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FORMATO UNICO CONVOCATORIA 201210 PARA LA FINANCIACIÓN DE
PROYECTOS DE INVESTIGACIÓN EN CIENCIAS BASICAS VICERRECTORIA DE INVESTIGACIONES – FACULTAD DE CIENCIAS
PROFESORES DE PLANTA (CLASIFICADOS EN EL ORDENAMIENTO PROFESORAL) 1. Datos generales del proyecto (Cover Sheet):
Titulo del Proyecto (Project tittle)
Investigadores principales / Nivel / Departamentos
Alexander Berenstein/ Profesor Asociado/ Departamento de Matemáticas. John Goodrick/ Profesor Asistente/ Departamento de Matemáticas. Alf Onshuus/ Profesor Titular/ Departamento de Matemáticas
Asistente(s) de Investigación/ Nivel / Departamentos
Evaluadores Sugeridos (para evaluadores internacionales la propuesta debe ser escrita en inglés, máximo tres), Nombre, afiliación (página web), teléfono, email
Enrique Casanovas RuizFornells (Universidad de Barcelona), (+34) 93 403 79 86, [email protected], http://www.ub.edu/modeltheory/casanovas/e.html Amador Martín Pizarro (Université de Lyon 1), [email protected]lyon1.fr Andrés Villaveces (Universidad Nacional, Bogotá), (+571) 3165207 ó 3165000 ext. 13209, [email protected] http://matematicas.unal.edu.co/~villavec/ Xavier Caicedo Ferrer (Universidad de los Andes), (+571) 3394949 ext 2723, [email protected], http://matematicas.uniandes.edu.co/cv/webpage.php?Uid=xcaicedo Luis Jaime Corredor (Universidad de los Andes), (+571)
3394949 ext. 2726, [email protected], matematicas.uniandes.edu.co/cv/webpage.php?Uid=lcorredo Margarita Otero (Universidad Autónoma de Madrid), (+34) 91 497 38 08, [email protected], http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/otero/
Competidores directos en el tema de la propuesta (máximo tres) Nombre, afiliación (página web), teléfono, email
Vincent Guingona (Notre Dame), [email protected] http://nd.edu/~vguingon/ Mattias Aschenbrenner (University of California, Los Angeles), (+001) 3102068576, [email protected], http://www.math.ucla.edu/~matthias/ Deirdre Haskell (McMaster), (+009) 9055259140 ext. 27244, [email protected], http://www.math.mcmaster.ca/~haskell/
Duración del proyecto en meses (Project duration in months)
Financiación Solicitada en pesos (Requested Budget, Colombian pesos)
Financiación de otras fuentes (Matching Funds)
Palabras Clave (Key Words)
1.1. Titulo y Resumen del proyecto (Project tittle and Summary, 500 words max), 500
palabras máximo (trate de no incluir información que identifique los investigadores – try not to include information disclosing your identity)
Título: VCdensidad y dprango Resumen: La VCdensidad y el dprango son dos invariantes numéricas que miden la complejidad de una familia de conjuntos, en nuestro contexto dados por fórmulas en lógicade primer orden.
VCdensidad se calcula sobre una familia de conjuntos, que en los contextos conocidos siempre están dadas por fórmulas $phi(x_1, …, x_k; y_1, …, y_m)$ en las cuales podemos sustituir valores $b_1, …, b_m$ como parámetros para los $y_i$. Queremos medir la complejidad de la familia de conjuntos que resultan de dichas substituciones. Dado $n$ fórmulas $phi(x;b_1), …, phi(x;b_n)$, ¿cuántas combinaciones booleanas generan conjuntos distintos? Sea $pi(phi;n)$ el número máximo de combinaciones distintas, estudiamos como crece $pi(phi;n)$ cuando $n$ tiende a infinito (fijando $phi$). Por un teorema de Sauer y Shelah, la función $pi(phi;n)$ es $2^n$ o es acotada por algún polinomio. En el primer caso las intersecciones de las $phi(x;b)$ decimos que $phi(x;y)$ tiene la propiedad de independencia; en el otro caso, definimos la VCdensidad de $phi(x;y)$ como el supremo de las $d$ tales que $pi(phi;n)$ es acotada por $k(n^d)$ para una constante $k$ fija.
La VCdensidad ha sido la medida de complejidad de conjuntos más fructífera en estadística y en teoría del aprendizaje: Implica una cota uniforme (cuando se varían los conjuntos y las medidas de probabilidad) para la convergencia que se sigue de la ley de los grandes números en estadística frecuentista. Esto la hace muy útil: e.g. es la base teórica del método conocido como “support vector machines” que es quizás el más exitoso en problemas de teoría de aprendizaje como identificación de escritura a mano. Todas las aplicaciones conocidas de teoría VC conocidas resultan de manera natural en el marco de teoría de modelos (en el campo real).
El dprango es otra manera de medir la complejidad de una familia definible en teoría de modelos. Intuitivamente es el máximo número de “elementos mutuamente independientes” que puedan afectar la fórmula. Aunque a priori no es obvio que este rango tiene algo que
ver con la VCdensidad, hemos demostrado relaciones muy cercanas entre las dos medidas. Sabemos por experiencia que relacionar nociones que aparentemente no tienen relación es quizás la forma más efectiva para lograr avances importantes de ambas ramas de estudio. Los resultados logrados hasta ahora y las perspectivas hacen de este proyecto algo muy prometedor. En este proyecto haremos un estudio más profundo de la VCdensidad y el dprango con metas específicas como: saber cuándo el dprango y la VCdensidad (dual) son iguales; estudiar las teorías con el dprango finito, y generalizar resultados en teorías ominimales con dprango 1; explorar conexiones con la definabilidad de tipos.
Dado que la noción de VCdensidad tiene aplicaciones tanto en lógica como en combinatoria, estadística, y inteligencia artificial, creemos que el proyecto será muy fructífero y merece ser finaciado.
2. DESCRIPCIÓN DE LA PROPUESTA (10 páginas máximo, Times New Roman 12pt, espacio sencillo, márgenes de 2.5 cm, numeración en cada línea, trate de no incluir información que identifique los investigadores – try not to include information disclosing your identity) 2.2. Introducción Desde el descubrimiento de la noción de VCrango finito por VapnikChervonenkis [VC] y Shelah, el estudio de ésta área se ha desarrollado en paralelo en estadística y combinatoria y en teoría de modelos. A pesar de ser la misma definición, el contexto en el cual fue descubierto hizo que dos ramas trabajaran independientemente sin que hasta recientemente haya habido una interacción entre los estudios. Por un lado, VCrango ha sido utilizado para lograr cotas y eficiencia en estadística (casi toda la obra de Richard Dudley), y últimamente en algoritmos de aprendizaje. En medio del estudio descubrieron que la noción que daba la mayoría de las cotas que permitían optimizar los algoritmos no era la de VCrango sino la de VCdensidad, una medida de complejidad un poco más fina que VCrango (en el sentido en que siempre es menor, así que implica más rapidez en los algoritmos). Paralelamente, Shelah utilizó la noción de VCrango finito para definir y desarrollar la teoría de teorías dependientes. En sus inicios fue una noción con un desarrollo prometedor pero con muy pocos matemáticos involucrados (principalmente Shelah y Poizat), pero que últimamente ha
demostrado ser una noción muy importante en teoría de modelos, y poco a poco se ha convertido en parte del “mainstream” de teoría de modelos. Ahora bien, al contrario de lo que sucedió en combinatoria/estadística hasta muy recientemente nunca se estudiaron nociones de rango que en cierta forma lograran medir el grado de dependencia de una teoría. No fue sino hasta hace unos pocos años que Shelah introdujo la noción de dprango [Sh1] y es una noción que ha tenido un gran desarrollo recientemente. Ahora bien, como mencionamos anteriormente durante muchos años los desarrollos en las diferentes áreas eran completamente independientes. Quizás el primer trabajo donde se intentó mezclar las áreas fue el trabajo de Laskowski [L] y de Karpinski y Macintyre [KM], con una idea que será básica para el resto del trabajo: En general una vez que conocemos la VCdimensión (y mejor aún la VCdensidad) de una familia de conjuntos, las cotas combinatorias nos permiten optimizar muchos procesos (como por ejemplo, cuantos ensayo/error debemos hacer para que un lector de texto pueda determinar las diferentes configuraciones que quien escribe utiliza para dibujar una “o”) pero es en general muy difícil determinar cual es la VCdimensión o el VCrango de una familia. Ahora bien, ciertas teorías permiten un cálculo simple de cotas para dichas dimensiones. Karpinski y Macintyre demostraron cotas para familias definibles en ciertas teorías ominimales en [KM], y hace muy poco este resultado fue demostrado para una teoría ominimal cualquiera por Johnson y Laskowski [JL]. Continuando con nuestro ejemplo, esto implica que si a cada garabato el computador lo puede aproximar por, por ejemplo, la cúbica (sobre el plano cartesiano) que más se le aproxime, podemos tener algoritmos muy eficientes para determinar cuando dicha curva representa una “o”. El artículo en cuestión ([KM]) propone utilizar esto para redes neuronales, y fue el comienzo de un trabajo de investigación bastante estudiado en el Reino Unido. Ahora bien, como mencionamos anteriormente determinar (o acotar) la VCdensidad tendría aún mejores resultados, y fue con esta idea que recientemente Aschenbrenner, Dolich, Haskell, Macpherson y Starchenko ([ADHMS]) lograron desarrollar una técnica muy efectiva (basada en bifurcación) para determinar la VCdensidad de conjuntos definibles en un buen número de teorías. Volviendo a la idea de dprango, no es difícil demostrar (y se demostró independientemente en tres trabajos diferentes) que si uno trabaja en modelos de una teoría y le pide indiscernibilidad a la definición de VCdensidad, quedamos con una definición equivalente a dprango . Ahora bien, 1
pedir indiscernibilidad (que equivale a solicitar que todos los elementos sean completamente indistinguibles) es bastante fuerte, la experiencia desde los teoremas de ErdosRado indica que muchas veces pedir indiscernibilidad es algo que muchas veces se puede hacer sin perder generalidad (lo cual implica en particular que la VCdensidad es siempre mayor o igual al dprango). De ser esto incluso parcialmente cierto, la noción de VCdensidad sería equivalente (por lo menos en algunos casos) a la de dprango que es mucho más sencilla de calcular y por lo tanto convertiría a VCdensidad y los teoremas que de ahi se derivan en una herramienta aún
1 De manera precisa, el dprango de un tipo es el supremo de las VCdensidades sobre conjuntos finitos de fórmulas, calculada sobre sucesiones indiscernibles.
más poderosa para mejorar probabilidades (estadística) y algoritmos.(inteligencia artificial, teoría del conocimiento). Por ejemplo, no sabemos qué sucede cuando incrementamos el tamaño de las tuplas. Es decir, en este momento, si determinamos que cierta familia de subconjuntos del plano cartesiano tiene VCdensidad k, esto no nos da una cota de $2^k$ para la VCdensidad de $R^4$, mientras que sabemos que el dprango es subaditivo (lo cual nos daría una cota de 2k). En general, como sucede muchas veces en la dicotomía de combinatoria y teoría de modelos, tan pronto como podemos lograr definiciones utilizando indiscernibilidad logramos un punto donde los cálculos se vuelven sencillos y se puede decir mucho más acerca del comportamiento de las nociones. Propuesta concreta (problemas a resolver): Teniendo todo lo anterior en cuenta, el proyecto de investigación consiste en lo siguiente.
Demostrar la equivalencia de VCdensidad y dprango en teorías estables. Tenemos buenos indicios para creer que podemos demostrar que VCdensidad mayor a uno implica dprango 2 en este contexto y como (como mencionamos anteriormente) la VCdensidad siempre es mayor al dprango), esto implicaría la igualdad en los casos uno y dos. Ahora, una demostración de este estilo prometería ser generalizable a todos los casos, demostrando así que las dos nociones coinciden en teorías estables. Esto lograría un pool de ejemplos donde la VCdensidad es conocida (el dprango está muy ligado en teorías estables a la nocion de peso, algo que fué estudiado bastante durante los noventas). Esperamos que saber cuándo el VCdensidad es igual al dprango ayudaría en calcular el VCdensidad, pues hay un resultado muy reciente ([KS]) diciendo que el dprango de un conjunto p(x) de fórmulas en una teoría dependiente se puede calcular considerando solamente los otros elementos en el universo que satisfacen p(x) (que logra una gran simplificación de la definición original).
Estudiar las teorías con dprango finito. Ya ha existido un estudio fructífero sobre grupos dpminimales (de dprango uno) y sobre órdenes dpminimales (véase [DGL], [Go], [S]). Por ejemplo, en [S] se demostró que un grupo G que es dpminimal y ordenado es abeliano, y que si además G es divisible y Dedekindcompleto entonces G es ominimal. Dentro del marco más general de grupos ordenados abelianos con dprango finito, ya sabemos (por trabajo con Alfred Dolich) que la topología de los conjuntos definibles tiene buenas propiedades: por ejemplo, no puede existir un subconjunto definible y discreto de G con punto de acumulación. Conjeturamos que todo subconjunto definible y discreto de
G es finito y que los funciones definibles son “casi continuas” (se pueden descomponer en un número finito o acotado de funciones continuas). Si logramos generalizar de tal manera algunos de los resultados para teorías dpminimales a teorías con dprango finito, tendremos una idea bastante clara de los universos en los cuales la VCdensidad es finita y sobre las limitaciones que esto pueda implicar (pues aún sin demostrar la equivalencia entre VCdensidad y dprango, sabemos que en muchos casos coinciden). Analizar las conclusiones de definibilidad uniforme de tipos finitos. Definibilidad de tipos es una de las herramientas más fuerte de las teorías estables. Guingona demostró en su tesis que las teorías dpminimales tienen el concepto de definibilidad uniforma para tipos finitos (DUTFs) [Gu]. Chernikov ha anunciado que ha logrado generalizar esta demostración a teorías dependientes. Esta es una nocion tan poderosa que muy posiblemente tenga aplicaciones similares como las consecuencias conocidas de VCdensidad finita. Estudiar la demostración de Chernikov, las consecuencias que puedan derivarse de dicha demostración sobre el comportamiento de los tipos finitos puede resultar muy provechosa tanto para el estudio de dprango finito y por añadidura a las de VCdensidad finita.
2.3. Plan de la InvestigaciónResearch Plan (p. ej.: etapas de la investigación por temas, breve descripción) 2.3. Metodología Detallada Detailed Methodology Proponemos dividir el proyecto de investigacíon en los tres temas listados arriba en la “Propuesta Concreta” (en la Sección 2.2). Para la primera etapa, estamos organizando un taller de investigación en Villa de Leyva (1013 de junio, 2012) en el cual nos reuniremos con unos de los investigadores principales en el campo de teorías dependientes para compartir ideas sobre todos los temas de esta propuesta. Esto será la primera vez que se lleve a cabo una conferencia sobre las conexiones entre la teoría de modelos, VCdimensión, y VCdensidad. Para la segunda etapa, proponemos organizar un seminario en el Departamento de Matemáticas de Los Andes para el semestre II de 2012 para estudiar los artículos importantes [ADHMS] y [ChS2] que son esenciales para los temas VCdimensión, VCdensidad, y la definibilidad uniforme de tipos finitos. A este seminario invitaríamos a estudiantes de posgrado y investigadores en la estadística (por ejemplo, Adolfo Quiroz).
Para la tercera etapa, planteamos invitar a profesores y investigadores extranjeros a la Universidad de los Andes para colaborar con nosotros en este proyecto. Esto sería en el año 2013 y invitaríamos a investigadores destacados en la área de las teorías dependientes tales como Matthias Aschenbrenner, Pierre Simon, y Hans Adler. 2.4. Impactos de la investigación propuesta Dada la gran cantidad de teorías y tipos con dprango finito (campos pádicos, real y complejo, sin ir muy lejos) cualquier desarrollo en ésta área promete tener un gran impacto en teoría de modelos. Por otro lado, el concepto de VCdensidad es una herramienta muy poderosa en muchos algoritmos de estadística y teoría del aprendizaje, y parece ser que una de las grandes limitantes para su implementación no es las implicaciones de este concepto (que son muy fuertes) sino lo difícil que es calcular la VCdensidad en muchos aspectos. El dprango por otro lado es una noción que sabemos está relacionada y que creemos coincide en muchos casos. Cualquier avance en esta rama implicaría que todas las herramientas que tenemos en teoría de modelos para calcular o acotar el dprango podrían ser utilizadas para tener más contextos sobre los cuales podamos modelar algoritmos basados en VCdensidad. Esto podría tener repercusiones fuertes en estadística, combinatoria y teoría del aprendizaje. El entender las teorías donde el dprango es finito da muchas luces acerca de los contextos en los cuales podemos implementar con éxito los algoritmos basados en VCdensidad. Para cualquier área del conocimiento es importante conocer su alcance y sus limitaciones, y consideramos que ese trabajo lograría ambos para el desarrollo de las aplicaciones de VCdimensión y VCdensidad, área que ya ha logrado aplicaciones a través de la teoría del conocimietno muy interesantes y fuertes en medicina e inteligencia artificial. La aplicación más conocida, las “support vector machines” (SVM) son la base de software para reconocimiento de escritura (a mano) y para reconocimiento de enfermedades de la piel (el software más utilizado, “Skinchecker”, tiene una versión basada en SVM). 2.5. Resumen de resultados de proyectos anteriormente financiados por la Facultad de Ciencias Alf Onshuus: Desde el 2005 ha tenido el proyecto de profesores asistentes en la facultad, y desde el 2011 tengo financiación para el proyecto semilla “Grupos ordenados definibles en teorías ominimales”. En ese periodo ha publicado 15 artículos, han sido aceptados 3 más y ha sometido otros 2 que están en proceso de referato. Han aparecido (o sido aceptados) en revistas tan importantes como Transactions of the American Mathematical Society (dos), Journal of Symbolic Logic (cinco), Selecta Mathematica, Israel Journal of Mathematics (dos), tanto el Bulletin como el Journal of the London Mathematical Society y Journal of the Institute of
Mathematics of Jussieu. Además ha socializado los resultados como conferencista invitado en eventos como ASL Annual meeting, 2007, Coloquio Latinoamericano de Álgebra, 2007, Special session in Model Theory, Logic Colloquium, 2009, Congreso Colombiano de Matemáticas, 2007, 2009, 2011, Matematica nas Americas, IMPA, Rio de Janeiro, 201, Joint Mathematics Meetings, New Orleans, January 2011, Berkeley Logic Colloquium, March 2012. Todos las investigaciones y los viajes se han realizado en el marco de los proyectos financiados por la facultad. Tenemos además un proyecto interdisciplinario con Pablo Stevenson, pero estamos en la etapa de recolección de datos. Alexander Berenstein: Desde el 2007 ha tenido el proyecto de profesores asistentes en la facultad. En ese periodo ha publicado 8 artículos, han sido aceptados 2 más y ha sometido 1 que está en proceso de referato. Los artículos han aparecido o han sido aceptados en las siguientes revistas: Transactions of the American Mathematical Society, Mathematische Zeitschrift, Israel Journal of Mathematics, Journal of Symbolic Logic, Journal of Pure and Applied Logic, Journal of Logic and Analysis y Mathematical Logic Quarterly. Además publicó un capítulo de libro Model Theory with Applications to Algebra and Analysis, Volume 2, Cambridge University Press. Además ha dado charlas como conferencista invitado en los eventos Winter Meeting of the Canadian Mathematical Society 2008, Stability Theoretic Methods in Unstable Theories (Banff research center) 2009, Congreso Colombiano de Matemáticas 2009 y 2011, First joint meeting of the AMS and the Sociedad de Matemática de Chile, 2010. Todos las investigaciones y los viajes se han realizado en el marco de los proyectos financiados por la facultad. John Goodrick: Desde el 2010 ha tenido el proyecto de profesores asistentes en la facultad. En ese periodo ha publicado 2 artículos, ha sido aceptado 1 más y ha sometido otros 3 que están en proceso de referato. Los artículos han aparecido o han sido aceptados en las siguientes revistas: Israel Journal of Mathematics, Journal of Symbolic Logic, and the Notre Dame Journal of Formal Logic. Además ha dado charlas como conferencista invitado en los eventos “First joint meeting of the AMS and the Sociedad de Matemática de Chile” (Pucón, Chile, 2010), “Model Theory and Algebraic Dynamics” (Santa Marta, 2011), el Congreso Colombiano de Matemáticas (Bucaramanga, 2011), y “Neostability Theory” (Banff Research Center, 2012). Todos las investigaciones y los viajes se han realizado en el marco de los proyectos financiados por la facultad. 2.6. Compromisos y Productos – Commitments and Scientific Production
2.6.1 Productos de investigación – Research Manuscripts
Nos comprometemos a tener por lo menos un artículo sometido a publicación durante
la duración del proyecto. por supuesto, dada la relevancia del tema en teoría de modelos hoy en día y los resultados obtenidos en los estudios preliminares, creemos que serán más. y en revistas de muy alto impacto 2.6.2 Búsqueda de financiación externa – External Funding Proposals
Planeamos solicitar fondos a Colciencias en el marco de proyectos de ciencias
básicas, tan pronto abran la convocatoria. También planeamos solicitar financiación para movilidad en ciencias básicas. Para viajes específicos consideraremos a el banco de la Reública y a los eventos que nos inviten a participar, por lo menos para el apoyo local. 2.6.3. Articulo Divulgativo para Hipótesis – La interacción entre teoría de modelos y estadística, promete un marco ideal para demostrar el poder de teoría de modelos con aplicaciones que atractivas para cualquier lector interesado en ciencias con un manejo básico de estadística (no necesita conocer más que la ley de grandes números). Si el proyecto es financiado, nos comprometemos a escribir dicho artículo divulgtivo durante la duración del proyecto. 2.6.4. Formación de estudiantes de posgrado– Graduate student involvement Los estudiantes de posgrado estarán involucrados en cada etapa de este proyecto. En particular, en el segundo semestre del 2012, tendremos un seminaro en el tema que contará con la participación activa de estudiantes de posgrado (véase el cronograma abajo), y en la tercera etapa esperaremos conseguir financiación para que varios estudiantes de los profesores Berenstein y Onshuus puedan asistir al Congreso Nacional de Matemáticas en Barranquilla en 2013 (Fabiana Castilblanco, Darío Alejandro García, Diana Carolina Montoya, y Juan Felipe Carmona) para socializar los resultados. Los estudiantes de doctorado involucrados en el proyecto, forman un grupo ideal: Tenemos a una estudiante de doctorado de primer año (Fabiana), un estudiante que ya es candidato a doctor y ya tiene mucha familiaridad con los temas de la investigación (Darío) y dos estudiantes que están en su segundo/tercer año, que pueden utilizar este proyecto como parte de su proyecto de investigación y como el comienzo de su investigación conducente a su tesis de doctorado.
2.7. Literatura citada – Literature cited (Se sugiere utilizar un administrador de referencias, ejemplos: EndNote, Zotero, Bibtex, etc.) [A] P. Assouad: “Densité et dimension,” Annales de l’institut Fourier, 33 no. 3 (1983), 233282.
[ADHMS] Matthias Aschenbrenner, Alf Dolich, Deirdre Haskell, Dugald Macpherson and Sergei Starchenko: “VapnikChervonenkis density in some theories without the independence property, I and II,” preprint (septiembre de 2011), http://arxiv.org/pdf/1109.5438 y http://arxiv.org/pdf/1109.5437. [ChS] Artëm Chernikov, Pierre Simon: “Externally definable sets and dependent pairs,” to appear in The Israel Journal of Mathematics, available online at arXiv:1007.4468v2. [ChS2] Artëm Chernikov, Pierre Simon: “Externally definable sets and dependent pairs II,” preprint (febrero de 2012), available online at arXiv:1202.2650v1. [DGL] Alfred Dolich, John Goodrick, David Lippel: “DpMinimality: Basic Facts and Examples,” Notre Dame Journal of Formal Logic 52(3): 267288 (2011). [GH] Vincent Guingona, Cameron Donnay Hill: “Local dprank and VCDensity over indiscernible sequences,” preprint (2011), available online at arXiv 1108.2554. [Go] John Goodrick: “A monotonicity theorem for dpminimal densely ordered groups,” J. Symb. Log. 75(1): 221238 (2010). [Gu] Vincent Guingona: “On Uniform Definability of Types over Finite Sets,” Journal of Symbolic Logic (to appear). [JL] Hunter R. Johnson, Michael C. Laskowski: “Compression schemes, stable definable families, and ominimal structures,” Discrete Comput. Geom. 43 (2010), no. 4, 914–926. [KM] Marek Karpinski, Angus Macintyre: “Polynomial Bounds for VC Dimension of Sigmoidal Neural Networks,” Electronic Colloquium on Computational Complexity (ECCC) 1(24): (1994). [KOU] Itay Kaplan, Alf Onshuus, and Alexander Usvyatsov: “Additivity of dprank,” preprint (2011), available online at arXiv:1109.1601v2. [KS] Itay Kaplan, Pierre Simon: “Witnessing dprank,” preprint (enero de 2012), arxiv.org/pdf/1201.5799 [L] M. C. Laskowski: “VapnikChervonenkis classes of definable sets,” J. London Math. Soc. 45 (2), (1992), 377384. [OU] A. Onshuus, A. Usvyatsov: “On dpminimality, strong dependence and weight,” J. Symbolic Logic 76 (2011), no. 3, 737–758. [S] Pierre Simon: “On dpminimal ordered structures,” J. Symb. Log. 76(2): 448460 (2011)
[Sh1] Saharon Shelah: “Strongly dependent theories,” Israel J. Math. (to appear), available online at http://arxiv.org/abs/math/0504197. [VC] V. Vapnik, A. Chervonenkis: "On the uniform convergence of relative frequencies of events to their probabilities," Theory of Probability and its Applications, 16(2):264280, 1971. 3. CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES (numero de semanas por cada etapa del proyecto, formato libre) La idea es comenzar desde Abril de este año. AbrilAgosto 2012: Ésta es la etapa donde comenzaremos a trabajar en los diferentes problemas que tenemos en mente, socializaremos los resultados preliminares con expertos en el área quienes serán nuestros colaboradores, y pensaremos en metas específicas y en quien va a trabajar en cada subproblema. Quizás el punto más importante es el evento:
Taller de investigación “Notions of minimality and rank in dependent theories”, 1013 de junio, 2012: Villa de Leyva (con 1015 profesores y investigadores extranjeros como visitantes).
donde ya contamos con la participación (si logramos financiación) de muchos de los más importantes expertos en el área (ya han confirmado incluyen a Itaï BenYaacov, Artem Chernikov, Alfred Dolich, Vincent Gunigona, Dierdre Haskell, Hunter Johnson, David Lippel, y Charles Steinhorn) además de los investigadores que estamos proponiendo este proyecto. Esta será la primera vez que se organiza un congreso en dprango y vcdensidad, y es una oportunidad única para lograr sobrepasar los pasos iniciales de la investigación, adquirir todo el conocimiento que aún no se ha publicado al respecto, y quedar situados de manera ideal para atacar los problemas más importantes e inmediatos del área. Agosto 2012Marzo 2013: En el segundo semestre del 2012 haremos un seminaro sobre VCdimensión y la VCdensidad en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de los Andes, donde mantendremos un control sobre el progreso que cada investigador y los estudiantes hayan tenido en los problemas que se decidieron en el proceso anterior. Esto nos permitirá además de socializar los avances constantemente, una retrotralimentación permanente que permita un progreso constante y a un ritmo ideal por parte de todos los miembros vinculados con la investigación. En este momento además se unirá a nosotros Joon Kim, quien viene como postdoc y es alguien muy familiarizado con el proyecto. Durante este periodo planeamos visitas de los investigadores a colegas vinculados con el proyecto (Alf Onshuus a Israel a visitar a Alexander Usvyatsov, Alexander Berenstein planea visitar a Evgueni Vassiliev en Canadá, y John Goodrick planea visitar a Alfred Dolich en Nueva York) y visitas de Hans Adler (Kurt Gödel Research Center for Mathematical Logic, Vienna), Pierre Simon (École Normale Supérieure), e Isaac Goldbring (University of California Los Angeles) por una semana a la universidad.
Marzo 2013Diciembre 2013: Es la etapa de socialización de los resultados obtenidos. La idea es que todos los investigadores principales además del postdoc realicen visitas a congresos donde podamos mostrar nuestros resultados y recibir retroalimentación de nuetros colegas. Planeamos un viaje internacional de los profesores Goodrick, Usvyatsov, Onshuus y Kim, la inscripción y tiquetes de los cuatro al Congreso Nacional de Matemáticas en Barranquilla. Durante esta etapa escribiremos y someteremos a publicación los resultados, además de escribir el artículo divulgativo para la revista Hipótesis. 4. PRESUPUESTO (pesos colombianos, COP, ceñirse a los formatos de abajo) 4.1. Presupuesto Global:
Rubros Fuentes Total
Financiación Solicitada Otras Fuentes
Personal
Equipos 0
Materiales 0
Salidas de Campo
Material Bibliográfico 0
Publicaciones y Patentes 0
Servicios Técnicos 0
Viajes
Total
4.2 Presupuesto detallado de personal:
Investigador Función en el Proyecto
Fuentes Total
Financiación Solicitada Otras
Fuentes
Hans Adler (Kurt Gödel Research Center for Mathematical Logic,
Vienna)
3’688.000 COP (tiquete ida y vuelta: 2’500.000, alojamiento por 8 días:
1’188.000)
3’688.000
Pierre Simon (École Normale Supérieure, Paris)
3’688.000 COP (tiquete ida y vuelta: 2’500.000, alojamiento por 8 días: 1’188.000)
3’688.000
Vincent Guingona (Notre Dame, Estados Unidos)
2’500.000 COP (tiquete ida y vuelta)
2’500.000
Sarah Cotter (Notre Dame, Estados Unidos)
2’500.000 COP (tiquete ida y vuelta)
2’500.000
Asistencia graduada de 1 estudiante de doctorado por 3 semestres 50’551.113,42 COP
50’551.133,42
Total
4.3 Presupuesto detallado de equipos:
Equipo Justificación Fuentes Total
Financiación Solicitada Otras Fuentes
Total
4.4 Presupuesto detallado de materiales:
Materiales, Reactivos, consumibles
Justificación Fuentes Total
Financiación Solicitada Otras Fuentes
Total
4.5 Presupuesto detallado de Salidas de Campo: Taller en Villa de Leyva, “Notions of minimality and rank in dependent theories”, 1013 de Julio, 2012: Sitio de web para la conferencia: http://matematicas.uniandes.edu.co/~goodrick/vdl.html Alojamiento (15 personas, Hotel Mesón de los Virreyes): 1’894.350 COP Transportación (buses de Bogotá a Villa de Leyva): 720.000 COP Total: 2’614.350 COP 4.6 Presupuesto detallado de Material Bibliográfico:
Descripción Justificación Fuentes Total
Financiación Solicitada Otras Fuentes
Total
4.7 Presupuesto detallado de Publicaciones y Patentes: 4.8 Presupuesto detallado de Servicios Técnicos: 4.9 Presupuesto detallado de Viajes:
Destino Justificación Fuentes Total
Financiación Solicitada
Otras Fuentes
Tiquete Alf Investigar con el 3’000.000 1’000.000, 4’000.000
Onshuus a Jerusalén
profesor Alexander Usvyatsov
Colciencias.
Tiquete Alf Onshuus a
Waterloo (ASL North American Annual Meeting,
2013) Presentación de
resultados
3’000.000
1’000.000 de la ASL (gastos locales) 4’000.000
Inscripción y tiquetes a Barranquilla, 10 personas (tres profesores, un postdoc, 4 estudiantes)
Presentación de resultados 6’000.000 6’000.000
Tiquete Alexander Berenstein a Lyon, Francia (Continuous Logic and Functional Analysis, 2012)
Investigar con el profesor Itaï Ben Yaacov
3’000.000 del proyecto de profesor asistente de Alexander Berenstein. 3’000.000
Tiquete John Goodrick a Nueva York, Estados
Unidos
Investigar con el profesor Alfred Dolich (CUNY)
2’500.000 del proyecto de profesor
asistente de John
Goodrick.
2’500.000
Total
Observaciones: Los equipos, la bibliografía y los materiales adquiridos son propiedad de la Universidad. No se financiarán bonificaciones de profesores de planta.