formulario analisi 1
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Formulario analisi matematicaTRANSCRIPT
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USARE A PROPRIO RISCHIO E PERICOLO Limiti notevoli
1lim 1
x
xe
x→∞
� �+ =� �� � lim 1
xt
x
te
x→∞
� �+ =� � lim 1
nxnt
x
te
x→∞
� + =� �� �
1 1lim 1
x
x x e→−∞
� �− =� �� �
( )1
0lim 1 axx
ax e→
+ = ( )0
lim ln 0 0a
xx x a
+
−
→= > ( ) ( )
0
lg 1 1lim 0, 1
lna
x
xa a
x a→
+= > ≠
( )0
ln 1lim 1x
x
x→
+=
0
1lim 1
x
x
e
x→
− = ( )0
1 1lim
a
x
xa
x→
+ −= ( )
0
1lim ln 0
x
x
aa a
x→
− = > ( )0
1 1lim 1
a
x
x
ax→
+ −=
limx
ax
e
x→+∞= +∞ ( )ln
lim 0 0ax
xa
x+
→+∞= >
1
lnlim 1
1x
x
x→=
−
1
0lim(1 ) x
xx e
→+ =
lim 0a x
xx e−
→+∞= −
1
0
1lim(1 ) x
xx
e→− =
1 , , 0a p n∀ > ∈ ∀ ∈ ∀ > ∈� � �
limx
px
a
x→+∞= +∞
lim x n
xa x
→−∞= +∞ log
lim apx
x
x→+∞= +∞ 0
lim log 0pa
xx x
→=
0 1 , , 0a p n∀ < < ∈ ∀ ∈ ∀ > ∈� � �
limx
nx
a
x→−∞= ∞
lim 0x p
xa x
→+∞= log
lim apx
x
x→+∞= +∞ 0
lim log 0pa
xx x
→=
!
limpn
n
n→+∞= +∞
!lim
nn
n
a→+∞= +∞
!lim
nn
n
n→+∞= +∞
!lim 1
2n nn
n
n e nπ−→+∞= lim 0
!
n
n
x
a→+∞=
( )( )
2 !!lim 1
2 1 !! 2n
n
n nπ→+∞=
−
Limiti goniometrici
0
sinlim 1x
x
x→=
0
sinlimx
ax a
bx b→=
0
tanlim 1x
x
x→=
0
tanlimx
ax a
bx b→=
0
1 coslim 0x
x
x→
− = 20
1 cos 1lim
2x
x
x→
− = 30
sin 1lim
6x
x x
x→
− = 30
arg tan 1lim
3x
x x
x→
− =
0
arcsinlim 1x
x
x→=
0
arcsinlimx
ax a
bx b→=
0
arg tanlim 1x
x
x→=
0
arctanlimx
ax a
bx b→=
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Tavola delle derivate fondamentali
0k � 1n nx nx −� 1x�
xx
x�
2
1 1
x x� −
1
2x
x
�
1
1n
n nx
n x −
� 1 1 1
log loglna ax e
x x a� =
1ln x
x�
lnx xa a a� x xe e� sin cosx x�
cos sinx x − 22
1tan 1 tan
cosx x
x! = + 2
2
1cot (1 cot )
sinx x
x" − = − +
2
1arcsin
1x
x
#−
2
1arccos
1x
x
$ −−
2
1arctan
1x
x%
+
2
1arccot
1x
x& −
+
1ln x
x' [ ] [ ] 1 '( ) ( ) ( )
n nf x n f x f x
−(
( ) ( ) 'ln ( )f x f xa a a f x) ⋅ ( ) ( ) '( )f x f xe e f x* ⋅ '( )ln ( )
( )
f xf x
f x+
Regole di derivazione Somma di funzioni [ ] ' '( ) ( ) ( ) ( )D k f x h g x k f x h g x⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅
Derivata di un prodotto [ ] ' '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D f x g x f x g x f x g x⋅ = ⋅ + ⋅
Derivata di un rapporto
[ ]' '
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
f x f x g x f x g xD
g x g x
, -⋅ + ⋅=. /0 1
Derivata di funzione composta [ ] ' '( ( )) ( ( )) ( )D f g x g f x f x= ⋅
Derivata di funzione esponenziale [ ] [ ]
'( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ln ( )( )
g x g x g x f xD f x f x f x
f x
⋅= ⋅ +
Derivata Funzione inversa
1
1
( )
1( )
( )x f y
D f yf x −
−
=
2 32 3= 4 56 7 6 7
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Studio di funzione.
:f I → 8f è continua in I, f è derivabile in I 1° Dominio della funzione e studio della continuità. Se esistono punti di discontinuità dichiararne
il tipo. Le principali limitazioni sono: ( )
( ) 0( )
f xg x
g x9 ≠
log 0, 1, 0a x a a x: > ≠ > ( ) ( ) 0f x f x; ≥
arcsin( ( )) 1 ( ) 1y f x f x= < − ≤ ≤ arccos( ( )) 1 ( ) 1y f x f x= = − ≤ ≤ ( )( ) ( ) 0g xf x f x> >
2° Eventuali simmetrie della funzione, funzione pari, dispari, periodicità (sin,cos). 3° Calcolo dei limiti della funzione per x c→ dove c sono i punti di discontinuità di f \c DA A∈
(A = dominio di F) 4° Dove possibile calcolare il segno della funzione f(x)>0 e i punti di zero 5° Calcolo della derivata prima e studio della monotonia, trovare, se esistono, i punti di estremi
relativi, cioè:
' '( ) 0, ( ) 0f x f x≥ > Funzione non decrescente, funzione crescente. ' '( ) 0, ( ) 0f x f x≤ < Funzione non crescente, funzione decrescente. ' ( ) 0f x = Punti di estremi relativi, (vedi derivata seconda) ' '( ) ( )f x f x− +≠ Punto angoloso
6° Calcolo della derivata seconda e studio della convessità e punti di flesso, cioè:
'' ''( ) 0, ( ) 0f x f x≥ > La f è convessa, strettamente convessa ? '' ''( ) 0, ( ) 0f x f x≤ < La f è concava, strettamente concava @ '' ( ) 0f x = Punto di flesso
7° Ricerca degli asintoti:
0
lim ( )x x
f x→
= ±∞ Asintoto verticale. Retta 0x x=
0lim ( )x
f x y→±∞
= Asintoto orizzontale Retta 0y y=
( )lim
lim ( )lim ( )
x
x
x
f xm
xf xf x xm q
→±∞→±∞
→±∞
A∃ =B
= ±∞CB∃ − =D
Asintoto obliquo. Retta y mx q= +
8° Calcolo di alcuni valori della funzione, e di alcune rette tangenti alla f(x), utili per tracciare il grafico. La retta tangente del punto 0x è data da:
'0 0 0( ) ( )( )y f x f x x x− = −
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Integrali indefiniti immediati 1
( 1)1
xx dx C
αα α
α
+
= + ≠+
E
1lndx x C
x= +
F sin cosxdx x C= − +
G
cos sinxdx x C= +H
ln
xx a
a dx Ca
= +I
x xe dx e C= +
J
2
1tan
cosdx x C
x= +
K
2
1cot
sindx x C
x= − +
L
2
1arctan
1dx x C
x= +
+
M
2
1arcsin
1dx x C
x= +
−
N
2
1arccos
1dx x C
x= − +
−
O
[ ] [ ] 1
' ( )( ) ( ) ( 1)
1
f xf x f x dx C
αα α
α
+
⋅ = + ≠+
P
'( )ln ( )
( )
f xdx f x C
f x= +
Q
( )( ) '( )
ln
f xf x a
a f x dx Ca
⋅ = +R
'sin ( ) ( ) cos ( )f x f x dx f x C⋅ = − +
S
'cos ( ) ( ) sin ( )f x f x dx f x C⋅ = +T
'
2
( )tan ( )
cos ( )
f xdx f x C
f x= +
U
'
2
( )arcsin ( )
1 ( )
f xdx f x C
f x= +
−
V
'
2
( )arctan ( )
1 ( )
f xdx f x C
f x= +
+
W
Metodi di integrazione Per sostituzione
Formula Generale: '
( )( ) ( ( )) ( )
t t xf x dx f x t x t dt
=
X Y= Z [\ \
Dove ( )t x è la funzione inversa di ( )x t
Si pone ( )t f x= e si trova la 1( )x f t−= con 1[ ( )]dx D f t−= Per Parti
Formula Generale: ' '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x g x g x f x dx= −] ]
Dato un integrale si cerca una ( )f x di cui e facile fare l’integrale e una ( )g x dove applicare la derivata Razionali fratte
Calcolare l’integrale del tipo ( )
( )
P xdx
Q x
^ dove il grado del polinomio ( )P x deve essere minore del
grado del polinomio ( )Q x in caso contrario si procede alla divisione tale che ( ) ( )
( )( ) ( )
P x R xM x
Q x Q x= +
Occorre conoscere le radici del polinomio ( )Q x
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Integrazione funzioni irrazionali
, nax b
R x dxcx d
_ `+a ba b+c de
si pone
nax b
tcx d
+ =+
e si ottiene: n
n
t d bx
a t c
−=−
e ( )2n
ad bcdx dt
a t c
−=−
( )2,R x ax bx c dx+ +f
si distinguono due casi
0a > si pone: 2 ( )ax bx c a x t+ + = + e si ottiene : 2
2
t cx
b at
−=−
e
2
2
2 2 2
( 2 )
bt at acdx dt
b at
− −=−
0a < dette α e β le radici dell’equazione 2ax bx c+ + si pone : ( )( ) ( )a x x x tα β α− − = −
con t variabile positiva se α β< negativa in caso contrario, quindi si ottiene:
2
2
a tx
a t
β α−−
e 2 2
2 ( )
( )
a tdx
a t
β α−=−
Integrale Binomio
( )m n px a bx+g
su distinguono tre casi:
p intero: si pone rx t= dove r è il m.c.m. di m e n 1m
n
+ intero: si pone n sa bx t+ = dove s è il denominatore di p (
xp
s
∀= )
1mp
n
++ intero: si pone n
sn
a bxt
x
+ = dove s è il denominatore di p (x
ps
∀= )
Integrazione funzioni trascendenti
( )sin ,cosR x x dxg
si pone:
tan2
xt= e ricordando che
22
2 tan 22sin11 tan
2
xt
xx t
= =++
e
22
22
1 tan 12cos11 tan
2
xt
xx t
− −= =++
si ottiene
2arctanx x= e 2
2
1dx
t=
+
( )2 2sin ,cos , tanR x x x dxh
si pone:
tanx t= e ricordando che 2 2
22 2
tansin
1 tan 1
x tx
x t= =
+ + e 2
2 2
1 1cos
1 tan 1x
x t= =
+ + si ottiene:
arctanx x= e 2
1
1dx
t=
+
( )xR e dxi
si pone:
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xe t= e si ottiene : lnx t= e 1
dx dtt
=
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Integrali calcolati:
1[ ] coscos
sinaxx D adx x
aCx
adxαα = ⋅⋅ ⋅ = +
jj
1 cossin [ ] sin
axx dx D ax x dx C
a aα α⋅ = ⋅ ⋅ = − +
k k
sin 1 [cos ]tan 1 ln cos
cos cos
x D xx dx dx dx x C
x x
− ⋅⋅ = ⋅ = − ⋅ ⋅ = − +l l l
cos [sin ]cot ln sin
sin sin
x D xx dx dx dx x C
x x⋅ = ⋅ = ⋅ = +
m m m
21 sin
sin cos sin [sin ]2
xx x dx xD x dx C⋅ = ⋅ = +
n n
(*)(*) sin 2 2 sin cos
1 1 cos 2sin cos 2sin cos sin 2
2 2 4x x x
xx x dx x x dx x dx C =⋅ = ⋅ = ⋅ = − +
o o o
1sinsin cos sin [sin ]
1
xx x dx xD x dx C
αα α
α
+
⋅ = ⋅ = ++
p p
1coscos sin 1 cos [cos ]
1
xx x dx xD x dx C
αα α
α
+
⋅ = − ⋅ = − ++
q q
1 [ln ]ln ln
ln ln
D xdx x C
x x x= = +
r r
2
2
arctan arctan[arctan ] arctan
1 2
x xdx D x x C
x= ⋅ = +
+
p p
2 2 2 221 1 12 [ ]
2 2 2x x x xxe dx xe dx D x e dx e C= = = +
s s s
( )2
224 4 2
1 2 1 [ ] 1arctan
1 2 1 2 21
x x D xdx dx dx x C
x x x= = = +
+ + +
t t t
2 2 2
2 2 2 2 2
1 1 1 1 11 arctan
1 1 1 1 1
x x xdx dx dx dx dx dx x x C
x x x x x
+ − += = − = − = − ++ + + + +
u u u u u u
2 2 2
22
2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 [1 ]arcsin 1
1 2 1
x x x x x xdx dx dx dx dx dx
x x x x x x x
D xdx dx x x C
x x
+ + + + += = = = + =− − − + − − −
−− = − − +− −
v v v v v vv v
3 2 2 2
2 2
21
cos cos cos (1 sin )cos cos sin cos
sin sin sin sin
cos sin cos cos sin cos
sin sin sin sin
cos [sin ] sinsin cos sin [sin ] ln sin
sin sin
x x x x x x x xdx dx dx dx
x x x x
x x x x x xdx dx dx dx
x x x x
x D x xdx x xdx dx xD x dx x
x x
− −= = = =
− = − =
− = ⋅ − ⋅ = −
w w w ww w w ww w w w
2C+
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2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 sin cos sin cos
sin cos sin cos sin cos sin cos1 1
cot tancos sin
x x x xdx dx dx dx
x x x x x x x x
dx dx x x Cx x
+= = + =⋅ ⋅ ⋅ ⋅
+ = − + +
x x x xx x
2
2 2 2 2 2 2 2
2
3 1 3 1 3 2 1 3 [ ] 1
1 1 1 2 1 1 2 1 13
ln(1 ) arctan2
x x x D xdx dx dx dx dx dx dx
x x x x x x x
x x C
+ = + = + = + =+ + + + + + +
+ + +
y y y y y y y
2 22
2 2 2
sin 1 cos 1tan 1 tan
cos cos cos
x xxdx dx dx dx dx x x C
x x x
−= = = − = − +z z z z z
1 1 1 [ ]1 ln(1 )
1 1 1 1 1
x x x x xx
x x x x x
e e e e D edx dx dx dx dx dx x e C
e e e e e
+ − += = − = − = − + ++ + + + +
{ { { { { {
( )2 2 22 2 2
2
11 1 1 1 1 1
arctan 0
1 1 1
xD
xaadx dx dx dx C axa x a a a a ax xa a a
| }~ �� �= = = = + ∀ >
+ � � � �+ + +� � � �� � � �
� � � �
( ) ( )( ) ( ) ( )222
Trovare A e B con1 1 1
l'integrazione razionali
fratte
A Bdx dx dx dx
x a x a x a x a x ax a
� �� �= = = +� �
− − + − +− � �� � � �
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 22 2
2 2 2 2
1 1 1
ln( )
21
2
x a x x a xdx dx dx
a x x a x a x a x x a x
D x a xdx x a x C
x a x
x x a xD x a x
a x a x
+ + + += = =+ + + + + + +� �+ +� �
= + + ++ +
+ +� �+ + = + =� �
+ +
� � �
�
( )2 2 2 2 2
2
11 1
arcsin 0
1 1 1
xD
xaadx dx dx dx C aaa x x x xa
a a a
� �� �� �= = = = + ∀ >
− � � � �− − −� � � �� �
¡ ¡ ¡ ¡
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
( ) ( ) ( )
a a b x b x dx b xdx dx dx
x a b x a x a b x a x a b x a x a
+ −= = = −+ + +
¢ ¢ ¢ ¢x 2 2 2
22 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
( )
1 1 2 1 1 1 1ln ln( ) ln ln ( )
2 ( ) 2
1ln
( )
dxa b x
dx b xdx x a b x x a b x
a x a a b x a a a a
xC
a a b x
=+
− = − + = − + =+
++
¢¢ ¢
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2 2 2
2 2
1 1
(1 ) (1 )
dx x x xdx
x x x x
+ − += =+ +
£ £2(1 )x x+
2xdx −
£x
222
2
2
1 2 1ln ln ln(1 )
2 (1 ) 2(1 )
ln ln (1 ) ln(1 )
xdx x dx x x
xx
xx x C
x
= − = − + =++
− + = ++
£ £
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( ) ( )2 2 22 arcsin
1 1 1
D x dxdx dx dxx C
x xx x x x x
¤ ¥¦ §= = = +
−− − −
¨ ¨ ¨
[ ] 2ln 1ln ln ln
2
xdx xD x dx x C
x= = +
© © - [ ] 1ln 1
ln ln ln1
nn nx
dx xD x dx x Cx n
+= = ++
ª ª
2 2
tan2 2 2
sin 2sin cos sin 2 tan cos tan cos tan2 2 2 2 2 2 2 22 cos cos
2 2cos2
log tan2
x x xD dx D D dx
dx dx dx dxx x x x x x x xx
x xx
xC
« ¬ « ¬ « ¬ ® ® ®¯ ° ¯ ° ¯ °= = = = = =
+
± ± ± ± ± ±
ln tancos 2 4
sin2
dx dx x
xx
ππ
² ³= = +
´ µ² ³ ¶ ·+
´ µ¶ ·¸
Vedi integrale sopra.
2ln
( )
mx n m np mq m np mq dx m np mqdx dx dx x px q C
px q p p px q p p px q p p
+ − − −= = + = + + + ++ + +
¹ ¹ ¹ ¹
2 2 2 2 2 2
2 2
2xa x dx x a x dx x a x x
a x
−− = − − = − −−
º º2
x 2 2 22 2
2 2 2 2
2 2 22 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
( 1) 1( 1) da cui si ricava
x a adx x a x dx
a x a x
x a ax a x dx dx x a x a x dx a dx
a x a x a x
+ −= − + =− −
− −− + − − = − − − −− − −
º ºº º º º
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
1 12 e ricordando che arcsin si ha:
1arcsin
2
xa x dx x a x a dx dx C C
aa x a x
xa x dx x a x a C C
a
− = − − = + +− −» ¼
− = − − + +½ ¾¿ À
Á Á ÁÁ
2 2 2 2 2 2
2 2
2xa x dx x a x dx x a x x
a x+ = + − = + −
+
 Â2
x 2 2 22 2
2 2 2 2
2 2 22 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 da cui si ricava
x a adx x a x dx
a x a x
x a ax a x dx dx x a x a x dx a dx
a x a x a x
+ −= + − =+ +
+ −+ − − = + − + ++ + +
 Â   Â
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
1 12 e ricordando che ln( ) si ha:
1ln( )
2
a x dx x a x a dx dx x a x Ca x a x
a x dx x a x a x a x C
+ = + + = + + ++ +Ã Ä
+ = + + + + +Å Æ
Ç Ç ÇÇ
1 1ln ln
1
nn x
x xdx xn x
+
= −+
1nx +È È( )
1 1 1
2
1
ln ln1 1 1 1 1
1ln
1 1
n n n n
n
x x x xdx x dx x C
n n n n n
xx C
n n
+ + +
+
= − = − + =+ + + + +É Ê
− +Ë Ì+ +Í Î
Ï
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Integrali calcolati con formula di riduzione o ricorrente 2 2
2 2 1 2 1
1
(1 ) 2( 1)(1 ) 2( 1) (1 )n n n
x x xdx dx
x n x n x− −= ++ − + − +
Ð Ð da cui
1 1 12 1 2 1
1 1... (1 )
2( 1)(1 ) 2( 1) 2( 1)(1 ) 2( 1)n n n nn n
x xI I I I
n x n n x n− − −− −= + − = + −− + − − + −
e quindi:
12 1
2 3
2( 1)(1 ) 2( 1)n nn
x nI I
n x n −−
−= +− + −
n xnI x e dx= Ñ per n=1 si ha:
x x x x xxe dx xe e dx xe e C= − = − +Ò Ò
Per n>1 abbiamo: 1
1( 1) ( 1)n x n x n x n xn nI x e dx x e n x e dx x e n I−
−= = − − = − −Ó Ó
sinnnI xdx= Ô con n intero non negativo:
In caso di n pari: 00 sinI xdx dx x C= = = +Õ Õ
, in caso di n dispari: 11 sin cosI xdx x C= = − +Ö
1
2
sin cos 1n
n n
x x nI I
n n
−
−−= − +
cosnnI xdx= × con n intero non negativo:
In caso di n pari: 00 cosI xdx dx x C= = = +Ø Ø
, in caso di n dispari: 11 cos sinI xdx x C= = +Ù
1
2
cos sin 1n
n n
x x nI I
n n
−
−−= +
Integrali Generalizzati Criterio di integrabilità. Sia ( )f x una funzione definita dell’intervallo [ [,a b con b un punto di infinito, se esiste un
numero reale α con 0 1α< < tale che il limite ( )
lim1x b
f xl
x bα
→ −=
−
esiste ed è finito, allora la funzione
( )f x e’ assolutamente integrabile, se 1α ≥ la funzione non è integrabile.
Integrali impropri Criterio di integrabilità. Sia ( )f x una funzione definita dell’intervallo [ [,a ∞ , se esiste un numero reale α con 1α > tale
che il limite ( )
lim1x
f xl
xα
→+∞= esiste ed è finito, allora la funzione ( )f x e’ assolutamente integrabile,
se 0 1α< ≤ la funzione non è integrabile.
12 www.groups.google.com/group/fisici_ct
Trigonometria – Formule di addizione e sottrazione
2 2cos sin 1+ = ( )sin sin cos sin cosx y x y y x± = ± ( )cos cos cos sin cosx y x y x y= ±Ú
( ) tan tantan ,
1 tan tan 2
x yx y x y k
x y
π π± Û Ü± = ≠ +Ý Þß àá
Trigonometria – Formule di duplicazione sin 2 2sin cosx x x= 2 2cos2 cos sinx x x= −
2
2 tantan 2
1 tan
xx
x=
−
Trigonometria – Formule di bisezione
2 1 cos 2sin
2
xx
−= 2 1 cos2cos
2
xx
+= 2 1 cos2tan
1 cos 2 2
xx x k
x
π π− â ã= ∀ ≠ +ä å
+ æ ç
Trigonometria – Formule di prostaferesi
sin sin 2sin cos2 2
x y x yx y
+ −+ = sin sin 2cos sin2 2
x y x yx y
+ −− =
cos cos 2cos cos2 2
x y x yx y
+ −+ = cos cos 2sin sin2 2
x y x yx y
+ −− = −
Trigonometria – Formule parametriche 2
22
tansin
1 tan
xx
x=
+
22
1cos
1 tanx
x=
+
2
2 tan2sin
1 tan2
x
xx
=+
2
2
1 tan2cos
1 tan2
x
xx
−=
+
Le funzioni seno e tangente sono dispari, la funzione coseno è pari
sin cos2
x xπ
è é+ =
ê ëì í sin cos2
x xπ
î ï− = −
ð ñò ó sin cos2
z xπè é
− =ê ëì í
cos sin2
x xπ
ô õ+ = −
ö ÷ø ù cos sin2
x xπ
è é− =
ê ëì í cos sin2
x xπè é
− =ê ëì í
1tan
2 tanx
x
πú û
+ = −ü ýþ ÿ
1tan
2 tanx
x
πú û
− = −ü ýþ ÿ
1tan
2 tanx
x
πô õ
− =ö ÷ø ù
3sin cos
2x x
π� �
+ = −� �� �
3sin cos
2x x
π� �
− =� �
3sin cos
2x x
π� �
− = −� �� �
3cos sin
2x x
π� �
+ =� �
3cos sin
2x x
π� �
− = −� �� �
3cos sin
2x x
π� �
− = −� �� �
3 1tan
2 tanx
x
π�
+ = −� �� �
3 1tan
2 tanx
x
π� �
− = −� �� �
3 1tan
2 tanx
x
π� �
− =� �� �
( )sin sinx xπ± = − ( )sin sinx xπ − = ( )sin sinx x− = −
( )cos cosx xπ± = − ( )cos cosx xπ − = − ( )cos cosx x− =
( )tan tanx xπ± = ( )tan tanx xπ − = − ( )tan tanx x− = −
13 www.groups.google.com/group/fisici_ct
Trigonometria – Angoli
Gradi Radianti sin Cos tan 1/tan 0° 0 0 1 0 Non esiste
15° 12
π 4
26 − 4
26 + 32− 32+
18° 10
π
4
15 −
4
5210+ 5
521− 525+
'22 30° 8
π 2
22− 2
22+ 12 − 12 +
30° 6
π
1
2 3
2
3
3
3
45° 4
π 2 1
;2 2
2 1
;2 2
1 1
60° 3
π 3
2
1
2 3 3
3
'67 30° 3
8π 2
22+ 2
22− 12 + 12 −
75° 5
12π 4
26 + 4
26 − 32+ 32−
90° 2
π
1 0 Non esiste 0
120° 2
3π 3
2
1
2− 3− 3
3−
135° 3
4π 2 1
;2 2
2 1
;2 2
− − 1− 1−
150° 5
6π
1
2 3
2−
3
3−
3−
180° π 0 -1 0 Non esiste
270° 3
2π
-1 0 Non esiste 0
14 www.groups.google.com/group/fisici_ct
Formule Varie
1 (1 )nnx x+ ≤ + ( 1)1 2 3 ...
2
n nn
++ + + + = ; ( , 0)n na b a b a b< ⇔ < > 12 3 4
π π π= −
xy x y= x y x y x y− ≤ ± ≤ + 21 2
1 2 1 2
( )( )
;
ax bx c a x x x x
b cx x x x
a a
+ + = − −
+ = − − =
2 22
1Posto:
1si ha: 2
x yx
x yx
+ =
+ = − 1 2 2 1( )( ...n n n n n na b a b a a b ab b− − − −− = − + + + +
2 2
2 2
a a b a a ba b
+ − − −± = ± solo se 2a b− è un quadrato perfetto
( )( )2 2a b a b a b− = + − ( )( )3 3 2 2a b a b a ab b− = − + + ( )( )3 3 2 2a b a b a ab b+ = + − +
( )( )( )4 4 2 2a b a b a b a b− = − + + ( )( )4 4 2 2 2 22 2a b a ab b a ab b+ = + + − +
( )3 3 2 2 33 3a b a ba b a b+ = + + + ( )3 3 2 2 33 3a b a ba b a b− = − + − ( )1 ! !( 1)n n n+ = +
( )! ( 1)!n n n= −
1 1; ;
zi zz z
z z i= = − = ( )
2 2
2 2 2 2
cos sin
;cos ;sin
a ib i
a ba b
a b a b
ρ ϑ ϑ
ρ ϑ ϑ
+ = +
= + = =+ +
2 2z x iy z x y= + � = + ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
cos sin ; cos sin
cos sin
cos sin
i i
i
i
α ρ ϑ ϑ β ρ ϑ ϑ
αβ ρρ ϑ ϑ ϑ ϑα ρ ϑ ϑ ϑ ϑβ ρ
′ ′ ′= + = +
′ ′ ′�
= + + +! "′ ′
� = + + +! "
′
( ) ( )cos sin cos sinn ni n i nρ ϑ ϑ ρ ϑ ϑ
# $+ = +% &
( )1
cos sin
2 2cos sin
n
n
i
k ki
n n
ρ ϑ ϑ
ϑ π ϑ πρ
+ =
+ +' (
+) *+ ,
Esponenti e logaritmi
log 1 0a = log 1a a = loga ba b= log log loga a abc b c= +
log log loga a a
bb c
c= − log logp
a ab p b= log log logc c ba b a= 1log loga a b
b= −
1log
log ba
ab
= 1
log 1a a= −
loglog
log
aa β
αβ α
= log logb aa bα α=
0 1a = x y x ya a a ++ = x
x yy
aa
a−= ( ) ( )y xx xy ya a a= =
( )xx xa b ab= 1 1x
xxa
a a− - .= = / 01 2
xx
x
a a
b b
3 4= 5 67 8
15 www.groups.google.com/group/fisici_ct
Disequazioni irrazionali
2 ( ) 0( ) ( )( ) ( )
( ) 0( ) 0
A xA x B xA x B x
B xB x
≥9
≥9
≥ : :<≥ ;;
<
2( ) ( )
( ) ( ) ( ) 0
( ) 0
A x B x
A x B x A x
B x
=≤>
≤ ≥?>
≥@
2( ) ( )( ) ( )
( ) 0
A x B xA x B x
B x
A=
= B≥
C
Formule per i quadrati
22 2 22 2
2
4
4 4 2 4
, , 4 0
p p p p qx px q x px q x
p q p q
−D E
+ + = + − + + = + −F GH I
∈ + >J
22 2 22 2
2
4
4 4 2 4
, , 4 0
p p p q px px q x px q x
p q p q
−K L
+ + = + − + + = + +M NO P
∈ − <Q
22
2
2
, , 4 0
px px q x
p q p q
R S+ + = +
T UV W∈ − =
X
22 2 22 2
2
4
4 4 2 4
, , 4 0
p p p p qx px q x px q x
p q p q
+Y Z
− + + = − + − + + = − − +[ \] ^
∈ + >_
Disequazioni trigonometriche sin ;( 1)x l l< ≤ − Impossibile
sin ;( 1)x l l< > é verificata per ogni x sin ;( 1)x l l< =
é verificata per ogni x escluso 22
kπ π+
sin ;( 1)x l l< < La sin x è crescente dell’intervallo ,
2 2
π π` a−b cd e e la soluzione è:
2 2 2a k x a kπ π π π− + < < + + sin ;( 1)x l l> ≥ Impossibile
sin ;( 1)x l l> < − é verificata per ogni x
sin ;( 1)x l l> = − é verificata per ogni x escluso 2
2k
π π+
sin ; ( 1)x l l> < La sin x è crescente dell’intervallo ,
2 2
π π` a−b cd e e la soluzione è:
16 www.groups.google.com/group/fisici_ct
2 2a k x a kπ π π+ < < − + cos ;( 1)x l l< ≤ − Impossibile cos ;( 1)x l l< > é verificata per ogni x cos ;( 1)x l l< = é verificata per ogni x escluso 2kπ
cos ;( 1)x l l< < La cos x è decrescente dell’intervallo ] [0,π e la soluzione è:
2 2 2a k x a kπ π π+ < < − + cos ;( 1)x l l> ≥ Impossibile
cos ;( 1)x l l> < − é verificata per ogni x
cos ;( 1)x l l> − é verificata per ogni x escluso 2kπ π+
cos ;( 1)x l l> < La cos x è decrescente dell’intervallo ] [0,π e la soluzione è:
2 2a k x a kπ π− + < < + tanx l<
La tan x è crescente dell’intervallo ,2 2
π π` a−b cd e e la soluzione è:
2k x a k
π π π− + < < +
tanx l> La tan x è crescente dell’intervallo ,
2 2
π π` a−b cd e e la soluzione è:
2a k x k
ππ π+ < < +
Disequazioni trigonometriche notevoli
cos sin 0a x b x c+ + > Dato
2 2cos
a
a bϕ =
+ e
2 2sin
b
a bϕ =
+si ha:
2 2 2 2 2 2cos sin 0
a b cx x
a b a b a b+ + >
+ + + ovvero:
2 2sin cos cos sin 0
cx x
a bϕ ϕ+ + >
+ per cui:
2 2sin( )
cx
a bϕ + > −
+
2 2cos sin cos cos 0a x b x x c x+ + > Dividendo per 2cos x abbiamo:
2tan tan 0a x b x c+ + >
2 2cos sin cos cos 0a x b x x c x d+ + + > Ricordando che 2 2*1 *(cos sin )d d x x= +
dividendo per 2cos x abbiamo: 2( ) tan tan ( ) 0a d x b x c d+ + + + >
17 www.groups.google.com/group/fisici_ct
Valore Assoluto ( )A x k< ( )
( )
A x k
A x k
<fg
> −h
( )A x k> ( )
( )
A x k
A x k
>fg
< −h
Il trinomio 2ax bx c+ + se 0∆ > assume valore concorde al primo coefficiente per tutti e solo i valori esterni alle sue radici 1 2,x x , mentre assume valore opposto per tutti e solo i valore interni
all’intervallo 1 2,x x , se 0∆ = assume segno concorde ad a per tutti i valori della x escluso la
soluzione 2
b
a− , 0∆ < assume segno concorde ad a per tutti i valori della x
Equazione reciproche Prima specie = coefficienti uguali Seconda specie = coefficienti opposti
( ) ( )3 2 20 1 0ax bx bx a x ax a b x ai j
+ + + = k + + − + =l m
( ) ( )3 2 20 1 0ax bx bx a x ax a b x an o
+ − − = p − + + + =q r
4 3 2 22
2 2 22
1 10 0
1 1Posto: e quindi 2 ( 2) 0
ax bx cx bx a a x b x cx x
z x z x a z bz cx x
s t s t+ + + + = u + + + + =
v w v wx y x y= + − = + u − + + =
4 3 0 soluzioni -1 e +1 (Applicare Ruffini 2 volte)ax bx bx a+ − − = z
18 www.groups.google.com/group/fisici_ct
( )1( ) 0,n pari
nf x n
x= > ( )1
( ) 0,n disparin
f x nx
= >
( )( ) 1xf x a a= > ( )( ) 0 1xf x a a= < <
( )( ) n parinf x x= ( )( ) disparinf x x n=
( )( ) 1,pf x x p p R= > ∈ ( )( ) 0 1,pf x x p p R= < < ∈
19 www.groups.google.com/group/fisici_ct
( ) log ( ) ( 1)af x x a= > ( ) log ( ) (0< 1)af x x a= <
( ) sin( )f x x= ( ) arcsin( )f x x=
( ) cos( )f x x= ( ) arccos( )f x x=
( ) tan( )f x x= ( ) arctan( )f x x=
20 www.groups.google.com/group/fisici_ct
Serie
Serie numerica 1 20
... ...n nn
a a a a∞
== + + +
{, Somma parziale 1 2 ...n nS a a a= + + + , Se la successione
delle somme parziali nS converge ad un numero S, si dice che la serie 1
nn
a∞
=
|è convergente e ha
come somma il numero S, cioè 1
nn
S a∞
==
{. La serie può essere convergente, divergente, o
oscillante. Se la serie 1
nn
S a∞
==
{è convergente detta ns la sua ridotta n-sima si dice resto nR n-sino
la differenza n nR S s= − . Se la serie converge si ha lim 0nnR
→∞= . Se si modificano dei termini finiti
della serie il carattere della serie non cambia. Se due serie sono convergenti, anche la loro somma lo è. Condizione necessaria affinché la serie converga è che il termine generale della successione sia infinitesimo Serie di Mengoli
1 1 1 1...
1 2 2 3 3 4 ( 1)nSn n
= + + + ++ + + +
in generale
1 1 1
( 1) ( 1)n
n n nS
n n n n
+ − += = =+ + ( 1)n n +
n−n
1 1
( 1)( 1) n nn= −
++cioè
11
2nS = − 1
2
} ~+
� �� � 1
3− 1
3
} ~+
� �� � 1
4− 1
...n
} ~+ +
� �� � 1 11
1 1n n
} ~− = −
� �+ +� � quindi la serie converge ed ha
come limite 1. L'espressione "serie telescopica" è un termine informale con cui si indica una serie
i cui termini appaiono nella forma 1 2 2 3 11
( ) ( ) ... ( )n n nn
S a a a a a a∞
+=
= − + − + + −�
e il calcolo della
serie si riduce al calcolo del limite ( )1 ( 1)lim nn
a a +→∞−
Serie Armonica
1
1
n n
∞
== +∞
�,
1 1 11 ... ...
2 3 n+ + + + + diverge
Serie Geometrica 2
0
1 ... ...n n
n
x x x x∞
== + + + + +
�
Ricordando che 2 11 ...
1
nn
n
xS x x x
x
−= + + + + =−
ricavato da 21 (1 )(1 ... )n
n n
S
x x x x x− = − + + + +��������� si ha:
21 www.groups.google.com/group/fisici_ct
2 11 1 1 1 ... 1
1 11
1 1
11 diverge a
11 oscillante e infinitamente grande
0 se n è pari 1
1 se n è dispari
nn
n
n
n
n
x S n
xx S
x x
xx S
xx
x
−�
= � = + + + + =�−
�< � = =�
− −�−
�> � = + ∞
�−�
< −�� ��
= −�� ��
Serie a termini non negativi
Sia 1
nn
a∞
=
�una serie a termini non negativi, cioè 0na ≥ , questa serie è regolare
Criterio del confronto
1
1) nn
a∞
=
�
1
2) nn
b∞
=
� se n na b≤ si dice che:
la (1) è maggiorata o è una serie minorante dalla (2) la (2) è minorata o è una serie maggiorante della (1) Considero le serie (1) e (2) a termini non negativi e che (1) sia maggiorata da (2) (n na b≤ ) si ha:
Se (2) è convergente anche (1) è convergente Se (1) è divergente anche (2) è divergente Criterio del rapporto
Data la serie 1
nn
a∞
=
�a termini positivi se la successione 1n
n
a
a+ converge si ha:
1
1
1
lim 1, la serie risulta convergente
lim 1,(anche+ )la serie risulta di divergente a +
lim 1, Nulla si può dire su carattere della serie
n
nn
n
nn
n
nn
al
a
al
a
a
a
+
→∞
+
→∞
+
→∞
�= <
���= > ∞ ∞
���=
��
Criterio della radice
Data la serie 1
nn
a∞
=
�a termini non negativi se la successione n
na e convergente si ha:
lim 1, la serie risulta convergente
lim 1,(anche+ )la serie risulta di divergente a +
lim 1, Nulla si può dire su carattere della serie
nnn
nnn
nnn
a l
a l
a
→∞
→∞
→∞
�= <��
= > ∞ ∞��
=��
Osservazione: Se fallisce il criterio della radice, fallisce il criterio del rapporto Criterio di Raabe
Data la serie 1
nn
a∞
=
�a termini positivi si ha:
22 www.groups.google.com/group/fisici_ct
1
1
1
lim 1 1,(anche+ )la serie risulta convergente
lim 1 1,(anche- )la serie risulta di divergente
lim 1 1, Nulla si può dire su carattere della serie
n
nn
n
nn
n
nn
an l
a
an l
a
an
a
→∞+
→∞+
→∞+
� � �− = > ∞
� � � ¡�� � �− = < ∞
¢ � � ¡� �
− =� � ¡
�����£
Serie assolutamente convergente
La serie 1
nn
a∞
=
¤è assolutamente convergente se la serie
1n
n
a∞
=
¥ è convergente. Se la serie
1n
n
a∞
=
¥ non
è convergente non è detto che la serie 1
nn
a∞
=
¤non lo sia. Esempio la serie
11 1 1 11 ... ( 1) ...
2 3 4n
n−− + − + + − è convergente, ma la serie dei sui valori assoluti è la serie armonica
che diverge. Se una serie è assolutamente convergente la serie risulta convergente. Se una serie è
assolutamente convergente gode della proprietà commutativa. Se la serie 1
nn
a∞
=
¤ma la serie
1n
n
a∞
=
¥
diverge non vale la proprietà commutativa. Se la serie 1
nn
a∞
=
¤converge e vale la commutativa allora
la serie è assolutamente convergente. In generale se una serie convergente converge assolutamente vale la proprietà commutativa Criterio di convergenza di Cauchy
1n
n
a∞
=
¤è convergente se vale 1 20 : , ...n n n pn n n p a a aε ε+ + +∀ > ∃ ∈ ∀ > ∃ ∈ ¦ + + + <
§ §
Serie alternate Una serie si dice alternate se 1 0n na a +⋅ ≤ ovvero si alternano termini positivi e negativi
Se la serie 1
nn
a∞
=
¤è alternante e la successione { }na è monotona la serie o converge o risulta
oscillante. Se la successione { }na risulta non crescente, cioè 1n na a +≥ , e lim 0nn
a→∞
= la serie
risulta convergente e si ha: 1n ns s a +− ≤ detta s la somma della serie. Se invece si ha lim 0nn
a→∞
≠ la
successione è oscillante Criterio del confronto asintotico
Siano 1
nn
a∞
=
¤e
1n
n
b∞
=
¨due serie a termini positivi se esiste il limite ] [lim 0,n
nn
al
b→∞= ∈ +∞ allora le due
serie hanno lo stesso carattere,se lim 0n
nn
a
b→∞= possiamo solo dire che n na b< se invece lim n
nn
a
b→∞= ∞ si
ha n na b> . Molto spesso si usa per nb la serie armonica 1
nα
23 www.groups.google.com/group/fisici_ct
Serie Armonica Generalizzata
Consideriamo la serie 1
1
n nα
∞
=
©applicando il criterio di Raabe si ha:
11 1
( 1) 1 1lim 1 lim 1 lim 1 1 lim
1n n n n
nn nn n n
n n nn
α
α αα
α α→∞ →∞ →∞ →∞
ª «¬ + −
® ¯° ±² ³ ² ³ ´ µ² ³+ +
® ¯¬ ¬ ¶ ·− = − = + − = =
® ¯ ® ¯® ¯ ° ± ° ±´ µ ´ µ® ¯ ® ¯¶ · ¶ · ¶ ·
(vedi limite notevole ( )
0
1 1lim
a
x
xa
x→
+ −= ) Quindi la serie armonica generalizzata converge per
1α > diverge per 0 1α< < e assume per 1α = la forma 1
1
n n
∞
=
¸ che diverge. Per 1α < il termine
generale della serie non è infinitesimo quindi la serie diverge. Ricapitolando si ha:
1, la serie diverge a +
1, la serie converge
αα≤ ∞
¹º>
»
Serie Esponenziale
Consideriamo la serie 1 !
n
n
x
n
∞
=
¼applicando il teorema del rapporto si ha per 0x > :
11 !
( 1)!
n nn
nn
a x n x
a n x
++ = =
+ !
x
n
!
( 1)
n
n + nx ( 1)
x
n=
+ quindi 1lim 0
( 1)n
nn
a x
a n+
→∞= =
+ la serie converge
Per 0x = la serie fa zero. Per 0x < si ha considera la serie 1 1! !
nn
n n
xx
n n
∞ ∞
= =
=½ ½
che è assolutamente
convergente quindi la serie è convergente. Serie logaritmica
Consideriamo la serie 1
n
n
x
n
∞
=
¼ applicando il teorema del rapporto si ha per 0x > :
11
( 1)
n nn
nn
a x n x
a n x
++ = =
+ ( 1) n
x n
n x+ ( 1)
nx
n=
+ quindi 1lim
( 1)n
nn
a nx x
a n+
→∞= =
+,quindi la serie converge per
0 1x≤ < , per 1x = , si ha la serie armonica, quindi diverge, per 1x > la serie diverge a +∞ .
Considero 1 0x− < < in questo caso considerando che la serie 1 1 !
nn
n n
xx
n n
∞ ∞
= =
=¾ ¾
è assolutamente
convergente lo è anche la serie 1
n
n
x
n
∞
=
¿dell’intervallo 1 0x− < < , Considero 1x = − in questo caso
la serie è alternate. Infatti 1
( 1)n
n n
∞
=
−Àconsiderando il teorema delle serie alternate si ha che
( 1) 1n
nan n
−= = → decrescente e infinitesima, quindi la serie converge, però non è assolutamente
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convergente. Per 1x < − si ha che la serie è definitivamente non decrescente, quindi la serie oscilla.
Infatti si può scrivere: [ ] [ ]
1 1 1
( 1)( ) ( )( 1)
n nnn
n n n
x xx
n n n
∞ ∞ ∞
= = =
− − −= = −
Á Á Á considerando la successione
n
n
xa
n= e applicando il criterio del rapporto si ha:
1
1lim( 1)
nn
nnn
n
xxa n
a n x
++
→∞= =
+ ( 1) n
x n
n x+1
( 1)
nx x
n= = >
+ da cui si ricava che 1n na a+ ≥ cioè la
successione na e definitivamente non decrescente. Considerando che il resto delle successione
non è infinitesimo si ha che la serie oscilla. Ricapitolando si ha che la serie logaritmica è: 1 1, la serie converge
1, la serie diverge
1, la serie oscilla
x
x
x
− ≤ ≤ÂÃ
>ÄÃ
< −Å
Studio la serie 1
1log(1 )
n nα
∞
=+
Æ
Applico il criterio del confronto asintotico si ha 1
log 11 1
lim log 1 log 1 log 11
n
n
nn e
n nn
αα
αα α
α→∞
Ç È+
É Ê Ç È Ç ÈË Ì= + = + = =É Ê É ÊË Ì Ë Ì quindi il carattere della serie
1
1log(1 )
n nα
∞
=+
Æ ha lo stesso carattere della serie
1
1
n nα
∞
=
Í(serie armonica generalizzata))
Studio la serie [ ]1
log(1 )n
n
n−∞
=+
Î
Applico il criterio della radice si ha: 1 1
lim 0log(1 ) log(1 )
nnn n n→∞
= =+ +
quindi la serie è convergente
Studio la serie 1
!n
n
xn
n
∞
=
Ï ÐÑ ÒÓ ÔÕ
Per 0x = la serie è uguale a zero. Per 0x > si ha: Serie a termini positivi, applico il criterio del rapporto
1
1
1lim( 1)! lim ( 1)
( 1) !
n n
n nn n
x nn n
n n x
+
+→∞ →∞+ = +
+!n
nx
( 1) ( 1)n
x
n n+ +1
!n
n
n
n
xlim
( 1)
lim lim( 1) 1
1
n
nn
n nn n
n
nx
n
x x x
n en n
→∞
→∞ →∞
= =+
= =+ Ö ×
+Ø ÙÚ Û
Quindi per 0 1 0x
x ee
< < → < < la serie è convergente, per x e> la serie diverge, per x e= se
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consideriamo che la successione 1
1n
n
Ü Ý+
Þ ßà á tende a e in mode crescente si ha 1
1n
en
Ü Ý+ <
Þ ßà á è quindi
11
1n
e
n
>â ã+
ä åæ ç da cui la serie diverge
Per 0x < si ha: Considerando i valori assoluti si ha per 0e x− < < la serie è alternate è converge perché assolutamente convergente, per x e> − la serie è alternate e monotona crescente quindi oscillante. Ricapitolando si ha
, la serie converge
, la serie diverge
, la serie oscilla
e x e
x e
x e
− < <èé
≥êé
≤ −ë
Studio la serie 2
3 21
162nx
n
n
n n n
∞
=
−+ +
ì
Osservo che la serie è definitivamente positiva per 5n ≥ , e che la quantità 2nx è sempre positiva.
Considero la successione 2
3 2
16n
na
n n n
−=+ +
è applico il criterio del confronto asintotico:
2
22 22 2 23 2
3 33
2 2 2
16 16 1616 1 1 1lim lim lim lim 1
1 1 1 1 1 1 11 1 1
n n n n
n nn n nn n nn n n n
n nn
n n n n n n n
α αα
α
+
→∞ →∞ →∞ →∞
í î í î í î− − − −
ï ð ï ð ï ðñ ò ñ ò ñ ò+ + = = = =í î í î í î
+ + + + + +ï ð ï ð ï ðñ ò ñ ò ñ ò
devo trovare un coefficiente α tale che il limite abbia valore maggiore di zero. Cioè deve essere: 2 3α + = da cui si ricava 1α = e si deduce che la serie è divergente visto che assume lo stesso
carattere della serie armonica 1
1
n