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HAL R. VARIAN Universidad de Michigan

ANÁLISIS MICROECONÓMICO

Tercera edición

Traducción de M.a Esther Rabasco

y Luis Toharia Universidad de Alcalá

Antoni Bosch O editor

7. LA MAXIMIZACIÓN DE LA UTILIDAD

En este capítulo comenzamos a examinar la conducta del consumidor. En la teoría de la empresa competitiva, las funciones de oferta y demanda se obtienen a partir de un modelo de la conducta maximizadora del beneficio y de una especificación de las restricciones tecnológicas subyacentes. En la teoría del consumidor, las funciones de demanda se obtienen a partir de un modelo de la conducta maximizadora de la utilidad, así como de una descripción de las restricciones económicas subyacentes.

7.1 Las preferencias del consumidor

Consideremos el caso de un consumidor que se encuentra ante varias cestas de con-sumo pertenecientes a un conjunto X, que es su conjunto de consumo. En este libro, suponemos normalmente que X es el ortante no negativo de Rk, pero pueden utilizarse conjuntos de consumo más específicos. Por ejemplo, pueden incluirse so-lamente cestas que, al menos, permitan al consumidor subsistir. Siempre suponemos qup_.X es un conjunto rprrarki.y-¿:pfflvPYn

Suponemos que el consumidor tiene unas determinadas preferencias respecto a las cestas de consumo de X. Cuando escribimos x y y, queremos decir que "el consumidor piensa que la cesta x_es, almenos^an-buenaxomoia-y". Queremos que las preferencias ordenen e 1 conjunto de cestas, para lo cual necesitamos suponer que satisfacen determinadas propiedades convencionales.

Completas. Cualesquiera que sean xey pertenecientes aX,o bien x t y, o bien y y x, o ambos.

Reflexivas. Cualquiera que sea x perteneciente aX,xyx.

Transitivas. Cualesquiera que sean x,yyz pertenecientes a X, si x y y e y y z, entonces x y z.

El primer supuesto dice simplemente que es posible comparar dos cestas cua-lesquiera, el segundo es trivial y el tercero es necesario para analizar la maximización

114 / LA MAXIMIZACIÓN DE LA UTILIDAD (C. 7)

de las preferencias: si éstas no fueran transitivas, podría haber conjuntos de cestas que no contuvieran ningún elemento que fuera el mejor de todos.

Dada una ordenación y que describa una "preferencia débil", podemos definir una ordenación y que describa una preferencia estricta diciendo simplemente que x y y significa que no se cumple que y y x. x > y quiere decir que /x se prefiere estrictaineiüe^aj^ De la misma manera, podemos definir el concepto de indiferencia que representamos mediante el símbolo ~ diciendo que x ~ y si y sólo si x y y e y y x.

A menudo resulta útil postular otros supuestos sobre las preferencias de los consumidores; por ejemplo,

Continuidad. Cualquiera que sea y perteneciente a X, los conjuntos {x : x ^ y} y {x : x -< y} son conjuntos cerrados. Por lo tanto, {x : x y y} y {x : x -< y} son conjuntos abiertos.

Este supuesto es necesario para excluir algunas conductas discontinuas; esta-blece que si (xl) es una secuencia de cestas de consumo que son todas ellas, al menos, tan buenas como la y, y si esta secuencia converge en una cesta x*, x* es, al menos, tan buena como y.

La consecuencia mas importante de la continuidad es la siguiente: si y se prefiere estrictamente a z y si x es una cesta suficientemente cercana a y, x debe preferirse estrictamente a z. Este supuesto es simplemente una reformulación del supuesto de que él conjunto de cestas preferidas estrictamente es un conjunto abierto. Para un breve análisis de los conjuntos cerrados y abiertos, véase el capítulo 26 (página 554).

En el análisis económico suele resultar útil resumir la conducta de un consu-midor por medio de una función de utilidad; es decir, una función u : X —• R tal que x >- y si y sólo si u(x) > u(y). Puede demostrarse que si la ordenación de las preferencias es completa, reflexiva, transitiva y continua, puede representarse por medio de una función de utilidad continua. Más adelante demostraremos una versión más débil de esta afirmación. Las funciones de utilidad suelen ser muy útiles para describir las preferencias, pero no debe dárseles una interpretación psicológica. Su única característica importante es su carácter ordinal. Si u(x) representa unas determinadas preferencias > y / : R —> R es una función monótona, f(u(x)) repre-sentará exactamente las mismas preferencias, ya que f(u{x)) > f(u(y)) si y sólo si u(x) > u(y).

También suelen ser útiles otros supuestos sobre las preferencias; por ejemplo,

Monotonicidad débil. Si x > y, entonces x>z y.

Las preferencias del consumidor / 115

Monotonicidad fuerte. Si x > y y x y y, entonces x >- y.

El supuesto de la monotonicidad débil quiere decir que "una cesta que contenga como mínimo la misma cantidad de bienes que otra es como mínimo igual de buena que ésta". Si el consumidor puede deshacerse sin incurrir en costes de los bienes que no desea, este supuesto es trivial. Él supuesto de la monotonicidad fuerte quiere decir que una cesta que contenga como mínimo la misma cantidad de todos los bienes que otra y más de alguno de ellos es estrictamente mejor que ésta, lo que significa simplemente suponer que los bienes son "buenos".

Si uno de ellos es un "mal", como la basura o la contaminación, no se satisface el supuesto de la monotonicidad fuerte. Pero en esos casos redefiniendo el bien como la ausencia de basura o de contaminación, las preferencias respecto al bien redefinido suelen satisfacer el postulado de la monotonicidad fuerte.

Otro supuesto que es más débil que cualquiera de los dos tipos de monotonici-dad es el siguiente:

Insaciabilidad local. Dada una cesta x cualquiera perteneciente a X y une cualquiera tal que e > 0, existe una cesta y perteneciente a X tal que |x - y| < e, tal que y >- x1.1

El supuesto de la insaciabilidad local quiere decir que siempre es posible mejo-rar, incluso aunque sólo se introduzcan pequeñas variaciones en la cesta de consumo. Él lector debe verificar que la monotonicidad fuerte implica la insaciabilidad local, pero no viceversa. La insaciabilidad local excluye la posibilidad de que las curvas de indiferencia sean "de trazo grueso".

He aquí dos supuestos más que suelen utilizarse para garantizar que las fun-ciones de demanda de consumo se comportarán correctamente:

Convexidad. Dados x, y y z pertenecientes a X tal que x y y e y y z, entonces tx + (1 - t)y y z cualquiera que sea t tal que 0 <"^ < 1.

Convexidad estricta. Dados x ^ y y z pertenecientes a X, si x y z e y y z, entonces tx + (1 - t)y y z cualquiera que sea t tal que 0 < t < 1.

Las ordenaciones de las preferencias suelen representarse gráficamente. El conjunto de todas las cestas de consumo indiferentes entre sí se denomina curva de indiferencia. Puede considerarse que las curvas de indiferencias son conjuntos de nivel de una función de utilidad; son análogas a las isocuantas utilizadas en la teoría de la producción. El conjunto de todas las cestas situadas en una curva de indiferencia o por encima de ella, { x e n l : x ^ y}, se denomina conjunto de

1 La notación |x - y| significa la distancia euclídea que media entre x e y.

116 / LA MAXIMZACIÓN DE LA UTILIDAD (C. 7)

puntos del contorno superior. Es análogo al conjunto de cantidades necesarias de factores utilizado en la teoría de la producción.

El supuesto de la convexidad implica que un agente prefiere los puntos medios a los extremos, pero, por lo demás, apenas tiene contenido económico. Las preferen-cias;convexas puedentener; curvas de indiferencia en las que haya "tramos rectos", mientras que las curvas de indiferencia estrictamente convexas tienen curvas de indi-ferencia estrictamente curvadas. La convexidad es una generalización del supuesto neoclásico de la "relación marginal de sustitución decreciente".

Ejemplo: La existencia de una función de utilidad

Existencia de una función de utilidad. Supongamos que las preferencias son completas, reflexivas, transitivas, continuas y monótonas en sentido fuerte. En ese caso, existe una función de utilidad continua u\R\-^Rque representa esas preferencias.

Demostración. Sea e el vector de formado únicamente por unos. En ese caso, dado cualquier vector x, sea u(x) un número tal que x ~ u(x)e. Tenemos que demostrar que existe ese número y que es único.

Sea B = {t enR : te y x} y W = {tenR : x y te}. En ese caso, la mono-tonicidad fuerte implica que B no es un conjunto vacío; W tampoco lo es, desde luego, ya que tiene al menos un elemento, 0. La continuidad implica que los dos conjuntos son cerrados. Dado que la línea real está conectada, existe algún tx tal que txe ~ x. Tenemos que demostrar que está función de utilidad representa, de hecho, las preferencias subyacentes. Sea

u(x) = tx donde ry X u(y) = ty donde tye~ y.

En ese caso, si tx < ty, la monotonicidad fuerte demuestra que txe -< tye y la transitividad demuestra que

x~txe -< tye~y

Del mismo modo, si x y y, entonces txe y tye, por lo que tx debe ser mayor que ty. Omitimos la demostración de que u(x) es una función continua por ser algo

técnica.

La conducta del consumidor / 117

Ejemplo: La relación marginal de sustitución

Sea u(x i ,...,xn) una función de utilidad. Supongamos que aumentamos la cantidad del bien i. ¿Qué cambios ha de introducir el consumidor en su consumo del bien j para mantener constante la utilidad?.

Utilizando la misma notación que en el capítulo 1 (página 14), sean dxi y dxj las variaciones de Xi y xr Por hipótesis, la variación de la utilidad debe ser cero, por loque

du(x) du(x) ——dxi + ——dxj = 0.

axi oxj

Por lo tanto,

du(x) dxj = dxi dxi du(x)

dxj

Esta expresión se denomina relación marginal de sustitución entre los bienes i y j. La relación marginal de sustitución no depende de la función de utilidad ele-

gida para representar las preferencias subyacentes. Para demostrarlo, sea v(u) una transformación monótona de utilidad. La relación marginal dé sustitución de esta función de utilidad es .

dxi y/^uyduU) dujx.) dxj dxj

7.2 La conducta del consumidor

Una vez que contamos con un útil instrumento para representar las preferencias, podemos comenzar a analizar la conducta del consumidor. Partimos de la hipótesis básica de que un consumidor racional siempre elige del conjunto de opciones ase-quibles la cesta por la que muestra una mayor preferencia.

En el problema básico de maximización de las preferencias, el conjunto de opciones asequibles es simplemente el conjunto de todas las cestas que satisfacen la restricción presupuestaria del consumidor. Sea m la cantidad fija de dinero de que dispone éste y p = (p¡,... ,pfc) el vector de los precios de los bienes, 1,..., k. El conjunto de cestas asequibles, el conjunto presupuestario del consumidor, viene dado por

B = {x en X : px < m}


El problema de maximización de las preferencias puede expresarse, pues, de la manera siguiente:

max u(x)

sujeta a px < m x pertenece á l .

Señalemos algunas de las características básicas de este problema. En primer lugar, debemos preguntarnos si este problema tiene una solución. De acuerdo con el capítulo 27 (página 585), debemos verificar que la función objetivo es continua y que el conjunto de restricciones es cerrado y está acotado. La función de utilidad es continua por hipótesis y el conjunto de restricciones es cerrado. Si pi > 0 siendo i = 1 f c y m > 0, no es difícil demostrar que el conjunto de restricciones está acotado. Si alguno de los precios fuera cero, es posible que el consumidor deseara tener una cantidad infinita del bien correspondiente. En general, no tendremos en cuenta estos problemas de acotación.

La segunda cuestión que examinamos se refiere a la representación de las pre-ferencias. Podemos observar que la elección maximizadora x* es independiente de la elección de la función de utilidad que se empleé para representar las preferencias, ya que la elección óptima x* debe tener la propiedad x* y x para cualquier x perte-neciente a B, por lo que cualquier función de utilidad que represente las preferencias y debe alcanzar su máximo restringido en x*.

En tercer lugar, si multiplicamos todos los precios y la renta por una constante positiva, no alteramos el conjunto presupuestario y, por lo tanto, no podemos alterar el conjunto de elecciones óptimas. Es decir, si x* tiene la propiedad de que x* >f x cualquiera que sea x tal que px < m, entonces x* y y cualquiera que sea y tal que ípy < ¿ra. En términos generales, el conjunto óptimo de elecciones es "homogéneo de grado cero" en los precios y la renta.

Adoptando algunos supuestos de regularidad sobre las preferencias, podemos decir algo más sobre la conducta maximizadora del consumidor. Supongamos, por ejemplo, que las preferencias satisfacen la insaciabilidad local; ¿podríamos obtener en algún caso un x* tal que px* < ra? Supongamos que pudiéramos; en ese caso, dado que x* cuesta estrictamente menos que m, todas las cestas de X suficientemente cercanas a x* también cuestan menos que ra, por lo que son viables. Pero, de acuerdo con el supuesto de la insaciabilidad local, debe haber alguna cesta x que sea cercana a x* y que se prefiera a x*. Pero eso significa que x* no podría maximizar las preferencias dado el conjunto presupuestario B.

Por lo tanto, de acuerdo con el supuesto de la insaciabilidad local, una cesta, x*, maximizadora de la utilidad, debe cumplir la restricción presupuestaria con igualdad. Eso nos permite reformular el problema del consumidor de la siguiente manera:


v(p, ra) = max u(x)

tal que px =m

La función v(p,m) que nos da la utilidad máxima alcanzable a los precios y la renta dados se denomina función indirecta de utilidad. El valor de x que resuelve este problema es la cesta demandada del consumidor: indica la cantidad que desea el consumidor de cada uno de los bienes dado el nivel de precios y de renta. Suponemos que sólo se demanda una única cesta de cada presupuesto; este supuesto sólo pretende simplificar el anáfisis y no es esencial para el mismo.

La función que relaciona p y ra con la cesta demandada se denomina función de demanda del consumidor y se representa de la siguiente manera: x(p, m). Al igual que en el caso de la empresa, es necesario postular algunos supuestos para asegurarse de que esta función de demanda está bien definida. En concreto, es necesario suponer que hay una única cesta que maximiza la utilidad. Más adelante veremos que la convexidad estricta de las preferencias garantiza esta conducta.

Al igual que en el caso de la empresa, la función de demanda del consumidor es homogénea de grado 0 en (p, ra). Como hemos visto antes, si multiplicamos todos los precios y la renta por un número positivo, el conjunto presupuestario no varía y, por lo tanto, tampoco varía la respuesta al problema de maximización de la utilidad.

Al igual que en el caso de la producción, la conducta optimizadora puede caracterizarse por medio del cálculo, en la medida en que la función de utilidad sea diferenciable. El lagrangiano del problema de maximización de la utilidad puede expresarse de la forma siguiente:

C = u(x) - A(px - ra),

donde A es el multiplicador de Lagrange. Diferenciando el lagrangiano con respecto a Xi, obtenemos las condiciones de primer orden:

— Xpi = 0 siendo i = l , . . . , fc . ÓX{

Para interpretar estas condiciones, podemos dividir la condición de primer orden ¿-ésima por la j-ésima a fin de eliminar el multiplicador de Lagrange. De esa manera, tenemos que

dujx.*)

- —- siendo i, j = 1,..., k. du(x*) pj

dx¡

El cociente del primer miembro es la relación marginal de sustitución entre el bien i y el j y el del segundo se denomina relación económica de sustitución entre


los bienes i y j. La maximización implica que estas dos relaciones de sustitución son iguales. Supongamos que no lo fueran; imaginemos, por ejemplo, que

dujx.*) dxj

da(x*) dxj

\ A = Vi 1 1 " Pf

En ese caso, si el consumidor renuncia a una unidad del bien i y compra una del bien j, permanece en la misma curva de indiferencia y tiene cien pesetas adicionales para gastar. Por lo tanto, es posible aumentar la utilidad total, lo que contradice el supuesto de la maximización.

Figura 7.1

BIEN 2

BIEN 1

Maximización de las preferencias. La cesta óptima de consumo se encuentra en el punto en el que una curva de indiferencia es tangente a la restricción presu-puestaria..

La figura 7.1 muestra el argumento geométricamente. La recta presupuestaria del consumidor viene dada por {x : p\x\ + P2X2 = m}- También puede expresarse como la representación gráfica de una función implícita: xi = m/p2~ (pí/pi)xi. Por lo tanto, la pendiente de la recta presupuestaria es - p i / p i y la ordenada en el origen m/pi- El consumidor desea hallar el punto de esta recta presupuestaria que le reporte la máxima utilidad. Es evidente que éste debe satisfacer la condición de


tangencia según la cual la pendiente de la curva de indiferencia debe ser igual a la pendiente de la recta presupuestaria. Esta condición, traducida al álgebra, nos da la condición anterior.

Por último, esta condición puede formularse por medio de vectores. Sea x* una elección óptima y dx una perturbación de x* que satisface la restricción presu-puestaria. En ese caso, debe cumplirse que

p(x* ± dx) = m.

Dado que px = m, esta ecuación implica que pdx = 0, lo que implica a su vez que dx debe ser ortogonal a p.

En el caso de una perturbación como la dx, la utilidad no puede variar, ya que, de lo contrario, x* no sería óptima. Por lo tanto, también tenemos que

Dw(x*)dx = 0

lo que quere decir que Dw(x*) también es ortogonal a dx. Dado que esta igualdad se cumple en el caso de todas las perturbaciones en las que pdx = 0, Du(x*) debe ser proporcional a p, como nos indicaban las condiciones de primer orden.

Las condiciones de segundo orden para la maximización de la utilidad se hallan aplicando los resultados del capítulo 27 (página 569). La segunda derivada del lagrangiano con respecto a los bienes iy jes du(x) / dx¡dxj. Por lo tanto, la condición de segundo orden puede expresarse de la forma siguiente:

h D i¿(x*)h < 0 cualquiera que sea h tal que ph = 0. (7.1)

Esta condición exige que la matriz hessiana de la función de utilidad sea semidefinida negativa en el caso de todos los vectores h ortogonales al vector de precios, lo que equivale esencialmente a decir que w(x) debe ser localmente cuasicóncava. Desde el punto de vista geométrico, la condición significa que el conjunto de puntos del contorno superior debe encontrarse por encima del hiperplano presupuestario en la x* óptima.

La condición de segundo orden también puede expresarse, como es habitual, como una condición en la que interviene el hessiano orlado. Si examinamos el capítulo 27 (página 579), observaremos que esta formulación indica que (7.1) puede satisfacerse como vina desigualdad estricta si y sólo si los menores principales del hessiano orlado, ordenados de forma natural, alternan de signo. Por lo tanto,


0 -Pl ~P2 -Pl MU «12 > 0

-P2 «21 «22 0 ~P1. ~P2 -P3

-Pí un «12 «13 < 0 ~P2 U2l «22 «23

< 0

~P3 «31 «32 «33

y así sucesivamente.

7.3 La utilidad indirecta

Recordemos la función indirecta de utilidad definida anteriormente. Esta función, v(p, ra), indica la utilidad máxima en función de p y de ra.

Propiedades de la función indirecta de utilidad

1. f(p, ra) es no creciente en p; es decir, si p' > p, «(p', ra) < t>(p, ra). Del mismo modo, v(p,m) es no decreciente en ra.

2. v(p, m) es homogénea de grado 0 en (p, ra).

3. i>(p, ra) es cuasiconvexa en p; es decir, {p : v(p, ra) < k} es un conjunto convexo cualquiera que sea k.

4. v(p, ra) es continua cualquiera que sea p > 0, ra > 0.

Demostración.

1. Sea B = {x : px < ra} y B' = {x : p'x < ra} siendo p' > p. En ese caso, B' está contenido en B. Por lo tanto, el máximo de u(x) en B es, al menos, tan elevado como el de u(x) en B'. El argumento es similar en el caso de ra.

2. Si los precios y la renta se multiplican ambos por un número positivo, el conjunto presupuestario no varía. Por lo tanto, v(tp, tm) = v(p, ra) cualquiera que sea t > 0.

3. Supongamos que p y p' son tales que v(p,m) < k, v(p\ ra) < k. Sea p" = £p + (1 — í)p'. Queremos demostrar que v(p",m) < k. Definimos los conjuntos

La utilidad indirecta / 123

presupuestarios:

B ={x : px < m} B' ={x : p'x < m}

B" ={x : p"x < ra}

Demostraremos que cualquier x perteneciente a B" debe pertenecer a B o a B1', es decir, que B U B' D B". Supongamos que no es así; en ese caso, x es tal que ¿px + (1 - ¿)p'x < ra, pero px > ra y p'x > ra. Estas dos desigualdades pueden expresarse de la forma siguiente:

¿px >¿ra (1 - ¿)p'x >(1 - t)m

Sumando, tenemos que

¿px + (1 - ¿)p'x > ra

lo que contradice nuestro supuesto inicial. Obsérvese ahora que

v(p", m) = max u(x) sujeta a x pertenece a B" < max u(x) sujeta a x pertenece a B U B'

ya que B U B1 D B" < k ya que t>(p, m) < k y v{p', m) < k.

4. Esta propiedad se desprende del teorema del máximo formulado en el capítulo 27 (página 586).

En la figura 7.2 representamos un conjunto característico de "curvas de indi-ferencia-precio". Son simplemente los conjuntos de nivel de la función indirecta de utilidad. De acuerdo con la propiedad (1) del teorema anterior, la utilidad es no decreciente a medida que nos desplazamos hacia el origen y, de acuerdo con la (3), los conjuntos de puntos del contorno inferior son convexos. Obsérvese que éstos se encuentran al noreste de las curvas de indiferencia-precio, ya que la utilidad indirecta disminuye conforme suben los precios.


Figura 7.2

Curvas de indiferencia-precio. La curva de indiferencia está formada por todos los precios tales que, dada una constante k, u(p, m)) = k. El conjunto de puntos del contorno inferior está formado por todos los precios tales que u(p, m) < k.

Figura 7.3

La utilidad en función de la renta. Cuando aumenta la renta, debe aumentar la utilidad indirecta.

Obsérvese que si las preferencias satisfacen el supuesto de la insaciabilidad local, v(p, ra) será estrictamente creciente en ra. En la figura 7.3 representamos la relación entre v(p, ra) y ra cuando los precios son constantes. Dado que v(p, ra) es estrictamente creciente en ra, podemos invertir la función y despejar ra en función del nivel de utilidad; es decir, dado un nivel cualquiera de utilidad, u, podemos hallar en la figura 7.3 la cantidad mínima de renta necesaria para lograr la utilidad u a los precios p. La función que relaciona la renta y la utilidad de esta manera —la inversa de la función indirecta de utilidad— se denomina función de gasto y se representa por medio de e(p, u).


El siguiente problema nos proporciona otra definición equivalente de la función de gasto:

e(p. u) = min px sujeta a u(x) > u.

La función de gasto indica el coste mínimo de alcanzar un nivel fijo de utilidad. La función de gasto es totalmente análoga a la función de costes que analizamos

cuando estudiamos la conducta de la empresa, por lo que tiene todas las propiedades que formulamos en el capítulo 5 (página 86) y que repetimos aquí para mayor comodidad.

Propiedades de la función de gasto.

1. e(p, u) es no decreciente en p.

2. e(p, u) es homogénea de grado 1 en p.

3. e(p, u) es cóncava en p.

4. e(p, u) es continua en p, cuando p > 0.

5. Si h(p, u) es la cesta minimizadora del gasto necesaria para alcanzar el nivel de utilidad u a los precios p, /¿¿(p, u) = de^u) siendo i = 1,..., n suponiendo que existe la derivada y que pt >0.

Demostración. Estas propiedades son exactamente iguales que las de la función de costes. Véase el capítulo 5 (página 86) para los argumentos.

La función h(p, u) se denomina función de demanda hicksiana. Es análoga a las funciones de demandas condicionadas de los factores que hemos examinado antes. La función de demanda hicksiana nos indica la cesta de consumo que alcanza un determinado nivel de utilidad considerado como objetivo y que minimiza el gasto total.

La función de demanda hicksiana se denomina a veces función de demanda compensada. Esta terminología se debe al hecho de que se considera que la función de demanda se construye alterando los precios y la renta con el fin de mantener fijo el nivel de utilidad del consumidor. Por lo tanto, se realizan unas alteraciones en la renta de tal manera que "compensen" las variaciones de los precios.

Las funciones de demanda hicksianas no son directamente observables ya que dependen de la utilidad, que no lo es. Las funciones de demanda expresadas en


función de los precios y de la renta son observables; cuando queramos poner énfasis en la diferencia entre los dos tipos de funciones de demanda, llamaremos a las segundas funciones de demanda marshallianas, x(p, ra). La función de demanda marshalliana no es más que la función de demanda de mercado que hemos venido analizando hasta ahora.

7.4 Algunas identidades importantes

Existen algunas identidades importantes que relacionan la función de gasto, la función indirecta de utilidad, la función de demanda marshalliana y la función de demanda hicksiana.

Consideremos el siguiente problema de maximización de la utilidad:

v(p, ra*) = max i¿(x) sujeta a px < ra*.

Sea x* la solución de este problema y u* = u(x*). Consideremos el siguiente pro-blema de minimización:

e(p ,u*) = minpx sujeta a u(x) > u*.

Basta examinar la figura 7.4 para convencerse de que en los casos no patológicos la respuesta de estos dos problemas es el mismo x* (para una argumentación más rigurosa véase el apéndice de este capítulo). Esta sencilla observación nos lleva a cuatro importantes identidades:

1. e(p, v(p, m)) = ra. El gasto mínimo necesario para alcanzar la utilidad v(p, ra) es ra.

2. iKp, e(p, u)) = u. La utilidad máxima generada por la renta e(p, u) es u.

3. Xi(p,m) = hi(p,v(p,m)). La demanda marshalliana correspondiente al nivel de renta ra es idéntica a la demanda hicksiana correspondiente al nivel de utilidad v(p, ra).

4. hi(p, u) = £í(p, e(p, u)). La demanda hicksiana correspondiente al nivel de utilidad u es idéntica a la demanda marshalliana correspondiente al nivel de renta e(p,u).

Algunas identidades importantes / 127

Esta última identidad tal vez sea la más importante, ya que relaciona la función de demanda marshalliana "observable" y la función de demanda hicksiana "no observable". La identidad (4) muestra que la función de demanda hicksiana — la solución del problema de minimización del gasto— es idéntica a la función de demanda marshalliana en el nivel de renta apropiado, a saber, la renta mínima necesaria a los precios dados para alcanzar el nivel de utilidad deseado. Por lo tanto, cualquier cesta demandada puede expresarse o bien como la solución del problema de maximización de la utilidad, o bien como la solución del problema de minimización del gasto. En el apéndice de este capítulo mostramos las condiciones exactas en las que se cumple esta equivalencia. De momento, nos limitaremos a analizar las consecuencias de esta dualidad.

Es esta relación la que da lugar al término "función de demanda compensada". La función de demanda hicksiana es simplemente las funciones de demanda mars-hallianas de los diferentes bienes si la renta del consumidor es "compensada" para alcanzar un determinado nivel de utilidad.

En la siguiente proposición se presenta una interesante aplicación de una de estas identidades.

Figura 7.4

Maximización de la utilidad y minimización del gasto. Normalmente, una cesta de consumo que maximiza la utilidad también minimiza el gasto, y viceversa.

Identidad de Roy. Si x(p, m) es la función de demanda marshalliana, entonces

dv(p,m) X{{p, m) = - x siendo i =

dm

siempre que, naturalmente, el segundo miembro esté bien definido y que pi > 0 y m > 0.


Demostración. Supongamos que x* reporta la utilidad máxima u* correspondiente a (p*, ra*). Sabemos por nuestras identidades que

x(p*,ra*) = h(p*, «*). (7.2)

También sabemos por otra de las identidades fundamentales que

u* = v(p,e(p,u*)).

Esta identidad establece que independientemente de cuáles sean los precios, si se le proporciona al consumidor la renta mínima para que obtenga la utilidad u* a esos precios, la utilidad máxima que puede obtener es u*.

Dado que es una identidad, podemos diferenciarla con respecto a para obte-ner

dv(p*, ra*) + ¿Mp*, iTi*) de{p, u*)

dpi drn P i '

Reordenando esta expresión y combinándola con la identidad (7.2), tenemos que

, * *' n - 5 e ( P ' n ^ - dv(p*~,m*)/dpi Xi(p ,m ) = h¿(p ,u)= — = api ov{p*,m*)/om

Dado que esta identidad se satisface en el caso de todos los (p*, ra*) y dado que x* = x(p*, ra*), queda demostrado el resultado.

La prueba anterior, aunque es elegante, no es especialmente instructiva. He aquí otra prueba directa de la identidad de Roy. La función indirecta de utilidad viene dada por

v(p, ra) = u(jc(p, ra)). (7.3)

Si la diferenciamos con respecto a pj, tenemos que

k dv(p, ra) du(x) dxj

dpj ^ dxi dpj'

Dado que x(p,m) es la función de demanda, satisface las condiciones de primer orden para la maximización de la utilidad. Introduciendo las condiciones de primer orden en la expresión (7.4), tenemos que

k 3v(p, ra) &x

La-función de utilidad métrica monetaria / 129

Las funciones de demanda también satisfacen la restricción presupuestaria px(p, m) = m. Diferenciando esta identidad con respecto a pj, tenemos que

Xj(p,m) + y ] p ~ = 0. (7.6) tí

Introduciendo (7.6) en (7.5), tenemos que

¿Mp, rn) . , —-z = -Xxj(p,m). (7.7)

dpj Ahora diferenciando (7.3) con respecto a m, obtenemos

dv(p,m) ^ dxi ( 7 - 8 ) i=1

Diferenciando la restricción presupuestaria con respecto a m, tenemos que

TI f-.

E ÓXo , »S¡ = 1- (7'9)

Introduciendo (7.9) en (7.8) obtenemos

= A. (7.10) om

Esta ecuación nos dice simplemente que el multiplicador de Lagrange de la condición de primer orden es la utilidad marginal de la renta. Combinando las expresiones (7.7) y (7.10) obtenemos la identidad de Roy.

Finalmente, como última demostración de la identidad de Roy, obsérvese que es una consecuencia inmediata del teorema de la envolvente descrito en el capítulo 27 (página 585). El razonamiento anterior no hace sino seguir los pasos de la demos-tración de este teorema.

7.5 La función de utilidad métrica monetaria

Existe una elegante construcción que se basa en la función de gasto y que aparece frecuentemente en la economía del bienestar. Supongamos que tenemos unos precios p y una determinada cesta de bienes x. Podemos preguntarnos: ¿cuánto dinero necesitaría un consumidor a los precios p para disfrutar del mismo bienestar del que disfrutaría consumiendo la cesta de bienes x?

La figura 7.5 permite averiguar la respuesta gráficamente si se conocen las preferencias del consumidor. Basta ver cuánto dinero necesitaría el consumidor para


alcanzar la curva de indiferencia que pasa por x. En términos matemáticos, lo único que tenemos que hacer es resolver el siguiente problema:

minpz Z

sujeta a u{z) > u(x)

Figura 7.5

Función directa de utilidad métrica monetaria. La función de utilidad métrica monetaria indica el gasto mínimo necesario a los precios p para comprar una cesta que sea al menos tan buena como la X.

Este tipo de función es tan frecuente que merece la pena darle un nombre es-pecial; la llamaremos, siguiendo a Samuelson (1974), función de utilidad métrica monetaria. También se denomina "función de renta mínima", "función de compen-sación directa" y de muchas otras formas. Otra definición es la siguiente:

m(p,x) = e(p, w(x)).

Es fácil ver que si x es fijo, también lo es u(x), por lo que m(p, x) se compon» exactamente igual que una función de gasto: es monótona, cóncava en p, etc. Lo que no es tan evidente es que cuando p es fijo, m{p, x) es, de hecho, una función de utilidad. La demostración es sencilla: cuando los precios son fijos, la función de gasto es creciente en el nivel de utilidad; si se quiere obtener un mayor nivel de utilidad, hay que gastar más dinero. De hecho, la función de gasto es estrictamente creciente en u cuando las preferencias satisfacen el supuesto de continuidad e insaciabilidad local. Por lo tanto, cuando p es fijo, m(p,x) es simplemente una transformación monótona de la función de utilidad y, por lo tanto, es una función de utilidad.


Es fácil verlo en la figura 7.5. A todos los puntos de la curva de indiferencia que pasan por x se les asigna el mismo nivel de m(p, x) y a todos los puntos de las curvas de indiferencia más altas se les asigna un nivel más elevado. Eso es lo único que hace falta para ser una función de utilidad.

Figura 7.6

Función indirecta de utilidad métrica monetaria. Esta función indica el gasto mínimo necesario a los precios p para que el consumidor disfrute del mismo bienestar que disfrutaría con los precios q y la renta m.

Existe una forma correspondiente similar para expresar la utilidad indirecta conocida con el nombre de función indirecta de utilidad métrica monetaria:

jLt(p;q,m) = e(p,v(q,'m)).

Es decir, ¡i{p; q, ra) mide la cantidad de dinero que se necesitaría a los precios p para disfrutar del mismo bienestar del que se disfrutaría con los precios q y la renta ra. Al igual que ocurre en el caso directo, ii{p; q, ra) se comporta como una función de gasto con respecto a p, pero ahora se comporta como una función indirecta de utilidad con respecto a q y m, ya que, al fin y al cabo, es simplemente una transformación monótona de una función indirecta de utilidad. Véase la figura 7.6 para un ejemplo gráfico.


Una interesante característica de las funciones de compensación directas e in-directas es que sólo contienen argumentos observables. Son funciones de utilidad directas e indirectas específicas que miden algo que tiene interés y que no muestran ninguna ambigüedad en lo que se refiere a las transformaciones monótonas. Esta característica nos resultará útil cuando analicemos la teoría de la integrabilidad y la economía del bienestar.

Ejemplo: La función de utilidad Cobb-Douglas

La función de utilidad Cobb-Douglas se define de la siguiente manera: u(x\, 22) = XjX2~a. Dado que cualquier transformación monótona de esta función representa las mismas preferencias, también puede expresarse de la forma siguiente: u(x\,x2) = alnxi + (l - a)lnx2.

La función de gasto y las funciones de demanda hicksianas son idénticas, salvo en la notación, a la función de costes y las demandas condicionadas de los factores deducidas en el capítulo.4 (página 65). Las funciones de demanda marshallianas y la función indirecta de utilidad pueden obtenerse resolviendo el siguiente problema:

max a ln x\ + (1 — a) In X2

sujeta a p\X\ + P2X2 = rn.

Las condiciones de primer orden son

& \p\ = 0

X\ 1 - a ——. - \p2 - 0,

X2

o sea

o 1 - a p\x\ P2X2 '

Eliminando los denominadores y utilizando la restricción presupuestaria, tenemos que

a>P2x2 = P\xl ~ apixi

am = p\x\ am

xi(pup2,m)=--.—. P\

Introduciendo este resultado en la restricción presupuestaria, obtenemos la segunda demanda marshalliana:


. , (1 - a)m x2{pi,p2,m) = -. P2

Introduciendo este resultado en la función objetivo y eliminando las constantes, se obtiene la función indirecta de utilidad:

v(pi,p2, m) = lnm - álnpi - (1 - ajlnpj- (7.11)

Una manera más rápida de hallar la función indirecta de utilidad es invertir la función de coste/gasto Cobb-Douglas que obtuvimos en el capítulo 4 (página 65). De esa manera, tenemos que

e(pi,p2,u) = Kp¡p\~au,

donde K es una constante que depende de a. Invirtiendo esta expresión, sustitu-yendo e(pi, p2i u) por myu por n(pi, pi, m), tenemos que

Til v(pi,pi,m) = Kp¡p¡-"'

Esta expresión no es más que una transformación mónotona de (7.11), como puede observarse tomando los logaritmos de ambos miembros.

Las funciones de utilidad métrica monetaria pueden deducirse sustituyendo. Tenemos que

m(p,x) = Kp1p\ au(xi:x2)

= Kp^p\-axlx l2~a

¡jl(p; q, m) = Kp\p\ av(qh q2, m)

=pip\~a?ra?rlm-

Ejemplo: La función de utilidad CES

La función de utilidad CES se define de la manera siguiente: u(x \ ,X2) = ix\ + x^)1^. Dado que las transformaciones mónotonas de la función de utilidad representan las mismas preferencias, también podríamos definirla de la manera siguiente: u(x\,x2) = Xj + X,2-

Hemos visto anteriormente que la función de costes correspondiente a la tec-nología CES tiene la forma c(w, y) = {w\ + w^)líry, doride r = p/(p -1). Por lo tanto,


la función de gasto correspondiente a la función de utilidad CES debe tener la forma siguiente:

e(p,u) = {p\ +P2)1/ru.

La función indirecta de utilidad se halla invirtiendo la ecuación anterior:

v(p, m) = (pj +P2)~l/rm.

Las funciones de demanda pueden hallarse aplicando la identidad de Roy:

-dv(p*m)/dpi _ £(pj[+pp~(1+7)mrpj-1. xi(p,m) = dv(p, m)/dm (p[ + pty~llr

r—1 Pj m (pí+pp'

Las funciones de utilidad métrica monetaria correspondientes a la función de utilidad CES también pueden hallarse haciendo uso de los resultados anteriores:

m(p,x) = (p\ +pr1)r{xp

l+xp1)^

/x(p;q, m) = {p\ +pr2)Hq[ +q2)~llrm.

Apéndice

Consideremos los dos problemas siguientes:

max u(x) sujeta a px < m

min px sujeta a u(x) >u

Supongamos que

1. la función de utilidad es continua;

2. las preferencias satisfacen el supuesto de la insaciabilidad local;

3. los dos problemas tienen solución.

(7.12)

(7.13)

Ejercicios /135

La maximización de la utilidad implica la minimización del gasto. Supongamos c¡ue se satisfacen los supuestos anteriores. Sea x* ¡a solución de (7.12) y u = u(x*). En ese caso, x* es la solución de (7.13).

Demostración. Supongamos que la solución de (7.13) no es ésa sino x'. En ese caso, px' < px* y u(x') > u(x*). De acuerdo con el supuesto de la insaciabilidad local, hay una cesta x" suficientemente cercana a x' tal que px" < px* = ra y u(x") > u(x*). Pero, en ese caso, x* no puede ser la solución de (7.12).

La minimización del gasto implica la maximización de la utilidad. Supongamos que se satisfacen los supuestos anteriores y que x* es la solución de (7.13)., Sea m = px* y supongamos que m > 0. En ese caso, x* es la solución de (7.12).

Demostración. Supongamos que la solución de (7.12) no es ésa sino x!, de tal manera que u(x') > u(x*)'y px' = px* = m. Dado que px* > 0 y que la utilidad es continua, podemos hallar un t tal que 0 < t < 1, de tal manera que ptx' < px* = m y u(tx') > u(x*). Por lo tanto, x* no puede ser la solución de (7.13).

Notas

El argumento de la existencia de una función de utilidad se basa en Woid (.1943). Para un teorema general de la existencia de una función de utilidad, véase Debreu (1964).

Roy (1942) y (1947) fue quien primero reconoció la importancia de la función indirecta de utilidad. La función de gasto parece deberse a Hicks (1946). El enfoque dual de la teoría del consumidor que hemos descrito se basa en el de McFadden y Winter (1968). La función de utilidad métrica monetaria ha sido utilizada por McKenzie (1957) y Samuelson (1974).

Ejercicios

7.1. Considere las preferencias definidas en por (xi,x2) >- (yi, y2) si x\ + x2 < 2/1 + Vi- ¿Satisfacen estas preferencias el supuesto de la insaciabilidad local? Si son los dos únicos bienes de consumo y los precios a los que se enfrenta el consumidor son positivos, ¿gastará éste toda su renta? Explique la respuesta.

7.2. Un consumidor tiene la función de utilidad u(x\,x2) = max{rci, x2). ¿Cuál es la función de demanda del bien 1 por parte del consumidor? ¿Cuál es su función indirecta de utilidad? ¿Cuál es su función de gasto?


7.3. Un consumidor tiene la función indirecta de utilidad

v(pi,p2,m)= -m

¿Cuál es la forma de la función de gasto de este consumidor? ¿Y la de su función de utilidad? ¿Y la de la función de demanda del bien 1 ?

7.4. Considere la siguiente función indirecta de utilidad:

v(php2,m)= m • PI+P2

(a) ¿Cuáles son las funciones de demanda?

(b) ¿Y la función de gasto?

(c) ¿Y la función directa de utilidad?

7.5. Un consumidor tiene la siguiente función directa de utilidad:

U(X\,X2) = u{x\) + xi

El bien 1 es un bien discreto; los únicos niveles posibles de consumo de dicho bien son X\ = 0 y x\ - 1. Supongamos para mayor comodidad que u{ 0) = 0yp2 = \.

(a) ¿Qué tipo de preferencias tiene este consumidor?

(b) ¿Cuál es el valor de p\ tal que si p\ es estrictamente menor que ese valor el consumidor elegirá decididamente x\ = 1?

(c) ¿Cuál es la forma algebraica de la función indirecta de utilidad correspon-diente a la función directa de utilidad?

7.6. Un consumidor tiene la siguiente función indirecta de utilidad: v(p,m) = A(p)m.

(a) ¿Qué tipo de preferencias tiene este consumidor?

(b) ¿Cuál es la forma de su función de gasto, e(p, u)?

(c) ¿Cuál es la forma de su función indirecta de utilidad métrica monetaria,. /¿(p,q,m)?

Mpi,P2}

Ejercicios / 137

(d) Suponga, por el contrario, que el consumidor tiene la función indirecta de utilidad v(p,m) = A(p)mb siendo b > 1. ¿Cuál es ahoraja forma de su función indirecta de utilidad métrica monetaria?

folio 01 woed

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