23-04-2012

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Complessita’ computazionale ed il problema P / NP

Fondamenti di Informatica 2011/12

Lucchetto con combinazione (3 numeri tra 0 e 39) Perche’ e’ sicuro? (escludendo che lo si rompa)

Combinazione di 3 numberi 0-39… Un ladro dovrebbe provare

403 = 64,000 combinazioni

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Tempo esponenziale

Tempo 2n per risolvere instanze di “taglia” n

Da tener presente:

Per n =300, 2n > numero di atomi dell’universo.

Incrementando n di 1 ! running time raddoppia!

Soddisfacibilita’ di formule Booleane

" Esiste un assegnamento che la rende vera? " E se abbiamo 100 variabili? "  1000 variabili? " Quanto impiegheremmo per trovare

l’assegnamento che rende vera la formula?

(A + B + C) ! (D + F + G) ! (A + G + K) ! (B + P + Z) ! (C + U + X)

! = and + = or A = not A

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Esistono numerosi problemi computazionali la cui soluzione richiede “trovare un ago in un pagliaio”….

CLIQUE Problem "  In questo social network,

esiste una CLIQUE con 5 o piu’ studenti?

"  CLIQUE: Gruppo di studenti, in cui ogni coppia di studenti sono amici

"  Qual e’ un buon algoritmo per determinare clique?

"  In che misura l’efficienza di tale algoritmo dipende dalla taglia della rete e della clique cercata?

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Il problema di “spargere la voce” "  Social network "  Ogni nodo rappresenta uno

studente "  Due nodi sono connessi da un

arco se gli studenti sono amici "  Anna comincia a mettere “voci in

giro” "  La “voce” raggiungera’ Benjamin? "  Suggerite un algoritmo per

rispondere alla domanda "  Come cresce la complessita’

rispetto alla taglia della rete? "  I server della “rete” devono

risolvere tale problema continuamente.

Ricerca esaustiva / Esplosione Combinatoriale

Algoritmi Naïve per molti problemi tipo “ago nel pagliaio” finiscono per testare tutte le possibili soluzioni ! running time esponenziale.

"  Frequentissimo nell’universo computazionale

"  E’ possibile trovare algoritmi migliori (come per “Spargere la Voce”)? Per es., running time O(n2).

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Armonia di gruppo

Dato un Social network di n studenti.

Dove gli archi corrispondono a coppie di studenti che NON vanno d’accordo.

Decidi se esiste un insieme di k studenti che costituisca un gruppo in armonia (ognuno va d’accordo con ognuno).

E’ il problema della Clique mascherato!

Il commesso viaggiatore (il problema dei corrieri UPS)

"  Input: n locazioni e tutte le distanze tra coppie di punti, e una lunghezza k

"  Scopo: decidere se esiste un modo per visitare tutte le locazioni percorrendo in totale una distanza <= k

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Il problema dell’Orario

"  Input: n studenti, k corsi, liste degli studenti in ogni corso, m possibili orari per gli esami finali

"  “Conflitto”: uno studente e’ in due corsi con l’esame programmato alla stessa ora

"  Scopo: decidere se esiste la possibilita’ di programmare l’orario con al piu’ 100 conflitti?

Il problema P / NP "  P: problemi per i quali e’ possibile trovare una soluzione

in tempo polinomiale (nc dove c e’ una costante e n e’ la “taglia dell’input”). Esempi: “ricerca binaria”, “Spargi la voce”

"  NP: problemi per i quali una buona soluzione puo’ essere verificata in tempo nc. Esempi: Soddisfacibilita’ Booleana, Commesso Viaggiatore, Clique, Orario

"  Domanda: Vale P = NP?

(Nota: Indipendente dal Modello computazionele --- Turing-Post, pseudocodice, C, Java, etc.)

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Problemi NP-completi

I Problemi “piu’ difficili” nella classe NP # Se uno di essi in P allora ogni problema in NP

e’ anche in P.

Esempi: Soddifacibilita’, Commesso Viaggiatore, Clique,

Orario, …. e molti molti altri ancora (migliaia)

Come e’ possibile provare che tali problemi sono “I piu’ difficili”?

“Riduzione”

“Datemi un punto d'appoggio, ed io muoverò la Terra.”

– Archimedes (~ 250BC)

“Se mi date un algoritmo polinomiale per il problema della Soddifacibilita’ delle Formule Boolean, Vi darò un algoritmo polinomiale per ogni problema in NP.” --- Cook, Levin (1971)

“Ogni problema in NP è un problema di soddisfacibilità “mascherato”

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Cosa fare con I problemi NP-completi

1.  Euristiche (algoritmi che producono soluzioni ragionevoli per istanze reali)

2.  Algoritmi di Approssimazione (producono soluzioni sub-ottimali, ma con la possibilità di garantire il massimo margine di sub-ottimalità)

Teoria della Complessità Computazionale: Studio dei problemi computazionalmente difficili.

"  Studio dei processi ! focus sulla difficoltà computazionale

Una nuova prospettiva?

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Esempio 1: Economia Teoria degli equilibri:

"  Input: n agenti, ognuno con un portafoglio iniziale (beni, denaro, etc.) e con delle preferenze (funzione per misurare il guadagno)

"  Equilibrio: sistema di prezzi tale che per ogni bene, domanda = offerta.

"  Equilibrio esiste [Arrow-Debreu, 1954]. Gli Economisti assumono che i mercati lo trovino (come una “mano invisibile”)

"  Ma, non e’ noto alcun algoritmo efficiente per calcolarlo. Come fa il mercato a computarlo?

Esempio 2: Problema della Fattorizzazione

Dato un numero n, trova due numberi p, q (diversi da 1) tali che n = p x q.

Come possiamo risolverlo?

Infatti: Si “assume” che tale problema sia “difficile”. E’ alla base di gran parte della crittografia.

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Esempio 3: Quantum Computation

"  Principio fondamentale della meccanica quantistica: quando una particella va da A a B, usa tutti i possibili cammini allo stesso tempo

"  [Shor’97] Possiamo usare il comportamento quantistico per fattorizzare interi in maniera efficiente (e “rompere” protocolli crittografici)

"  E’ possibile costruire un computer quantistico, o la meccanica quantistica non descrive correttamente il nostro mondo fisico?

A B Peter Shor

Esempio 4: Intelligenza Artificiale

Qual’e’ la complessita’ computazionale di problemi quali riconoscimeto del linguaggio, giocare Ottimamente a scacchi?

Etc. etc.

Un possibile dimostrazione che il cervello non e’ un computer: Mostrare che esso continuamente risolve problemi che “necessariamente” (dimostrato) richiedono tempo esponenziale su un computer

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Perche’ la relazione P / NP e’ un problema da $1.000.000? "  Se P = NP allora soluzioni “brillanti” diventano la norma

(best schedule, best route, best design, best math proof, etc…)

"  Se P " NP allora sappiamo qualcosa di nuovo e fondazionale non solo rispetto alla scienza dei computer (analogo a “Niente viaggia piu’ veloce della luce”).

Altre implicazioni: Crittografia (uso pratico della complessità computaz. )