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Fondamenti di Automatica Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale
Prof. Silvia Strada
Anno accademico 2018/2019 Appello del 15 Gennaio 2019
Nome:
Matricola: Firma:.........................................
Avvertenze:
• Il presente fascicolo si compone di 10 pagine fronte/retro (compresa la copertina).
• Durante la prova non è consentito uscire dall’aula per nessun motivo se non consegnando il compito o ritirandosi.
• Nei primi 30 minuti della prova non è consentito ritirarsi.
• Durante la prova non è consentito consultare libri o appunti di alcun genere.
• Non è consentito l’uso di calcolatrici con display grafico.
• Le risposte vanno fornite esclusivamente negli spazi predisposti. Solo in caso di correzioni o se lo spazio non è risultato sufficiente, utilizzare il retro della copertina del fascicolo.
• La chiarezza e l’ordine delle risposte costituiranno elemento di giudizio.
• Al termine della prova va consegnato solo il presente fascicolo. Ogni altro foglio eventualmente consegnato non sarà preso in considerazione.
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ESERCIZIO 1Si consideri il sistema dinamico continuo, lineare, tempo invariante descritto dalle seguenti equazioni:
x1(t) = 2x1(t) − x2(t)
x2(t) = −x2(t) + u(t)
y(t) = x2(t) + 3u(t)
1. Si dica, giustificando la risposta, se il sistema e asintoticamente stabile, semplicemente stabile o insta-bile.
2. Si scriva l’espressione del movimento libero dello stato, x(t), del sistema, con stato iniziale x(0) = [4 3]′.
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3. Si trovi l’espressione della funzione di trasferimento, G(s), del sistema assegnato, precisando (e moti-vando la risposta) se la stabilita del sistema puo essere studiata a partire dalla funzione di trasferimento.
4. Si disegni il grafico della risposta forzata in uscita dal sistema con u(t) = 2, t ≥ 0.
5. Si dica che valore ha la variabile valy in seguito ai comandi Matlab (le matrici (A,B,C,D) sono quelledel sistema dinamico assegnato all’inizio dell’esercizio):
� s=ss(A,B,C,D);� t=0:0.01:50;� u=2*ones(1,length(t));� [Y,T,X]=lsim(s,u,t,[0 0]’);� valy=Y(5000);
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ESERCIZIO 2Si considerino i diagrammi di Bode di modulo e fase (reali ed asintotici) mostrati in figura, relativi allarisposta in frequenza di un sistema lineare tempo invariante a tempo continuo.
10-1 100 101 102 103
pulsazione
-20
0
20
40
60dB
Diagramma di Bode - Modulo
10-1 100 101 102 103
-180
-90
0
grad
i
Diagramma di Bode - Fase
1. Si dica, motivando la risposta, se le seguenti affermazioni sono vere o false:
a) il sistema con funzione di trasferimento G(s) e di tipo zero.
b) il sistema con funzione di trasferimento G(s) e asintoticamente stabile.
c) il sistema con funzione di trasferimento G(s) ha grado relativo (differenza tra il numero dei poli edegli zeri) 1.
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d) il sistema con funzione di trasferimento G(s) ha tutti gli zeri e i poli reali.
2. Si tracci qualitativamente il diagramma polare della risposta in frequenza associata a G(s) e si dica,motivando la risposta, se il sistema in anello chiuso in figura, con R(s) = 1, asintoticamente stabile.
+
-
yw G(s)R(s) ue
3. Posto ora R(s) = k, con k > 0, si individuino i valori di k per cui il sistema in anello chiuso easintoticamente stabile.
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ESERCIZIO 3Si consideri il sistema di controllo in figura
+
-
yw G(s)R(s) ue +
+ d
con G(s) =s+ 10
s+ 1e−sτ .
1. Posto τ = 0 e scelto il regolatore R(s) =0.1
s, si verifichi se i seguenti requisiti sono verificati o meno,
giustificando brevemente le risposte:
1) il sistema in anello chiuso e asintoticamente stabile;
2) l’errore a transitorio esaurito a fronte di w(t) = −90 sca(t) e d(t) = ±77 sca(t) e nullo;
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3) la pulsazione critica del sistema in anello chiuso e ωc ≥ 5 rad/s;
4) il margine di fase e ϕm ≥ 30◦.
2. Con riferimento al sistema di controllo progettato al punto precedente si dica, giustificando la risposta,qual e il massimo valore del ritardo τ compatibile con l’asintotica stabilita del sistema in anello chiuso.
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3. Con riferimento al sistema di controllo del punto 1, si dica, giustificando la risposta, quanto valgonoil valore iniziale e finale dell’uscita del sistema (y(0) e y∞) quando:a) w(t) = 3sca(t) e d(t) = 0;b) w(t) = 0 e d(t) = −2sca(t).
ESERCIZIO 4Sia
A=
[1 −12 1
]la matrice dinamica di un sistema lineare, invariante e a tempo discreto.
1. Si trovino gli autovalori di A.
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2. Si dica se lo stato (0, 0) e uno stato di equilibrio asintoticamente stabile per il sistema x(k+1) = Ax(k).
3. Quante iterazioni delle equazioni di stato del sistema x(k + 1) = Ax(k) sono necessarie perche dallostato x(0) = [4 0]′ ci si porti allo stato x(k) = [−20 8]′?
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