Formalní axiomatické teorie

Teorie relací

2Teorie relací

Teorie

• Formální teorie je dána– Jazykem

• formální jazyk prvořádové teorie je jazyk důkazového kalkulu (množina dobře utvořených formulí – DUF)

– Množinou axiomů• je podmnožinou DUF a skládá se z:

– množiny logických axiomů (logicky pravdivé)– množiny speciálních axiomů (pravdivé v zamýšlené

interpretaci)

– Množinou dedukčních pravidel• množina dedukčních pravidel daného kalkulu

• Formální teorie je množina všech formulí, které lze dokázat z axiomů teorie.

3Teorie relací

Teorie

• Důkaz formule A v teorii T (T| A) je posloupnost kroků (DUF) takových, že:– poslední krok je formule A– každý krok důkazu je buď

• logický axiom nebo• speciální axiom nebo• formule získána aplikací dedukčního pravidla na některou z

předchozích formulí posloupnosti

• Hilbertův kalkul a přirozená dedukce jsou speciální typy teorií (bez speciálních axiomů, pouze logické axiomy a korektní ded. pravidla) => dokazovat lze pouze logicky pravdivé formule.

4Teorie relací

Teorie

• Nejdůležitější teorie– Teorie aritmetiky

• Robinsonova aritmetika (Q), Peanova aritmetika (PA)– viz: minulá přednáška

– Teorie relací• teorie uspořádání• teorie ekvivalence• Atd.

– Algebraické teorie• teorie grup, okruhů a těles• teorie svazů• Atd.

5Teorie relací

Teorie ostrého uspořádání

• Teorie ostrého uspořádání verze 1:speciální znaky: =, < binární predikáty

– Logické axiomy: axiomy Hilbertova kalkulu– Speciální axiomy:

• O1. x (x = x) reflexivita• O2. x y [(x=y) (y=x)] symetrie• O3. x y z [(x=y y=z) (x=z)] transitivita• O4. x y z [(x=y x<z) (y<z)]• O5. x y z [(x=y z<x) (z<y)]• O6. x y [(x<y) (y<x)] asymetrie• O7. x y z [(x<y y<z) (x<z)] transitivita• O8. x y [x=y x<y y<x]• O9. x y [x<y]• O10.x y [y<x]• O11.x y [x<y z [x<z z<y]]

6Teorie relací

Teorie ostrého uspořádání• Teorie ostrého uspořádání verze 2

– speciální znaky =, < binární predikáty– Logické axiomy: axiomy Hilbertova kalkulu– Speciální axiomy:

• V1. x y [x<y (y<x)] asymetrie• V2. x y z [(x<y y<z) x<z] transitivita• V3. x y [x=y x<y y<x]• V4. x y [x<y]• V5. x y [y<x]• V6. x y [x<y z [x<z z<y]]

• Teorie rovnosti: O1-O3 • Teorie ostrého uspořádání (O1-O7) nebo (V1-V2) • Teorie lineárního ostrého uspořádání: O1-O8 nebo V1-V3• Teorie hustého uspořádání: O1-O11 nebo V1-V6

7Teorie relací

Příklady, modely• Teorie rovnosti (ekvivalence)

– O1. x (x = x) reflexivita– O2. x y [(x=y) (y=x)] symetrie– O3. x y z [(x=y y=z) (x=z)] transitivitaKaždá teorie T definuje množinu svých modelů, tj. interpretací, ve kterých

jsou pravdivé axiomy teorie („teorie v kostce“).Příklad modelů:1. Universum = množina přirozených čísel

– Symbol ‘=‘ je interpretován jako identita čísel.

2. Universum = množina přirozených čísel– Symbol ‘=‘ je interpretován jako relace „modulo 5“ (mít stejný zbytek po dělení 5)

3. Universum = množina individuí– Symbol ‘=‘ je interpretován jako relace „být stejně vysoký“

4. Universum = množina individuí– Symbol ‘=‘ je interpretován jako relace „být stejné hmotnosti“

5. Universum = množina DUF jazyka PL1– Symbol ‘=‘ je interpretován jako relace ekvivalence formulí (tj. mít přesně stejné modely)

6. atd.

Příklady, modely

• Teorie ostrého uspořádání– V1. x y [x<y (y<x)]

asymetrie– V2. x y z [(x<y y<z) x<z] transitivita

Příklady modelů:1. Universum = množina přirozených čísel

• Symbol ‘<‘ je interpretován jako relace ostře menší (<)

2. Universum = potenční množina 2M (kde M je libovolná množina, např. individuí)

• Symbol ‘<‘ je interpretován jako relace (být vlastní podmnožinou)

3. Universum = množina individuí• Symbol ‘<‘ je interpretován jako relace „být potomkem“

Příklady, modely• Pro každou relaci R, která splňuje axiomy ostrého uspořádání, platí, že R je:

– Ireflexivní (žádný prvek není v relaci sám se sebou)– Asymetrická (je-li R(a, b) pak není R(b, a))– Transitivní

• Důkaz, že ostré uspořádání je ireflexivní (rezoluční metodou):A1: x y [x<y (y<x)] (asymetrie)

---------------------------------------x (x<x) (ireflexivita) x (x<x)

A1 x y [(x<y) (y<x)]

1. (x<y) (y<x)3. (a<a)4. (a<a) 1., 3. x/a, y/a5. # 3., 4.

Negovaný závěr je ve sporu s předpokladem, tedy původní závěr vyplývá, tedy v dané teorii je platná ireflexivita.

Teorie relací 9

Příklady, modely • Pro každou relaci R, která splňuje axiomy ireflexivity a transitivity, platí, že R

je asymetrická:– Tedy ostré uspořádání opravdu stačí definovat pouze dvěma z výše

uvedených tří axiomů (transitivita je nutná, + ireflexivita nebo asymetrie)• Důkaz (rezoluční metodou):A1: x (x<x)

ireflexivitaA2: x y z [(x<y y<z) x<z] transtitivita

---------------------------------------x y [(x<y) (y<x)] asymetrie

důkaz rezoluční metodou:

1. (x<x)2. (x<y) (y<z) (x<z)3. (a<b) negovaný4. (b<a) závěr + skolemizace5. (b<z) (a<z) 2.,3.: x/a, y/b6. (a<a) 4., 5.: z/a7. Spor 1., 6.: x/a

Negovaný závěr je ve sporu s předpoklady, tedy původní závěr vyplývá.

11Teorie relací

Částečné (neostré) uspořádání• Teorie částečného uspořádání

– speciální znaky: binární predikát – Logické axiomy: axiomy Hilbertova kalkulu– Speciální axiomy:

• PO1. x (x x) reflexivita• PO2. x y [((x y) (y x)) x=y] anti-symetrie• PO3. x y z [((x y) (y z)) (x z)] transitivita

‘=’ znak pro identituKaždá struktura U, R, která je modelem této teorie, se nazývá

částečně uspořádaná množina. Příklady: N, , kde N je množina přirozených čísel a je relace menší

nebo rovno na číslech. 2M, , kde 2M je množina všech podmnožin dané množiny M a

je relace být (vlastní či nevlastní) podmnožinou

12Teorie relací

Quasi uspořádání• Někdy se stává, že chceme zavést částečné uspořádání R

na množině M, ale relace R není antisymetrická. Potom můžeme využít teorii quasi uspořádání:– speciální znaky: binární predikát – Logické axiomy: axiomy Hilbertova kalkulu– Speciální axiomy:

• PO1. x (x x) reflexivita• PO3. x y z [((x y) (y z)) (x z)] transitivita

Struktura U, R, která je modelem této teorie, kde relace R není antisymetrická, se nazývá quasi-uspořádaná množina.

Příklad: U = množina všech DUF, kde relace R je definována jako:F1, F2 DUF, R(F1, F2) =df F2 |= F1

Tato relace není asymetrická, neboť, je-li F2 |= F1 a F1 |= F2, pak jsou sice formule F1, F2 ekvivalentní, F1 F2 (mají stejné modely), ale není pravda, že jsou identické.

Např. formule p q, p q jsou ekvivalentní, ale nejsou to identické formule.

13Teorie relací

Teorie ekvivalence– speciální znaky: binární predikát – Logické axiomy: axiomy Hilbertova kalkulu– Speciální axiomy:

• Ek1. x (x x) reflexivita• Ek2. x y [((x y) (y x))] symetrie• Ek3. x y z [((x y) (y z)) (x z)] transitivita

Příklad modelu:

relace ekvivalence nad množinou DUF, kde

F1 F2 právě když

(F1, F2 DUF, F1 |= F2 F2 |= F1)

14Teorie relací

Rozklad na množiněJestliže máme quasi-uspořádanou množinu <M, >, a relace

není antisymetrická, pak můžeme částečně uspořádat dle množinu ekvivalenčních tříd, neboť každá ekvivalence definuje rozklad na množině M:

• Definice: rozklad na množině A je množina X = { Xi ; i I } taková že:

• Xi A pro i I (Xi jsou vzájemně disjunktní

• Xi Xj = Ø pro i,j I, i j podmnožiny A)Xi = A (sjednocení Xi pokrývá celou A)

Xi – třídy rozkladu• Definice: Nechť je relace ekvivalence na množině A. Nechť

[x] = {y A; y x}. Pak A/ = {[x]; x A} se nazývá faktorová množina množiny A podle ekvivalence .

• Věta: Množina A/ je rozklad na množině A.

Faktorová množina, rozklad

[0]

[1]

[2]

[3][0] {x; x0}

[1] {x; x1}

[2] {x; x2}

[3] {x; x3}

[4] {x; x4}

[4]

16Teorie relací

Rozklad na množině: příklad

• Definujeme relaci ekvivalence 5 (modulo 5) na množině celých čísel Z takto (5 ZZ): 5 = {(x,y); 5 dělí x-y }. (Ověřte, že je to ekvivalence!)

• Pak Z/5 {[0], [1], [2], [3], [4]}, kde[0] = {…-5, 0, 5, 10, 15, …}[1] = {…-9, -4, 1, 6, 11, …}[2] = {... -8, -3, 2, 7, 12, 17, ... }[3] = {... -7, -2, 3, 8, 13, 18, ... }[4] = {... -6, -1, 4, 9, 14, 19, ... } Je rozklad na množině Z.

Částečné uspořádání faktorové množiny

• Příklad (pokračování):• Definujeme částečné uspořádání 5 na množině Z/5 z

předchozího příkladu:• [x] [y] iff (x/5)zb (y/5)zb, kde (i/5)zb= r a i=k*5+r; x, y je

libovolný reprezentant dané třídy.• Důkaz, že definice je korektní (nesmí záviset na výběru

reprezentantů):– [x]=[x’], [y]=[y’] a [x] [y] pak musí být [x’] [y’]:– Je-li [x]=[x’], pak x=k*5 + r1, x’=k’*5 + r1

– Je-li [y]=[y’], pak y=l*5 + r2, y’=l’*5 + r2

– Tedy [x] [y] iff [r1] [r2] iff [x’] [y’].

• Důkaz, že takto definovaná relace je částečným uspořádáním – cvičení.

18Teorie relací

Teorie relací, shrnutí příkladů

• quasi uspořádání1. „množiny X a Y jsou v relaci, pokud |X||Y|

(kardinalita X je menší nebo rovna kardinalitě Y)2. relace dělitelnosti na množině celých čísel3. „nebýt starší“ na množině lidí

• částečné uspořádání– relace množinové inkluze ( ) na množině množin– relace dělitelnosti na množině přirozených čísel– relace částečného uspořádání nad množinou DUF/ , kdy F1,

F2 DUF, [F1] [F2] právě když F2 |= F1

• ekvivalence– relace ekvivalence na množině DUF, kdy F1, F2 DUF,

F1 F2 právě když F1 |= F2 a F2 |= F1.

19Teorie relací

Teorie relací

• Obecně speciální axiomy zapisujeme ve tvaru: x R(x,x) reflexivita x R(x,x) i-reflexivita x y [R(x,y) R(y,x)] symmetrie x y [R(x,y) R(y,x)] asymmetrie x y z [(R(x,y) R(y,x)) x=y)] anti-symentrie x y z [(R(x,y) R(y,z)) R(x,z)] transitivita

• R je zde binární relace a víme, že každý speciální axiom je pravdivý v zamýšlené interpretaci.

• Ani jeden speciální axiom však není logicky pravdivá formule! (Snadné ověření v libovolném korektním kalkulu)

20Teorie relací

Dokazování v teorii

• Dokazování v teorii– teorie je budována nad kalkulem, tedy samotné dokazování se

provádí v daném kalkulu, kdy jako předpoklady klademe speciální axiomy teorie

– Např.: Mějme teorii T={reflexivita, transitivita}• dokažte, že v dané teorii platí symetrie

x R(x,x)xy z [(R(x,y) R(y,z)) R(x,z)]---------x y [R(x,y) R(y,x)]

Teď již záleží nad jakým kalkulem (rezoluční, přirozená dedukce, Hilbertův kalkul) svou teorii budujeme a podle toho ověřujeme logickou platnost úsudku.

21Teorie relací

Dokazování v teorii

x R(x,x) x R(x,x)xyz[(R(x,y) R(y,z)) R(x,z)] xyz[R(x,y) R(y,z) R(x,z)]---------x y [R(x,y) R(y,x)] x y[R(x,y) R(y,x)]

K důkazu použijeme rezoluční metodu1. R(x,x)2. R(x’,y’) R(y’,z’) R(x’,z’)3. R(a,b)4. R(b,a)5. R(a,y’) R(y’,b) 2., 4. x’/b, z’/a6. R(a,b) 1., 5. x/a, y’/a7. #

Rezoluční metodou jsme dokázali, že negovaný závěr je ve sporu s předpoklady, tedy původní nenegovaný závěr log. vyplývá, tedy úsudek je platný.

Teorie funkcí

• Funkce jako relace– každá n-ární funkce je (n+1)-ární relace

F: a bc ([R(a,b) R(a,c)] b=c)Parciální F: ke každé n-tici prvků aM...M existuje nanejvýš jeden prvek bM.

– pokud vezmeme formuli F jako speciální axiom, tak můžeme hovořit o teorii funkcí

– příklady: modely budou interpretace splňující tuto formuli (R můžeme interpretovat jako relaci, kdy 2. prvek každé dvojice je výsledek po dělení prvků dvojice a.){1,1,1,2,1,2, 2,2 ,1, …, 4,2,2, …}

Teorie relací 22

Teorie funkcí

• Funkce jako relaceTotální funkce F: A B:Ke každému prvku aA existuje právě jeden prvek bB takový, že F(a)=b: a b F(a,b) abc [(F(a,b) F(a,c)) b=c]

Modelem této teorie tedy bude interpretace splňující danou formuli (danou relaci F můžeme interpretovat jako množinu všech dvojic, kdy 2. prvek je následníkem prvku a), funkce sčítání, násobení, …

Teorie relací 23

Teorie funkcí

• Funkce (zobrazení)Zobrazení f : A B je surjekce (zobrazení A na B), jestliže k libovolnému b B existuje a A takový, že f(a)=b.

b [B(b) a (A(a) F(a,b))]. • Zobrazení f : A B je injekce (prosté zobrazení A do B), jestliže

pro všechna aA, bA taková, že a b platí, že f(a) f(b).

a b [(A(b) A(a) (a b)) c d (F(a,c) F(b,d)cd)]. • Zobrazení f : A B je bijekce (prosté zobrazení A na B), jestliže f je

surjekce a injekce.

Teorie relací 24

25Teorie relací

Isomorfismus vzhledem k relaci R

• Definice (isomorfní množiny):– Uspořádané množiny (A, 1), (B, 2) se nazývají isomorfní,

jestliže existuje bijekce f: A B taková, že x,yA: x 1 y právě když f(x) 2 f(y)

Například množiny N a množina sudých kladných čísel jsou isomorfní vzhledem k uspořádání čísel dle velikosti – existuje funkce f (např. 2x)

Dále bude isomorfismus nad (DUF/, ), kde, F1, F2 DUF, F1 F2 právě když F2 |= F1 a funkce f bude identita.

26Teorie relací

Úplnost x neúplnost teorieDefinice: teorie T je úplná, právě když rozhoduje každou formuli F, tj. T | F

nebo T | FZároveň víme, že pro (např.) Hilbertův kalkul platí silná věta o úplnosti kalkulu

(neplést úplnost teorie s úplností kalkulu!):A | F T | F,

kde A je množina speciálních axiomů teorie T.Tedy teorie dokazuje vše, co z ní vyplývá.Je-li teorie T neúplná, pak existují nezávislé sentence F (které T nerozhoduje).

Pak ovšem F nemůže vyplývat z T. Tedy existuje model M teorie T, ve kterém F není pravdivá.

Proto,V případě, že existují aspoň 2 neisomorfní modely (M1, M2) dané teorie T, pak existuje aspoň jedna nezávislá sentence F, pro níž platí:

M1| A a M1| F,M2| A a M2| F,

pak je tato teorie T neúplná.

M1 M2

(N,) (P({a,b,c}),)

A

x R(x,x)

x y [(R(x,y) R(y,x)) x=y]

x y z [(R(x,y) R(y,z)) R(x,z)]

… {a,b,c}|

2{a,b} {a,c} {b,c}

|

1{a} {b} {c}

|

0

F: x y [R(x,y) R(y,x)]

27Teorie relací

Úplnost x neúplnost teorie

Úplnost x neúplnost teorie

Obecně:

Pokud je teorie úplná, pak má všechny modely vzájemně izomorfní (vzhledem k

axiomům teorie)

• Teorie částečného uspořádání je neúplná.

• Teorie lineárního uspořádání je úplná.28Teorie relací