F o n c t i o n s ~ croissance r6guli~re et i t f r a t i o n

d' ordre f rac t iou n ai re

par PAUL L~VY (~ Paris)

C H A P I T R E I .

N o t i o n s g 6 n 6 r a l e s s u r l e s f o n c t i o n s r 6 g u l i 6 r e s .

1. La uotiou de fonction h croissance r6guli6re est uue de ces notions

intuitives qui sembleut d ' abo rd parfai temeut claires, mais dont la difficult4

apparai t ~ la r4flexion; les remarques simples que l 'on peut faire sur les rai-

sons qui nous font consid4rer certaines fonctions comme r6guli6res ne sugg6rent

ea effet aucuae d4finition pr6cise de la r4gularit4. Le pr4sent travail contient

l ' expos6 de recherches dont le but est d 'ob teni r une te l le d6finition.

Je me suis laiss6 guider dans ces recherches par de~ cousid4rations intui-

tives, et forc6ment subjectives, bas6es d' une l~trt sur la notion esth6tique de

courbe r6guli6re (c' est-/~-dire sans sinuosit6s), d ' a u t r e ' p a r t sur la notion d'in-

duction, les remarques que l' on peut faire sur les exemples Simples de courbes

r6guti6res semblant susceptibles d ' e t re g6u6ralis4es. Des consid4rations de

cette nature ne peuvent 6tre invoqu4es q u ' a u point de r u e heurist ique; il

s ' ag i t ensuite de d4montrer les r6sultats que l 'on a 4t4 eonduit ~ 6noncer.

Dans le cas particulter, j ' a i ainsi 6t6 conduit k 6noncer des r~sultats que je

n 'a i pas r6ussi ~ d6montrer ; apr6s quelques tentatives infructueuses, je crois

utile, dans l ' int6r6t de la science, de faire commltre tout de m~me l' ensemble

de la th6orie /~ laquelle j ' a i 6t4 conduit. Le lecteur t rouvera donc, '~ c5t6 de certains r6suttats pr6cis et d6montr6s~ d 'aut res 4nonc6s dont l 'exact i tude n 'es t

que probable. J e serais heureux si cet te- lecture pouvait p rovoquer de nouveltes

recherches, destin6es ~ d6montrer les r4sultats que je n'ai fait qu '6noncer :

c' est un sujet de recherches difficile, mais m6me un r6sultat partiel ne serait pas sans importance.

Des r6sum4s de rues recherches ont d6jh 6t5 pr6sent6s ~t l 'AcadSmie des

Sciences de l ' Iust i tut de France (1926 et 1927), au Congr6s pour l 'Avancement

des Sciences de Poitiers (1926), et au Cb,lgr~s Intenmtional des Math6maticiens

de Bologne (i928). Enfin, sous le titre ¢Introduction ~t une th4orie des fonctions

Annali d£ Matemat~ea, Serie IV, Tomo V. 35

270 P. L~vY : Fonctions it croissance rdguli~re et itdration d'ordre fractionnaire

croissanee r~gul i4re , , j ' a i publi4 dans le Journal de Math4matiques (1928)

uue 4rude sur les 4ehelles compl4tes de croissance, ~tude qui est li~e aux

recherches dont j ' expose i c i le r(~sultat; je rappellerai d 'a i l leurs ce qui

est n~cessaire pour 4viter au lecteur d ' avo i r h se reporter au M4moire en

question.

2. Pour indiquer ce qui me paralt 5tre un des caract4res essel~tiels de la

notion de r6gularit6, je prendrai t' exemple d' uue fonctiot~ telle que e x + sin x ;

nous la consid(~rons comme irr6guli~re, parce qu'elle oscille itld4fiuimellt entre les

fouctions plus simples e x -t- 1 et e x - 1 ; de m~me la fonctiot~ eX-~-e - x sill log X,

malgr6 la lenteur et la pet!tesse de ses oscillations, est irr~guli~re, parce

qu'elle oscille ulie infinit6 de ibis entre les fonctions plus simples 2 ch x et 2 sh x.

Au contraire, l 'une quelconque de ces fonctions plus simples, 2 ch x par exemple,

est rdguli(~re, parce qu' i l n 'exis te aucune fonction plus simple qu 'el le qui lui

soit (~gale une infinit¢~ de fois, pour des valeurs de x ind6finimellt croissantes.

De ces premieres remarques, nous ne pouvo~ls pas d6duire une d~finition;

il semble meme que nous ayons augment6 la difticult4 du probt~me, car il doit etre plus difficile de d4finir la plus ou moills gray,de simplicit6 (ouen d 'autres

termes la plus ou moins grande r4gu la r i t4 )des fonctions que de d6finir la

~'dgularitd pa; ' fai te qui caract6rise les fonctions que nous appelous rdguli~;'es

(ou ~ croissance rdguli~;'e). It r4sulte pourtant de ces remarques ulle propri4t5

pr6cise de l ' ensemble des fonctions r~guli4res, qui doit v6rifier les deux con-

ditions suivantes : Condition a): si deux fonctions distinctes f ( x ) e~ g(x)appar t ieunent ~ cet

ensemble, leur diff(~rence est pour x . a s s e z grand diff6rente de z6ro et d 'un

signe d4termiu4; l ' une d 'e t les est alors sup(~rieure h l 'autre , pour x assez

grand; nous dirons qu 'e l le crolt plus vite que l 'autre. Condition b): si une fonction g ( x ) a ' a p p a r t i e n t pas ~ cet ensemble, on

peut t rouver au moins uue fonction f ( x ) de cet ensemble telle que la difh~-

rence f ( x ) - g(x) ne soit ni constamment positive, ni constamment n6gative,

pour x assez grand; cela revient h dire qu 'on ne peut ajouter h l ' ensemble

aucune fonction nouvelle sans que la condition a cesse d ' e t r e v4rifi4e.

Les ensembles v~rifiant ces conditions consti tuent ce que j ' appel le des

~chelles completes de croissance; si la premiSre condition est v4rifi4e, mais noa la seconde, l' (~chelle est incomplete. Les ~chelles, completes ou incompl~tes,

out ~t(~ 4tudi~es d 'une mani~re g(h~rale dens mon M~moire cit~ plus haut. On observe que s' il s' agit de fonctions continues (et les fonctions r~guli~res

seront bien entendu des fonctions continues), l '4nonc4 de la condition b peut

P. LEVY: Fo~ctions ~ croissance rdguli~re et itdration d'ordre fractionnaire 27t

se simplifier: il suffit d '6cr i re que les fonctions f(x) et g(x) sont une infinit~

de lois 6gales~ pour des valeurs de x ind~finiment croissantes.

L ' ex i s tence d '4ehel les compl4tes est ~Hdente, au point de r u e id~aliste. L ' ensemble des fonctions continues 4tant suppos6 bieu ordonn~, on n ' a qu 'h

examiner toutes les fonctious 1' uue apr~s l' autre et classer dans un ensemble

routes celles qui peuvent l '6tre, c'est-';t-dire qui croissent, soit plus ri te, soit

moins ri te, que n' importe quelle fonction class ic dans ~ ; l ' ensembte ~ fina-

lement obtem~ sera une 6ehelle complete.

On remarque que, chaque fois que dans l 'application de ce proc~d~ on obtie~t uue fonctiou f (x ) acceptable, on peut soit la classer e l l em~me dans

l 'e , , semble ~, soit choisir~ pour la classer dans ~, uue autre fonction, ~gale

tree infi~fit4 de fois h f(x), et acceptable, c'est-~t-dire croissant, soit plus vite,

soit moins rite, que n ' impor te laquelle des fonctions choisies initialement. De

toute facon~ l ' ensemble ainsi iorm~ sera une ~chelle complete.

3. Les fonctions r6guli4res doiveut donc co~:stituer tree 6chelle complete

de croissance. Mais il s ' ag i t de distinguer l ' ensemble de ces fonctions des

autres 6chelles compl~tes. Dalls ce but, on peut d ' abord se proposer de faire

iuterveuir certains caract~res simples des fonctions. 0 a sait que des d6rivations sin x

peuvent accentuer les irr6gularit6s des fonctions; ainsi la fonction 1 4 - _ X X ~°

est positive pour x ~ 0 et chacune de ses 9 premieres d6riv4es a un signe

constant pour x assez grand~ mais la dixi6me a une infinit6 de chaugements

de signes; c ' e s t lh uue circonstance que aous consid6rons comme une preuve de l ' i rr6gulari t6 de cette fonction.

Une deuxi6me condition impos6e h la d6fi~ition de la r6gul~rit6 sera donc

que les fonctiolls r6guli6res soient continues, ind6finiment d6rivables, chacune

de leurs d6riv6es ayant un signe constant pour x assez grand, c' est-/t-dire

part ir d 'une cerLaine va leur de 9~ qui peut n '~tre pas la m6me pour toutes

les d6riv6es. Ainsi la fonction e -x~ est r6guli6re; sa d6riv6e de ra~g n e s t ,

pour x assez grand, du signe de (-- 1) ' ; mais la valeur x , ~ partir de laquelle

il e n e s t ainsi augmente ind6finiment avcc n; o~ ne peut pas t rouver un in- tervalle d6termin6 daus lequel toutes les d6riv6es aient un signe constant~ et soient par suite monotones (~).

(~) On sait pa r un rdsul ta t de M. SERGE BiERNSTI~LN que~ s ' i l en gtait ainsi~ la condi t ion du tex te en t ra inera i t 1' analyt ic i ig des fonct ions considdrdes ; mais le fair que les x n ne soient pas born6s emp~che 1' appl icat ion de ce rdsultat . L a quest ion se pose de savoi r si on peut le gdn6ra l i ser au cas qui nous occupe. 3e consid~re d'ailleur,~ Qu'il n ' e s t pas douteux que les

272 P. Ll~vv : Fonctions ~ croissance rdgul@re et itdration d'ordre fractionnaire

Remarquons d 'ai l leurs que cette conditiou d 'exis tence et de monotonie

de toutes les d~riv4es, si elle est n~eessaire, n ' es t sfirement pas suffisante pour

la r6gularit4. Ainsi la fonction eX-t-sin x est irr6guli~re, bien que toutes ses

d4riv~es soient positives pour x positif; de raP.me la fonction

1 ( , ÷ 1 ) x log x ~ sin log log x

~t chacune de ses d4riv4es monotones pour x assez grand et est irr~Sguli~re.

Observons que cette condition de monotonie, jointe h la pr4c~de~le, domm

uu r4sultat positif: t o u s l e s polynomes so~t des fonctions r4guli~res. Si en ellet

un polynome P ( x ) d e degr~ n n'(~tait pas r4gulier, on dew'ait trouver une

fonetion r6guli6re f (x) 5gale une infinit6 de lois ~t ce polynome; cela n 'es t

pas possible, le th4or4me de ROLLE nous montrant que la d(h'iv4e d 'ordre n -t- 1

de f(x) devrai t changer de signe une iufinit~ de lois.

:Nous avons dit tout ~t l ' heure qu 'une fonction nous apparait comme pm'- failement rdg~di~re si on ne peut pas en trouver une plus rdg~diO~'e qui lui

soit 4gale une infinit(~ de Ibis; dans le cas des polynomes, cet gnoncg pre,~(I

un sens tr~s pre~cis.

~. L'i,~suffis~mce de la propri6t4 pr4c6dente, et l 'absence de route autre

operation de l' analyse ~l~mentaire qui soil plus efficace que ta d6rivation pour

d4celer les irr~gularit6s des fonctions, conduit ~ introduire des consid4rations

d 'un tout autre ordre, bas6es sur la nature des op4rations analytiques qui

couduisent ~ d6fiuir les tbnctions consid~r4es. Au lieu de chercher h mettre

eu 6videnee une propri6t6 intrins~que des fonctions qui pourrait caract~riser

la r4gularit~, nous sommes conduits h former de proche en proche de nouvelles

fonctions rSguli~res par des opSrations analytiques qui ne soient par elles-

m6mes suseeptibles d ' i l l troduire aucune irr4gularit4; de telles op4rations sont

ce que nous appellerons des opd~'ations ~'dgul@~'e.¢. En partant des polynomes, on

pourra par ees op6ratious former des eusembles 6tendus de fonctions r~guli~res.

Ces op4rations r6guli~res doivent comprendre au moins la d6rivation,

l ' int4gration, les quatre operations 41Onentaires, et, dans le cas d' une tbnction

y - - f(x) ind~finiment eroissante, la formation de ltt fonetion inverse x --~ f__~(y)

fonctions rgguli~res so ient analytiques; mais cela ne r~sulte peut-~tre pas n6cessairement des conditions ddjh indiqu~es.

I1 est probable qu'inversement, toute fonction analytique, r~elle pour x tr~s grand, et mdromorphe h l'infini, est rdguli~re. Mais les f0nctions ayant h l'infini un point singulier essentiel peuvent 6tre rdguli~res ou irrgguli~res.

P. LE~.~- : Fonctions ~ croissance rdguli~re et irritation d' ordre fractionnaire 273

et des fo~lctious r6guli6res de f(x). Ces op4rations et leurs combinaisous sont

ee que nous appellerolls les opd~'atio~s ~'dg~di~res dld~eJ~lai~'es. P~lr ces opO'ations r(!p6t(~es un hombre fi,~i n de lois, en partant d 'un

polynome de degr6 p, on ne pent obteuir que des fonctio~s d~pendaut d 'une

mani6re continue d' un hombre fiui de paramgtres; mf~me eu augmentant ind6-

finime~t n e t p, m~me en d4fi~issaut de nouvelles operations r6guli6res, ou

~e pent pas ar~'iver ",k former aiusi routes tes fouctions r(~guli6res. On ~' obtiendra sCtremeut pas uu ensemble conteuant des fo~ctious plus rapideme~t croissantes

que n ' impor t s quelle fonctiou donuge. Pourta~t d6j$t une question se pose:

la troisi6me co~ditiou ainsi imposge .X la dgfinition de la r~gularit~ est-elie

compatible avec les pr6e6dentes; est-on notamment assur~ que deux fonctious

distincges fortunes par des op(~rations r~guli~res ~e peuveut pas ~tre u~e infi-

uit5 de lois (~gales ? La r6pouse ~e semble pas douteuse; il semble mOne que l 'on puisse

ar r iver h u~e d(~mo~stration p~r uue classification m~thodique des divers infi-

~iment petits ou i~fiuiment grands iutroduits par les operations indiqu~es, et

par des d6veloppemeuts en s4ries de forme suffisammeut gO~(~rale. Mais la

grande vari(~t6 des combiuaisoas '~ pr(~voir rend la d6monstration r igoureuse

difficile. Disowns douc seule~nent, pour r4sumer les r(~sultats obtenus jusqu' ici ,

que des considerations intuitives nous out conduit ~ peuser qu' il ~tait possible

de d~fi~ir un ensemble de fonctions r6guli~res vgriiiant les conditions suivantes:

1) Ce~ ensemble coustitue uue 6chelle compl6te de croissante.

2) Toutes les tbnctions de ce~ ensemble so~t continues, ind4fiuiment d4rivables, et sont monotones pour x assez grand; (la monotonie des d6riv4es rSsulte alors de. la condition suivaute).

3) Cet ensemble est ferm4 par rapport aux operations r4guli~res 4l(~- mentaires dgfiuies ci-dessus.

5. II est essentiol de d~fiuir d ' au t res op6ratious rdguli4res; les r~sultats

priucipaux de ce travail reposerollt sur l '(itude de l' ildFatio~ ~'dguli~'e. 5Iais

quelques remarques pr6alables serout utiles.

Consid6rous uue fonction de deux variables f ( x , y)~ et supposons que, pour y constant, ce soit uue fonctiou r4guli6re de x, et que d ' au t re part

elie d6pende d 'uue mani~re continue de y; il y a lieu de penser qu 'on pent

la col~sid(~rer comme r~guli6re en x et y, et que par suite nile tbuction de la

forme /[¢~(t), d?(l)] est r6guli~re ell t si ~(t) et ~b(t) sour des fonctiolls r6guli6res i~d4fi~liment croissautes de t; si cette propri6t6 est v4rifi4e, nous dirons que

f (x , y) est une /onct ion Fdg~li~'e des d e u x va~'iables x et y. Pour montrer

274 1 ). L~Yy : Fonctions ~ croissance rdguliOre et irritation d'ordre fraction~aire

que cette r~gularit6 par rapport aux deux variables r~sulte bien de la r6gu-

larit6 par rapport t~ chacune des variables, il suffit d '~tablir que la r4gularit6

pat" rapport h chacuae des variables entraine celle de f (x , x); en appliquant

c e r6sultat h la fonction F(t~ u) --~ f[~(t), ~(u)], on obtielJt le r~sultat plus g6n6ral

coHcernant la r6gularit4 de f[~(l), +(t)], La d(~rivation et l ' int4gration d' tree ibnction de deux variables doivent

.alors ~tre ajout6es t~ la liste des op6rations r4guli~res. Observons notamment

qu 'uue int(~grale du type o o

(1) f (x) - ~ l F ( x , y)~(y)dy o

dolt 6tre une fonction r6guli6re de x si F(x, y) et ~(y) sont des fonctions

r6guli6res. I1 faut aussi admettre la r6gularit6 de chaque brauche de fouctioa d6finie

par l '6quation implicite f (x , y) -~ O, si la fonctiou f (x , y) est r6guli6re. II en

r6sulte que toute d6terminatioll, r6elle pour x assez grand~ d 'une fonction

alg6brique, est r6guli6re; il e~ est donc de raP.me pour toute fonctiou alg6-

brique de x, e x, log x.

II faut d ' au t re part 6viter d '6 tendre aux s6ries la remarque faite sur

l ' ia t6grale (1). Ainsi dans la s6rie

X X n (2) e ~ - ~ 1 + -~ -+-... +. -~. +.. . ,

ainsi que daus les s6ries que l 'on eu d6duit eu ne conservant que lea termes

de rangs multiples d' un entier p, le terme de rang n, soit ~ , d6pendd 'une

mani6re r6guli6re de x et de n ; pourtant la somme, r6guli6re pour p ~---1

ou 2, est irr6guli6re pour p > 2; pour p = 4 , pat' example, elie a la valeur

O|l X - t - COS X

2 La raison e n e s t fitcile /~ comprel~dre; dans la s6rie (2), x croissant, le

rang du plus grand terme croit; chaque terme joue h son tout" uu r61e pr6-

pond6rant; les diff6rents termes d6terminent successi vement l 'ordre de grandeur

de la fonction comme les poteaux successifs tl' une ligne t61~graphique soutien-

neat cette ligue~ qui s ' aba isse chaque lois entre deuz poteaux. On a donc des ivr6gularit6s d' autaut plus marqu6es que tes termes conserv6s sont plus espac6s~

m0.me si leurs tangs forment une suite r6gulibre.

P. LEVY : Eonctions ~ croi~sance rdguli~re et itdration d' ordre fractionnaire 275

Du m0ins, l ' image qui prdc6de serait exacte si l 'ou prem~it les termes

de raugs n - - l , 2~,..., p~,..., ou d' uue suite de hombres croissant plus rapide-

ment encore. Eu preuant des termes dout les tangs consti tuent une progression

arithmdtique, on a un nombre croissant (comme Vx) de termes qui sent sen-

siblement du m6me ordre de grandeur, et le cas simple ou il n ' y a qu' un terme

prdponddrant (ou ut~ petit hombre de tels termes) a ' e s t pas rdalis6. L' irrd-

gularit6 de la sdrie n 'es t l)as certaiue daus ces conditions; mais la remarque

que dans la sdrie c x, e , prenaut la somme des termes de ~o en p, ou obtient

u:m fouetiou rdguli~re si p--- l ou 9 et irrdguli~re si p - - 3 ou 4 montre bien la

difficultd d' tree thdorie gdn~drale. Reteuons seulement qu' o~l ne sera pas certain

a prioJ'i, quelle que soit I~ r(~gularitd de ta formatimt des termes d' une sdrie,

que sa somme soit rdguli~re, eL souvent ou dtal)lir~ au co~traire aisdmer~t

qu'et le est irr6guli~re; au contraire, daus le cas d 'une iu-tdgrale, qui n ' a pas

la mSme cause de discoutitmitd, on est stir de la rdgularitd.

6. II existe un liell dvident entre la notion de fonctiou rdguli~re eL celle

d 'uue suite rdguli4re de uombres Yl, Y~,..., Y,,..-; si une fouction f ( x ) est

rdguli4r% la suite des hombre s y,, - - f ( u ) est rdguli~re, eL sa donnde ddtermine

parfaitemellt la fonction f (x ) , puisqu'i l est impossible que deux tbnctions rd-

guli4res distiuctes soieut dgales pour toutes les valeurs eati~res de x ; la

d~termiuatiot~ de f ( x ) connaissaut les hombres y , - - f ( n ) est co que nous

appellerons l ' i n t e~po la t ion rdgulib~'e de cette suite de hombres.

II ~l'est gu4re douteux que toute suite qui n 'es t pas r4guli(~re oscille

iuddfilliment entre deux suites rdguli~res bieu ddtermindes, ou, ce qui revieut

au meme, entre les fonctions correspoudantes.

Par uae extensi'on naturelle de la notion d 'opdration rdguli~re, on peut

admettre que toute formule permettant de d4fiJlir une suite, si elle n' introduit

aucuae cause d ' irrdgularitd, ne peut ddfinir qu 'une suite rdguli~re. I1 dolt

eu 5ire aiusi notamment dans te cas d' uue relation de rdcurrence de la tbrme

(3) y , =-: ¢~(n, y,,_~)

si la fonction q~(x, y) est rdguli~re. On obtient alors uue suite rdguli~re dent

l ' interpolation rdguli~re ddfiuit uue fonction bien ddterminde fix). Il est im-

portant d 'observer qu% bien que cette interpolatiol~ puisse etre ddfiuie indd-

pendamment de la relat ion de rdcurrence (3), l~ fonctio~l obtenue vdrifie sfire-

ment cette relatio~ dteadue au c-as des valeurs non enti~res de x , e'est-~t-dire que l 'on a

f (x ) = ~[x, f ( x - - 1)1.

276 P. L~vv: Fonctions ~ croissancv rdguli~re et irritation d'ordre fractionnaire

Les deux membres soJ~t en effet des fonctions r(~guli~res, dgales pour toutes

les valeurs enti6res de x ; ils sont donc ~gaux.

Ce principe a de nombreuses applications. Il suffit de mentionner le pro-

blame de l ' interpolation r4guli6re des sommes suceessives d 'une s4rie, et

l '~tude de la fbnctiou eul~rienne qu'on peut d4duire d' une telle interpolation.

Nous l 'appliquerons au cas o~ l 'on donne un~ fonction r4guli4re /(x), mono-

tone et sup4rieure h x ; la suite des nombre it(~r(~s

(4) xo, x~ - - f(xo),..., x , - - f ( x , , _ , ) : f,(Xo),...,

est une suite r4guli~re de hombres ind6finiment croissants; l ' interpolation

r(~guli~re de cette suite permet de d6finir une fonction r4guti~re f~(xo) d 'une

variable :¢, et, bien que cette lbnction puisse ~tre obtenue sans tenir compte

des relations de r4currence (4), elle v(~rifie sfirement la relation

(5) = f[f (Xo)]

qui g6n6ralise les relations (4).

II faut d' ailleurs observer que le raisonnement qui pr4c~de n' est utile que

pout" 6tablir, au point de vue id6aliste, l 'existence de la fonction it6r6e r6gu-

li6re f~(xo). Les d6terminations effectives de cette fonction reposeront au con-

traire sur la relation de r6eurrence (5) et sur une 6rude asymptotique qui per-

met t ra de distinguer des autres la solution r6guli6re de cette 6quation.

CHAPITRE II .

L' i t e r a t i o n r~gul i~re .

7. Pour l' ~tud~ de 1' it6ration~ nous supposerons esseutiellement la fonction

f ( x ) (~tudi(~e continue, monotone, et croissant ind4finiment avec x, et de plus

soit constamment supO'ieure, soit constamment inf4rieure ~t x ; l' uu de ces cas

se ramenaut ~ l' autre par les relations entre les fbnctions i~verses, nous suppo-

serous pour fixer les id4es f ( x ) ~ x . Done, en d6finitive, pour x sup~rieur

~t une certaine valeur a~ la fonction f ( x ) est continue, croissante, et sup6-

rieure ~t x. Le probl~me de l'it(~ration consiste duns ta recherche d 'une fonction

f~(x) v~rifiatlt l '6quation fonctionnelle

(6) f~+~(x) : f~[f~(x)],

et se r4duisaut ~t f ( x ) pour a - - - l ; il en r~sulte 4videmment que pour 0¢

P. L~vY: Fonctiorts & croissance rdgul@,'e et irritation d' ordre fractionnaire 277

entier, f~(x) se r6duit aux it6r6es d 'o rdres entiers bien d6finies par Ia formule

de r~eurrenee

f ,+ i ( x ) --- f[f,,(x)].

Rous imposerons de plus g la foliation f~(x) d'etre continue et croissante aussi

bien par rapport g x que par rapport g ~. Eufiu nous supposerons toujours

x :> a e t a . > 0 (le cas ot't a est n4gatif se traitant ensuite sans difficultY,

puisque f~ et f_~ sent des fonctions inverses l ' tme de l 'autre).

On pent se placer g deux points de rue diff6rents selon qu 'on eonsid6re

ou non a comme une variable. Malgr4 la plus grande port4e de la premi4re

m~thode, dent le principe a d~.j/~ 5t4 indiqu5 g la fin du Chapitre I, nous pr~-

senterons d ' abord quelques remarques relat ives au cas oh l 'on ne consid~re

pus ~ comme une variable, et off 1' on dSduit f~(x) des d4terminations suc- 1 1 1

cess ives des it~r~es d 'o rd res 2' 4 ' 8 ' " " etc.

1 8. L'i t~r6e d' ordre 2 ' f~_(x)--g(x) , doit 6tre solution d,e l'(~quation fonc-

tionnelle

(7) g[g(x)] - - f ( x ) ,

qui est un cas particulier de l' 4quation (6). Montrons d' abord qu ' i l existe une

infiuit4 de solutions de cette ~quation.

Choisissons une va leur xo de x, et pour Yo - - g(xo) une valeur quelconque

entre x(, et x t - - ' f (xo) . Nous pouvons prendre pour g(x), duns l ' in terval le

(Xo, Y0) une fonction continue, croissant% prenant aux extr6mit4s de cet inter-

valle les valeurs Yo -~- g(xo) et x i ~ g(Yo), et g cela pros quelconque. Si y - - g(x), la relation (7) donne g ( y ) - - - f ( x ) , et cette relation d6termine success ivement g(x) duns les intervalles (Yo, x~), (x~, y~), (y~, x~),...; on a ainsi une fonction toujours

continue et croissante, solution de l' (~quation (7). On voit qu' on pent la choisir

arbi t ra i rement duns une demi-p4riode, en appelant p4riode l ' in terval le qui

s~pare x et f ( x ) , ou encore f~(x) et f~+1(x), c'est-g-dire l ' in tervaUe pendant lequel l ' indice d ' i t4rat ion augmente d 'une unit4.

Consid4rons deux solutions distinctes g ~ ( x ) e t g ~ ( x ) d e l '4quat lon (7): il

est impossible que l' une d' elles soit constamment sup6rieure g l ' au t re ; si en effet on avai t g ~ ( x ) ~ g2(x), on aurai t

g~[g~(x)] ~ g2[g~(x)],

ce qui est impossible, les deux membres devant {}tre 6gaux h f (x) ; d 'une

zL~nali di MatetJ~atica, Seri~ IV , "Jeomo V. 36

278 13. L~vy: Eonctions dt croissance rdguli~re et irritation d'ordre fractionnaire

mani6re plus prdcise, si pour x ~ - x o

Yo - - g~(Xo) > z° = g~(Xo),

dans l' intervalle (zo, Yo) on a

g,(x) ~ g~(Yo)= f(xo) = g~(zo) < g~(x),

et pour x~ - - f ( xo ) , g~(x) est de nouveau supdrieur ~ f(x). Le signe de la diff6rence g4(x)--g.~(x) change donc au moins deux lois pat' pdriode et se

reproduit pdriodiquemet~t. Il rdsulte de ces remarques qu ' i l y a au plus une

ddtermination rdguli6re de g(x). La condition ndcessaire et suffisante pour 1' existence de cette itdrde r6gu-

1 li6re d' ordre ~ est d 'a i l leurs que la fonction domlde f (x ) soit elle-m6me

rdguli6re. La ndcessit6 de cette condition est 6vidente, d' apr6s la tbrmule (7),

une fonction rdguli6re de fonction r6guli6re 6tant elle-m6me rdguli6re. La rdciproque est plus ddlicate, et je n 'a i pas pu en obtenir de ddmonstration

rigoureuse. Observons seulement que la formule (7) ddfinit une conpure dans

1 'ensemble des fonctions r6guli6res, les fonctions ¢~(x) telles que ~[¢p(x)] croit

plus r i te que f (x) 6tant au-dessus de la conpure et celles dont l ' i tdrde crolt

moins r i te 6tant au-dessous; c ' e s t de l '6tude des coupures dans les 6chelles

de croissance, dont on t rouvera tes 616ments darts mon mdmoire d6j/t cit6,

que l' on peut espdrer ddduire une ddmonstration de l 'exis tence de la fonction

g(x), inddpendante de l '6tude de f~(x) considdrde come fonction de ~¢.

1 Apr6s avoir ddfini l ' i tdrde d 'o rdre ~ , on ddfinit successivement de la

1 1 mOme mani6re les itdrdes d 'o rdres ~, -8' et ainsi de suite; on introduit ainsi

de nouvetles fonctions choisies arbi t ra i rement dans un quart~ puis un huiti6me

de pdriode, et ainsi de suite. Tout compte fait, ta ddtermination compldte de

fa(x) ddpend d ' une fonction choisie arbi t rar iement dans une pdriode; mais

il n ' y a qu 'une fonction f~(x) qui soit rdguli6re par rapport ~ x.

9. Plagons-nous maintenant au second point de vue~ qui consiste /~ consi-

ddrer a comme variable. Ddsignant par x0 une valeur particuliOre de x, nous

poserons x - - f ~ ( x o)-- ~0(a); la formule (6) prend alors la forme

(8) ~o(~ + ~) = f~(x),

et nous montre que la connaissance de ¢?(a) ddtermine compl4tement f~(x,).

P. LEvY: Fonctions & croissance rdguli~re et itdration d'ordre fractionnaire 279

Si d 'a i l lem's on ne connal t pas f(x), on peut p rendre pour ¢p(0¢), de z6ro tt

l ' infiui, u' importe quelle fonction continue, monotone, et ind0finiment c ro issante ;

la formule (8), off x ~- ¢~(:¢), d~finit alors une fonction f~(x) solution de r 0quation

follctiounelle (6), et qui est l ' i tO'0e de la fonction f (x) obtenue en faisant

----- 1. Si au cont ra i re cet te fonction f(x) est donn0e, la fonctiou ¢p(a) ne peu t

5tre choisie a rb i t r a i r emen t que de 0 ~t l, ]es va leurs extrO~mes x o ~ ¢~ (0) et

x i ~ ~ (l) deva, l t ~tre li0es par ,la relat ion x ~ " - f(Xo). Les valeurs de ¢~(0~)

pour :¢ ~ 1 r0sul tent alol's de la formule

(9) ¢~(~ + ~) = f,,[~(~)I,

off n est uu en~ier positif quelconque. L' i t0ration d' une fonc~ion f(x) doml0e ne

d0pelld douc bieu que d' uue fbnctiou choisie a rb i t r a i r emen t darts uue p0riode.

Nous d0siguerous p:~,r :¢--~),~(y), et appel lerons indice d ' i t d ra t io~ ou

loga~'ith~e d'ild~'alion de y par rappor t ~ x , le hombre a tel que y - - fa(x);

si y ~ x ;> % c ' e s t uu hombre positif bie~ d0termi~0. Les logar i thmes d ' i t0-

rat ion de x et y par rappor t & xo seront d0sigl~0s par ;L(X) et ),(y)~ sans ind i t e

inf0r ieur ; ),(x) est la fonction inverse de ~(a), et de memo a --- ).a,(Y) et y ~- f~(x) sont des fonetio~s inverses t'm~e de l ' au t re , x 0taut cons tan t et l ' i nvers ion

por tan t sur 0¢ et y. Avec ces notations, l' 0quatiou fonctiommlle (6)prend la forme.

(10) ~ ( y ) - ) , ( y ) - ~.(x),

et nous voyons d' une maniOre plus claire encore que le problOme de l' i t0rat ion

se ram0ne ~t la d0termim~tion de |a seule foilction ),(x), inverse de la fonctiou

~(a~; f ( x ) ~ t a n t donn0, ;L(x) doit croi t re d ' u u e maniOre cont inue de ~(Xo)==O , ) , (x~)- -1 , e t e s t ~t cela pros quelconque de xo h x~; pour x ~ x i , cet te

fonction est bien d0terminOe par la formule

(I 1) ~,[f,,(x)] --- ~ + ),(x),

qui Oquivaut ~t la formule (9).

Comparons deux d0terminat ions diff0rentes de la fonction it0rOe~ dOduites

de deux dOterminations ~(a) et ~b(a) de fa(x0); pour les valeurs enti~res n de a,

ces deux fonctions sont 0gates ~ x,-----f,,(xo) , et par suite 0gales ent re el les;

t' une de ces fouctio~s au plus peut done ~tre r0guli~re. Leut ' i r r0gular i t0

re la t ive est d ' a i l l eurs mieux raise en 0vide~me quand on compare les fonctions

inverses ;L(x) et l~(x); elles a u g m e n t e n t s imultanOment d' une unit0 quand on

passe de x £ f (x ) ; il en r~sulte que la difference ) ~ - - ~ est une fbnction

d), pOriodique aussi bien de ;L que de I~; le rappor t ~-~ varie aussi p0r iod iquement :

280 1 ). L]~VY: Fonctions ~ croissance rdguli~re et irritation d'ordre fractionnaire

si de x 0 h x i oll a pr is pour ~.(x) et ~(x) des fonctio,ls dont tes d6r iv6es ont

une l imi te ilff(~rieure posi t ive e t une t imite sup6r i eu re fiuie, on est douc

d). assur~ que ~-~ est~ de x o ~t l ' infini, borll4 i u f6 r i eu remen t et sup6r i eu remen t .

Si x e t y c ro i s sen t ind4finimeut , la pa r t i e en t i6re de ).(y) - - ~(x) 6taltt bien

e n t e n d u ind~pel~dante du cho ix de la fonct ion it~r6% la pa t t i e f l 'aet iommire de

ce t te di f f4rence a aussi son o rd re de g r a n d e u r ind6peudan t de ce choix.

I1 ex is te donc au plus une i t4r4e r4guli~re, d4finie p a r u~e fonct ion r~gu-

l i4re ~(a). Obse rvons d' a i l leurs que si la fonct ion ~(~) est r6guli~re, la fonct ion

f~(x) est r6gul i6re aussi biell pa r r a p p o r t h x que par r a p p o r t h ~ ou pa r

r a p p o r t k l ' e n s e m b l e des d e u x v a r i a b l e s ; ce la r~sulte i m m ~ d i a t e m e n t de la

fo rmule (8)~ qui peu t s' 6c r i re

(12) f~(x) - - ¢ ~ [ ~ + ~.(xj],

ta fonct ion ~ - - ) ~ ( x ) ~tant r4gul i~re en m~me temps que ]a fo~mtion i~verse

~(a). Dour , sans a d m e t h ' e r ien d ' a u t r e q~re h~ c o n se rv a t i o n de la r6gular i t6

pa r uue par t i e des opSrat ions r~guli~res ~14mentaires indiquSes au n. ° 4~ uous

sommes assures que la r4gub~rit~ de ¢~(~z) en t ra ine cel le de f~(x) aussi bien

pa r r a p p o r t ~ a que p a r r a p p o r t ~ x , et ce l te de ibac t ions telles que fx(x)(~). Nous sommes a r r iv6s ainsi /~ un r~sul ta t plus comple t q u ' a u n. ° pr6c4dent ,

off. nous ne savions pas que l ' i t(h'~e r(~guli~re en x 6tait aussi r~guli~re en a

II es t d ' a i l l eu r s toujours bien e n t e u d u que la condi t ion n~cessa i re et suf-

f isante pou r l' ex i s t ence de ce t te it~r~e r~guli~re eat la r6gular i t4 de la fonct ion

f(x). Elle est n4cessai re , la rSgular i t6 de f~(x) impl iquan t cel le de f~(x) - - fLx) ; elle est suffisante, la fonct ion ~(a) rSsul tant c o m m e nous l ' a v o n s dit au n. ° 6

de t ' i n t e rpo l a t i on r~gul i4re de la sui te des x , "--f,(xo), et ta fonction f~(x), que l ' on en d~duit pa r la fo rmule (8) ou la fo rmule 4qu iva len te (12), ~tant

r(~guli~re.

I1 faut toutefbis o b s e r v e r que ce t te r4ciproque~ c o m m e pa r la m4 thode

du n. ° 8, r epose sur des cons idera t ions non r i g o u r e u s e s ; m~me si l ' o n a d m e t

la compat ib i l i td des condi t ions du n. ° 4 impos4e ~ la d4finition de la~r~gularit~,

(i) Si f(x) est une fonction rapidement croissante, retie fonction fx(x) est une fonction r~guli~re croissant plus rapidement que tous les f,~(x). Ce point est important~ la fonction

f , (x) . 5(x) f~Jx) r, iJ) ~ ~ + "'" + ~ i + " '"

donnde par P. Du BoIs REYZ~OND et IV[. E. BORBL comme exemple de ~onction croissant plus rapidement que tousles fn(x) n' grant dvidemment pas rdguli~re.

P. L~vY : tPonctions ~, croissance rdgut@re et itdratgon d'ordre fractionnaire 281

le r6sul ta t 6nonc6 a u n . ° C conce rnan t la possibilit6 de r6aliser l ' in terpola-

tion r6guli6re des suites r6guli4res, en par t ieu l ie r de la suite des nombres

x , - - - f , ( x o ) , n ' e s t q u ' u n r6sui ta t probable pour des raisons in tu i t ives ; on

p e u t l e cons id6rer comme une quat r i6me condit ion impos6e ~t la d6finition de

la r6gub~rit6, et dont 1' exac t i tude sera h v6rifier lorsque 1' on proposera une

d6finition pr6cise.

10. Des consid6rat ions iddalistes 6tablissant l ' ex i s t ence d ' u n e itdrde rdgu-

li6re, meme si elles 6taient r igoureuses , ne peuven t dispenser d ' i nd ique r des

formules qui p e r m e t t e n t de ddfinir e f lec t ivement cet te fonction. Nous allons

indiquer ces formules, obtenues eu uti l isant d ' u n e par t la f 'elation fonction-

helle fondamenta le , d ' a u t r e par t une expression asympto t ique des fonctions

considdrdes, pe rme t t an t de d is t inguer des aut res fonctions considdrdes celle

qui est rdguli6re "~ l ' inf ini ; ces formules s ' app l ique ron t d ' a i l l eurs non seule-

men t aux fonctions pa r fa i t emen t rdguli6res, mats ~t celtes qui ne seront pus

trop irrdguli6res. II y au ra plusieurs cas ~ d is t inguel , su ivant la rapidit6 de

la croissance de f ( x ) . Dans t o u s l e s cas, nous prendrons la re la t ion ibnction-

helle de l ' i td ra t ion sous la tbrme

(13) a ~ )~(y) -- ).(x) - - ).(y.) - - ;((x,),

off x , , - f , ( x ) , y,~ " - - f , (y ) . Il s ' ag i t de ddfinir a, et comme x , et y,~ augmen-

tent inddfiniment avec n. on peut y a r r i ve r par des formules asympto t iques (~).

Supposons d ' a b o r d f ( x ) de la forme

(14) f ( x ) ---- x + ~(x) ,

co(x) 6tant une fonction positive, dont la ddrivde ~)'(x) tende vers z6ro. On

r e m a r q u e que

co(x,) - - a)(x) + (x~ - - x)co'(~) - - to(x)( 1 + e),

6tant compris entre x et x~, de sorte que ~ = o)'(~) tend vers zdro pour x infini. Pa r suite

f~(x) - - x = o)(x) + to~x~) ~ 2o~(x).

De m~me f ~ ( x ) - - x a pour va leur pr incipale pro(x), ce qui condui t ~ penser

que, pour l ' i td rde rdguli6re, on au ra

(15) f ~ ( x ) - x ~ a[f(x) - - x] .

(5) I1 est ~ peine ut i le de rappe ler que r or igine de ces formules se t rouve dans un mdmolre de /eL KOENIGS (Ann. ~c. :Norm. Sup., 1884).

282 1 :). LEVY: Fonctions ~ croissance rdguli~re et irritation d'ordre fractionnaire

I I e u est ndcessa i rement ainsi pour route i tdrde assez rdguli~re pour que sa

ddrivde pa r r appor t ~t x tende pour x infini vers une limite, qui ne peut

manifestemeJ~t 6tre que t' unit6; car on peut darts ce cas appl iquer h f~(x) le

rdsul ta t 6tabli pout" f (x ) ; si alors a - p la va leur principate de f ~ ( x ) - x - - ~ ,

dolt ~tre 6g~le, d' une par t ~ p[f(x) - - x ] , d 'autre par t h q[f~(x) -- x]. En c o m p a r a n t tes formules (13) et (15), il vient

(16) a ~ ).(y) -- ~.(x) ----- lira y . - - x , , ,

formule qui d(!finit pa r f a i t emen t :¢ eu fonction de x et y, et par suite y - - f~(x

en fonction de ~ et x .

Or il est facile de mou t r e r que cet te formule converge e f fec t ivement routes

les fois que ¢o'(x) tend vers z(~ro d' une mani~re monotone, ou mOne est ~t

v~riation bornde de x o ~ l ' infiai . Ddsignant en effet par ~,~ le rappor t dont oll

c h e r c h e la limit% on obt ient par un calcu[ facile

off ~,, et ~,,' so,it compris ent re x,~ et x,,+~. Au second membre , le p remier

fac teur est compris ent re 0 et 1 si (ce q u ' o n peut supposer) y est eor~pris

ent re x et x~; le second tend vers l'm~itd, et le troisi~me est le te rme d 'une

s(~rie abso lumen t convergen te . La conve rgence de la. sdrie ~ (a ,+~ a,,), c 'est-

~-dire l ' ex i s teuce de la l imite de :¢,, en rdsulte. :Nous ~vons doac dtabli d 'une

mani4re r igoureuse, sous la seuie col~ditio~ que ~o'(x) tende vers zdro et soit

var ia t ion bor~(~e, l ' e x i s t e n c e d ' u n e fo~mtion it(h~de verif iant ta relat ion

asympto t ique (15); s'i'l s ' a g i t de fonctions pa r fa i t emen t rdguli~res, il est c lair

que c'es~ l ' i td rde ainsi ddfinie qui est r(~guli4re. Pour route au t re ddtermi-

nat ion de fa(x), ~t cause de ce qui a dtd dit sur le ca rae t~re pdriodique de la

var ia t ion re la t ive de deux d(~termi~mtious diffdrentes, il faudra i t au second

membre de ia re la t ion (15) r emp tace r :¢ par ~¢ -~- P[).(x)], P dds iguant une foac-

tion pdriodique, et l ' on obt iendra i t une fonetiou mau i fe s t emen t irrdguti~re.

Co~s iddrons m a i n t e ~ u t le cas de fouctions f(x), toujours supdr ieures ~ x , et de la forme x~(x) , la fonction ~2(x) ne te~da~t pas ndcessa i rement vers

1' unit~, pouva~t m~me deven i r infinie, m~is moths r ap idemen t que n ' i m p o r t e

quel ie puissance de x . On est alors r ame~d au (:as prdc~dent e~ consid~rant

l o g f ( x ) c o m m e fonction de log x tun meme c imngemen t de var iable effectud

sur la w~xiable et la ,fbnction ne c h a n g e a n t pas l 'dquat ion fonctionnelle de

P. LEV:¢ : Fonctions ~ croissaq~ce rdg~di~re et irritation d'ordre fractionnaire 283

l 'it6ration). Douc, sous la condition que la fonction ~(x) soit assez r4guli+re

x~2'(x) tende vers z6ro et soit ~ variation born6e, on obtient une pour que Q(x)

it6r6e, bien d4terminSe par la condition que fa(x) soit de la forme x ~ - ~ ( x ) , e tenda~t vers z4ro pour x infini; c 'es t celle-l'it qui est r6guli6re si la fonc-

tion f (x) est r4guli4re, et pout' toute autre it6r4e il faudrait remplacer

:¢ 4. ~ par ~ 4- P[k(x)] 4- e, la /bnction P 6rant p6riodique.

Le cas de foactions ~t ccoissauce u~ peu plus rapide, croissant par exemple

comme tree puissance de x, se tr~ite de m~me par une deuxi6me application

du m~me chal~geme~t de variable. Mais la port4e de cette m6thode est limit6e;

pour traiter par un chal~gement simultan4 de variable et de fonction le cas

off f (x) cro~t comme e x, p~r exemple, il faudrait commItre une fonction r6gu-

li6re croissm~t plus lenteme~lt que toutes les it6r6es de log x, et l 'ou ne

petit pr6cis6ment y ~rriver que par l'it6ration r6guli~re de e x (ou de la fonction

inverse log x).

I I . II faut donc introduire des considch'ations d' un autre ordre. Nous allons

d 'abord mol~trer que, quelque rapide que soit la croiss~,nce des fonctions

consid6r4es (que nous supposerons toujours continues, ct'oissantes, et sup5-

rieures /~. x , pour x ) a ) , on peut les rSunir en groupes tels qu 'h chaque

it4r6e f~(x) d' une fonction f (x) d' un groupe, on peut, par une formule asymp-

totique analogue ~ la formu[e ~16), faire correspondre une it4r6e g~(x) de

n ' importe quelle fonctiou du m~me groupe: si d 'a i l leurs les fonctions f(x) et

g(x) sont r6guli6res, /~ l ' i t6r4e r6guli6re f~(x) correspondra ainsi l 'it4r4e r4gu- li6re g~(x).

:Nous dirons que les fonctious d 'un mSme groupe sont dquivalenles au point de rue de l ' i tdrat ion.

:Nous d4signerons par ;~(x) et ~t(x) les logarithmes d ' i t6rat ion correspon-

daut respect ivement aux fonctions f (x ) et g(x), c'est-/~-dire que les formules

(17)

peuvent s' 6crire

(18) ~¢ ~ ~(y) - - ),(x),

:Nous poserons en outre

(19)

y - - f~(x) ~--- g~ (x)

: ~ ( y ) - ~(x).

t 0 ( x ) - - - - - - - - - - t ,

de sorte que g ( x ) " - f l ~ ~,(~(x).

284 P. I~EVY: Fonctions & croissance rdguliOre et irritation d'ordre fractionnaire

Ceci pos6, la condit ion essentiel le pour que les fonctions f (x) et g(x) soient 6quiva len tes au point de vue de l ' i t6ra t ion est qua to(x) t e n d e v e r s

z6ro pour x infini, c 'est-g-dire qua g(x) soit de la forme f~+~(x), s 6rant infini-

men t petit. Supposant de plus qua to(x) soit g var ia t ion born6e daus uu inter-

valle (~, c~), nous altons mo n t r e r qua, f~,(x) 6taut connu, on peut -d6terminer

la fonction i ter6e g~(x) par la condi t ion qu' ella soit de la forme f~+~(x), s 6rant

inf iniment pet i t ; en d ' a u t r e s t e rmes la diff6rence ~ a des deux nombres ~ et

definis p a r 1as formulas (17) et (18) dolt tendre vers z6ro pour x infini et

cons t an t ; car te conve rgence sara mSme uuiforme pat' rappor t h ~, pourvu

qua 0 . < ~ 1, c 'est .g-dire qua x < y ~ g ( x ) ; si donc x et y a u g m e n t e n t

ind6fiuiment eu sat isfa isant ~t cet~e double iu6galit6~ ~ - ~ t endra vers z6ro.

Inve r semen t , cet te condi t ion d6 te rmine ra fa(x) si g~(x) est comm.

Observons d ' a b o r d que cet te condit ion condui t a is6ment g des formules

p e r m e t t a n t de d6duire l ' u n e de l ' a u t r e les fonctions X(x) et l~(x). I1 suffit de

r emp lace r x et y dans les formulas (18), d' une par t par x u ~ f~,(x) et y , - - f , (y), d 'au t re p a r t par Xn---g, , (x) et Y,, ---- gn(Y). Dans le p remier cas; a e s t ind6-

pendan t de n, et ~ prend une va leu r ~,~ qui tend vers a pour n infiui; dans

le second, l ' i n v e r s e a lieu, ~ 6taut ind6pendant de n et ~¢ p renan t une va leur

a,, qui tend vers ~t. On a ainsi les formulas cherch6es

t s - - ~.(y) - - )~(x) --" lira [~t(y,) - - ~(x,,)],

(20) t ~ - I~(Y) - - l ~ ( X ) - - lira [ X ( Y , , ) - - X(X, , ) ] .

Montrons main tenan t , en supposant pour fixer les id6es que l'ou eouuaisse ~,(x)

et que x < y ~ g ( x ) , que la seeonde de ees formules converge bien, et d6finit

une fonction ~ - - p ~ ( y ) - l~(X) a y a u t bien les propri6t6s iudiqu6es. On a en effet

~ n + , -- ~. : )'[g( Y,,)] - - ) ' ( Y . ) - - ) . [ g (X , , ) ] -Jr ~ . ( X . )

= to(Y,,) - - to(x,,)

et x < y ~ X , < Y, < .... < x , ~ < Y , , ~ x ~ + , < ....

I1 en r6sulte qua la s6rie de t e rme g6n6ral ~,,+, -- :% est abso lument conver-

genre, et que sa somme ~i - - a (puisque :~ : no, ~------- lira ~ ) est au plus 6gale

en va leur absolue a la var ia t ion totale de to(x) entre x et l ' infini . Comma de

plus ~ crolt avec y depuis 0 pout" y - - - x j u s q u ' g 1 pour y : g ( x ) , on a bien

une fonetion susceptible d ' e t r e prise pour logar i thme d ' i t6 ra t ion et de d6finir

une fonction it6r6e g~(x), et telle qua ~ - - ~ tende un i form6ment vers zero

quand x a u g m e n t e ind6fiuiment.

P. L ~ v ¥ : Fonctions d croissance rdguli~re et itdration d' ordre fractionnaire 285

12. Nous

born4~; cet te

d' tree it~r4e

subsiste pour

formules (20)

g(x), qui est

avons suppos6 que co(x) tende vers z6ro et soit ~ var ia t ion

hypoth4se fidt, du moins h p remie re rue , i n t e rven i r le choix

part ieul i6re f~(x). :Nous allons mon t re r que le r6sul ta t obtenu

les aut res foactions it6r6e F~(x) de f(x), c'est-h-dire que par les

toute it6r6e F~(x)de f (x ) correspond une it6r6e G~(x) de

de la fob'me F~_~(x). Nous verrons eusuite que les hypo theses

memes faites sur co(x) sout ell part ie ind~pendantes du choix de l'it(~r~e par-

t iculi~re f:,(x). ~ o u s savons que, si l 'on pose

y = f~(x) - - F~,(x)

la re la t ion ainsi (~tablie entre a et ~' (pour x fixe et y variable) est telle que

ce deux var iables croissent d ' u n e mani~re cont inue avec y, la diffe~rence

a - a - - P ( a ) ne c h a n g e a a t pas quand a a u g m e n t e d ' u n e unit4. Posons de

m6me ~ ' = ~-+- P(~), et dSfinissous une fonctiou it4r4e G~,(x) de g(x) par la re la t ion

g~(x) - - G~,(x).

En ~galant ces express ions aux pr6c6dentes, c'est-h-dire en posant

y = f~(x) = g~(x) = F~4x) --- G~,(x),

nous savons que la re la t ion ainsi 4tablie ent re ~ et ~, pour x ~ y ~ g ( x ) , est telle que ~ ~ a tend vers z~ro; alors ~ ' - - a ' tend aussi vers z4ro, c'est-~-

dire que les fbnctions F~,(x) et G~,(x) entre elles la mSme relat ion asympto t ique

que f~(x) et g~(x), e. q. f. d. Si d ' a i l l eurs f ( x ) e t g(x) sont des fonctions r6guli~res, et si f~(x) est l'it6r(~e

r~guli~re de f(x), ta re la t ion ~' = ¢¢'-~- d = ~ --t- P(¢¢) + ~', [~' t endan t vers z~ro

et P ( ~ ) 4 t a n t p4riodique] nous montre que :¢ et ~' ne peuven t pas e t re des

ibnctions r6guli4res d' une meme var iable y ; la fonetion y = f~(x) (~tant r~gu-

li4re, la fonction y- - - G~,(x) ne saura i t e tre une fonction r(~guli~re de ~t. L ' i t6r4e

r4guli~re de g(x) ne peut donc ~tre que la fonction g~(x)d~duite de f~(x) par la seconde formule (20).

R e v e n a n t m a i n t e n a n t aux hypo theses fai tes sur o)(x), il est facile de voir

que le fait que cet te fonction tende vers z4ro est iud4pendant du choix de la

folmtion it~r(~e f~(x); eu effet co(x)est de la forme ~.(z)--~.(y), et nous avons

vu au n. ° 9 que quaud o~ passai t d ' u n e d(~termination de l~ ~bnction it~r~e t~ une autre , tree express ion de cet te na ture se t rouve multipli~e par un f~cteur l imitd in f6r ieurement et sup6r ieurement .

l ~ a a l i dl M a t e ~ t i e a , S e r i e I V . T~mo V. 87

286 :P. L]~vv : Fonctions ~ croissance rdguli6re et itdration d'ordre fractionnaire

On peut d 'a i l leurs donner a la condition que s-----:-to(x) tende vers z6ro une

forme ne faisant pas intervenir f~(x). II est commode ~ cet effet d ' introduire les fouctions ~o(x) et ~(x) d6finies par

(22) et d ' o b s e r v e r que

(23)

g(x) -~-- ~[f(x)] - - f[~(x)],

~(x,) = f~(x,), +(x) = f~(x),

el~ posant x I - - f(x), e~ ~ --: to(x). Consid6rons alors deux hombres x et y e t la

suite des hombres it6r6s xn ' - - f n ( x ) , y~-~-fa(Y). On n 'a pas besoin dr) con- na~tre a - - - ) . ( y ) - ).(x) pour savoir que ce hombre est t r6spe t i t si y est voisin

de x, et ne change pas quand on remplace x et y par x,~ et y~; dire que

to(x) devient inf6rieur ~t n' importe quel hombre positif a, si petit soit-il,

rev ient doric b~ dire que ~(xn) est inf6rieur, pour n assez gralld, /t ~p(y~), x

6taut quelconque et y - - x 6tant positif et arbi t ra i rement petit:; le mOne r6-

sultat s 'appl ique en rempla(~ant ¢~(x) par ~(x).

A conditiou d ' exc lu re les fonctions assez irr6guti6res pour que t0(x) soit

tant5t tr6s petit et tant6t fini, cette fonction, ou bien tendra vers z6ro, ou

bien res tera sup6rieure ~ un hombre fixe, et l 'on peut encore tr6s simple-

ment caract6r iser le premier cas par la condition qne la fonction ¢~(x) air

toutes ses it6r6es croissant moins rapidement que f (x ) ; [au lieu de ~ x ) on peut

consid6rer ~b(x)]; cela r6sulte imm6diatement des expressions (23) de ces

foncLions.

Supposons en particulier que ia fonction f (x ) soit assez rapidement crois-

f (x ) sante pour que augmente ind6finiment; elle crolt alors plus vite que x

toutes les it6r6es de ax-4-b , l'it6r6e d' ordre n de cette fonction 6tant 6qui-

valente ~ a " x ; on peut donc, du moins si la fonction f (x ) n 'est p~s trop

irr6guli6re~ prendre pour ~(x) ou pour ~b(x)une fonction lin6aire; les fonctions

obtenues g ( x ) - - a f ( x ) + b et f ( a x 4-b) seront 6quivalentes tk f (x ) au poi,lt de r u e de l ' i t6rat ion; on peut naturel lement combiner ces deux remarques et faire tk la lois un changement de variable lin6aire sur x et un autre sur la

fonction. Si a - - t , et que le changement de variable ne consiste que dans

l 'addit ion d' une constante, il suffit m~me que f ( x ) - x augmente ind6finiment.

:Nous insisterons moins sur la seconde condition impos6e ~t to(x) d 'etre

variation born6e; elle est sfirement v6rifi6e si les fonctions f(x), f~(x), et g(x) sont r6guli6res, car alors to(x) est monotone. Disons seulement que si to(x)tend

assez rapidement vers z6ro, cette condition reste v6rifi6e quand on remplaco

P. L~vY: Fonctions ~ croi.ssance rdgul~re et itdration d'ordre fractionnaire 287

f~(x) pa r une au t r e fonct ion it(~r(~e F~(x) ; il n ' ea est pas de mC~me si to(x)

tend l e n t e m e n t vers z4ro.

13. L e fait que x et f (x ) d e v i e n n e u t iufinis en mf~me temps, e t que

pat" suite x~ ~ fn(x) a u g m e n t e ind6f in imeut a v e c n, a jou6 uu r61e essent ie l

d~ms les cons idSra t ious que nous veuons d ' e x p o s e r . Supposons m a i n t e n a n t que

l ' on air /'(a)---= a, la fonct iou / (x ) 4tant toujours cont inue, croissante , et sup4-

r i eu re h, x, pou r x :> c~. Alors, tandis que les x , , d ' i n d i c e s positifs tr~s g rands

a u g m e n t e n t iud~fi~fiment, c e u x d ' i n d i e e s n~gatifs tr(~s g ra~ds t enden t vers a~

et l ' on peu t se p ropose r de d ~ t e r m i n e r uue it6r~e p a r des coudi t ions de r6gu-

larit(~ a s y m p t o t i q u e en ce potent, ana logues a u x condi t ions r e l a t i ve s ~, l ' a l l u r e

de la fonct ioa ~t l'infi~fi que nons avons utilisges au n. ° 10.

Supposo~,s d ' a b o r d f ' ( ~ 0 - - l , de sor te que f ( x ) - x est d' un o rd re infiui-

t~simal supgr ieu r au p r e m i e r par r a p p o r t h l ' i n f in iment pet i t pr inc ipa l x - - a .

Ce cas est aua logue au p r e m i e r des cas 4tudi(~s au n. ° 10; il ex i s te uue

i t5r4e fa(x), biea dStermin4e pa r la condi t ion q u ' o n air, x t endan t vers a,

A ( x ) - - x - x],

et on l ' ob t i en t en ca l cu lan t le logar i t t lme d ' i t6 ra t ion pat' la fo rmule

(24) ~ --- ),(y) - - ),(x) ~ lira y,, - - x,, ,~ ~ _ ~ f ( x . ) - - x . '

ana logue A la fo rmule (16). L a c o n v e rg e l l c e de ce t te fo rmule est d ' a i l t eu r s

assur6e quand f ' (x) t end vers l ' uu i t6 d' une man i6 re monotone , ou mSme est

~t var ia t ion born6e .

Si f'(~x) est b ien d6filli /t d ro i te du point a, et a une v a l e u r h > 1, on

ob t ien t de mSme une i t6r6e bien d6filfie p a r la condi t ion que f ' ~ ( x ) - - a soit

6qu iva l en te ~ ha(x ~ a); des fo rmules 616meutaires s' app l iquen t e n c o re quaud

f (x) - a se c o m p o r t e au point a c o m m e une pu i ssance de x - - a .

14. L a ques t ion se pose m a i n t e n a u t de savo i r si l ' i t~r(ie ob tenue p a r les

fo rmnles du n. ° pr~c6dent , qui sup.posent la r~gularit(~ au vois iuage du point

x - - - a , est ident ique /~ l ' i t~ r4e r~guli~t,e h l ' iufini, que nous avons d~fillie ou

c h e r c h 4 ~ d6finir ( su ivan t !es cas), a u x n. °s 9 ~ 12. P o u r uue fonct ion quel-

eonque, on ne saur~dt e sp6re r q u ' i l en soit ainsi. Mats les cons id6ra t ions intui-

r ives d6jh utii is6es h p lus ieurs r ep r i ses condu i sen t ~ pense r que pou~' les fonc-

tio~s ~.eguliO~es, c" est la redone itdrde qui est ~'dgutiO~ e dans tout l'inte~'-

288 P. L~v~ : Fonctions ~ croissance rdguli~re et itdration d'ordre fractionnaire

valle (a, oo), et qui par suite est asymptot iquement rdquli~re aussi bien au

point x - - a qu" d l" infini. Consid6roas en effet ta suite des nombres it~r6s

..., Xo = x , x , = f ( x ) , . . . , x ~ = f ( x ) , . . . ;

nous avons vu que deux d6terminations distinctes ont l' mm par rapport ~t

r autre des variations l~6riodiques (en appelant p~riode l ' in terval le qui s~pare

les nombres xn et xn+~). Une foncti0n it~r~e qui ne serait pas r6guli4re au

point x - - a aurai t donc des oscillations p6riodiques; on pourrait coucevoir que

ces oscillations s 'a t t4nuent progressivement pour disparaltre h l ' infiui; mais la

ibnction obtenue ne serait pas parfai tement r4guli~re. Ou se souvient en effet

qu ' au d6but de cette 6rode la notion de fonction parfai tement r4guli~re a 4t,5

d~duite de cette remarque qu' une fonetion comme e ~ -t-e - x sin log x, malgr6

la petitesse et l~ lenteur de ses oscillations, n' ~tait pas parfai tement r4guti~re,

et qu' i l existait une courbe plus r4guli~re recoupant une infinit5 de fois la

courbe representat ive de cette fonction. Cette notion implique donc que l'it~r~e

r4guli~re n 'a i t meme pas des oscillations qui s '4vanouissent h l 'infini ou

au point x - - a. I1 faut donc admettre que c 'es t la meme it4r4e qui est r4guli~re

aux deux extr4mit6s de l ' intervalle (a, ~) . Ind6pendamment de ces considerations id~alistes, l ' exact i tude de ce

principe est facile h v4rifier daus des css simples. Si f ( x ) - - h x , (h.> 0), f ~ ( x ) - - h ~ x , st cette fonction est r4guli~re aussi bieu pour x nul que pour

x infini. De meme, pour f ( x ) : x ~, fonction pour laquelle il y a lieu de

distinguer les deux intervalles (0~ 1) et (1~ co), la meme ite~re~e esl; r6guli~re

aux points 0, 1, co. Un exemple un peu moins 61(~mentaire est celui de la

fonction f ( x ) ~ x ~ -- 2, ~tudi~e par M. PE~CHERLE(~). En posant

1 w--- t - t "

on a 1

f ( x ) - ' - t ~ --t-- t-~-

e t , l a fonction it~r6e cherch6e est

1 A ( x ) --- t~ + ~ , t~ = 2~),

(t) S. PINCHERLE~ L'iterazio~e completa di x ~ - - 2 . At t i della R. Accademia dei Lincei ,

vol. X X I X (1920)~ pp. 329-333.

P. L~v:~-: Fonctio~ts it croissa~ce rdguli~re et itdration d'ordre fractionnaire 289

elle est rdguli~re aussi bien au point double (~) x ~ 2, qui correspond ~t t ----- 1,

qu' / t l 'infini. La m0~me remarque s' applique ~ la fonction f ( x ) - - 4 x - l - x ~,

qui se ddduit de la prdcddente en ramenant le point double ~, l 'origine.

Admettant dolm la ldgitimitd du principe dnoncd, on observe que, quoique

dtant la consdqueuce naturelle de ceux admis jusqu' ici , il introduit quelque

chose d' assez nouveau dans la notion de fonction rdguli~re. Les deux premieres

propridtds fondameHtales (coastitutiou d 'une dchelle compl~te et monotonie

des ddrivdes), n ' impliquaient que des propri(~tds vdrifides pout" x assez grand;

deux foactions, dgales pour x supdrieur /~ une certaine valeur X, ne devaient

pas ~tre considdrdes comme distinctes, et l 'on ne savait pas laquelle dtait le

pro!orlgeme~lt naturel de la fonction ddfiuie pour les gra~ldes valeurs de ,x . Il

est clair que cette iuddtermim~tio~ ue prove~ait que de l 'insuffisance des deux

premieres propridtds ell question pour caractdriser d' uae mani~re satisfaisante

lea fonctions rdguli~res; le prolol~gement d' une courbe r~guli~re (et sans doute

analytique) ne peut pas Otre inddtermind. La troisi~me propridtd, relative aux

opdrations aualytiques dSfiuissa~t des fonctions rdguli~res, faisait bieu ddjh

dispar~dtre cette iHddtermination; mais des opdrations~ choisies parmi un

hombre fiui d'opdratiolJs, et rdpdtdes un nombre fiui de lois, lie peuvent pas

douner toutes les fouctions rdguli+res. La propridtd iJltroduite maintenant a uue

plus grande portde. Etant donn(~e une fonction (succession de valeurs de x

dont on ne salt pas le mode de ddfiaition analytique), par une opdration

effectude sur cette fonction, met tant donc en dvideuce ses propridtds'intrbls~ques

et non celles de l 'opdratiou par laquelle on l ' a 'ob tenu% nous obtenons une

vdrification possible de la rdgularitd, et nous voyons que la rdgularitd implique

uae solidaritd entre toutes les parties de la courbe reprdsentative, depuis le

point x ~ a jusqu' ~t .1' infini.

1~. NOUS sommes maintenant en mesure d 'effectuer l ' i tdrat ion rdguli6re

de n ' importe quelle fonction rdguli6re. Parmi les fonctions croissant plus rapt-

dement que w (et ~t cause de la relation entre des fonctions inverses il suffit de considdrer ces fonctions); le seul cas laiss6 de c5t6 jusqu' ici est celui des

to,rations qui, comme e ~, croissent trop rapidement pour qu 'on puisse leur

appliquer les formules du n. ° 10, et auxquelles on ne peut pas appliquer tes

mdthodes d u n . ° 13 parce que l' 6quation f ( x ) - - x n ' a pas de racine. Mats on

pourra toujou~s, et m~me d 'une ilffiuit6 de maui6res~ trouver uae fonction

(~) Nous entendons par point double les points x, y pour lesquels y = x = f ( x ) ; ces points sont les points limites de fn(x), soit pour n infini positif~ s)it pour n infini ndgatif.

290 :P. LEVy : Fonctions ~ croissance rdguli~re et itdration d'ordre fractionnaire

r~guli6re g(x), 6quivalente it f(x) au point de vue de l 'it+ration, ~ laquelle

on pourra nppliquer les proc~d~s du n. ° 13; l 'it~r~e r6guli+re g~(x) de g(x)

(~tant connue, on en d~duira celle de f(x) par la premiere formule (20) d u n . ° 11.

Pr6cisoas la mani6re dont on peut former g(x), en supposaut que f ( x ) - - w

augmente ind(~fimfimeut, c' est-~-dire en n' e x c l u a ~ que des cas o~ la formule (16)

s' applique directemeut/~ f(x). A cause de la r6gularit@ de f(x), cette hypoth~se

implique f ' ( x ) ~ 1 pour x ~ ~. Choisissant alors utm valeur t 5> ~, nous pren-

drons pour g(x) l 'expression

(25) g ( x ) = f ( x + t) - f ( t ) ,

qui repr(~sente bien une fonction co~tinu% croissant% et supO'ieure /t x pour

x positif; pour x-----0~ cette fonction est nutle et sa d~riv~e a la wdeur

h---/'(t):> 1. Dans ces conditions, d 'apr~s la remarque finaie du n. ° 13, on

d~fiuit le logarittlme d'i t~ration relatif ~ cette fonction par la formule

(26) Ix(y) -- Ix(x) ~ lira log g, , (y)- log ft,(x) n ~ - , ~ log h

qui n 'es t autt'e que la formule (24), o6. l 'on a rempla96 x, ~,, jr par log x, Ix,

logg. On obtient ensuite ~,(y)--~,(x) par la formule (20).

Cette mdthode reviewer, en termes gdomdtriques, h ramener le point t, f(I) /~ l 'or igine par uno, translation; la droite ramende sur la premi4re bissectrice

se trouve done 5tre la parall~le h cette bissectrice passant par le point eu

question. II est peut-0tre plus naturel de considdrer la tange~te en ce point,

et de la ramener sur la premiere bissectrice par des changements lindaires

convenables effectu6s sur x et y. En effectuant par exemple la m~me translation

que prdc6demment, et faisant uu changemellt d 'uni td soit sur x~ soit sur y, cela conduit ~ prendre pour g(0 i 'une des expressions

[ x ] / (x -r - t ) - - f ( l ) (27) f t + f ~ ) - - f(~), ou /,¢)

D'aitleurs, d 'apr~s le n. ° 12, les changements 1in,aires effectu(~s sur x et

sur y sont l(~gitimes si f(x_) augmente ind~finiment, c'cst-h-dire en n 'exc luant X

que des cas od l ' i t6ration r(~guli+re est d(~finie par la ibrmule (16) appliqu~e,

soit directeme~t ~ f(x), soit /t Iog f(x) consid~r(~ comme fonction de log x.

D~.tns ces conditions la r~gularit0 implique que f"(x) soit positif d~s que x

d4passe uue cevtaine valeur ~; si alors on pre~d t :> ~ et si l 'ou pre~d pour

d6finir g(x) une des expressions (27), on e~ une fonction h d~riv6e seconde

P. L~vY : Fonctions ~, croissance rdguli~re et itdration d'ordre fractionnaire ~91

positive pour x et tangente b~ l 'origine ~t la premiere bissectrice. On d~finira

alors I~(x) par la formule (24), puis ~.(x) par ta formule (20).

Nous avous bien ainsi d~fini dans t o u s l e s cas t ' i t~ratiou r4guli4re des

fotmtions r4guli6res. Ii est ~t remarqner que la r4gularit4 parfaite~ qui n 'es t

p~s n4cessaire pour l 'application des f0rmules asymptot iques d u n . ° 10, l 'es t

pour l 'applicatiou des formules du prSsent n.°~. la r~gularit4 parfaite de f ( x ) 4ta~t (~quivalente h celle de la fonctio~ g(x) d~fi,~ie par l'u~m des expressions (27).

Mais u~m fois qu'ou a d(~fi,~i l ' i t4r4e r~guli6re d 'une fonction r(~guli~re f(x), la formule (20) permet~ pou~" toutes les fonctions ~quivalentes h f (x) au point

de rue de l ' i t~ration, toP.me si elles ne sont pas parth, i tement r(~guli~res, de

d~finir l 'it~r~e asymptot iquement r(~guli~re. Le champ d'ap.plication de nos

formules asymptotiques, m~me pour les fonctions rapidement croissantes~ est

doric finaleme~t bien plus 6tendu que celui des fonctions r~guli~res.

16. Les r4sultats qui pr4c~dent comportent in possibilit(~ d 'un grand

hombre de v4rifications, ~ d~faut d 'une d~monstration g6114rale 4tablissant

la compatibilit6 des diffO'ents principes intuitifs utilis~s, et par suite l 'exis-

tence d' uu ensemble de ibnctions re~guli6res ayant toutes les propri(~t~s

indiqu4es.

I1 peut d 'abord arr iver que les proc+d(~s d u n . ° 15 s 'appl iquent ~t one

fonction f (x ) doHt on co,ma~t d~j~t l ' i t6r6e r~guliO'e par les formules 616men-

taires d u n °. 10; tel est le cas pour les fo~mtions croissaw~t comme une puissance

de x . II s' agit alors de d4montrer qu' on retrouve bien Ia m~me it6r4e r~guli~re

par ]es formules d u n . ° 15; cela revient ~t montrer que, pour la fonctiou

auxiliaire g(x) que l 'on utilise, b~ laquelle on peut appliquer ~ la fois les

formules asymptotiques d u n . ° l0 relatives aux grandes valeurs de x , ou celles

du n.? 13 relative au poiut x ~ a (a 4rant nul pour les fonctions cot~sid4r4es

au n. ° 15), ces deux formules conduisent au m(~me r4sultat. ~ous avolls d4j'£

effectu~ cette rectification dans des cas partlculiers.

Consid6rons d ' au t re part le cas off l 'on ne dispose pas d 'au t res proc4d~s

que ceux du n. ° 15~ ou du moins oh l 'on n 'uti l ise que ces proc4d4s. I[ s 'agi t

alors de montrer que le r~sui ta t est iud+pendant du choix de la fonction

auxiliaire g(x); que l 'on prenne l 'une on t 'autre des e:~pressions (25) et (27),

que l' on donne une valeur ou une aut~'e au param(~tre auxiliaire t~ que mOne

l 'on prenne des expressiol~s diff4rentes, ou dolt t rouver le mOne r~sultat.

Ai~lsi, dans le cas de la fonction f ( x ) - ~ e ~', ol~ peot prendre comme foHction

auxiliaire e ~ - 1; mais on peut aussi pre~dre comme fonction auxiliaire e x - e - x o u e l l c o r e s h o!7.

292 P. L~v~: Fonctions ~ croissance rdgut@re et it&'ation d'ordre fractionnaire

Eu principe, pour les fonetions r6guligres auxqueltes les formules 61~-

mentaires d u n . ° 10 ne s 'appl iqueut pas, nous dgfinirons l ' i tgr~e r6gu-

ligre eu premmt l ' tme des fonctions auxiliaires d(~finies par les formules (27);

les deux proc4dgs sont sfirement 4quivalents, car si g(x) a pour fonetion

it~r~e g~(x), k 9 a pour fonction itgr~e g~ ~ , et, x augmentant indgfi-

niment, ees fonetions sont gquivalentes au poi~t de rue de l ' i tgration; elles

eonduisent done g la mgme dgfinition de f~(~). M~ds it reste ~ vgrifler que le

rgsultat est indgpendant du choix du paramgtre t.

Oette v6rificatioa est imm6diate dans deux cas particuliers; le premier

est celui od f ( x ) : e X ; alors la fouction auxiliaire d~finie pat' la seconde

formule (27) es~ e x - 1; elle est ind4peuda{~te de t. Le second cas est celui

off f ( x ) : a x ~ - + - 2 b x - - t - c ; on peut d 'abord faire disparaitre le terme du

premier degr4 ea ajoutant uue meme constaute h x et y; en appliquant ensuite

X u le seconde formule (27), on trouve comme fonction auxiliaire x + ~ - , qui est

de la forme tg-7- ; son it~rge est done de la forme t g ~ - / , et, comme il s'agig

de fonetions croissant comme des puissances de x (l 'exposaut grant li~ ~ e),

un ehangement du param6tre t e s t n~gligeable t~ c6t6 d' un changeme~t de

eet exposant; tontes ces fonctions sont gquivalentes au point de r u e de

l ' i t6rat ion; elles eonduisent ngcessairement g la m~me it6r~e f~(x)(~).

17. L ' i t6rat ion r6guli~re nous domm un nouveau proc~d5 pour d6fiuir des

fonctions r4guli6res. Le cas oit f ( x ) - ~ e ~ est particuli~rement important; la

fonction e~ obtenue par l ' i t4ration r~guli~re de la fouction exponentielle comble

des lacunes importantes dans l '4chelte des fonctions r6guli~res que l 'ou peut

obtenir par les opSrations r~guli~res 51(~mentaires. Toutes celles de ces tonctions

qui augmeutent ind~finiment sont en effet de la forme e~(~), I~ fonction o)(x)

tendant vers uu nombre entier. Dormant alors h ~ des valeurs comprises

(i) I1 es t ~ r e m a r q u e r que, darts le cas du po lynome du second degrd~ le po in t de r u e d ldmen ta i r e nous a p p r e n d que pour x in f in i

log f~(x) o~ 2~ log x,

e t les eons iddra t ions du texte~ m o n t r a n t que l ' i l6 r~e d6dui te de ta fonct ion aux i l i a i r e g(x) est i n d d p e n d a n i e de t, ne p r o n v e n t pas d ' une man i~ re r i gou reuse que ce soit la mgme que

p a r les fo rmules 61dmentaires. I1 f a u d r a i t m o n t r e r que pou r g ( x ) ~ x + - ~ , c ' e s t la mgme

i tdrde qui est r6gul i~re h l' o r ig ine e t ~ l' inf in i .

P. L~vY : Fonctions ~ croissance rdguliOre et itdration d'ordre fractionna~re 293

entre 0 et 1, on obtieut des fonctions e~ comblant une large lacune dans

l 'dchelle des croissauces entre les fonctions de croissance alg4brique (ou telles

que t o g y cr0isse comme une puissance de l o g x , ou log f o g y comme une

puissance de Ioglog x , et ainsi de suite) et les fonctions de croissauce expo-

ne~tielle. D ' au t r e part e ~ x et e~ ~ (c dtant une constante) sont des fonctions

rdguligres croissant plus rapidement que routes les itdrdes d' ordre entier de e ~.

On a ainsi placd de nouvelles fonctions, ~t la lois par extrapolation et par

iutrapolatio~ L dans l 'ensemble des fouctions r6guti~res connues.

Ddsignons par (I) r opdration foactiommlle

• [f(x); x] = f,~(x).

Eu la r4pdtant, on obtient de nouveiles fonetions de plus en plus rapidement

croissantes qbp[eX;x]. Pour obtellir des tbnctions encore plus rapidement

croissantes, et qui soient rdguli~res, il faudrait rdaliser l ' iuterpolation rdgu-

liSre de la suite des aombres obteuus en dormant /~ p des valeurs enti~res,

et remplacer p par x. Au point de rue thdorique, cette interpolation r4guli~re

est possible, d 'aprds le n. ° 9. Mais pour la rdaliser effeetivement, il faudrait

effectuer mm dtude asymptotique beaucoup plus difficile que dans le cas de

l ' i tO'ation simple, et r on n ' au ra i t fait que reculer la difficult4. Nous savons

eu effet qu 'eu cherchallt tt dSfillir l ' ensemble des fonctions rdguli~res par la

formation successive de uouvelles fonctions, il n ' es t pas possible d 'dchapper

aux difficultds du transfi~fi.

18. Une ddfi,~itiou iutrius~que de la rdgularit~ prdsenterait bien plus d'in-

tdret. Or les considdrations du n. ° 15 semblent bien conduire ~ une telle ddfi-

nition, et c ' e s t sur c e r~sultat que je voudrais surtout att irer l 'a t tention.

Daus les cas off nous n' avons pu ddfinir l ' i tdrde rdguli~re que par appli-

cation des procddds exposds au n. ° 16, nous nous trouvons, avoir te choix

etltre uu graud hombre de ddfi~)itions possibles. Pour les fonctions parfai tement

rdguli~res, il y a, comme nous l ' avous exposd, bien des raisons de penser

que routes ces ddfinitions conduisent au meme rdsultat; on ne peut au cou-

traire pas penser qu ' i l en serait de meme pour les aut]'es fonctions. On a

douc bien probablement ainsi des propridtds caractdristiques des fonctions rdguli~res.

Ea preuant, pour fixer les iddes, le cas off r on peut prendre les expres-

siolls (27) pour bt tbuction auxiliaire g(x), e'est-~.-dire celui off f(x) augmente X

iuddfiuimeut, on obtient le rdsultat suivaut : uue condition ndeessaire de la

294 P. L ~ v ~ : Fonctions d croissance rdgut@re et irritation d' ordre fractionnaire

r4gular i t~ est que if(x) soit mono tone quand x d @a sse une ce r t a ine va l eu r a ;

en a u g m e n t a n t au besoin a, if(x) se ra posit if et c ro issan t pour x ~> a. Choi-

sissons alors a r b i t r a i r e m e n t une v a l e u r t ~> a, e t posons

(2S)

g(x) __ f (x + t ) - f(t) - - f ' ( t ) '

p.(y) l~(X) = lim g,,(y) -- g,,(x) ~ _ ~ g . + , ( x ) - g , , ( x ) '

a ~ ),(y) - - ).(x) = lira tP.if,,(Y)] - - l*[f,,(x)]}.

On obt ien t e l l g 6 n ~ r a l ' p o u r a une w~leur qui d @ e n d de la v a l e u r choisie

pour t, et les cons idera t ions d(~velopp~es aux n. °~ 14 g 15 conduisen t g pense r

que, pour les fonet ions r(~guli4res, ~ est i n d @ e n d a n t de t. Cette propri(~t~ sem-

b lan t assez res t r i c t ive , on peut pense r qu'il est possible de ddfinb" la rdgularitd de f(x) pay le fair que cette l imite ne ddpende pas de t.

On se r appe l l e que nous avons 6t6 condui t s ~ ce r~sul ta t pa r l ' i d6e que

la fonet ion g(x) 6tait r~guli(~re en m~me temps que f(x), et q u ' ~ t a n t rt~guli~re

de zt~ro ~t l'infini~ elle a w d t une i t4r6e r6gul i~re aussi bien pout" x nul que

pour x iufini. Une r e m a r q u e tout h fait diff4ret~te appara I t c o m m e une confir-

mution de ce t t e idde : c ' e s t que, dans toute au t r e hypo th~se que cel le off

ne d6pend pas de t, ce t te quant i t4 est de la fbrme ),(y, l ) - X(x, t), ce t t e fonc-

tion ), 6rant m a n i f e s t e m e n t irr(~guli~re. En effet, sa pa r t i e ent i~re ne p o u v a n t

donne r l ieu ~ aucune ambigui t4 , ou bien a tend vers une l imite ~.(y) - - ).(x)

quand t a u g m e n t e ind4finiment , ou bien clio oscille ind6finiment en t re d e u x

va leu r s t imites diff4rentes. Dans c e d e r n i e r cas l ' i r r~gu la r i t4 est ~v iden te ;

dans le p remie r , ~ cause de la p~riodici t6 des var ia t ions r e l a t ives de d e u x

d4 te rmina t ions diff4rentes du l oga r i t hme d ' i t6 ra t ion , a(l)-----X(y, t ) - - ( x , t ) tend vers ~ ~--- ).(y) - - ).(x) pa r va leu r s tant6t plus peti tes, tant6t plus g r a n d e s ; p o u r

f ixer les icl6es, si a 6rant constant , on fair a u g m e n t e r x ind6finiment, y d e v i e n t

une fouct ion f~(x) de x , e t a(t) d e v i e n t une fonction de x e t t qui, pour l

infini, t end vers a pa r va l eu r s plus pe t i tes ou plus g r a n d e s su ivan t la v a l e u r

de x ; il y a aiusi uue infiuit~ d 'osc i l l a t ions quand x a u g m e n t e ind6finiment. ,

De toute fagoi b ~ moins que a soit indgpendan t de t~ les formules (28) con-

duisent fi, une fonct ion irrSguli~re, et il est na tu re l de pense r que, les op6ra-

tions ef fectu6es appa ra i s san t c o m m e r4guli~res, ces i r r~gular i t4s p r o u v e n t

l ' i rr(igularit(} de f(x). Sans dou te ce r a i s o n n e m e n t est-il discutabl% mais il e s t

int(~ressant de no te r que des consid(~rations in tu i t ives assez diff6rentes les unes

des au t re s condu isen t au m e m e r4sul ta t .

P. L~v¥: _Fonctions ~ croissance rdguli~re et itdration d'ordre fractionnaire 295

La d~finition de la r4gularit4 ~tant ainsi pr~cis4e quand f(x_ ) augmente X

ind~finiment, on peut aisement d6finir la r~gularit~ dans les autres cas: si

f(~c) augmente ind6finiment mais non "--/(x), la fonction f(x) sera r6guli~re si le X

produit x f (x ) est r4gulier (~);. si f (x) tend vers - - ~ , la fonction f(x) sera

r4guli~re si - - f ( x ) l ' es t ; si enfin elle n ' augmente pas ind4finiment, elle sera 1

r4guli~re si elle tend vers une limite c et si f ( x ) - - c est r~gulier. La r~gu-

larit6 est ainsi d~finie dans t o u s l e s cas.

Telle est la d6finition que nous proposons; nous y avons 4t6 conduit par

des consid4rations intuitives. Mais on pent se proposer de prendre cette d4fi-

nition comme point de d4part, et de montrer que l' ensemble des fonctions r~gu-

li~res ainsi d~finies a bien les propri~t4s consid6r4es au d6but de cette ~tude, et

uotamment qu'il constitue uue 4chelle complete, que ces fonctions sont continues

et monotones pour x assez grand, et que la r6gularit6 se conserve par les op6-

rations rSguli4res 414mentaires. I1 y a l~t un champ de recherches qui parait ibrt

difficile; mais meme un r~sultat partiel pent presenter de l ' int~ret.

II nous reste, pour montrer t ' importance pratique de cette th~orie, ~t indi-

quer deux applications.

CHAPITI~E III.

A p p l i c a t i o n s .

19. La premiere est relat ive ~ la sommation des s6ries divergentes, ou, ce

qui revient au meme, h la d4finition de la limite g~n4ralis4e d 'une fonction

u(x) d' une var iable x ind~finiment croissaute; nous supposerons cette fonction

born~e. Si elle n ' a pas de limite, il peut exister uue limite g~n~ralis4e d5finie par l ' une des expressions

x

(29) x ~ x l i m u(x)dx., xo

X

(30) lira f (x)u(x)dx , xo

(L) P e n t ~tre serai t . i l p lus n a t u r e l de n ' adop t e r cet te ddf in i t ion que si f(x) ~ x ; si f(x) ,~ x~ la fonc t ion f(x) se ra i t rdgul i~re en m~me t emps que la fone t ion i . lverse .

296 P. L~vy: Fonctions dt croissance rdgul@re et #dration d'ovdre fraction~aire

la fonction f (x) augmentant ind6finiment. D'ailleurs~ si la premi6re de ces

formules est applicable, la deuxi6me s 'applique a fortiori et donne la m6me

limite routes les lois que f (x) est une fonction inf6rieure ~t x, et monotone

ainsi que sa d6riv6e f'(x). Mais si la formule (29) ne do,me pas une limite

d6termin6e, on peut en obtenir uue par la formule (30), et l 'on a d ' au t an t

plus de chances d' en obtenir une qu'o~ a pris pour f (x) une fonction plus

lentement croissante.

L a question se pose ators de savoir si 1' on ne risque pas d 'obtenir deux

limites diff6rentes en prenant deux fonctions diff6rentes

y = f ( x ) e t z = g ( x ) = ~ ( y ) = ~ [ f ( x ) ] .

Or le remplacement de y par z par la formule z ~ ~(y) est analogue /~ celui

de x par y - -~ f ( x ) qui fair passer de la formule (29) ~ lit formule (30). I I e n

r6sulte que l 'on ne risquera pas d ' avo i r des r6sultats contradictoires si q~(y)

est une fonction inf6rieure 5~ y, augmentant ind6finiment, et monotoue ainsi

que sa d6riv6e. Ce r6sultat est bien connu. Au contrair% si y st z ont des

irr6gularit6s relatives sensibles, si par exemple

x

,~ . ~ g(W) = f ' ( { ) 1 --- -~ ~i l l '~ f ({ ) d ~ , o

on voit aisdment que les fouetions f@) et g(x), raises darts la tbrmule (30),

peuvent donner des rdsultats diffdrents; tel est le eas si u (x ) - - s in~ f (x ) .

On expliquera sans doute eette eireonstanee en disant qu 'une des fon-

etions f(x) et g(x) est irrdguli6re et ne eonvient pas comme fonction sommatriee.

Mais la difflcult6 est de savoir taquelle. Darts un Mdmoire pubti6 en 1926 daus

le Bulletin de la Soeidtg Mathdmatique, j ' a i montr6 que la diffleult6 existe

surtout pour les fonetions ~ croissanee lente eomme log log x, ou a fortiori

pour eelles qui croissent plus lentement encore. Ainsi en prenant

1 1 (1 _ 2 sin.2 log log x) f ' (x) - - x log x ' g'(x) =- x log x

on obtient des fonetions f ( x ) e t g(x) monotones, pour x assez grand ainsi que

toutes leurs d6riv6es. Sans doute, dans ce cas particutier, nous savons que

nous devons consid6rer que f (x) est r6gulier e t non g(x). Mais cet exemple

nous montre que m0me des tbnctions dont toutes les d6riv6es sont monotor:es

pour x assez grand ne sont pas toujours assez r6guli6res pour 5tre utilis6es

comme fonctions sommatriees. Le problSme de trouver une condition suffisante

pour qu ' i l en soit ainsi, cette condition ne faisant intervenir que la r6gularit6

P. LEvY : Fonctions ~t croissance rdguli~re et irritation d'ordre fractionnaire 297

des fonctions co,~sid4r~es et s 'appl iquant meme aux ibnctions ~ croissance,

tr~s lente, est un probl(~me difficile, non r4soluble par des proc~d6s ~14mentaires.

Je n ' ava i s pas sans doute 6t6 assez clair dans la r4daction de mon

M4moire de 1926, car, peu apr~s sa publicatiol~, M. le Professeur E. BORTOLOTTI, rappelaut tm r~stlltat publi~ par lui en 1921, disait avoir r4solu d' une mani(~re

~lOnentaire le probl4me pos4. Mais les conditions impos~es par lui h f (x) excluent le cas des fonctions lentement croissantes; c ' e s t pr4cis~ment dans

ce cas que j ' a v a i s voulu poser le probl~me~ sachant qu ' i l n ' e s t difficile que

dans ce cas, et qu ' i l ne faut pas ~carter ce cas si l 'ou veut une formule de sommation applicable dans des conditions aussi larges que possible.

Or ce probl~me, non r~solu jusqu' ici , l ' es t par la th~orie des fonctions

parfai tement r~guli~res. Si el/ effet y e t 2" sont deux fonctions r6guli~res de x, ind6finiment croissantes, et si pour fixer les id4es y ~ z, on a z - - ~ ( y ) , la

fonction ~ 4taut r~guii~re, et par suite mollotone ainsi que sa d4riv~e; si alors

on obtient uue limite en prenant y ~ f ( x ) comme fbnetion sommatrice~ le

r~sultat rappel6 ci dessus s 'appl ique et l 'on obtient la meme timite en pre-

naut z - - :p(y) :=- g(x). On ne risque done p~ls d' obtenir de contradiction en appliquant la formule

(30) avec diff~rentes fonctions r~guli4res f (x) .

20. L ' au t r e application est li~e ~t ce que j ' a i appel6 une correspondance

ho~ndo~o~'phe dans mon M~moire d(~j~t cit4 sur les 4chelles completes de

croissance. C 'es t une correspondance biunivoque entre les fonctions f (x ) de

la premi4re (~chelle, de croissances intermSdiaires entre cellos de deux fonctions

donn~es f~(x) et f~(x), et les fouctions g(x) de la secoude ~chelle, interm~diaires

entre deux fonctions, g~(x) et g~(x); de plus '~ des fonctions f (x ) de plus en plus rapidement croissantes correspondent des fonctions g(x) de plus en plus

rapidement croissa~tes. Cette correspondance biu,~ivoque est analogue ~ celle

qui existe entre deux variables x et y quand I' uue est une fonction continue

et croissante de l ' au t re ; la possibitit4 de l ' inversion r4sulte du principe de continuitS.

Le cas de la correspondance hom4omorphe entre deux fonctions r4guli~res est part iculi~rement important.

Consid~ro~s, pour fixer les id(~es, la relation

O ~

(3 ~) f (x) ---- I~(x, y)g(y)dy. 0

S'i la fonctio~ ~(x, y) est r4guli~re, la r~gularit(~ de g(y) ~ntralne celle de f(x),

"298 P. L~v¥ : Fonctions ~ croissance rdguli~re et irritation d'ordre fractionnaire

comme nons l ' avons d(ij~ observ4 au n. ° 5. Si de plus ~(x, y) est positit~ et

si, pour Y ~ y, le rapport ¢~(x, Y) augmente indgfilfiment ave(- x, i~ des fonc- ¢p(x, y) tions g(x) de plus eu plus rapidement croissantes correspondent des fonctions

f (x) de plus en plus rapidement croissantes, le sigue de f t (x)-- f~(x) pout" x tr~s grt~nd 6taut celui de g~(x)--g~(x). L~t question se pose alors de savoir si

h route fonction rdguli~re f(x) correspond une fouction g(x). S'il n ' en est pas ainsi, les fonctions r~guli~res g(x) se divisent en denx

cat(~gories, suivant que l'int(~grale

OO

~ (x, y)g(y)dy o

erott plus ri te ou moins ri te que /'(x), et ~ la fonction ['(x) correspondrai t ai~lsi, non une fonction g(x) d~termin~e, mais une eoupure darts l 'el~semble

des tbnetions r~guii~res; ou peut dire que eette eoupure d6fi~lit utm fonetio~

id6o~le N(x). Il existe effeetivement des fonctions id6ales de cette nature; ainsi on

d~flnit une fbnction id6ale s6parant les fonctions g ( x ) q u i restent fi~fies de

eelles qui augmentent iad~fitfiment. Mais il semble bien que ees fouetions

id~ales ne r isquent pas d ' e t r e eonfondues avee les fonetions v6ritables; que

notamment une coupure correspoadant ~t une fonction v6ritable soit caraet6ris6e

par cette propri6t6 que l 'on peut t rouver deux fonctions s6par6es pat' cette

coupure dont la diff6rence tende vers z6ro plus rapidemeut que n ' importe

quelle fo~mtio,~ donn6e. On peut alors dire en termes peu pr6cis que toute coupure qui semble ne pus pr6senter les caract6res d ' tme fouction id6ale

d6finit une fonction v6ritable. Je ne peux que rel lvoyer h mol~ m6moire cit6 le lecteur d6sireux d ' avo i r

uue id6e plus pr6cise des difficttlt6s que soul6ve cette question. A d6faut

de solution g6u6rale pout' les 6chelles de croissance que j ' a i appel6es nor-

rattles, on peut chercher /t les r6soudt'e pour les fonctions r6guli6res. I1 en

r6sulterait alors que l '6quation (31) d6finit une correspondance hom6omorphe

et peut etre r6solue par rapport h. g(x), la solution 6taut unique duns te champ

des fonctio,~s r6guli6res. Le m6me priucipe de conti~mit6~ s'il 6tait 6tabli d' une mani6re satisfaisaute,

montrerai t l ' ex is tence et l 'unicit6, dans le champ des fonctions r6guli6res,

des solutions, d '6quatio~s fonetionneltes tr6s g6n6rates, comprenant en parti- culler celle qui d~fi~it l ' i t~r4e d' ordre ratiotmel do:rag d' une fo~mtion dom~e.