forme liniare, biliniare, patraticemath.etti.tuiasi.ro/lpopa/forme_liniare_biliniare...forme liniare...

Forme liniareForme biliniare

Forme pătratice reale

1 Forme liniare

2 Forme biliniare

3 Forme pătratice realeForma canonicăNatura unei forme pătratice

Forme liniare, biliniare, pătratice



Funcţională liniară

Fie V un spaţiu liniare peste Γ, unde Γ = R sau Γ = C.

Definiţie

Se numeşte funcţională liniară o funcţie f : V → Γ caresatisface

1 f (u + v) = f (u) + f (v), ∀u, v ∈ V2 f (α · u) = α · f (u), ∀u ∈ V , α ∈ Γ.

Notăm V ′ = {f : V → Γ, f funcţională liniară}. V ′ se numeştedualul lui V .




Formă liniară

Definiţie

Dacă V este un spaţiu liniar finit dimensional, atunci ofuncţională liniară se numeşte formă liniară.

Fie B1 = {e1,e2, · · · ,en} o bază în V . Pentru orice u ∈ V are

loc u =n∑

i=1

xiei .

Dacă f este o formă liniară atunci

f (u) = f (n∑

i=1

xiei) =n∑

i=1

xi f (ei).




Coeficienţii formei liniare

Definiţie

Scalariiai = f (ei) (1)

se numesc coeficienţii formei liniare în baza B.

Matricea a =(

a1 a2 · · · an)∈M1,n se numeşte matricea

formei liniare în baza B.Relaţia f (u) = α, α ∈ Γ este echivalentă cu

(a1 a2 · · · an

)·

x1x2· · ·xn

= α.




Schimabrea matricei la o schimbare de bază

Fie B = {e1,e2, · · · ,en} şi B′ = {e′1,e′2, · · · ,e′n} două baze înV .

TeoremăDacă a′i sunt coeficienţii lui f în baza B′, atunci are loc

a′ = a · C. (2)

Demonstraţie. Are loc

e′i =n∑

j=1

cjiej .

Coeficienţii a′i sunt

a′i = f (e′i ) =

n∑j=1

cji f (ej) =n∑

j=1

cjiaj .




Forme biliniare reale

Fie V spaţiu liniar peste R.

Definiţie

Funcţionala f : V × V → R se numeşte funcţională biliniarădacă satisface:1. f (αu + α′u′, v) = αf (u, v) + α′f (u′, v)2. f (u, βv + β′v ′) = βf (u, v) + β′f (u, v ′)∀α, α′, β, β′ ∈ R, u,u′, v , v ′ ∈ V.

Definiţie

Dacă V este finit dimensional, o funcţională biliniară senumeşte formă biliniară.

Definiţie

f se numeşte simetrică dacă f (u, v) = f (v ,u), ∀u, v ∈ V.Forme liniare, biliniare, pătratice



Expresia generală a unei forme biliniare

Fie B = {e1,e2, · · · ,en} o bază în V şi u, v ∈ V . Au loc

u =n∑

i=1

xiei , v =n∑

j=1

yjej .

Aplicăm f peste vectorii bazei şi obţinem

f (u, v) =n∑

i=1

n∑j=1

xiyj f (ei ,ej) (3)

Notămaij = f (ei ,ej). (4)




Matricea formei biliniare într-o bază

Definiţie

Matricea A = (aij) se numeşte matricea formei biliniare în bazaB.

Relaţia (3) poate fi scrisă sub forma

f (u, v) =(

x1 x2 · · · xn)· A ·

y1y2· · ·yn

.




Schimbarea matricei unei forme bilinare

TeoremăFie B = {e1,e2, · · · ,en} şi B′ = {e′1,e′2, · · · ,e′n} două baze înV . Fie f : V × V → R o formă biliniară, care are matricea A înbaza B şi matricea A′ în baza B′. Fie C matricea de schimbarede bază. Are loc

A′ = Ct · A · C. (5)




Demonstraţie

Vectorii din B′ se exprimă prin

e′i =n∑

j=1

cjiej .

Atunci

a′ij = f (e′i ,e′j ) = f (

n∑k=1

ckiek ,n∑

l=1

cljel) =

n∑k=1

ckin∑

l=1

clj f (ek ,el) =n∑

k=1

ckin∑

l=1

cljakl =

=n∑

k=1

ckin∑

l=1

aklclj




Formă biliniară simetrică

TeoremăFie f : V × V → R o formă biliniară, care are matricea A înbaza B. Atunci f este simetrică dacă şi numai dacă A = At .

Demonstraţie. Fie u, v ∈ V . Au loc

u =n∑

i=1

xiei , v =n∑

j=1

yjej .

Afirmaţia rezultă dacă ţinem cont de

f (u, v) =n∑

i=1

xin∑

j=1

yjaij şi f (v ,u) =n∑

j=1

yjn∑

i=1

xiaji .




Forma canonicăNatura unei forme pătratice


Fie V un spaţiu liniar peste R, cu dim(V ) = n.

Definiţie

Funcţia h : V → R se numeşte formă liniară dacă există oformă biliniară simetrică f : V × V → R astfel ca

h(u) = f (u,u). (6)

Fie B = {e1,e2, · · · ,en} în V şi u =n∑

i=1

xiei .

Are loc dacă folosim (4)

h(u) = f (u,u) = f (n∑

i=1

xiei ,n∑

j=1

xjej) =n∑

i=1

xin∑

j=1

xjaij .





Matricea formei pătratice

DefiniţieMatricea

A = (aij), i , j = 1, · · · ,n, (7)

se numeşte matricea formei pătratice în baza B.

Forma biliniară se scrie sub formă matriceală

h(x) =(

x1 x2 · · · xn)· A ·

x1x2· · ·xn

. (8)





Rangul unei forme pătratice

Definiţie

Dacă h este o formă pătratică, atunci forma biliniară asociată(polară) este prin definiţie

f (u, v) =12

(h(u + v)− h(u)− h(v). (9)

Definiţie

Numim rang al formei pătratice rangul matricei A.Dacă rang(A) = n, forma pătratică se numeşte nedegenerată.Dacă rang(A) < n, forma pătratică se numeşte degenerată.





Forma canonica

Definiţie

Spunem că forma pătratică are forma canonică dacă există obază B′ = {e′1, · · · ,e′n} în care forma pătratică are expresia

h(u) =n∑

i=1

ki(x ′i )2 unde u =

n∑i=1

x ′i e′i . (10)

Forma Lorentz

h(u) = x21 + x22 + x

23 − c2x24 ,

unde c este viteza luminii.





Metoda Iacobi

Fie A o matrice pătratică. Prin minor principal înţelegem undeterminant, a cărui diagonală conţine numai elemente dindiagonala principală a matricei.

TeoremăFie h : V → R o formă pătratică cu matricea A. Presupunem cătoţi minorii principali ∆i , i = 1, · · · ,n satisfac∆i 6= 0,∀i = 1, · · · ,n. Atunci există o bază în care formacanonică este

h(u) =∆0∆1

(x ′1)2 +

∆1∆2

(x ′2)2 + · · ·+ ∆n−1

∆n(x ′n)

2. (11)





Metoda Gauss

TeoremăFie h : V → R o formă pătratică. Există o bază în care h areforma canonică.

Metoda constă în transformarea matricei A a formei pătratice,până când aceasta are numai 0 sub diagonala principală.





Legea inerţiei

TeoremăFie h : V → R o formă pătratică. Pentru orice bază în care hare formă canonică numărul coeficienţilor pozitivi, negativi saunuli este acelaşi.





Pozitiva definire

Definiţie

Spunem că forma pătratică h : V → R este pozitiv definită dacăpentru orice u 6= 0V are loc h(u) > 0.

TeoremăO formă pătratică h : V → R este pozitiv definită dacă şi numaidacă ∆i > 0, ∀i = 1, · · · ,n.





Definiţie

Spunem că forma pătratică h : V → R este pozitiv semi-definitădacă pentru orice u ∈ V are loc h(u) ≥ 0.

Definiţie

Spunem că forma pătratică h : V → R este nedefinită dacăexistă u,u′ ∈ V ,u 6= u′ astfel ca h(u) < 0 şi h(u′) > 0






Forme liniareForme biliniareForme patratice realeForma canonicaNatura unei forme patratice

forme liniare, biliniare, patraticemath.etti.tuiasi.ro/lpopa/forme_liniare_biliniare...forme liniare...

Documents