x′, t) dx′

⇒ Notwendig: Kenntnis von P (x, t + τ |x′, t) für τ ≪ 1


Kramers-Moyal-Entwicklung (fwd) 1

Mit Mn(x′, t, τ) = 〈[ξ(t + τ) − ξ(t)]n〉|ξ(t)=x′ =∫

(x − x′)nP (x, t + τ |x′, t) dx gilt:

C(u,x′, t, τ) = 1 +∞∑

n=1

(iu)nMn(x′,t,τ)

n!{=

∫

eiu(x−x′)P (x, t + τ |x′, t) dx}

Rücktransformation:

P (x, t + τ |x′, t) = 12π

∞∫

−∞e−iu(x−x′)C(u, x′, t, τ) du

= 12π

∞∫

−∞e−iu(x−x′)

[

1 +∞∑

n=1(iu)n Mn(x′,t,τ)

n!

]

du

Auswertung des Integrals:

12π

∞∫

−∞(iu)neiu(x−x′) =

(

− ∂∂x

)nδ(x − x′)

Partielle Integration liefert später:∫

f(x′) ·(

− ∂∂x

)nδ(x − x′) dx′ =

(

− ∂∂x

)nf(x)

∫

δ(x − x′) dx′


Kramers-Moyal-Entwicklung (fwd) 2

Einsetzen von P (x, t + τ |x′, t) liefert:

W (x, t + τ) =∫

P (x, t + τ |x′, t)W (x′, t) dx′

=∫

[

W (x, t) +∞∑

N=1

1n!

(

− ∂∂x

)nMn(x, t, τ)W (x, t)

]

δ(x − x′) dx′

⇒W (x,t+τ)−W (x,t)

τ=

∞∑

N=1

1n!

(

− ∂∂x

)n〈[ξ(t + τ) − ξ(t)]n〉|ξ(t)=x W (x, t) 1

τ

Im Grenzübergang τ → 0 gilt:

∂∂t

W (x, t) =∞∑

n=1

(

− ∂∂x

)nD(n)(x, t)W (x, t)

(Kramers-Moyal-Entwicklung, 1940-49)

Dabei ist D(n)(x, t) = 1n!

limτ→0

1τ

〈[ξ(t + τ) − ξ(t)]n〉|ξ(t)=x .

Entwicklungskoeffizienten für Langevin-Gleichung berech nen. . .


Langevin: Entwicklungskoeffizienten 1

Haben: Allgemeine, nichtlineare Langevin-Gleichung:

ξ = h(ξ, t) + g(ξ, t)Γ(t) mit〈Γ(t)〉 = 0

〈Γ(t)Γ(t′)〉 = 2δ(t − t′)

Müssen berechnen:

D(n)(x, t) = 1n!

limτ→0

1τ

〈[ξ(t + τ) − ξ(t)]n〉|ξ(t)=x



ξ(t + τ) − x =t+τ∫

t

h(ξ(t′), t′) + g(ξ(t′), t′)Γ(t′) dt′

Entwicklung von h und g um x = ξ(t):

h(ξ(t′), t′) = h(x, t′) + h′(x, t′)(ξ(t′) − x) + . . . , für g entsprechend

ξ(t + τ) − x =t+τ∫

t

h(x, t′) dt′ +t+τ∫

t

h′(x, t′)(ξ(t′) − x) dt′ + . . .

+t+τ∫

t

g(x, t′)Γ(t′) dt′ +t+τ∫

t

g′(x, t′)(ξ(t′) − x)Γ(t′) dt′ + . . .

Iterieren:

=t+τ∫

t

h(x, t′) dt′+t+τ∫

t

h′(x, t′)t′∫

t

h(x, t′′) dt′′dt′+t+τ∫

t

h′(x, t′)t′∫

t

g(x, t′′)Γ(t′′) dt′′dt′ . . .

+t+τ∫

t

g(x, t′)Γ(t′) dt′ +t+τ∫

t

g′(x, t′)t′∫

t

h(x, t′′)Γ(t′) dt′′dt′

+t+τ∫

t

g′(x, t′)t′∫

t

g(x, t′′)Γ(t′′)Γ(t′) dt′′dt′ + . . .



Mittelwert:

〈ξ(t + τ) − x〉 =t+τ∫

t

h(x, t′) dt′ +t+τ∫

t

h′(x, t′)t′∫

t

h(x, t′′) dt′′dt′ + . . .

+t+τ∫

t

g′(x, t′)t′∫

t

g(x, t′′)2δ(t′′ − t′) dt′′dt′ + . . .

Auswerten des Integrals:t′∫

t

g(x, t′′)2δ(t′′ − t′) dt′′ = g(x, t′)t′∫

t

2δ(t′′ − t′) dt′′ = g(x, t′)



Mittelwert:

〈ξ(t + τ) − x〉 =t+τ∫

t

h(x, t′) dt′ +t+τ∫

t

h′(x, t′)t′∫

t

h(x, t′′) dt′′dt′ + . . .

+t+τ∫

t

g′(x, t′)t′∫

t

g(x, t′′)2δ(t′′ − t′) dt′′dt′ + . . .

für τ ≪ 1:

〈ξ(t + τ) − x〉 = h(x, t) · τ + 12h′(x, t)h(x, t)τ2 + . . . + g′(x, t)g(x, t)τ + . . .

⇒ D(1)(x, t) = limτ→0

1τ〈ξ(t + τ) − x〉= h(x, t) + g′(x, t)g(x, t)



Ebenso erhält man D(2)(x, t) wieder aus:

ξ(t + τ) − x

=t+τ∫

t

h(x, t′) dt′+t+τ∫

t

h′(x, t′)t′∫

t

h(x, t′′) dt′′dt′+t+τ∫

t

h′(x, t′)t′∫

t

g(x, t′′)Γ(t′′) dt′′dt′ . . .

+t+τ∫

t

g(x, t′)Γ(t′) dt′ +t+τ∫

t

g′(x, t′)t′∫

t

h(x, t′′)Γ(t′) dt′′dt′

+t+τ∫

t

g′(x, t′)t′∫

t

g(x, t′′)Γ(t′′)Γ(t′) dt′′dt′ + . . .

〈[ξ(t + τ) − x]2〉 = (h(x, t) · τ)2 +(

12h′(x, t)h(x, t)τ2

)2+ . . . + g(x, t)g(x, t)τ + . . .

⇒ D(2)(x, t) = 12

limτ→0

1τ〈[ξ(t + τ) − x]2〉= [g(x, t)]2

Höhere Momente: Für deltakorreliertes Rauschen gilt: D(n)(x, t) = 0 ∀n ≥ 3


Fokker-Planck-Gleichung 1

Mit diesen Entwicklungskoeffizienten

D(1)(x, t) = h(x, t) + 12

∂∂x

g2(x, t)

D(2)(x, t) = g2(x, t)

D(n)(x, t) = 0 ∀n ≥ 3

erhalten wir aus der Kramers-Moyal-Entwicklung :

W(x, t) =[

− ∂∂x

D(1)(x, t) + ∂2

∂x2 D(2)(x, t)]

W(x, t) = LFPW(x, t)

(Fokker-Planck-Gleichung, 1914/17)

lineare, partielle Differentialgleichung für W(x,t)

reell, erster Ordnung in der Zeit: nicht invariant unter Zeitumkehr


Fokker-Planck-Gleichung 2

Einfaches Beispiel: Lineare Langevin-Gleichung v(t) = −γv(t) +√

q2Γ(t)

D(1) = −γv und D(2) = q2

= γkTm

Stationärer Zustand:

W (v, t)!= 0 =

[

γ + γv ∂∂x

+ γkTm

∂2

∂v2

]

W (v)

Die Maxwell-Verteilung W (v) =√

m2πkT

e−mv2

2kT erfüllt obige Gleichung!

Fokker-Planck-Gleichung für mehrere Variable:

W(~x, t) =

[

−∑

i

∂∂xi

D(1)i

(~x, t) +∑

i,j

∂2

∂xi∂xjD

(2)ij

(~x, t)

]

W(~x, t)


Zusammenfassung und Ausblick


Zusammenfassung

Langevin:

Beschreibung einzelner Prozesse

Bewegungsgleichung für Elementare Prozesse

Fokker-Planck:

Übergang zu Ensemble von Prozessen, Untersuchung der Wahrscheinlichkeit W (x, t),

das Teilchen zur Zeit t am Orte x zu finden.

Bewegungsgleichungen für Wahrscheinlichkeitsdichte

W(x, t) =[

− ∂∂x

D(1)(x, t) + ∂2

∂x2 D(2)(x, t)]

W(x, t) = LFPW(x, t)

Kramers-Moyal-Entwicklung bis zur 2. Ordnung

Für Markov-Prozesse verschwinden Ordnungen ≥ 3


Vorschau

Hier noch ein nettes Bild von Andreas :-)


Ende

Fragen zum Vortrag?

Verwendete Quellen:

The Fokker-Planck Equation , H. Risken, 1984

Dynamik stochastischer Systeme (Vorlesungsskript), M. Janßen, 2001


Übersprungene Folien


Lineare Langevin-Gleichung 1

Langevin-Gleichung v = −γv + Γ(t) läßt sich für lineare Koeffizienten auswerten:

Für v(t = 0) = v0:

v(t) = v0e−γt +t∫

0

e−γ(t−t′)Γ(t′) dt′

Korrelation :

〈v(t1)v(t2)〉 = v20e−γ(t1+t2) +

t1∫

0

t2∫

0

e−γ(t1+t2−t′1−t′2)〈Γ(t′1)Γ(t′2)〉 dt′1dt′2

= v20e−γ(t1+t2) + q

2γ

(

e−γ|t1−t2| − e−γ(t1+t2))

Auswertung des Integrals:t1∫

0

t2∫

0eγ(t′1+t′2)〈Γ(t′1)Γ(t′2)〉 dt′1dt′2 = q ·

t1∫

0

t2∫

0eγ(t′1+t′2)δ(t′2 − t′t)dt′1dt′2

= q ·min(t1,t2)

∫

0e2γt′1dt1 = q · 1

2γe2γx

∣

∣

∣

x=t1+t2−|t1−t2|

2x=0

= q2γ

(

eγ(t1+t2) · e−γ|t1−t2| − 1)



Langevin-Gleichung v = −γv + Γ(t) läßt sich für lineare Koeffizienten auswerten:

Für v(t = 0) = v0:

v(t) = v0e−γt +t∫

0

e−γ(t−t′)Γ(t′) dt′

Korrelation :

〈v(t1)v(t2)〉 = v20e−γ(t1+t2) +

t1∫

0

t2∫

0

e−γ(t1+t2−t′1−t′2)〈Γ(t′1)Γ(t′2)〉 dt′1dt′2

= v20e−γ(t1+t2) + q

2γ

(

e−γ|t1−t2| − e−γ(t1+t2))

Für γt1, γt2 ≫ 1 ergibt sich: 〈v(t1)v(t2)〉 = q2γ

e−γ|t1−t2|

Nach dem Gleichverteilungssatz :

〈E〉 = m2〈[v(t)]2〉 = m

2q2γ

!= 1

2kT

⇒ q = 2 γkTm



Geschwindigkeitsverteilungen schwierig zu beobachten.

Besser: Mittleres Verschiebungsquadrat 〈(x(t) − x0)2〉

〈(x(t) − x0)2〉 =

⟨[

t∫

0

v(t1) dt1

]2⟩

=

⟨

t∫

0

t∫

0

v(t1)v(t2) dt1dt2

⟩

=t∫

0

t∫

0

〈v(t1)v(t2)〉 dt1dt2

Wissen von eben: 〈v(t1)v(t2)〉 = v20e−γ(t1+t2) + q

2γ

(

e−γ|t1−t2| − e−γ(t1+t2))

Integration:t∫

0

t∫

0e−γ(t1+t2) dt1dt2 =

(

1−e−γt

γ

)2

t∫

0

t∫

0e−γ|t1−t2| dt1dt2 = 2 ·

t∫

0

t1∫

0e−γ(t1−t2) dt2dt1 = 2

γt − 2

γ2 (1 − e−γt)



Geschwindigkeitsverteilungen schwierig zu beobachten.

Besser: Mittleres Verschiebungsquadrat 〈(x(t) − x0)2〉

〈(x(t) − x0)2〉 =

⟨[

t∫

0

v(t1) dt1

]2⟩

=

⟨

t∫

0

t∫

0

v(t1)v(t2) dt1dt2

⟩

=t∫

0

t∫

0

〈v(t1)v(t2)〉 dt1dt2

Wissen von eben: 〈v(t1)v(t2)〉 = v20e−γ(t1+t2) + q

2γ

(

e−γ|t1−t2| − e−γ(t1+t2))

⇒ 〈(x(t) − x0)2〉 =(

v20 − q

2γ

)

(1−eγt)2

γ2 + q

γ2 t − q

γ3 (1 − e−γt)

Für γt ≫ 1:

〈(x(t) − x0)2〉 = 2Dt mit D = q

2γ2 = kTmγ

(Einsteins Resultat für die Diffusionskonstante, 1905)


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