formula rio ecuaciones diferenciales
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7/23/2019 Formula Rio Ecuaciones diferenciales
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1,.
E(]IJACIOI{ES
DIFERENCIAI,ES
DI]
PRIMgR ORDEN
_;>'
1.
1
.-
tiilu.4il
l0§¡tls
DE
vARIA*B
t,Üs
S il
PA
I.I.I\
f] t, fi
S
rrr
s
f
[94
#)
=
.f
(x)
enronces
se
riene
el
factor
integrante:
z(x,y)-:
h(x\:"lt{"u'
ol
s,
^-)(9L
#)
=
s(y)
entonces
se
riene el
factor
integrante:
u(x,
y)
:
lt(y)
-
,[
'otu'
Ayuclante:
I¡rancisco
Valenzuela
Riquelme
l. 3.- ECUACICI
N
:S
t,i
N
li¡\l.tiS
Facultad
de
Ingeniería
Curso:
Ecuaciones
Diferencíales
u§ach
SUME§¡#,DO'S
ruE
-
g(t).
h(y) *
t
#U=
[
s(ütr
+ c
1.1.l.-ltcuAcroNF:s
Qllil
srj
RIIIIIJCEN
A
L]CI]ACI
ON
ES DTJ VARIAB
I,-F]S
Sfi
I'A RAB
I,E
S
dv
(a)
a=f@x+by+c)
dx
Hacemos
z
:
ax +
by
+,
=+
=
o + b4
dx
dx
Remplazando se obtiene:
,J-
a
=
o
+
bf(z)
*ecuación
de
variables separables
dx
dv
-l
v\
(b)
*
=
Jl'l
dx
\x/
vdz
Hacemos ;::- 3
-
dx
Son de
la forma:
dy
dt
=
a(t)
+ ó(/)
*Fórrnula
de
Leibniz
ECUACTONES
QUE
SE
REDUCIIi'i
CASO LINEAL
t1t,
Remplazando
se
obtiene:
dz
_J'G)-z
dxx
1,2
"-
T'{I"}ACIO
N I]S
Di
FEI{I]NCIAI,NS
HXAil'TAS Y ITACTOR
INTEüRAN'IE
M(x,y)dx
+
N(x,
y)dy:0
es exacta
ssi:
dv
-:-+p(x\v=l(x'lv"
dr
Multiplicando
la
ecuación
por
yd
y
luego haciendo
ei
cambio
z
=
yr-,,
se obtiene:
**
r,
-
n) p(x).,
:
(1
-
n)
f
(x)
1,4,1..
ECUACIÓN
DIl BERNOULI,J
con
n*l
*Ecuación
Lineal
...
T,4,2.- ECUACíON
DE RICCAI'1
dv
"..T-y
dx
=-
1
-tr
-
AM
AN
-
=
-:-
de
no cumplirse
esta
igualdad
la ecuación
Ay Ax
no
es
exacta
y
se busca el
factor integrante
**rr*rr+q(x)y'=f(x)
Se
requiere
de
solución
particular
"y,
(x)
.Así, hacemos
el cambio de
coordenadas
"y(r)
=
,(x)*l
y
obtenemos
una
zlx)
ecuaciónlineal.
n
.,
*l¡
/
/
**.
,i;
=
-
{
Y*,riit=.r
'f
a\x}¿
q*i
'l[;-t"'""
bal:"]
att\,lt
(t)
:
e'
I
I
7/23/2019 Formula Rio Ecuaciones diferenciales
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u§ach
Facultad
de Ingeniería
Curso:
Ecuaciones
Diferenciales
1.5.-
APLICACIOi\
DE
irCUACi0¡lHs
DE
PRII'18F.
ORDEN
Ayudante:
Francisco
Valenzuela
Riquelme
1:5.:lr-
LEY
t)H
F.NFRIAMilji\l' 'Ü
Dti
N:ijw'l
()i";
"La
velocidad
con
que
se
enfría
una
sustancia
en
el
aire
es
proporcional
a
la
diferencia
de
la
temperatura
de
la
§ustancia
y
el
aire"
Se
tiene
:
T,(t)
:Temperatura
de
la
sustancia
en el
instante
t
I,,
Temperatura
del
medio(aire)
constante
Luego,la
ecuación
diferencial
que
modela
ei
fenón-ien
es:
t
'+=-k[rr'l-4"]
-
=
t(r)
=Tn
*[f
tOl
-T',,,k-r'
)
: Cantidad
de
soluto
en
el
estanque
en
el
tiempo
Velocidad
de entrada
del
fluido
al estanque
Velocidad
de
salida
del
fluido
del
estanque
:
Concentración
de
entrada
del
solttto
al
estanque
:
Concentración
de salida
del
soluto
del
estanque
Volumen
inicial
de
fluido
en
el
estanque
Cantidad
inicial
de
soluto
en
el estanque
rl(/)
f
V,
.C;
-V"
.C,
;v(f)
=
Y,,
+
(L'"
-Y',)'t
i 5
1.- REACCIOi'iES
QLilh'llcAS
IIE
PRINlER
ORDEN
Y DESINTEGRACiCN
Se
tienen
los
siguientes
parámetros
y
condiciones:
.r.:
Cantidad
inicial
en
gramos
-t(f
)
:
Número
de
gramos
presentes
en
el
instante
t
dx
"'''
:
Ritmo
de
crecimiento
de
x
dr
.1-r
-
"''
:
Ritmo
de
decrecimiento
de
x
dt
k
:
Constante
de
ProPorcionalidad
De
esta
forma,
si
k>0,
la ecuación
diferencial
que
describe
el
proceso
químico es:
.h
=
x(f)
:
xt,€
"'
Denominamos
semivida
al
tiempo
requerido
para
que
la
sustancia
reduzca
su masa
a
la mitad,
el cual
está
dado
por:
ln(2)
a-
k
1:5:2
-
CRECIMiEN'10
DE
BAC'I'ERI¡\S
-\
(r)
: Cantidad
de
bacterias
en
el
instante
t
dN
dt
:
nacimiento
s
-
muerte.s
:
a(Í)N
-
b(t)N
.Y(t
V
V,
C.
C"
xo
V,,
=
1v(r)
-
/'r(o)ef
@Q)-b(¡))ctt
Con
a(r)
y b(t)
proporción
de
nacimientos
y
muertes
respectivamente
_,
x(/)
Donde;
C',
=
^
(¡)
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de
Ingeniería
Curso:
Ecuaciones
Dif'erenciales
u§ach
Ayudante:
Francisco
Valenzuela
Riquelme
Donde:
t
e
lz
soluciones
particulares
LI
Conociendo
yr[xJ,
la
otra
solución
particular
yz[xJ
la
calculamos
según:
;i
r'
t
''
la*
. /).
ltG)
=
y'r(x)
l:-
dx
'
ltlx)'
Fórmula
de
Abel
x,(l):
Cantidad
de
soluto
en
el
estanque
L
de
capacidad
Vr
en el
tiempo
t
x,(t):
Cantidad
de
soluto
en el
estanque
2
de
capacidad
Vz
en
eltiempo
t
Considerando:
Entrada
de fluido
por
la
llave
A
a razón
de b
lts/min,
entonces
por
la llave
B
y
C
sale
solución
a
razón
de b
Its/min.
Tenemos
así
el
sistema
de
ecuaciones
diferenciales:
Resolviendo
Ia
primera
ecuación
se
encuentra
xr(t)
para remplazar
en
Ia
segunda
ecuación,
2.
HCUACIONES
DIFERFNCiAi,ES
DE
.l.l
"
n{:llACIONrr-S
LtNt",Af,tiS
ItF.
St,C{JND{)
0ii.DEiY
a
o
(x)
y"
+
a,
(
x)
v'
+
a,
(x)
y
=
$(x)
F'ORlvlA
i{ot{iv1Ai,
y"
*
p,
(x)
y'
+ p.(x)-1,,
:
g(x)
2.1,2."
rrcllAcróhí
r.t
N
riAi,
ati;ü,¡csñfl¿
y"*tr¡,(x)y'+pr(r)y
=
0
I
n@):
ctlt )
+
c,yr{x)
¿.1
ECUACtONiiS
t,lN
IAL]::S
I{ONi("}ü
i.ir i:r:l:
I)
fl CO
h-F
lCi H
N1'Ll
S C
L)
N
S't'A
lrj't'
itS
aoy"+ary'+az
=0
Calculamos:
Luego
(b)
a=0
Luego
(c)
A<0
Lu
aok2
+
atk
+
az
:01*
Ecuación
característica
(a)
A
>
0
kr,
kz
raíces
reales
v
distintas
,,(x)=ctek'*
*crgk"
kr=kz
raíces
reales
,)
u,
1.-
-
t
1¿
d=
Además:
.,,,_d(4,
d¡)
,t(dy
_,)
,l(dv
_,\dt
,
---
l--i
.e
i--.
dt\ctr
,t)
tu\dt
)
ú\dr
"
)a,
..,,
(
,t'1,
-,
tty
--,)
.
,
-r,(
,lt y
,ly\
,
=[¿t'e
-;
e-'
)a'
:r-l'l;í-i)
yo(x)=crek''
+c,xek"
kr, kz
raíces
complejas
con:
É
=
a
t
iF
/-*-
2.4
".
F.{"UACiÓN
I}I
LiiJt,Ei{
au.Y2
y"+arx
.
),'*u
zy
=
0
Con:
as,a1,a2
constantes
reales,
ao*0
Hacemos:
¡
: g
dx
dt
-t
-e
-.-=€
t
dx
-t r
tE+
4g
b
xt'lt)
=
-;xr
1
bb
Ir'(/):-..x,
Yt'V2
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Facultad
de
Ingeniería
Curso:
Ecuaciones
Diferencial
es
Remplazando
se
obtiene
una
ecuación
de
§ach
.o"fi;i;;;^."v
JL
uuLrsrre
una
ecuaciór
:es
constantes
cuya
ecuación
caracterÍstica
es:
ark'
+
(a,
-
a)k
*
o,
=0
(a)
A >
0
kr,
kz
raíces reales
y distintas
J
srva
Luego
lyr(*l-
",r',;;",L
I
a=05ffi
[¡--=-
Luego
iIoG¡:
",y'-.rt
L{',)l--
^,n-
',í
f)o:9frot@n,
:ati§
2.5.
NiU'l-ODO
D§
\,.1i_il,\Í_lttli
I)E
_
l"l"'*p,
(.r)1.'*p,
(.,)_,.
=7Gll
Buscamos
soluc.ión
oarticular
de
la
ecuación
anterior
del
tipo:
l'o
(.r)
=
c,(x),t'
(.r)
*
c,:
(.r)-r.,
(-r.)
Ayudante:
Francisco
Valenzue'ia
Riquelme
¿.6..
MF,',r'(Jt)i)
Dti
(;()Et
t(;it.j1\-t.1
5
{I{»ETIRM]NA
Do:j
Se
aplica
para
encontrar
una
solución
particular
de
ecuaciones
del
tipo:
a,,,
y"
+
e,
¡,'
+
t
t..r,
=
|
e,.,'
lrp,(x)
cos(r7,
x)
+
e,
@).s
en(,q,
x
)f
::,1d"
ao.at
a¡riy
Qi
ctes
reales,
pi[x)
y
Qi[xJ
polinomios.
En
la
siguiente
tabla
se
ilustra
algunos
ejemplos
específicos
de
f[x)
de
la
ecuación.on
ru."rpectiva
.
lorma
de
solución
particular.
-
-*"
""
'
LJ]
(b)
Sunoniendo
que
ninguna
función
en
la
solución
particuiar
supuesta
es
una
solución
de
la
ecuación
d iferencial
homogénea
asociada.
t-
:.
i.t+)
3.
1P
-2
' i . '
J.
.r3-¡+1
5.
s¡u4r
ó.
.
_:
-:;
7.
e5t.
-
.
.-;:'.
8.
(Ox
-
2¡o:.i
g.
r2gst
_
10.
cl,
s.il
4r.
'
1I;
S¡?jin4¡
ll.
r'i,lt
cos4.¡.
lr+B
*${ü
fW,
...,,,\'t¡
¡¡.,;,11'
..,
A;3
¡.
b-r.;
ir.+
f
.4
ros
¿1.+
Bsu¡
,{
cos
4a
* B
sll¡.¡
,4eh
"
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,
t:ii
:
ti*
i
r).t,
r:::,:r
..'r
i:
{¡1
cos
4.r
+
B
sin
r¡
e3.
(¡lx¿
+ 8x
*
Cicos
4.1
*
{fxr
* f¡
*
6)
sh
{x
(A;:1
B).
',,0:i4.r
+
i¿,,
i
Il,,;
s;rr..r
]eSIa
de
multiplicación:
Si
alguna
y,
conriene
términos
que
dupiican
lo,
t¿.mjno,
ái
r"n,
"n,on..r
r,
::
d.: "
multiplicar
por
xn,
donde
n
es
el
entero
positivo
mínimo
que
elimina
"r"
arpii"r.,r,
n/
(x)
=f
-'
,
r'l
.r'. (-r)
i
ly,'
(x)
1,,
'(.r)l
Luego,
c1[x] y c2(xJ
deben
satisfacer
el
sistema:
Cuyas
soluciones
son:
{,,(x)
=
-¡f
(r)Y.lx)
,,
w'(*)
Con: