fondamenti e didattica della matematica - geometria ... · data nel caso bidimensionale...

Fondamenti e didattica della matematica -Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienzedella Formazione - Università Milano Bicocca -

a.a. 2007-2008

1 ottobre 2007

Marina Bertolini ([email protected])

Dipartimento di Matematica F.Enriques

Università degli Studi di Milano

Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a. 2007-2008 – p. 1/??

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Contenuti del corso


Geometria

Definizione e Proprietà delle figure geometricheenti geometrici fondamentali

figure geometriche piane: alcune definizioni eproprietà

Misuracosa significa misurare una grandezza

aree di figure geometriche piane

Trasformazioni geometricheisometrie e loro proprietà

similitudini e loro proprietà


Bibliografia

Alcuni testi consigliati:

M. Cazzola, Per non perdere la bussola, Ed.Decibel-Zanichelli, 2001.

M. Dedo’, Trasformazioni geometriche, Ed.Decibel-Zanichelli, 1996.

V. Villani, Cominciamo dal punto, Ed. Pitagora,Bologna, 2006.

Ma spesso è difficile confinare la matematica in un sololibro di testo. Potrà essere necessario rivedere concettiche già possedete (magari con uno spirito criticodiverso), e in questo caso potranno venirvi incontro altritesti che di volta in volta vi suggerirò.Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a. 2007-2008 – p. 4/??

Enti geometrici fondamentali

Punto

Retta

Piano

Le definizioni servono a chiarire il significato deitermini che si usano in un determinato contesto, alfine di evitare ambiguità e fraintendimenti.....Gli entifondamentali della geometria sono il punto, la retta,il piano. Perchè i matematici non ne precisano ilsignificato mediante opportune definizioni?(V.Villani)



Quante rette passano per un punto fissato...?

Quante rette passano per due punti fissati...?(chiodie filo)

Postulato : Due punti distinti determinano una e unasola retta passante per essi.



Quanti piani passano per un punto fissato...?

e per due punti fissati...? (porta e cardini)

e per tre punti fissati (non allineati)...? (tavolino a tregambe)

Postulato : Tre punti distinti e non allineatideterminano uno e un solo piano passante per essi.



Se una retta e un piano hanno due punti incomune...?

Per quali altre superficie vale questa proprietà?

Quanti piani contengono una retta fissata...?

Quanti piani contengono una retta fissata e un puntofuori di essa...?


Posizioni reciproche

Come si intersecano due rette in un piano?

Come si possono intersecano due rette nellospazio?

...e un piano e una retta?

Come si possono intersecare due piani nello spazio?


Proprietà delle figure geometriche



Quando facciamo geometria concentriamo l’attenzionesu particolari proprietà delle figure. Spesso le proprietàche andiamo a considerare importanti sono diverse aseconda del contesto.Consideriamo ad esempio la seguente figura



è un quadrato

il lato è lungo 5 quadretti

ha area 25

ha quattro lati

ha quattro angoli retti

Quali di queste proprietàsono riconoscibili anche inquesta figura?

E quali in questa?


Definizioni

Spesso il primo passo da compiere è quello di dare delledefinizioni.

Proviamo a dare la definizione di quadrato :

Definizione – Chiamiamo quadrato un quadrilatero contutti i lati e tutti gli angoli uguali.

Vi sarete accorti che molti di voi avranno pensato aqualcosa di diverso.

Non sempre c’è un solo modo per definire qualcosa. . .può succedere che due definizioni apparentementediverse siano in realtà equivalenti.


Quadrati?

figura geometrica piana con 4 lati uguali

è una figura piana che è un quadrilatero con 4 latiuguali e 4 angoli retti.

quadrilatero avente 4 lati uguali paralleli a 2 a 2, 4

angoli retti, 2 diagonali uguali

poligono regolare con 4 lati uguali

quadrilatero (poligono con 4 lati) regolare

figura geometrica con 4 lati uguali e diagonali uguali


Ancora sulle definizioni. . .


Diagonali

Proviamo a rispondere al seguente quesito:

Un quadrilatero ha . . . diagonali. Un pentagono ha. . . diagonali. Un esagono ha . . . diagonali.

Un cubo ha . . . facce, . . . vertici, . . . spigoli e . . .diagonali.

Una piramide a base esagonale ha . . . facce, . . .vertici, . . . spigoli e . . . diagonali.

Per rispondere è fondamentale concordare su cosa sivoglia chiamare “diagonale”!


Diagonali

Definizione – In un poligono, chiamiamo diagonale unqualsiasi segmento che unisce due vertici nonconsecutivi.

Un triangolo non ha diagonali.


Quadrilateri

Un quadrilatero ha due diagonali.

Diagonale: un qualsiasi segmento che unisce due verticinon consecutivi


Pentagoni

Un pentagono ha cinque diagonali

Diagonale: un qualsiasi segmento che unisce due verticinon consecutivi


Esagoni

Quante sono?

Un esagono ha6 · 3

2

diagonaliFondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a. 2007-2008 – p. 20/??

Diagonali di un poligono

Se assumiamo come definizione di diagonale


allora un poligono di n lati ha esattamente

n · (n − 3)

2

diagonali.

Se diamo una definizione diversa (cioè non equivalente)di diagonale, questa formula potrebbe perdere disignificato.


Diagonale ???

Consideriamo la seguente definizione

Definizione – In un poligono, chiamiamo diagonale unqualsiasi segmento che unisce due vertici.

In questo caso anche i lati devono essereconsiderati diagonali e quindi un quadrato ha seidiagonali e un poligono di n lati ha esattamenten·(n−3)

2+ n = n·(n−1)

2diagonali.


Il caso tridimensionale

Vorremmo tradurre al caso tridimensionale la definizionedata nel caso bidimensionale


traduciamo ‘poligono’ con ‘poliedro’

abbiamo però due modi diversi di tradurrel’espressione ‘non consecutivi’

che non appartengono allo stesso latoche non appartengono alla stessa faccia

Queste due possibilità danno origine a due definizioninon equivalenti. . .


Diagonali del cubo


Giusto o sbagliato?

Abbiamo quindi due possibili definizioni non equivalenti didiagonale in un poliedro

un qualsiasi segmento che unisce due vertici nonappartenenti alla stessa faccia

un qualsiasi segmento che unisce due vertici nonappartenenti allo stesso lato

Nessuna delle due definizioni è di per sé quella giusta oquella sbagliata: ci sono contesti in cui ha sensoutilizzare l’una piuttosto che l’altra.

Per questo prima di porre la domanda “quante sono lediagonali di un cubo?” occorre specificare qual è ilquadro di riferimento.


Quiz televisivi

Mi è capitato di sentire la seguente domanda

Qual è il numero massimo di angoli retti chepuò avere un trapezio?

Questa è proprio una domanda a cui non si può darerisposta se non si risolve l’ambiguità della definizione ditrapezio

un trapezio è un quadrilatero che ha almeno due latiparalleli

un trapezio è un quadrilatero che ha due e solo duelati paralleli

Di nuovo, queste definizioni non sono equivalenti eentrambe sono da considerarsi giuste o sbagliate aseconda del contesto.Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a. 2007-2008 – p. 26/??

Definizioni, Proprietà e Proprietà caratterizzanti


Quadrilateri

Chiamiamo quadrilatero un poligono (convesso)con 4 lati.

Chiamiamo trapezio un quadrilatero avente due esolamente due lati paralleli.

Chiamiamo trapezio isoscele un trapezio avente ilati obliqui uguali.

Proprietà: In un trapezio isoscele le diagonali sonouguali.

Avere le diagonali uguali è una proprietàcaratterizzante dei trapezi isosceli nell’insieme deiquadrilateri? e nell’insieme dei trapezi?


Parallelogrammi

Chiamiamo parallelogramma un quadrilateroavente i lati opposti paralleli.

Proprietà: In un parallelogramma i lati opposti sonocongruenti.

Proprietà: In un parallelogramma gli angoli oppostisono congruenti.

Proprietà: In un parallelogramma le diagonali sitagliano a metà.


Parallelogrammi

Le tre proprietà elencate sopra sono caratterizzantiper i parallelogrammi nell’insieme dei quadrilateri.Infatti vale che:

se un quadrilatero ha i lati opposti congruenti èun parallelogramma

se un quadrilatero ha gli angoli opposticongruenti è un parallelogramma

se un quadrilatero ha le diagonali che si taglianoa metà è un parallelogramma


Quadrati

Proprietà 1: In un quadrato le diagonali sono uguali.

Proprietà 2: In un quadrato le diagonali sonoperpendicolari.

La proprietà 1 è caratterizzante per i quadrati?No, vale per esempio anche per i rettangoli

La proprietà 2 è caratterizzante per i quadrati?No, vale per esempio anche per i rombi

Se le considero entrambe contemporaneamente?Si, infatti un se un parallelogramma ha lediagonali perpendicolari e congruenti è unquadrato


Misura


A cosa serve misurare?

Misurare una grandezza è un procedimento chepermette di associare alla grandezza un numero e quindidi operare con le grandezze in modo preciso e rigoroso.


Come facciamo a misurare?

Il modo migliore per introdurre il concetto di misura èproporre una attività pratica di misurare.

Immaginiamo di procedere alla misurazione di lunghezzae larghezza della stanza in cui ci troviamo, utilizzandovari campioni

un metro

un pezzo di corda

una sciarpa

un foglio di carta

. . .


Come facciamo a misurare?

Se vogliamo ad esempio misurare la lunghezza di questastanza, l’operazione di misura equivale a valutare ilrapporto tra la lunghezza che vogliamo misurare e lalunghezza di un campione (quante volte il campione stanella stanza).

Questo procedimento è quello che si effettua semprequando si deve misurare una grandezza.

Se il campione non è contenuto un numero intero di volte(avanza un pezzettino), suddividiamo il campione in partiuguali più piccole e procediamo con questo nuovocampione. Procediamo alla stessa maniera, fino a chenon otteniamo un campione contenuto un numero interodi volte.

Ma è sempre possibile?Questa procedura ha un termine?Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a. 2007-2008 – p. 35/??

Piano pratico/concreto

Il procedimento ha sempre termine nella pratica

perché quando la misurazione ha unaapprossimazione sufficiente ci si ferma;

perché lo strumento di misura non ci permettere disuddividere ulteriormente il campione.


Piano teorico/astratto

Dal punto di vista teorico

il procedimento ha termine se e solo se lagrandezza da misurare e il campione hanno unsottomultiplo comune;

per esempio se:G = 3u

oppure anche se:

G = 3(u

5) = (

3

5)u

in altre parole, il procedimento ha termine se e solose la misura è espressa da un numero razionale.


Piano teorico/astratto

Nel caso in cui il procedimento abbia termine, le duegrandezze (cioè la grandezza da misurare e il campione)sono dette commensurabili.

ATTENZIONE: esistono coppie di grandezze per cui ilprocedimento non ha termine, ad esempio

il lato e la diagonale del quadrato sono grandezzeincommensurabili.


Diagonale del quadrato

Notiamo che l’espressione incommensurabili nonsignifica affatto che non si può misurare o non si puòdeterminare

0 1

√2

1disegniamo ilquadrato con latodi lunghezza 1

2 la diagonale halunghezza

√2

3con il compassoriportiamo lalunghezza delladiagonale sullaretta


Approssimazioni di numeri reali

I numeri razionali sono densi nei numeri reali. Questosignifica che ogni numero reale può essere approssimatoin maniera efficiente da un numero razionale.

Questo giustifica il fatto che quando effettuiamo unamisurazione possiamo essere sicuri che, anche se laprocedura non dovesse aver termine, raggiungiamocomunque un livello in cui l’approssimazione è adeguata.

Vediamo proprio il caso di√

2. Consideriamo unaapprossimazione con due cifre decimali: il numero reale√

2 è compreso tra i numeri razionali 1, 41 e 1, 42, quindiil punto corrispondente a

√2 sarà uno dei punti compresi

tra il punto corrispondente a 1, 41 e il puntocorrispondente a 1, 42.


Approssimazioni di numeri reali

Se effettuiamo un disegno molto ingrandito, siamo ingrado di percepire la differenza tra 1, 41 e 1, 42 e quindil’approssimazione a due cifre non è sufficiente apermetterci di individuare il punto corrispondente a

√2

1 2

1, 41 1, 42

√2

Se il disegno è di dimensioni “normali” non siamo più ingrado di percepire la differenza

1 2

1, 41 1, 42

√2

3 4 5 6 7 8 9 10 11

Qui l’approssimazione a una cifra è più che sufficiente epossiamo assumere

√2 = 1, 4.


Misurazioni

Ma come possiamo valutarel’approssimazione della misurazione?

Qual è un margine di errore “accettabile”?

Il margine di errore è principalmente determinatodallo strumento utilizzato.Ad esempio se misuriamo il foglio di carta A4 con unrighello, possiamo ottenere una misura “a meno diun millimetro”La nostra misurazione del foglio A4 sarà perciò21, 0 ± 0, 1 cm di larghezza e 29, 7 ± 0, 1 cm dialtezza


Misurazioni

In altre parole, scrivendo che la larghezza è

21, 0 ± 0, 1 cm

intendiamo che la misura “esatta” è un valore compresotra 20, 9 cm e 21, 1 cm

È anche possibile valutare l’errore percentuale , cioèconfrontare l’errore nella misurazione con la grandezzache si vuole misurare.

0, 1

21

Un errore dello 0, 5% è intrinseco nella misurazione chestiamo effettuando.


Misurazioni

Se passiamo a considerare le aree, l’errore riportatonelle misurazioni lineari si ripercuote sull’area

Si ha infatti

la misura della larghezza è un valore compreso tra20, 9 cm e 21, 1 cm

la misura dell’altezza è un valore compreso tra29, 6 cm e 29, 8 cm

Applicando la formula dell’area del rettangolo si ha

la misura dell’area è un valore compreso tra20, 9 × 29, 6 = 618, 64 cm2 e21, 1 × 29, 8 = 628, 78 cm2

con un margine di errore di 10, 14 cm2

(ovvero ±5, 07 cm2).Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a. 2007-2008 – p. 44/??

Misurazioni

Un errore di ±0, 1 cm nella misurazione delle lunghezzeci porta un errore di ±5 cm2 nella misurazione dell’area

Una volta valutato l’errore della misurazione ci rendiamoconto che la misura dell’area è 623 ± 5 cm2.

quindi non avrebbe senso esprimere l’area del foglio A4

con questi numeri:

623, 403

623, 7

619, 5

Infatti la parte decimale è del tutto irrilevante.


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