Fondazione point-free della matematica

Dr M Benini

Dipartimento di Scienza e Alta TecnologiaUniversità degli Studi dell’Insubria

24 giugno 2015

La questione di fondo

E’ possibile immaginare una fondazione priva di punti?

In termini concreti, possiamo pensare di dare significato alla matematica“comune”, senza presupporre l’esistenza di un qualche universo in cuiinterpretare gli oggetti di cui intendiamo trattare in una teoria matematica?Ad esempio, è possibile dare un senso all’analisi prescindendo dall’esistenzadei numeri reali o complessi?

Anche, possiamo immaginare di dare un senso al concetto di “calcolabile”senza dover fare riferimento ad una macchina reale o astratta?

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Un mondo senza punti?

Sia T una teoria, ovvero un insieme di assiomi, scritta in un linguaggiofissato L nella logica intuizionista al primo ordine.

■ se assumiamo anche che T e L siano effettivi, ci stiamo ponendo nellacondizione di considerare tutta la ‘matematica comune’

■ infatti, senza imporre ulteriori condizioni, possiamo ottenere la logicaclassica richiedendo che T contenga tutte le istanze del principio delterzo escluso, e questo non modifica l’effettività di T

L’idea è fornire un mondo dove T possa essere interpretata adeguatamente eche sia “privo di punti”, in cui i termini non vengano interpretati in qualcheuniverso di cui dobbiamo presupporre l’esistenza.

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Categorie logiche I

Fissato un linguaggio e un gruppoide G di termini logici, una categoriaprelogica è una coppia ⟨C,Σ⟩ tale che1. C è una categoria con prodotti finiti, coprodotti finiti e esponenziazione;2. per ogni formula A e ogni variabile x : s in G, ΣA(x : s): G→C è un

funtore, detto funtore di sostituzione, tale che, per ogni altra variabiley : s, ΣA(x : s)(x : s)=ΣA(y : s)(y : s);

3. per ogni variabile x : s, e ogni termine t : s,3.1 Σ⊥(x : s)(t : s)= 0, l’oggetto iniziale in C;3.2 Σ>(x : s)(t : s)= 1, l’oggetto terminale in C;3.3 per ogni A e B, ΣA∧B(x : s)(t : s)=ΣA(x : s)(t : s)×ΣB(x : s)(t : s), il

prodotto binario in C;3.4 per ogni A e B, ΣA∨B(x : s)(t : s)=ΣA(x : s)(t : s)+ΣB(x : s)(t : s), il

coprodotto binario in C;3.5 per ogni A e B, ΣA⊃B(x : s)(t : s)=ΣB(x : s)(t : s)ΣA(x :s)(t:s), l’esponenziale

in C.4. per ogni formula A, per ogni variabile x : s e per ogni termine t : s in G,

ΣA(x : s)(t : s)=ΣA[t/x ](x : s)(x : s), giustificando il nome del funtore.

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Categorie logiche II

Questa definizione tecnica consente di usare la categoria prelogica ⟨C,Σ⟩come un mondo coerente ove interpretare la logica intuizionistaproposizionale.I funtori di sostituzione modellano l’operazione di sostituzione di unavariabile con un termine. Non solo, essi permettono di definire il concetto diinterpretazione, associando ad ogni formula proposizionale un oggetto dellacategoria: MA=ΣA(x : s)(x : s), per una qualsiasi variabile x : s.Naturalmente, il problema è definire come interpretare i quantificatori.

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Categorie logiche III

Una stella S su una formula A e una variabile x : s è una sottocategoria di Ctale per cui1. i suoi oggetti sono i vertici v dei coni su ΣA(x : s) tali che v =MB per

qualche formula B e x : s 6∈FV(B);2. esiste un oggetto MC in S, il suo centro, tale che tutti i morfismi in S

sono le identità oppure frecce nella categoria dei coni su ΣA(x : s) conMC come codominio.

In modo duale, si definisce la nozione di costella.Informalmente, associando a ogni formula ∀x : s A una stella su A e x : s, ilsuo centro diviene il candidato naturale per M∀x : s A.

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Categorie logiche IV

Una categoria prelogica ⟨C,Σ⟩ è detta essere logica quando, per ogni formulaA e ogni variabile x : s,1. esiste una stella su A e x : s, denotata come C∀x :s A, che abbia un oggetto

terminale; inoltre, M∀x : s A è il centro di C∀x :s A;2. dualmente, esiste una costella su A e x : s, denotata da C∃x :s A, avente un

oggetto iniziale; inoltre, M∃x : s A è il centro di C∃x :s A.

Si può dimostrare che1. le formule e le dimostrazioni di ogni teoria T esprimibile nel linguaggio al

primo ordine e nella logica intuizionista, sono interpretabili su questastruttura in modo naturale.

2. questa interpretazione è corretta e completa: ogni formula dimostrabile èvera in ogni modello della teoria, e viceversa.

3. ogni modello della teoria T in ogni topos elementare, può esseretrasformato in un modello equivalente (che preserva la validità dellemedesime formule) in una categoria logica.

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Il ruolo dei termini

Come vengono interpretati i termini?

■ Le variabili determinano quali siano le sottocategorie C∀x : s .A e C∃x : s .A■ Le variabili determinano anche il modo in cui le sostituzioni possanoavere luogo

■ I termini, in combinazione con le variabili, contribuiscono all’operazionedi sostituzione, completandone la definizione

Le sostituzioni, a loro volta, hanno lo scopo di “legare” opportunamente leformule nelle sottocategorie C∀x : s .A e C∃x : s .A.E’ chiara l’ispirazione topologica della costruzione. In particolare, è evidenteche i termini non vengono interpretati in un qualche universo, e la lorofunzione è unicamente di “incollare” le formule nelle sottocategorie checontrollano l’interpretazione dei quantificatori.

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Estensioni

In realtà la definizione presentata è una semplificazione: non è necessarioassumere di avere un gruppoide di termini logici. In effetti, la nozione divariabile, e di variabile libera in una formula, possono essere sintetizzate apartire dai funtori di sostituzione, rendendo la sintassi dei terminicompletamente astratta, e consentendo di usare ogni gruppoide come sefosse una sintassi.Inoltre, la semantica illustrata consente di interpretare una estensione dellateoria dei tipi, in modo sostanzialmente consistente con la teoria omotopicadei tipi, pur essendone più limitata in espressività. Da questo fatto nasce ladefinizione astratta di calcolabilità.Infine, la semantica vista come interpretazione di una teoria dei tipi,naturalmente suggerisce di interpretare i tipi come modelli di teorie logiche.

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Modelli di teorie inconsistenti

Ma le teorie non consistenti hanno un modello!Si. Le teorie contradditorie hanno come modelli esattamente le categorielogiche in cui l’oggetto terminale e iniziale coincidono.Ovvero, in termini logici, i modelli di una teoria contradditoria sono quelli incui il vero e il falso sono identificati.Dal punto di vista computazionale ciò ha perfettamente senso: se unaspecifica è contraddittoria, un programma che la implementa, computa. E ilmodello rende conto di questa attività di computazione.

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Incompletezza

Quindi l’aritmetica è completa. E il teorema di Gödel?Il primo teorema di incompletezza di Gödel continua a valere, e quindi ancheil secondo. Ma la parola “completo” nel suo enunciato deve essere letta inmodo corretto: esso dice che esiste almeno un enunciato che non può esseredimostrato pur essendo vero sul modello standard dei numeri naturali.Quindi, se ne deduce che esistono più modelli, e, in particolare, duecategorie logiche distinte, una nella quale esiste una freccia 1→G e un’altranella quale tale freccia è assente. Entrambe le categorie fungono da modelliper l’aritmetica.Pertanto l’enunciato G , indimostrabile, non è vero in tutti i modelli e non ènemmeno falso in tutti i modelli. Esattamente come accade nei modelliinsiemistici classici, con la semantica di Alfred Tarski. Quindi al prim’ordineè impossibile scrivere una teoria che individui esattamente i numeri naturali ele usuali operazioni aritmetiche.

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Rappresentazioni alternative

Questo tipo di semantica genera automaticamente una rappresentazione“sintattica” per i termini. E, ogni altra rappresentazione devenecessariamente essere coerente con questa—in un certo senso, larappresentazione sintattica è minimale.Questo significa che, ad esempio, nel caso di algoritmi numerici, l’insiemedei termini coincide con la rappresentazione effettiva dei numeri, data dallacombinazione dei numeri come elementi nella memoria di un calcolatore, edalle funzioni calcolabili che su tali elementi possono essere costruite. Lasemantica garantisce che ogni valore che possa essere calcolato corrispondead un programma, davvero costruito dall’algoritmo numerico, e che fornisceun metodo per calcolare il valore desiderato con una precisione arbitraria, econtrollabile, avendo “abbastanza” spazio e tempo per “scrivere” il valorenel formato usuale.

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ConclusioneQuesta attività di ricerca è attualmente supportata da due progetti:■ Abstract Mathematics for Actual Computation: Hilbert’s Program

in the 21st Century, 2014-2016, John Templeton Foundation, CoreFunding. Partner: University of Leeds (UK)

■ Correctness by Construction, 2014-2017, FP7-PEOPLE-2013-IRSES,gr.n. PIRSES-GA-2013-612638. Partner: University of Leeds (UK),University of Strathclyde (UK), Swansea University (UK), StockholmsUniversitet (SE), Universitaet Siegen (DE), Ludwig-MaximiliansUniversitaet Muenchen (DE), Università degli Studi di Padova (IT),Università degli Studi di Genova (IT), Japan Advanced Institute ofScience and Technology (JP), University of Canterbury (NZ), TheAustralian National University (AU), Institute of Mathematical Sciences(IN), Carnegie Mellon University (US), Hankyong National University(KR), Kyoto University (JP), National Institute of Informatics (JP),Tohoku University (JP), University of Gothenburg (SE), University ofLjubljana (SI)

CC© BY:© $\© C© Marco Benini 2015

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