1

COSTRUZIONI AEROSPAZIALI

Applicazioni del metodo di Ritz e Galeerkin alla trave elastica

Prof. Renato Barboni 2

Teoria classica della Trave

Ipotesi 1.Il materiale è omogeneo, isotropo e a comportamento elastico lineare. 2.La struttura è ad asse rettilineo ed a sezione costante. 3.Le forze esterne q(x), per unità di lunghezza, agiscono solo nel piano xz. 4.I carichi assiali agiscono lungo l’asse baricentrico x. 5.La larghezza b è dello stesso ordine di grandezza dello spessore h. 6.La lunghezza L sia tale che (h/L)2 << 1: h < L/10. 7.Lo spostamento w è tale che w/h < 1: wMax< h/5, ovvero wMax< L/50. Una tale ipotesi consente di considerare le coordinate del corpo deformato coincidenti

con quelle del corpo indeformato. 8.Che la rotazione θ della superficie media risulti piccola: ovvero θ<<1. 9.Che sforzi e deformazioni dovute ai carichi assiali siano di un ordine di

grandezza trascurabile rispetto a quelli indotti dalla flessione.

b

h

y z

x

q(x)

L

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Possiamo allora considerare come elemento rappresentativo di trave quello di figura corrispondente ad un tratto dx della linea media, sollecitato da N,M,T dette caratteristiche di sollecitazione.

La teoria della trave introduce in definitiva tre incognite cinetiche N(x), M(x), T(x) e tre incognite cinematiche u0(x), w0(x) e θ(x).

Il numero delle incognite sembra aumentato rispetto alla teoria classica dell’elasticità nella quale le incognite sarebbero u(x,z), w(x,z), σ(x,z), τ(x,z).

Notiamo però che queste ultime sono funzioni di due variabili x,z mentre u0(x),w0(x),θ(x) sono funzioni solo della variabile x si comprende la reale esemplificazione che comporta la teoria della trave.

TdTdx

dx+

q M

z

x

N NdNdx

dx+

dx

MdMdx

dx+

T

4

La trave tirata

Con relative condizioni agli estremi sullo spostamento u o sulle forze.

z

x

dx N dxdxdNN +

px

x 0

x 0 z

P

0x x

dudN dp 0 AE p 0dx dx dx

+ = ⇒ + =

Spostamento impedito:

Carico P applicato:

Libera

PdxduAE

0x

=

=

u(0)=0

x 0 z

0dxduAE

0x

=

=

Prof. Renato Barboni 5

La trave inflessa

−equilibrio delle forze in direzione z:

−equilibrio dei momenti rispetto all’estremo di sinistra:

q

M

z

x

dx

MdMdx

dx+

TdTdx

dx+ T

dTT dx T qdx 0dx

+ − + = ⇒dTdx

q+ = 0

MdMdx

dx M TdTdx

dx dx qdxdx

+ − − +

− =

20 dM

dxT− = 0

Derivando la seconda ed utilizzando la prima:

d Mdx

q2

2 0+ =

Cinematica della trave inflessa

6

εθ

γ θ

ε ε γ γ

xx xz

yy zz xy yz

xdu x

dxz

d xdx

dw xdx

x( )( ) ( )

;( )

( )= + = +

= = = =

0 0

0

Scorrimento

Prof. Renato Barboni 7

Cinematica della trave inflessa

In presenza di τ lo scorrimento γ=f(z) con τ=0 per z=±h/2 e τMax per z=0.

Pertanto θ=f(x,z) e le sezioni non rimangono piane ma si deformano ad S. Volendo mantenere l’ipotesi di sezioni piane, θ deve essere costante con z ovvero γ indipendente da z. Questo si ha assumendo:

a) scorrimento nullo in ogni sezione, γ=0. b) tutti i punti di una generica sezione abbiano

uguale scorrimento, γ=cost.

γ θ γ θxz xz

dwdx

dwdx

= + ⇒ = −0 0

θ

z,w

z,w

x,u

dxdxdww +

8

Trave di Kirchhoff: assume scorrimento nullo, γ=0:

0xz

0dw 0d

wdx

dx

γ = θ+ = θ = −⇒

2

2

dM EIdx

d wM EIdx

= −θ

= ⇒

3

3

d wT EdMTdx

Idx

= −= ⇒

22 2

2 22

d d w(x)EI qdx dx

d M qdx

⇒

= =

−

Con relative condizioni agli estremi su combinazioni di w , θ , T , M.

Prof. Renato Barboni 9

Trave di Kirchhoff: assume scorrimento nullo, γ=0:

Con relative condizioni agli estremi

( )L h / 2 L L

2xx xx

0 h / 2 0 0

b 1U dx ( )dz EI w dx ; V q(x)w(x)dx2 2

−

′′= σ ε = = −∫ ∫ ∫ ∫

( )L L

2

0 0

EI w qw dx F(x,w,w )dx2

′′ ′′= − = ∫ ∫E

22 2

22 2

d F F 0dx w w

d d wEI qdx dx

∂ =

∂+ ⇒′∂

=′ ∂

LL 2L

200 0

L LL 2

20 0 0

Cond. Geometr Cond. Naturali

F d F d d w( ) w 0 w assegnato EI 0w dx w dx dx

F dw d ww 0 assegnato EI 0w dx dx

∂ ∂ − δ = ⇒ = ′ ′′∂ ∂

∂ ′δ = ⇒ = ′′∂

Principio variazionale

10

Tipiche Condizioni agli estremi

1.Incastro: w=θ=0

2.Appoggio (con cerniera): w=M=0

3.Libera: M=T=0

z x 0

x 0

dww(0) 0dx =

= =

2

2x 0

d ww(0) 0dx =

= =

2 3

2 3x 0 x 0

d w d w 0dx dx= =

= =

Prof. Renato Barboni 11

Metodi di soluzione per la trave inflessa

qdx

wdEI 4

4

=

A1)−impiegando le equazioni in cui le incognite sono solo le grandezze cinematiche (“spostamenti”)

2

2d w(x)EI M(x)

dx= −

con condizioni agli estremi sulle variabili cinematiche

A2)−impiegando le equazioni in cui le incognite sono sia le grandezze cinematiche (“spostamenti”) che cinetiche (“forze”)

con condizioni agli estremi sulle variabili cinematiche e cinetiche

A)-Soluzione analitica esatta

Prof. Renato Barboni 12

Modello del 2° ordine

0 12

10 1

R R qL

qLR L 02

qLR R2

+ = ⇒

− == =

x 22 2

0

0

qLx qx qL x xM(x) R x qxdx2 2 2 L L

= − = − = −

∫3 23

2

2 4 34

dw qL x x4 6 bdx 24EI L Ld wEI M(x)

dx qL x x xw 2 bL a24EI L L L

= − + = − ⇒

= − + +

3

w(0) 0 a 0qLw(L) 0 b

24EI

= ⇒ =

= ⇒ =

3 44

2 33dw qL x x1 6 4dx 24EI L

qL x x xw 22 I L L L

L

4E

= − +

= − +

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q

Deformata w

Rotazione w’

Momento Taglio

Positivo quando allunga le fibre inferiori Positvo diretto verso il basso quando si osserva dal lato positivo delle x

Prof. Renato Barboni 14

3,00

2,00

1,00

0,00 0,2 0,4 0,6 0,8 1

wQ24,z

ξ

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

wQ24 ′

ξ

-0,50

-0,40

-0,30

-0,20

-0,10

0,00 0,2 0,4 0,6 0,8 1 ξ

2qLM

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 ξ

qLT

q

Deformata w

Rotazione w’

Momento

Taglio

15

Modello del 4° ordine

[ ]4x d[] qL; ; Q

L d EI′ξ = = =

ξ

4 4 4

4 4

d w q d w qLdx E E

Qd I

wI

= ⇒ = ⇒ξ

′′′′ =

w(0) 0 a 0 ; w (0) 0 b 0w(1) w (1) 0 d Q /12 ; c Q / 24

′= ⇒ = = ⇒ =′= = ⇒ = − =

2 3 4 2 3

2

Q Qw a b c d ; w b 2c 3d 424 24

Qw 2c 6d ; w 6d Q2

′= + ξ + ξ + ξ + ξ = + ξ + ξ + ξ

′′ ′′′= + ξ + ξ = + ξ

qdx

wdEI 4

4

=

42 3 4

32 3

qLw 224EIdw w qL 2 6 4dx L 24EI

= ξ − ξ + ξ

′ θ = − = − = − ξ − ξ + ξ [ ]

2 22

2 2

3

3 3

d w EI qL 1M EI wdx L 2 6

d w EI qLT EI w 1 2dx L 2

′′= − = − = − − ξ + ξ ′′′= − = − = − ξ

16

Trave incastrata ai due estremi:

q

17

Spostamento al variare dei Vincoli

18

Rotazione al variare dei Vincoli

19

Momento al variare dei Vincoli

20

Taglio al variare dei Vincoli

21

Trave su suolo elastico

2 2

24

2 w 4k w Qd d wEI Kw qdx dx

+ = ⇒ ′′′′ +

=

4

4qL Cosh[k ]cos[k( -1)] + Cosh[k( 1)]cos[k ]w 1

4EIk Cosh(k) cos(k) ξ ξ ξ − ξ

= − +

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Trave su suolo elastico Soluzione esatta

23

Metodo di Ritz

Prof. Renato Barboni 24

B1)−Il metodo di Ritz (funzionale):

con c.e. sulle variabili cinematiche:

L

0

F(x, w, w )dx Extr′′= =∫M(1) E

N

0 n nn 1

(2) w(x) (x) c (x)=

= ψ + ψ∑

1 2 n N(c , c ,..., c ,.., c ) estremo= =E E[ ]{ } { }

n

0 Ac

C F∂= ⇒

∂=

E

B)-Soluzione approssimata della trave inflessa

*B(w) B=

*0 mB( ) B ; B( ) 0ψ = ψ = con le ψn tali che:

per cui la (2) soddisfa la condizioni agli estremi. Rimane da soddisfare la (1) che, dopo integrazione, diventa una funzione:

Si assume:

25

Trave su suolo elastico: M. Ritz

L 12 22 2 2 2

2 4 20 0

EI d w K EI d w K( ) w qw dx L ( ) w qw d2 dx 2 2L d 2

= + − = + − ξ ξ ∫ ∫E

1 1 12 4 2

0 0 0

1 w d 2k w d Q wd ; w(0) 0 ; w(1) 02

′′= ξ + ξ − ξ = =∫ ∫ ∫E

Nn

nn 0

w c=

= ξ∑

4 44x d[] KL qL; [] ; k ; Q

L d 4EI EI′ξ = = = =

ξ

Prof. Renato Barboni 26

Trave su suolo elastico: M. Ritz (Serie di potenze)

22 2 2w c ( ) ; w c (2 1) ; w 2c′ ′′= ξ − ξ = ξ − =

020 1 2

1 2

w(0) 0 c 0w c c c ;

w(1) 0 c c= ⇒ =

= + ξ + ξ = ⇒ = −

42

4

qL 15w ( )12EI 30 k

= − ξ − ξ +

A1)−Le c.e. sono due, il numero minimo di termini da considerare sono tre:

1 1 1 4 22 4 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2

0 0 0

k c Qc2c d 2k c ( ) d Qc ( )d 2c15 6

= ξ + ξ − ξ ξ − ξ − ξ ξ = + +∫ ∫ ∫E

4

2 2 42

2k Q Q 15c 4 0 cc 15 6 12 30 k

∂ = + + = ⇒ = − ∂ +

E

Prof. Renato Barboni 27

Trave su suolo elastico: M. Ritz 4

24

qL 15w ( )12EI 30 k

= − ξ − ξ +

28

Trave su suolo elastico: M. Ritz 2

2 4

EI qL 5 dMM w ; T 0L 2 30 k dx

′′= − = = = +

29

Trave su suolo elastico: M. Ritz

2 32 3w c ( ) c ( )= ξ −ξ + ξ − ξ

02 30 1 2 3

1 2 3

w(0) 0 c 0w c c c c ;

w(1) 0 c c c= ⇒ =

= + ξ + ξ + ξ = ⇒ = − −

A2)−Numero di termini considerati tre:

Possibilità per calcolo dei due coefficienti: a)−soddisfare una delle condizioni agli estremi sulle “forze”;

b)−ricavare i coefficienti nell’imporre la stazionarietà dell’energia.

43

4qL 105w ( )

16EI 315 8k = − ξ − ξ +

42

4qL 15w ( )

12EI 30 k = − ξ − ξ + ≡caso 2 coefficienti

30

Trave su suolo elastico: M. Ritz 4

34

qL 105w ( )16EI 315 8k

= − ξ − ξ +

42

4qL 15w ( )

12EI 30 k = − ξ − ξ +

1 condizione sulle forze Soluzione peggiore poiche’ violazione della ‘simmetria’ del problema

Minimizzazione della ‘funzione’ energia con 2 coeff. variabili

31

Trave su suolo elastico: M. Ritz 4

34

qL 105w ( )16EI 315 8k

= − ξ − ξ +

42

4qL 15w ( )

12EI 30 k = − ξ − ξ +

esatta w=c3(ξ3−ξ)

Male taglio e momento

Prof. Renato Barboni 32

Trave su suolo elastico: M. Ritz

2 3 42 3 4w c ( ) c ( ) c ( )= ξ −ξ + ξ − ξ + ξ − ξ

02 3 40 1 2 3 4

1 2 3 4

w(0) 0 c 0w c c c c c ;

w(1) 0 c c c c= ⇒ =

= + ξ + ξ + ξ + ξ = ⇒ = − − −

A3)−Numero di termini considerati quattro:

Possibilità per calcolo dei due coefficienti: a)−soddisfare le due condizioni agli estremi sulle “forze”;

b)−ricavare i coefficienti nell’imporre la stazionarietà dell’energia.

44 3

4

qL 63w ( 2 )2EI 756 31k

= ξ − ξ + ξ +

33

Trave su suolo elastico: M. Ritz

Full Stazionaria

44 3

4

qL 63w ( 2 )2EI 756 31k

= ξ − ξ + ξ +

4 Condizioni al contorno

34

Trave su suolo elastico: M. Ritz 4

4 34

qL 63w ( 2 )2EI 756 31k

= ξ − ξ + ξ +

Ie condizioni al contorno sono soddisfatte in maniera esatta

Ie condizioni al contorno sono soddisfatte in maniera approssimata

35

Trave su suolo elastico: M. Ritz (Serie trigonometrica) N N

n n nn 1 n 1

w c c sen(n )= =

= ϕ = πξ∑ ∑4 N

4 4n 1,3,..

qL 4w sen(n )EI n [(n ) 4k ]=

= πξπ π +∑

Prof. Renato Barboni 36

Considerazioni sul metodo di Ritz 1)−Esaminare il problema per individuarne qualche proprietà che non deve essere

alterata dall’espressione w(x) che approssima la soluzione. 2)−La w(x) scelta deve soddisfare le condizioni agli estremi sugli “spostamenti”. 3)−Anche se non indispensabile, la soluzione tende più rapidamente a quella esatta se

la w(x) scelta soddisfa anche le condizioni agli estremi sugli “forze”, il cui ruolo è fondamentale nel calcolo del momento e del taglio.

4)−Se si conosce la soluzione di un problema analogo, con almeno le stesse condizioni geometriche agli estremi, come funzione che approssima la soluzione del problema in esame si può assumere l’espressione analitica nota, combinata con coefficienti da determinare.

5)−Lo sviluppo in serie di potenze ha il vantaggio che le potenze sono integrabili in forma elementare; per avere risultati soddisfacenti anche su momento e taglio, il grado del polinomio non deve essere inferiore al doppio dell’ordine di derivazione con cui la funzione incognita compare nell’energia potenziale totale.

6)−Lo sviluppo in serie di funzioni trigonometriche è una serie in genere più potente della serie di potenze; infatti a parità del numero di coefficienti cn, una funzione trigonometrica è di per sè una serie di potenze.

37

Metodo di Galeerkin

38

B2)−Il metodo di Galerkin (Eq. differenziale):

con c.e. sulle variabili cinematiche e cinetiche : N

0 n nn 1

(2) w(x) (x) c (x)=

= χ + χ∑

L LN N

2M n n 2M 0 n 2M n m 2M 0 mn 1 n 1 0 0

( c ) q ( ) c ( ) dx [q ( )] dx ; m 1,2,..., N= =

χ = − χ ⇒ χ χ = − χ χ =∑ ∑ ∫ ∫L L L L

[ ]{ } { }N

n nm mn 1

c g ; m 1,2,.. , CN B F.=

α = = ⇒ =∑

B)-Soluzione approssimata della trave inflessa

2M(1) (w) q=L

*B(w) B=

Si assume:

con le χn tali che: *0 mB( ) B ; B( ) 0χ = χ =

per cui la (2) soddisfa la condizioni agli estremi. Rimane da soddisfare la (1) che si soddisfa “in media”

Calcolati gli integrali:

Prof. Renato Barboni 39

Trave su suolo elastico: M. Galeerkin 4

44

w(0) 0 ; w(1) 0d w 4k w Q ;w (0) 0 ; w (1) 0d

= =+ = ′′ ′′= =ξ

Nn

nn 0

w c=

= ξ∑2 3 4

0 1 2 3 4w c c c c c= + ξ + ξ + ξ + ξ

4 3 4 34 4w c ( 2 ) c ( ) con 2= ξ − ξ + ξ ≡ ϕ ξ ϕ = ξ − ξ + ξ

4 4 34 424c 4k c ( 2 ) Q+ ξ − ξ + ξ =

1 1 14 3 4 4 3 2 4 3

4 40 0 0

24c ( 2 )d 4k c ( 2 ) d Q ( 2 )dξ − ξ + ξ ξ + ξ − ξ + ξ ξ = ξ − ξ + ξ ξ∫ ∫ ∫4

4 34

qL 63w ( 2 )2EI 756 31k

= ξ − ξ + ξ +

dove N≥4 perché 4 coeff. servono per le 4 c.e. ed 1 per soddisfare l’equazione nel campo.

0

1 2 3 4

w(0) 0 c 0w(1) 0 c c c c

= ⇒ = = ⇒ = − − −

2

3 4

w (0) 0 c 0w (1) 0 c 2c′′ = ⇒ =′′ = ⇒ = −

Stesso di Ritz

Prof. Renato Barboni 40

Trave con carichi concentrati

( )0 1 0

1 1

R R P R P 1R L Pd 0 R P

+ = = −η ⇒ − = = η

( )S 0

D 0

T R P 1 per 0T R P P per 1 = = −η ≤ ξ ≤ η

= − = − η η ≤ ξ ≤

( )

( )

d

S S 00 0

D S

M T dx L R d PL 1 per 0

M M ( ) PL( ) PL 1 per 1

η= = ξ = −η ξ ≤ ξ ≤ η

= η − ξ −η = −ξ η η ≤ ξ ≤

∫ ∫

( ) ( )

( ) ( )

2 2 3*S S

S2

2 2 3*D D

D2

d w L M PLw 1 P 1d EI EI

d w L M PLw 1 P 1d EI EI

′′= − ⇒ = − −η ξ = − −η ξ ξ

′′= − ⇒ = − −ξ η = − −ξ η ξ

P

L

R0 R1

d

Prof. Renato Barboni 41

Trave con carichi concentrati: modello 2° ordine

* *2 2

S DD

* *3 2 3

S D

P Pw (1 ) b w (2 )2 2;P Pw (1 ) b a w (3 )6 6

′ ′= − −η ξ + = − ξ −ξ η+β

= − −η ξ + ξ + = − ξ −ξ η+βξ +α

( ) ( ) ( ) ( )3 3

* *S D

PL PLw 1 P 1 ; w 1 P 1EI EI

′′ ′′= − −η ξ = − −η ξ = − −ξ η = − −ξ η

P

L

R0 R1

d

S D

S D SS D

w (0) 0 ; w (1) 0w ( ) w ( ) ; w ( ) w ( )

= =′ ′η = η η = η

32 3 3

S

32 3 3

D

PLw ( , ) 8(2 3 ) 8(1 )48EIPLw ( , ) 8(2 3 ) 8(1 )48EI

ξ η = η− η +η ξ− −η ξ

ξ η = ξ − ξ + ξ η− −ξ η

42

La funzione di influenza (Green) P

L

R0 R1

d

32 3 3

32 3 3

L 8(2 3 ) 8(1 ) per 048EIG( , )

L 8(2 3 ) 8(1 ) per 148EI

η− η +η ξ − −η ξ ≤ ξ ≤ η ξ η =

ξ − ξ + ξ η− −ξ η η ≤ ξ ≤

N

n nn 1L

0

w( ) P G( , )

w( ) q( )G( , )d

=

ξ = ξ η

ξ = η ξ η η

∑

∫

P

L

R0 R1

d ηn Pn

43

Rotazione in ξ provocata dal carico P=1 in η :

22 3 2

S

22 3

D

L 8(2 3 ) 24(1 )w G 48EI( , )L L 8(2 6 3 ) 8

48EI

θ = − η− η +η − −η ξ ′ ∂ θ ξ η = − =− = ∂ξ θ = − − ξ + ξ η+ η

44

Lo spostamento in ξ provocato dal momento M=1 in η

2(M) 2 3S

(M)2

(M) 2 3 2D

Lw 8(2 6 3 ) 8G 48EIw ( , )

Lw 8(2 3 ) 24(1 )48EI

= − η+ η ξ + ξ ∂ ξ η = = ∂η = ξ − ξ + ξ − −ξ η

Prof. Renato Barboni 45

La rotazione in ξ provocata dal momento M=1 in η

(M) 2 2(M) S

(M)

(M) 2 2D

L 8(2 6 3 ) 24w G 48EI( , )

LL 8(2 6 3 ) 2448EI

θ = − − η+ η + ξ ′ ∂ θ ξ η = − =− = ∂ξ∂η θ = − − ξ + ξ + η

46

Trave con carichi concentrati: modello 4° ordine

2 3 2 3S Dw a b c d ; w= + ξ + ξ + ξ = α +βξ + γξ + δξ

IVSIVD

EIw 0 per 0

EIw 0 per 1

= ≤ ξ ≤ η

= η ≤ ξ ≤

S D

S D

S D3

D S

w ( ) w ( )w ( ) w ( )EIw ( ) EIw ( )

EIw ( ) EIw ( ) PL

η = η ′ ′η = η ′′ ′′η = η ′′′ ′′′η − η =