2009

Forelesning nr.7 INF 1410

Kondensatorer og spoler

2009

Oversikt dagens temaer

Funksjonell virkemåte til kondensatorer og spoler

Konstruksjon og fysisk virkemåte

Modeller for kondensatorer og spoler

Analyse av kretser med kondensatorer og spoler

KVL, KCL og superposisjon for RCL kretser

17.02.2009 INF 1410 2

2009

Innledning

Kondensatorer og spoler er passive elementer, dvs at de

ikke kan levere en gjennomsnittlig effekt større enn 0 over

uendelige store tidsintervall

Kondensatorer og spoler regnes for å være lineære

elementer

I motsetning til resistoren, er strøm/spennings-relasjonene

for kondensatorer og spoler også avhengig av om

strømmen gjennom/spenningen over elementet er

tidsinvariant eller ikke

17.02.2009 INF 1410 3

2009

Kondensator

En kondensator er et element som består av to plater av

ledende materiale med isolasjon i mellom platene

Energien som kreves for å flytte ladning inn på platene er

gitt av

17.02.2009 INF 1410 4

Cvq

2009

Kondensator (forts)

Sammenhengen mellom strømmen gjennom og

spenningen over en kondensator er gitt av

Konstanten C kalles kapasitans og måles i enheten Farad

Kondensatorer kommer i ulike innpakninger

17.02.2009 INF 1410 5

dt

dvC

dt

dqi

2009

Kondensator (forts)

Konstant spenning gir 0

strøm a)

Ved et sinus-signal vil

strøm og spenning være

forskjøvet 90 grader,

siden

17.02.2009 INF 1410 6

)tsin())t(cos(dt

d

2009

Kondensator (forts)

Begrepsmessig er kondensatoren litt utfordrende, fordi

man refererer til en strøm gjennom elementet, selvom det

er isolasjon mellom de to platene

”Ledningsevnen” skyldes lagring av elektrisk ladning og

oppstår fordi potensialforskjellen skaper et elektrisk felt

mellom de to platene.

Positive ladninger vil derfor flyte inn fra den ene siden, og

negative inn fra den andre (mao positive ut).

Den eksakte strømmen kan modelleres med

elektromagnetiske feltligninger for feltet mellom platene.

17.02.2009 INF 1410 7

2009

Kondensator (forts)

Kapasitansen C er gitt av følgende ligning:

der d er avstanden mellom de ledende platene, A arealet av platene, og Ɛ isolasjonsevnen til det isolerende

materialet.

Fra strøm-spenningsligningen, ser man at kondensatoren

isolerer for likestrøm, og leder vekselstrøm.

Desto høyere frekvens, desto mer strøm flyter

17.02.2009 INF 1410 8

d

AC

2009

Spenningsligning for kondensator

Strømmen gjennom kondensatoren er gitt av

For å finne et uttrykk for spenningen som funksjon av

strømmen kan man integrere begge sider ligningen:

Kan eventuelt uttrykkes som et ubestemt integral

17.02.2009 INF 1410 9

dt)t(iC

1dv

dt

dvC)t(i

)t(v'dt)'t(iC

1)t(v 0

t

t0

kidtC

1)t(v

2009

Eksempel strømendring Skal strømmen for en kondensator med kapasitans

C=1mF, gitt følgende spenning:

17.02.2009 INF 1410 10

2t0

2t110t20

1t010t

0t0

v

2t0

2t110

1t010

0t0

i2

2

dt

dv1mFi

2009

Eksempel ladningsendring Antar spenningsendring i tiden t og ønsker å finne

kondensatorstrømmen

Strømmen øker omvendt proporsjonalt med tiden

t=0 vil gi uendelig strøm som ikke er mulig i praksis

siden strømmer er alltid endelige

17.02.2009 INF 1410 11

0t0

Δtt0Δt

1C

0t0

i

2009

Egenskaper ved en ideell kondensator

Ingen strøm går gjennom kondensatoren ved likestrøm

Kondensatoren kan lagre en endelig mengde energi

selvom det ikke går strøm gjennom kondensatoren,

forutsatt at det er en konstant spenning over den

Spenningen over en kondensator kan ikke endres på null

tid, siden dette vil kreve en uendelig stor strøm

I en fysisk kondensator vil ladninger lekke ut over tid,

mens en ideel kondensator kan lagre en endelig lading

uendelig lenge

17.02.2009 INF 1410 12

2009

Induktorer En induktor eller spole består av en elektrisk leder med

isolasjon utenpå som er surret rundt en metallkjerne

Det matematiske uttrykket for strøm-spenning gjennom en

induktor er gitt av

Ved likespenning vil en spole ha null motstand, mens

motstanden øker med økende frekvens17.02.2009 INF 1410 13

dt

diLv

2009

Induktorer

Konstanten L kalles for induktans og måles i henry (H)

Induktansen er et mål for for godt spolen kan lagre

magnetisk fluks

Magnetisk fluks lagrer energi

17.02.2009 INF 1410 14

2009

Induktorer (forts)

For en kjerne som består av en

metallstav vil induktansen være gitt av

der A er tverrsnittet til staven, l

aksiallengden til spiralen, N antall

viklinger av det ledende materialet rundt

metallstaven, og µ permeabiliteten til

kjernematerialet.

17.02.2009 INF 1410 15

l

AμNL

2

2009

Induktorer (forts) Sammenheng mellom strøm og spenning over en spole med L=3H

17.02.2009 INF 1410 16

2009

Induktorer (forts)

Hvis strømmen gjennom en

induktor endres momentant, vil en

svært høy spenning oppstå.

Denne effekten kan benyttes til å

lage høyspenning, f.eks for å lage

gnister til tennplugger i

bensinmotorer

Som regel er en slik høyspenning

uønsket, slik at man må forhindre

slike brå endringer i strømmen

17.02.2009 INF 1410 17

2009

Strømligning for en induktorer

Spenningen over en spole er gitt ved

Ved å integrere den siste ligningen får man at

som igjen gir at

17.02.2009 INF 1410 18

vdtL

1di

dt

diLv

t

t0

t

t

)t(i

)t(i 000

'vdtL

1)t(i)t(i'dt)'t(v

L

1'di

)t(i'vdtL

1)t(i 0

t

t0

2009

Egenskaper ved en ideell induktor

Det er ingen spenning over en spole hvis strømmen

gjennom den ikke forandrer seg over tid

Induktoren kan lagre en endelig mengde energi selvom

det ikke er et spenningsfall over den, forutsatt at det er en

konstant strøm gjennom den

Strømmen gjennom en spole kan ender på null tid bare

hvis man anvender en uendelig stor spenning

En ideell induktor vil kunne lagre energi til evig tid. I

praksis vil det imidlertid være en liten ohmsk motstand,

noe som vil føre til at energien går over til varme.

17.02.2009 INF 1410 19

2009

Spoler i serie

Ønsker å finne samlet induktans Leq når spoler er koblet i serie

Fra KVL får vi at

17.02.2009 INF 1410 20

N

1nnN21

N21N21s

Ldt

di

dt

di)LL(L

dt

diL

dt

diL

dt

diLvvvv

2009

Spoler i serie

Spenningen over spolen i b) er gitt av

Siden vi ønsker at de to kretsene skal være ekvivalente må

derfor

17.02.2009 INF 1410 21

dt

diLv eqs

N21eq LLLL

2009

Spoler i parallell

17.02.2009 INF 1410 22

t

t

0

N

1nn

N

1n n

N

1n

t

t

0n

n

N21s

0

0

)(tivdt'L

1

)(tivdt'L

1

iiii

Bruker KCL på serienettverket

Ekvivalentstrømmen er )(tivdt'L

1i 0s

t

teq

s

0

2009

Spoler i parallell

17.02.2009 INF 1410 23

Skal a) og b) være ekvivalente må

derfor

Dette er også ekvivalent med

parallellkobling av resistanser

N

eq

Neq

LLL

LLL

111

1

1111

21

21

L

L

2009

Kondensatorer i serie

17.02.2009 INF 1410 24

Skal a) og b) være ekvivalente må

spenningene være like. Spenningen over

seriekoblingen er

Spenningen over ekvivalentkoblingen er

N

1n

t

t

0n

n

N

1nns

0

)(tvidt'C

1vv

)(tvidt'C

1v 0s

t

teq

s

0

2009

Kondensatorer i serie

17.02.2009 INF 1410 25

• Hvis kretsene skal være ekvivalente,

må

• Dette er ikke ekvivalent med

seriekobling av spoler og motstander

N

eq

Neq

CCC

CCC

111

1

1111

21

21

C

C

2009

Kondensatorer i parallell

17.02.2009 INF 1410 26

• Siden summen av strømmene i

parallelkoblingen må være lik strømmen

i ekvivalentkretsen

• Dette er ikke ekvivalent med

parallellkobling av spoler og motstander

N21eq CCCC