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Fondamenti diALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA
2011- 2012
Michel LavrauwDipartimento di Tecnica e Gestione dei Sistemi Industriali
Universita di Padova
Lezione 2
Capitolo 1
Strutture algebriche di base
4. Campi - definizione
Un campo e una terna (K , +, ·), dove K e un insieme e +, · sonooperazioni binarie definite in K soddisfacienti le seguenti proprieta:
1. ∃ 0 ∈ K , ∀x ∈ K : x + 0 = x (elemento neutro)
2. ∀x , y , z ∈ K : x + (y + z) = (x + y) + z ; (associativita)
3. ∀x ∈ K ∃x ′ : x + x ′ = 0; (inversa)
4. ∀x , y ∈ K : x + y = y + x ; (commutativita)
5. ∃1 ∈ K , ∀x ∈ K : x1 = x (elemento neutro)
6. ∀x , y , z ∈ K : x(yz) = (xy)z ; (associativita)
7. ∀x ∈ K ∗ ∃x ′′ ∈ K ∗ : xx ′′ = 1; (inversa)
8. ∀x , y ∈ K : xy = yx ; (commutativita)
9. ∀x , y , z ∈ K : x(y + z) = xy + xz ; (distributivita)
4. Campi - esempi
Notazione Di solito si scrive K in luogo di (K , +, ·)
Esempi
1. Q, R, C2. (Z2, +, ·)
I elementi {0, 1}I 0 + 0 = 0; 0 + 1 = 1 + 0 = 1; 1 + 1 = 0;I 0 · 1 = 1 · 0 = 0; 1 · 1 = 1.
(equivalente al campo K con due elementi {4, �}, pag. 16)
5. Matrici - definizioneSia K un campo. Una matrice ad m righe e n colonne e unatabella di elementi di K ,
per esempio:
A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
......
am1 am2 . . . amn
, aij ∈ K .
Notazione M(m × n, K ):= insieme di tutte le matrice m × n adelementi di K .Esempi K = R: matrici reale; K = C: matrici complessa
Notazione A = (aij)Esempio A = (aij) ∈M(2× 3, R), ponendo aij = 2i − j :
A =
(1 0 −13 2 1
).
Una matice m ×m si dice quadrata di ordine m
5. Matrici - definizioneSia K un campo. Una matrice ad m righe e n colonne e unatabella di elementi di K , per esempio:
A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
......
am1 am2 . . . amn
, aij ∈ K .
Notazione M(m × n, K ):= insieme di tutte le matrice m × n adelementi di K .Esempi K = R: matrici reale; K = C: matrici complessa
Notazione A = (aij)Esempio A = (aij) ∈M(2× 3, R), ponendo aij = 2i − j :
A =
(1 0 −13 2 1
).
Una matice m ×m si dice quadrata di ordine m
5. Matrici - definizioneSia K un campo. Una matrice ad m righe e n colonne e unatabella di elementi di K , per esempio:
A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
......
am1 am2 . . . amn
, aij ∈ K .
Notazione M(m × n, K ):= insieme di tutte le matrice m × n adelementi di K .
Esempi K = R: matrici reale; K = C: matrici complessa
Notazione A = (aij)Esempio A = (aij) ∈M(2× 3, R), ponendo aij = 2i − j :
A =
(1 0 −13 2 1
).
Una matice m ×m si dice quadrata di ordine m
5. Matrici - definizioneSia K un campo. Una matrice ad m righe e n colonne e unatabella di elementi di K , per esempio:
A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
......
am1 am2 . . . amn
, aij ∈ K .
Notazione M(m × n, K ):= insieme di tutte le matrice m × n adelementi di K .Esempi K = R: matrici reale; K = C: matrici complessa
Notazione A = (aij)Esempio A = (aij) ∈M(2× 3, R), ponendo aij = 2i − j :
A =
(1 0 −13 2 1
).
Una matice m ×m si dice quadrata di ordine m
5. Matrici - definizioneSia K un campo. Una matrice ad m righe e n colonne e unatabella di elementi di K , per esempio:
A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
......
am1 am2 . . . amn
, aij ∈ K .
Notazione M(m × n, K ):= insieme di tutte le matrice m × n adelementi di K .Esempi K = R: matrici reale; K = C: matrici complessa
Notazione A = (aij)
Esempio A = (aij) ∈M(2× 3, R), ponendo aij = 2i − j :
A =
(1 0 −13 2 1
).
Una matice m ×m si dice quadrata di ordine m
5. Matrici - definizioneSia K un campo. Una matrice ad m righe e n colonne e unatabella di elementi di K , per esempio:
A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
......
am1 am2 . . . amn
, aij ∈ K .
Notazione M(m × n, K ):= insieme di tutte le matrice m × n adelementi di K .Esempi K = R: matrici reale; K = C: matrici complessa
Notazione A = (aij)Esempio A = (aij) ∈M(2× 3, R), ponendo aij = 2i − j :
A =
(1 0 −13 2 1
).
Una matice m ×m si dice quadrata di ordine m
5. Matrici - definizioneSia K un campo. Una matrice ad m righe e n colonne e unatabella di elementi di K , per esempio:
A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
......
am1 am2 . . . amn
, aij ∈ K .
Notazione M(m × n, K ):= insieme di tutte le matrice m × n adelementi di K .Esempi K = R: matrici reale; K = C: matrici complessa
Notazione A = (aij)Esempio A = (aij) ∈M(2× 3, R), ponendo aij = 2i − j :
A =
(1 0 −13 2 1
).
Una matice m ×m si dice quadrata di ordine m
5. Matrici - matrice nulla, opposta
Sia K un campo e A = (aij) ∈M(m × n, K ).
I Om,n: matrice nulla, Om,n = (oij), ponendo oij = 0, ∀i , j ;
Esempio
O2,3 =
(0 0 00 0 0
).
I −A: opposta di A, −A = (−aij);
Esempio
A =
(1 0 −13 2 1
)⇒ −A =
(−1 0 1−3 −2 −1
)
5. Matrici - matrice nulla, opposta
Sia K un campo e A = (aij) ∈M(m × n, K ).
I Om,n: matrice nulla, Om,n = (oij), ponendo oij = 0, ∀i , j ;
Esempio
O2,3 =
(0 0 00 0 0
).
I −A: opposta di A, −A = (−aij);
Esempio
A =
(1 0 −13 2 1
)⇒ −A =
(−1 0 1−3 −2 −1
)
5. Matrici - somma
Sia K un campo e A = (aij), B = (bij) ∈M(m × n, K ).
I A + B= (cij), con cij = aij + bij , per ogni i , j
Esempio A, B ∈M(4× 3, R)
A =
1 0 −13 2 14 6 1−1 2 1
, B =
2 1 01 1 21 2 −1−1 2 3
,
⇒ A + B =
3 1 −14 3 35 8 0−2 4 4
.
5. Matrici - somma
Sia K un campo e A = (aij), B = (bij) ∈M(m × n, K ).
I A + B= (cij), con cij = aij + bij , per ogni i , j
Esempio A, B ∈M(4× 3, R)
A =
1 0 −13 2 14 6 1−1 2 1
, B =
2 1 01 1 21 2 −1−1 2 3
,
⇒ A + B =
3 1 −14 3 35 8 0−2 4 4
.
5. Matrici - proprieta della somma
Sia K un campo e A = (aij), B = (bij) ∈M(m × n, K ).
I A + B = B + A: la somma e commutativa
Se A + B = (cij) e B + A = (dij) , allora cij = aij + bij edij = bij + aij . Visto che l’operazione binaria + nel campo K ecommutativa, habbiamo cij = dij .⇒ A + B = B + A.
I O + A = A + O = A: elemento neutroSe O + A = (cij), allora cij = oij + aij = 0 + aij = aij . Risultache cij = aij e O + A = A.
I A + (−A) = (−A) + A = O: inversa
I (A + B) + C = A + (B + C ): la somma e associativa
5. Matrici - proprieta della somma
Sia K un campo e A = (aij), B = (bij) ∈M(m × n, K ).
I A + B = B + A: la somma e commutativaSe A + B = (cij) e B + A = (dij) , allora cij = aij + bij edij = bij + aij . Visto che l’operazione binaria + nel campo K ecommutativa, habbiamo cij = dij .⇒ A + B = B + A.
I O + A = A + O = A: elemento neutroSe O + A = (cij), allora cij = oij + aij = 0 + aij = aij . Risultache cij = aij e O + A = A.
I A + (−A) = (−A) + A = O: inversa
I (A + B) + C = A + (B + C ): la somma e associativa
5. Matrici - proprieta della somma
Sia K un campo e A = (aij), B = (bij) ∈M(m × n, K ).
I A + B = B + A: la somma e commutativaSe A + B = (cij) e B + A = (dij) , allora cij = aij + bij edij = bij + aij . Visto che l’operazione binaria + nel campo K ecommutativa, habbiamo cij = dij .⇒ A + B = B + A.
I O + A = A + O = A: elemento neutro
Se O + A = (cij), allora cij = oij + aij = 0 + aij = aij . Risultache cij = aij e O + A = A.
I A + (−A) = (−A) + A = O: inversa
I (A + B) + C = A + (B + C ): la somma e associativa
5. Matrici - proprieta della somma
Sia K un campo e A = (aij), B = (bij) ∈M(m × n, K ).
I A + B = B + A: la somma e commutativaSe A + B = (cij) e B + A = (dij) , allora cij = aij + bij edij = bij + aij . Visto che l’operazione binaria + nel campo K ecommutativa, habbiamo cij = dij .⇒ A + B = B + A.
I O + A = A + O = A: elemento neutroSe O + A = (cij), allora cij = oij + aij = 0 + aij = aij . Risultache cij = aij e O + A = A.
I A + (−A) = (−A) + A = O: inversa
I (A + B) + C = A + (B + C ): la somma e associativa
5. Matrici - proprieta della somma
Sia K un campo e A = (aij), B = (bij) ∈M(m × n, K ).
I A + B = B + A: la somma e commutativaSe A + B = (cij) e B + A = (dij) , allora cij = aij + bij edij = bij + aij . Visto che l’operazione binaria + nel campo K ecommutativa, habbiamo cij = dij .⇒ A + B = B + A.
I O + A = A + O = A: elemento neutroSe O + A = (cij), allora cij = oij + aij = 0 + aij = aij . Risultache cij = aij e O + A = A.
I A + (−A) = (−A) + A = O: inversa
I (A + B) + C = A + (B + C ): la somma e associativa
5. Matrici - prodotto
Sia A = (aij) ∈M(m×n, K ), B = (bij) ∈M(n×p, K ).
I Il prodotto di A e B: AB = (cij) dove
∀i ∈ {1, . . . ,m}, ∀j ∈ {1, . . . , p} : cij =n∑
k=1
aikbkj
⇒ cij = ai1b1j + ai2b2j + . . . + ainbnj .
AB =
a11 a12 . . . a1n
......
...ai1 ai2 . . . ain...
......
am1 am2 . . . amn
b11 . . . b1j . . . b1p
b21 . . . b2j . . . b2p
......
...
bn1 . . . bnj . . . bnp
5. Matrici - prodotto
Sia A = (aij) ∈M(m×n, K ), B = (bij) ∈M(n×p, K ).
I Il prodotto di A e B: AB = (cij) dove
∀i ∈ {1, . . . ,m}, ∀j ∈ {1, . . . , p} : cij =n∑
k=1
aikbkj
⇒ cij = ai1b1j + ai2b2j + . . . + ainbnj .
AB =
a11 a12 . . . a1n
......
...ai1 ai2 . . . ain...
......
am1 am2 . . . amn
b11 . . . b1j . . . b1p
b21 . . . b2j . . . b2p
......
...
bn1 . . . bnj . . . bnp
5. Matrici - prodotto
Sia A = (aij) ∈M(m×n, K ), B = (bij) ∈M(n×p, K ).
I Il prodotto di A e B: AB = (cij) dove
∀i ∈ {1, . . . ,m}, ∀j ∈ {1, . . . , p} : cij =n∑
k=1
aikbkj
⇒ cij = ai1b1j + ai2b2j + . . . + ainbnj .
AB =
a11 a12 . . . a1n
......
...ai1 ai2 . . . ain...
......
am1 am2 . . . amn
b11 . . . b1j . . . b1p
b21 . . . b2j . . . b2p
......
...
bn1 . . . bnj . . . bnp
5. Matrici - prodotto
I La definizione del prodotto implica che AB = (cij) con
cij = (ai1 . . . ain)
b1j...
bnj
,∀i ∈ {1, . . . ,m}, ∀j ∈ {1, . . . , p}
i-esima riga di A × j-esima colonna di B
I A ∈M(m × n, K ), B ∈M(n × p, K ) ⇒ AB ∈M(m × p, K )
I il prodotto di A e B e definito solo nel caso in cui il numerodelle colonne di A e pari al numero delle righe di B
5. Matrici - prodotto
I La definizione del prodotto implica che AB = (cij) con
cij = (ai1 . . . ain)
b1j...
bnj
,∀i ∈ {1, . . . ,m}, ∀j ∈ {1, . . . , p}
i-esima riga di A × j-esima colonna di B
I A ∈M(m × n, K ), B ∈M(n × p, K ) ⇒ AB ∈M(m × p, K )
I il prodotto di A e B e definito solo nel caso in cui il numerodelle colonne di A e pari al numero delle righe di B
5. Matrici - prodotto
I La definizione del prodotto implica che AB = (cij) con
cij = (ai1 . . . ain)
b1j...
bnj
,∀i ∈ {1, . . . ,m}, ∀j ∈ {1, . . . , p}
i-esima riga di A × j-esima colonna di B
I A ∈M(m × n, K ), B ∈M(n × p, K ) ⇒ AB ∈M(m × p, K )
I il prodotto di A e B e definito solo nel caso in cui il numerodelle colonne di A e pari al numero delle righe di B
5. Matrici - prodotto
Esempio A ∈M(2, 3, Q), B ∈M(3, 2, Q) ⇒ AB ∈M(2, 2, Q)
A =
(1 0 −13 2 1
), B =
2 11 11 2
,
⇒ AB =
(1 · 2 + 0 · 1 + (−1) · 1 1 · 1 + 0 · 1 + (−1) · 2
3 · 2 + 2 · 1 + 1 · 1 3 · 1 + 2 · 1 + 1 · 2
)=
(1 −19 7
)
5. Matrici - prodotto
Esempio A ∈M(2, 3, Q), B ∈M(3, 2, Q) ⇒ AB ∈M(2, 2, Q)
A =
(1 0 −13 2 1
), B =
2 11 11 2
,
⇒ AB =
(1 · 2 + 0 · 1 + (−1) · 1 1 · 1 + 0 · 1 + (−1) · 2
3 · 2 + 2 · 1 + 1 · 1 3 · 1 + 2 · 1 + 1 · 2
)=
(1 −19 7
)
5. Matrici - prodotto
Esempio
A =
1 2 0 31 0 2 31 2 3 0
∈M(3, 4, R)
I4 =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
∈M(4, 4, R)
⇒ AI4 =
1 2 0 31 0 2 31 2 3 0
∈M(3, 4, R)
Nota che AI4 = A
5. Matrici - prodotto
Esercizio
A =
1 2 01 0 21 2 3
∈M(3, 3, R)
B =
1 00 10 0
∈M(3, 2, R)
C =
(1 21 0
)∈M(2, 2, R)
Calcolare (AB)C e A(BC ).
5. Matrici - proprieta del prodotto
I A(BC ) = (AB)C : proprieta associativaSe A = (aij) ∈M(m × n, K ), B = (bij) ∈M(n × p, K ), eC = (cij) ∈M(p × q, K )
A(BC ) = (dij) con
dij =n∑
l=1
ai l
[p∑
k=1
blkckj
]=
n∑l=1
p∑k=1
ai lblkckj
e (AB)C = (eij) con
eij =
p∑k=1
[n∑
l=1
ailblk
]ckj =
p∑k=1
n∑l=1
ailblkckj
⇒ A(BC ) = (AB)C .
5. Matrici - proprieta del prodotto
I A(BC ) = (AB)C : proprieta associativaSe A = (aij) ∈M(m × n, K ), B = (bij) ∈M(n × p, K ), eC = (cij) ∈M(p × q, K )
A(BC ) = (dij) con
dij =n∑
l=1
ai l
[p∑
k=1
blkckj
]=
n∑l=1
p∑k=1
ai lblkckj
e (AB)C = (eij) con
eij =
p∑k=1
[n∑
l=1
ailblk
]ckj =
p∑k=1
n∑l=1
ailblkckj
⇒ A(BC ) = (AB)C .
5. Matrici - proprieta del prodotto
I A(BC ) = (AB)C : proprieta associativaSe A = (aij) ∈M(m × n, K ), B = (bij) ∈M(n × p, K ), eC = (cij) ∈M(p × q, K )
A(BC ) = (dij) con
dij =n∑
l=1
ai l
[p∑
k=1
blkckj
]=
n∑l=1
p∑k=1
ai lblkckj
e (AB)C = (eij) con
eij =
p∑k=1
[n∑
l=1
ailblk
]ckj =
p∑k=1
n∑l=1
ailblkckj
⇒ A(BC ) = (AB)C .
5. Matrici - proprieta del prodotto
I A(BC ) = (AB)C : proprieta associativa
I elemento neutro: Ponendo
Im =
1 0 . . . 00 1 . . . 0...
......
0 0 . . . 1
∈M(m ×m, K ),
i.e. Im = (zij) con zij =
{0 i 6= j1 i = j
Im: matrice identica d’ordine m
⇒ ∀A ∈M(m × n, K ) : ImA = AIn = A.
5. Matrici - proprieta del prodotto
I A(BC ) = (AB)C : proprieta associativa
I ImA = AIn = A: elemento neutro
I Il prodotto non ha la proprieta commutativaNe meno per matrici quadrate!Esempio
A =
(0 01 0
), B =
(0 10 0
)⇒ AB =
(0 00 1
)6=(
1 00 0
)= BA
5. Matrici - proprieta del prodotto
I A(BC ) = (AB)C : proprieta associativa
I ImA = AIn = A: elemento neutro
I Il prodotto non ha la proprieta commutativa
Ne meno per matrici quadrate!Esempio
A =
(0 01 0
), B =
(0 10 0
)⇒ AB =
(0 00 1
)6=(
1 00 0
)= BA
5. Matrici - proprieta del prodotto
I A(BC ) = (AB)C : proprieta associativa
I ImA = AIn = A: elemento neutro
I Il prodotto non ha la proprieta commutativaNe meno per matrici quadrate!
Esempio
A =
(0 01 0
), B =
(0 10 0
)⇒ AB =
(0 00 1
)6=(
1 00 0
)= BA
5. Matrici - proprieta del prodotto
I A(BC ) = (AB)C : proprieta associativa
I ImA = AIn = A: elemento neutro
I Il prodotto non ha la proprieta commutativaNe meno per matrici quadrate!Esempio
A =
(0 01 0
), B =
(0 10 0
)⇒ AB =
(0 00 1
)6=(
1 00 0
)= BA
5. Matrici - matrice invertibile, singolare
I Se A e B sono matrici quadrate d’ordine m, tali che
AB = BA = Im,
allora diremo che A e invertibile e B e l’inversa di A: A−1= B.
I Una matice quadrata che non sia invertibile si chiama matricesingolare
Esempi
1. La matrice A =
(0 11 0
), e invertibile e A−1 = A.
2. La matrice A
(0 01 0
), e singolare.
5. Matrici - matrice invertibile, singolare
I Se A e B sono matrici quadrate d’ordine m, tali che
AB = BA = Im,
allora diremo che A e invertibile e B e l’inversa di A: A−1= B.
I Una matice quadrata che non sia invertibile si chiama matricesingolare
Esempi
1. La matrice A =
(0 11 0
), e invertibile e A−1 = A.
2. La matrice A
(0 01 0
), e singolare.
5. Matrici - matrice invertibile, singolare
I Se A e B sono matrici quadrate d’ordine m, tali che
AB = BA = Im,
allora diremo che A e invertibile e B e l’inversa di A: A−1= B.
I Una matice quadrata che non sia invertibile si chiama matricesingolare
Esempi
1. La matrice A =
(0 11 0
), e invertibile e A−1 = A.
2. La matrice A
(0 01 0
), e singolare.
5. Matrici - proprieta del prodotto
I A(BC ) = (AB)C : proprieta associativa
I ImA = AIn = A: elemento neutro
I Il prodotto non ha la proprieta commutativa
I inversa non essiste sempre: Ne meno per matrici quadrate!Esempio
A =
(0 01 0
), B =
(a bc d
)⇒ AB =
(0 0a b
)6=(
1 00 1
)= I2
⇒ l’inversa di A non essiste!
Quindi non vale la legge di annullamento del prodotto!
5. Matrici - proprieta del prodotto
I A(BC ) = (AB)C : proprieta associativa
I ImA = AIn = A: elemento neutro
I Il prodotto non ha la proprieta commutativa
I inversa non essiste sempre:
Ne meno per matrici quadrate!Esempio
A =
(0 01 0
), B =
(a bc d
)⇒ AB =
(0 0a b
)6=(
1 00 1
)= I2
⇒ l’inversa di A non essiste!
Quindi non vale la legge di annullamento del prodotto!
5. Matrici - proprieta del prodotto
I A(BC ) = (AB)C : proprieta associativa
I ImA = AIn = A: elemento neutro
I Il prodotto non ha la proprieta commutativa
I inversa non essiste sempre: Ne meno per matrici quadrate!
Esempio
A =
(0 01 0
), B =
(a bc d
)⇒ AB =
(0 0a b
)6=(
1 00 1
)= I2
⇒ l’inversa di A non essiste!
Quindi non vale la legge di annullamento del prodotto!
5. Matrici - proprieta del prodotto
I A(BC ) = (AB)C : proprieta associativa
I ImA = AIn = A: elemento neutro
I Il prodotto non ha la proprieta commutativa
I inversa non essiste sempre: Ne meno per matrici quadrate!Esempio
A =
(0 01 0
), B =
(a bc d
)⇒ AB =
(0 0a b
)6=(
1 00 1
)= I2
⇒ l’inversa di A non essiste!
Quindi non vale la legge di annullamento del prodotto!
5. Matrici - proprieta del prodotto
I A(BC ) = (AB)C : proprieta associativa
I ImA = AIn = A: elemento neutro
I Il prodotto non ha la proprieta commutativa
I inversa non essiste sempre: Ne meno per matrici quadrate!Esempio
A =
(0 01 0
), B =
(a bc d
)⇒ AB =
(0 0a b
)6=(
1 00 1
)= I2
⇒ l’inversa di A non essiste!
Quindi non vale la legge di annullamento del prodotto!
5. Matrici - proprieta
proprieta della somma
I A + (B + C ) = (A + B) + C : proprieta associativa
I O + A = A + O = A: elemento neutro
I A + B = B + A: la proprieta commutativa
I A + (−A) = (−A) + A = O inversa
proprieta del prodotto
I A(BC ) = (AB)C : proprieta associativa
I ImA = AIn = A: elemento neutro
I Il prodotto non ha la proprieta commutativa
I inversa non sempre essiste
proprieta distributiva
I A(B + C ) = AB + AC e (A + B)C = AC + BC
5. Matrici - proposizione
Proposizione
Se A, B sono matrici quadrate d’ordine m e AB = Im, alloraBA = Im
NOTA: Dimostrazione non e ovvia.Ancora non abbiamo gli strumenti per dimostrare la proposizione.Pero la useremo perche e utile.
Esercizi 1. Decidere se sono invertibili, trovare l’inversa in casoaffermativo:
A =
(1 23 0
), C =
(1 −2−2 4
).
2. Sia data la matrice A =
(a bc d
), e si supponga che
ad − bc 6= 0. Verificare che A e invertibile e calcolare A−1.
5. Matrici - proposizione
Proposizione
Se A, B sono matrici quadrate d’ordine m e AB = Im, alloraBA = Im
NOTA: Dimostrazione non e ovvia.Ancora non abbiamo gli strumenti per dimostrare la proposizione.Pero la useremo perche e utile.
Esercizi 1. Decidere se sono invertibili, trovare l’inversa in casoaffermativo:
A =
(1 23 0
), C =
(1 −2−2 4
).
2. Sia data la matrice A =
(a bc d
), e si supponga che
ad − bc 6= 0. Verificare che A e invertibile e calcolare A−1.
5. Matrici - proposizione
Proposizione
Se A, B sono matrici quadrate d’ordine m e AB = Im, alloraBA = Im
NOTA: Dimostrazione non e ovvia.Ancora non abbiamo gli strumenti per dimostrare la proposizione.Pero la useremo perche e utile.
Esercizi 1. Decidere se sono invertibili, trovare l’inversa in casoaffermativo:
A =
(1 23 0
), C =
(1 −2−2 4
).
2. Sia data la matrice A =
(a bc d
), e si supponga che
ad − bc 6= 0. Verificare che A e invertibile e calcolare A−1.
5. Matrici - proposizione
Proposizione
Se A, B sono matrici quadrate d’ordine m e AB = Im, alloraBA = Im
NOTA: Dimostrazione non e ovvia.Ancora non abbiamo gli strumenti per dimostrare la proposizione.Pero la useremo perche e utile.
Esercizi 1. Decidere se sono invertibili, trovare l’inversa in casoaffermativo:
A =
(1 23 0
), C =
(1 −2−2 4
).
2. Sia data la matrice A =
(a bc d
), e si supponga che
ad − bc 6= 0. Verificare che A e invertibile e calcolare A−1.
5. Matrici - prodotto esterno
Se h ∈ K e A = (aij) ∈M(m × n, K ), il prodotto esterno di h perA e la matrice hA = (bij), definita ponendo bij = haij , per ogni i , j .
Proposizione
(i) h(AB) = (hA)B = A(hB) = AB,∀h ∈ K, ∀A ∈M(m × n, K ), ∀B ∈M(n × p, K )
(ii) (h + k)A = hA + kA∀h, k ∈ K, ∀A ∈M(m × n, K ).
(iii) h(A + B) = hA + hB∀h ∈ K, ∀A, B ∈M(m × n, K )
5. Matrici - prodotto esterno
Se h ∈ K e A = (aij) ∈M(m × n, K ), il prodotto esterno di h perA e la matrice hA = (bij), definita ponendo bij = haij , per ogni i , j .
Proposizione
(i) h(AB) = (hA)B = A(hB) = AB,∀h ∈ K, ∀A ∈M(m × n, K ), ∀B ∈M(n × p, K )
(ii) (h + k)A = hA + kA∀h, k ∈ K, ∀A ∈M(m × n, K ).
(iii) h(A + B) = hA + hB∀h ∈ K, ∀A, B ∈M(m × n, K )
5. Matrici - prodotto esterno
Se h ∈ K e A = (aij) ∈M(m × n, K ), il prodotto esterno di h perA e la matrice hA = (bij), definita ponendo bij = haij , per ogni i , j .
Proposizione
(i) h(AB) = (hA)B = A(hB) = AB,∀h ∈ K, ∀A ∈M(m × n, K ), ∀B ∈M(n × p, K )
(ii) (h + k)A = hA + kA∀h, k ∈ K, ∀A ∈M(m × n, K ).
(iii) h(A + B) = hA + hB∀h ∈ K, ∀A, B ∈M(m × n, K )
5. Matrici - prodotto esterno
Se h ∈ K e A = (aij) ∈M(m × n, K ), il prodotto esterno di h perA e la matrice hA = (bij), definita ponendo bij = haij , per ogni i , j .
Proposizione
(i) h(AB) = (hA)B = A(hB) = AB,∀h ∈ K, ∀A ∈M(m × n, K ), ∀B ∈M(n × p, K )
(ii) (h + k)A = hA + kA∀h, k ∈ K, ∀A ∈M(m × n, K ).
(iii) h(A + B) = hA + hB∀h ∈ K, ∀A, B ∈M(m × n, K )
5. Matrici - trasposta, simmetrica
I La trasposta di A = (aij): AT = (bij) con bij = aji
⇒ A ∈M(m, n, K )⇒ AT ∈M(n, m, K )Esempio A ∈M(3, 4, R)⇒ AT ∈M(4, 3, R)
A =
1 2 0 31 0 2 31 2 3 0
⇒ AT =
1 1 12 0 20 2 33 3 0
I Una matrice quadrata A si dice simmetrica se AT = A.
Esempi
A =
1 2 −32 0 −1−3 −1 9
, Im =
1 0 . . . 00 1 . . . 0...
......
0 0 . . . 1
5. Matrici - trasposta, simmetrica
I La trasposta di A = (aij): AT = (bij) con bij = aji
⇒ A ∈M(m, n, K )⇒ AT ∈M(n, m, K )
Esempio A ∈M(3, 4, R)⇒ AT ∈M(4, 3, R)
A =
1 2 0 31 0 2 31 2 3 0
⇒ AT =
1 1 12 0 20 2 33 3 0
I Una matrice quadrata A si dice simmetrica se AT = A.
Esempi
A =
1 2 −32 0 −1−3 −1 9
, Im =
1 0 . . . 00 1 . . . 0...
......
0 0 . . . 1
5. Matrici - trasposta, simmetrica
I La trasposta di A = (aij): AT = (bij) con bij = aji
⇒ A ∈M(m, n, K )⇒ AT ∈M(n, m, K )Esempio A ∈M(3, 4, R)⇒ AT ∈M(4, 3, R)
A =
1 2 0 31 0 2 31 2 3 0
⇒ AT =
1 1 12 0 20 2 33 3 0
I Una matrice quadrata A si dice simmetrica se AT = A.Esempi
A =
1 2 −32 0 −1−3 −1 9
, Im =
1 0 . . . 00 1 . . . 0...
......
0 0 . . . 1
5. Matrici - trasposta, simmetrica
I La trasposta di A = (aij): AT = (bij) con bij = aji
⇒ A ∈M(m, n, K )⇒ AT ∈M(n, m, K )Esempio A ∈M(3, 4, R)⇒ AT ∈M(4, 3, R)
A =
1 2 0 31 0 2 31 2 3 0
⇒ AT =
1 1 12 0 20 2 33 3 0
I Una matrice quadrata A si dice simmetrica se AT = A.
Esempi
A =
1 2 −32 0 −1−3 −1 9
, Im =
1 0 . . . 00 1 . . . 0...
......
0 0 . . . 1
5. Matrici - trasposta, simmetrica
I La trasposta di A = (aij): AT = (bij) con bij = aji
⇒ A ∈M(m, n, K )⇒ AT ∈M(n, m, K )Esempio A ∈M(3, 4, R)⇒ AT ∈M(4, 3, R)
A =
1 2 0 31 0 2 31 2 3 0
⇒ AT =
1 1 12 0 20 2 33 3 0
I Una matrice quadrata A si dice simmetrica se AT = A.
Esempi
A =
1 2 −32 0 −1−3 −1 9
, Im =
1 0 . . . 00 1 . . . 0...
......
0 0 . . . 1
5. Matrici - ortogonale
I Una matrice quadrata A si dice orthogonale se AAT = Im.
Esempio
A =
0 0 0 10 0 1 01 0 0 00 1 0 0
Nota: orthogonale ⇒ invertibile e A−1 = AT
5. Matrici - ortogonale
I Una matrice quadrata A si dice orthogonale se AAT = Im.Esempio
A =
0 0 0 10 0 1 01 0 0 00 1 0 0
Nota: orthogonale ⇒ invertibile e A−1 = AT
5. Matrici - ortogonale
I Una matrice quadrata A si dice orthogonale se AAT = Im.Esempio
A =
0 0 0 10 0 1 01 0 0 00 1 0 0
Nota: orthogonale ⇒ invertibile e A−1 = AT