formulario copadi

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE MXICO

FACULTAD DE INGENIERA

SECRETARA GENERAL

COORDINACIN DE PROGRAMAS DE ATENCIN DIFERENCIADA PARA ALUMNOS

COPADI

FORMULARIO C O P A D I

MS DE 400 FRMULAS DE MATEMTICAS!

ING. RIK CASTAEDA DE ISLA PUGA ING. PABLO GARCA Y COLOM

ESTA OBRA SE REALIZ GRACIAS A LA DGAPA, A TRAVS DE UN PROYECTO PAPIME

P R L O G O Las asignaturas de matemticas en la Facultad de Ingeniera, que fundamentalmente se imparten en su Divisin de Ciencias Bsicas, constituyen herramientas muy poderosas -y en ocasiones son un autntico lenguaje- para la comprensin y aplicacin de las asignaturas fsicas y tambin para aquellas propias de las carreras de ingeniera. Son apoyos valiosos para los estudios de posgrado -maestras y doctorados- y para el ejercicio profesional. Es por ello que, para contar con estudiantes con una formacin slida en Ciencias Bsicas y que tengan buenas posibilidades de xito en su devenir acadmico y profesional, resulta importante y trascendente su aprendizaje de las diferentes ramas de las matemticas que deben estudiar como son el lgebra, la Geometra Analtica, El lgebra Lineal, el Clculo con una y varias variables, las Ecuaciones Diferenciales y las Matemticas Avanzadas. Y para esto hemos pensado en proporcionar a los estudiantes de ingeniera estos formularios, que con sus ms de 400 expresiones, pretenden apoyar y hacer ms eficiente el estudio y aprendizaje de las matemticas primero y despus constituirse en un manual para su quehacer futuro, ya sea acadmico o laboral. Esperamos que este formulario sea de mucha utilidad para el trabajo acadmico de alumnos y profesores de ingeniera que ven y aprecian esta disciplina como un detonante para el desarrollo de la sociedad. Es sabido que la ingeniera es unin entre los seres humanos y la naturaleza, y que uno de los principales objetivos de su quehacer es el de mejorar la calidad de la vida en el entorno de su prctica. Aprovechamos este espacio para agradecer a la Lic. Ana Mara Vieyra vila y al pasante de ingeniera Jorge Alejandro Rangel Rangel por su colaboracin en las labores administrativas y de seguimiento para el logro de esta publicacin.

Ing. rik Castaeda de Isla Puga Ing. Pablo Garca y Colom

N D I C E IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS 1 CRCULO TRIGONOMTRICO 2 RECTA Y CIRCUNFERENCIA 3 LAS CNICAS: PARBOLA, ELIPSE E HIPRBOLA 5 GEOMETRA ANALTICA EN EL ESPACIO 7 CLASIFICACIN DE LAS SUPERFICIES CUDRICAS 10 FRMULAS DE DERIVACIN ORDINARIA 11 FRMULAS BSICAS DE INTEGRACIN 13 SERIES INFINITAS 15 SERIES DE POTENCIAS 18 ALGUNAS FUNCIONES REPRESENTADAS POR SERIES DE POTENCIAS 20 FUNCIONES HIPERBLICAS. IDENTIDADES, DERIVACIN E INTEGRACIN 22 MXIMOS Y MNIMOS. UNA O MS VARIABLES 24 GEOMETRA DIFERENCIAL. FRMULAS DE FRENET-SERRET. CINEMTICA DE UNA PARTCULA. 27 LONGITUDES, REAS Y VOLMENES. LONGITUD DE ARCO, REA BAJO LA CURVA, REA ENTRE DOS CURVAS, REA DE SUPERFICIES, VOLMENES 29 MASA, MOMENTOS, CENTROS DE MASA Y CENTROIDE 31 ALGUNOS CASOS DE DERIVACIN EXPLCITA EN FUNCIONES ESCALARES DE VARIABLE VECTORIAL 33 ALGUNOS CASOS DE DERIVACIN IMPLCITA EN FUNCIONES DE UNA Y MS VARIABLES 35 COORDENADAS POLARES, CILNDRICAS Y ESFRICAS 37 OPERADORES VECTORIALES GRADIENTE, DIVERGENCIA, ROTACIONAL Y LAPLACIANO 41 EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES TEOREMAS DE GREEN, STOKES Y GAUSS 42 TRANSFORMADAS DE LAPLACE 44 SERIES DE FOURIER 45

C O P A D I 1

IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS

FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

CATETO OPUESTO = catop ; CATETO ADYACENTE = catad ; HIPOTENUSA = hipo

catadcatoptan

hipocatad

hipocatop ;cos;sen

IDENTIDADES

sencoscot;

cossen;

cos1sec;

sen1csc tan

tantantan

;coscos;sensen1cotcsc;1sec;1cossen 222222

tantantantantan

tantantantantan

1;

1

sensencoscoscos;sensencoscoscossencoscossensen;sencoscossensen

22222 tan1

tan22tan;1cos221cos2cos;cos22 sensensensen

cos1sen

sencos1

2;

2cos1

2cos;

2cos1

2sen

tan

2cos21

21cos;2cos

21

21sen 22

sensen21sencos

sensen21cossen

coscos21coscos

coscos21sensen

C O P A D I 2

CRCULO TRIGONOMTRICO

EN LA FIGURA SE PRESENTA EL CRCULO TRIGONOMTRICO DE RADIO LA UNIDAD POR LO QUE EN CADA PUNTO, CORRESPONDIENTE A UN NGULO DETERMINADO, LA ABSCISA ES EL COSENO Y LA ORDENADA EL SENO DEL NGULO CONSIDERADO Y A PARTIR DE ESOS VALORES SE PUEDEN DETERMINAR LAS DEMS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Y CONOCER DE TODAS ELLAS SU VALOR Y SIGNO DEPENDIENDO DEL CUADRANTE EN ESTUDIO.

C O P A D I 3

RECTA Y CIRCUNFERENCIA

LA LNEA RECTA

PENDIENTE DE LA RECTA: 2121

21 ; xxxxyym

ECUACIN DE LA RECTA PUNTO PENDIENTE: 11 xxmyy

ECUACIN DE LA RECTA PENDIENTE ORDENADA AL ORIGEN: bxmy m PENDIENTE DE LA RECTA b ORDENDA AL ORIGEN

ECUACIN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS 222111 ,, yxPyyxP

1121121

211 ; xxmyyxxxxxx

yyyy

ECUACIN SIMTRICA DE LA RECTA: 1by

ax

a ABSCISA AL ORIGEN b ORDENADA AL ORIGEN

FORMA GENERAL DE LA ECUACIN DE LA RECTA

0 CyBxA

FORMA NORMAL DE LA ECUACIN DE UNA RECTA 0cos psenyx

p LONGITUD DE LA NORMAL QUE VA DEL ORIGEN A LA RECTA 00 360 MEDIDO DESDE LA PARTE POSITIVA DEL EJE "" x A LA NORMAL

DISTANCIA DE UNA RECTA 0 CyBxA A UN PUNTO 11 , yx

22

11

BA

CyBxAd

CONDICIN DE PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD CON LAS PENDIENTES DE DOS RECTAS SEAN 21 mym LAS PENDIENTES DE DOS RECTAS 21 y . ENTONCES:

21 y SON PARALELAS 21 mm SEAN 21 mym LAS PENDIENTES DE DOS RECTAS 21 y . ENTONCES:

21 y SON PERPENDICULARES2

11m

m

4 LA CIRCUNFERENCIA

ECUACIN CON CENTRO EN EL ORIGEN Y RADIO "" r : 222 ryx

ECUACIN CON CENTRO EN EL PUNTO kh , Y RADIO "" r : 222 rkyhx

FORMA GENERAL DE LA ECUACIN DE LA CIRCUNFERENCIA

022 FyExDyx

LA CIRCUNFERENCIA EXISTE, ES DECIR, TIENE RADIO DIFERENTE DE CERO SI 0422 FED Y ENTONCES, LAS COORDENADAS DE SU CENTRO SON

2,

2ED Y EL RADIO ES FED 4

21 22

ECUACIN MEDIANTE UN DETERMINANTE

LA ECUACIN DE LA CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR LOS TRES PUNTOS 333222111 ,,,, yxPyyxPyxP NO COLINEALES, EST DADA POR EL DETERMINANTE

2 2

2 21 1 1 12 22 2 2 22 23 3 3 3

11 011

x y x yx y x yx y x yx y x y

TRASLACIN DE LOS EJES COORDENADOS

SEA UN NUEVO ORIGEN DE COORDENADAS khO ,' Y SEAN RESPECTIVAMENTE ',', yxyyx

LAS COORDENADAS DE UN PUNTO, ANTES Y DESPUS DE LA TRASLACIN. ENTONCES, LAS ECUACIONES DE TRANSFORMACIN DEL SISTEMA ORIGINAL AL NUEVO SON:

kyyyhxx ''

ROTACIN DE LOS EJES COORDENADOS

SI LOS EJES COORDENADOS GIRAN UN NGULO EN TORNO DE SU ORIGEN COMO CENTRO DE ROTACIN Y LAS COORDENADAS DE UN PUNTO SON, RESPECTIVAMENTE, ''., yxyx ,

ANTES Y DESPUS DE LA ROTACIN, ENTONES LAS ECUACIONES DE TRANSFORMACIN DEL SISTEMA ORIGINAL AL NUEVO SON.

cos'''cos' ysenxyysenyxx

C O P A D I 5

L A S C N I C A S: PARBOLA, ELIPSE E HIPRBOLA

P A R B O L A

p DISTANCIA DEL VRTICE AL FOCO = DISTANCIA DEL VRTICE A LA DIRECTRIZ FOCO SOBRE EL EJE

VRTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE "" x xpy 42

DIRECTRIZ: px ; FOCO 0,p

VRTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE "" y ypx 42

DIRECTRIZ. py ; FOCO p,0

VRTICE EN EL PUNTO kh , EJE FOCAL PARALELO AL EJE "" x hxpky 42

VRTICE EN EL PUNTO kh , EJE FOCAL PARALELO AL EJE "" y kyphx 42

LONGITUD DEL LADO RECTO = p4 ; EXCENTRICIDAD: 1e

ECUACIN GENERALDE LA CNICA: 022 FyExDyCxA ; CON 00 CA

E L I P S E

a2 LONGITUD DEL EJE MAYOR ; b2 LONGITUD DEL EJE MENOR c2 DISTANCIA ENTRE LOS FOCOS

222 bac FOCOS SOBRE EL EJE MAYOR

CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE "" x

122

2

2

by

ax

FOCOS: 0,0, cyc

CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE "" y

12

2

2

2

ay

bx

FOCOS: cyc ,0,0

6 CENTRO EN EL PUNTO kh, Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE "" x

12

2

2

2

bky

ahx

CENTRO EN EL PUNTO kh, Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE "" y 12

2

2

2

aky

bhx

LONGITUD DEL LADO RECTO = ab 22 ; EXCENTRICIDAD: 1

ace

ECUACIN GENERALDE LA CNICA: 022 FyExDyCxA ; CON CyA DEL MISMO SIGNO

H I P R B O L A

a2 LONGITUD DEL EJE TRANSVERSO ; b2 LONGITUD DEL EJE CONJUGADO c2 DISTANCIA ENTRE LOS FOCOS

222 bac FOCOS SOBRE EL EJE TRANSVERSO

CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE "" x

122

2

2

by

ax

FOCOS: 0,0, cyc

CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE "" y

122

2

2

bx

ay

FOCOS: cyc ,0,0

CENTRO EN EL PUNTO kh , Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE "" x 12

2

2

2

bky

ahx

CENTRO EN EL PUNTO kh , Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE "" y 12

2

2

2

bhx

aky

LONGITUD DEL LADO RECTO = ab 22 ; EXCENTRICIDAD: 1

ace

ECUACIN GENERALDE LA CNICA: 022 FyExDyCxA ; CON CyA DE SIGNO DISTINTO

C O P A D I 7

GEOMETRA ANALTICA EN EL ESPACIO

VECTORES

MDULO DE UN VECTOR: 232

22

1 aaaa

PRODUCTO ESCALAR: 332211321321 ,,;,, bababababbbbaaaa 00 1800;cos baba

ORTOGONALIDAD: bya SON ORTOGONALES 0

0 ;0

aa b

b

COMP VECTbb

bba

ab ; COMP ESC

bba

ab

NGULO ENTRE DOS VECTORES: baba

ang cos

NGULOS Y COSENOS DIRECTORES

aa

angaa

angaa

ang 321 cos;cos;cos 1coscoscos 222

PRODUCTO VECTORIAL: 321

321321321 ,,;,,bbbaaakji

babbbbaaaa

00 1800; senbaba

PARALELISMO: bya SON PARALELOS 0

0 ;0

aa b

b

REA DEL PARALELOGRAMO = ba

PRODUCTO MIXTO: cbacbacba

8 VOLUMEN DEL PARALELEPPEDO = cba

LOS PUNTOS , ,A B C y D SON COPLANARES

SI EL PRODUCTO MIXTO AB AC AD

ES NULO

DOBLE PRODUCTO VECTORIAL

acbbcacbacbabcacba

LA RECTA EN EL ESPACIO

ECUACIN VECTORIAL DE LA RECTA

vtPP 0 DONDE 0000 ,, zyxP ES UN PUNTO DE LA RECTA Y cbav ,, ES UN VECTOR PARALELO A ELLA

ECUACIONES PARAMTRICAS DE LA RECTA

tczztbyytaxx

0

0

0

ECUACIONES CARTESIANAS DE LA RECTA EN FORMA SIMTRICA: czz

byy

axx 000

ECUACIONES CARTESIANAS DE LA RECTA EN FORMA GENERAL

1 1 1 1

2 2 2 2

00

A x B y C z DA x B y C z D

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA:

v

vPQd

0 ; DONDE Q ES EL PUNTO

NGULO ENTRE DOS RECTAS: 21

21cosvvvv

ang

CONDICIN DE PERPENDICULARIDAD ENTRE DOS RECTAS: 021 vv

CONDICIN DE PARALELISMO ENTRE DOS RECTAS: 021 vv

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS:

21

211020

vvvvPP

d

9 EL PLANO EN EL ESPACIO

ECUACIN VECTORIAL DEL PLANO

srvsvrPP ,;210 DONDE 0000 ,, zyxP ES UN PUNTO DEL PLANO Y 1 21 1 1 2 2 2, , , , v a b c y v a b c SON DOS

VECTORES DE DIRECCIN DEL PLANO NO PARALELOS

ECUACIONES PARAMTRICAS DEL PLANO:

210

210

210

scrczzsbrbyysaraxx

ECUACIN NORMAL DEL PLANO QUE CONTIENE AL PUNTO 0P y CUYO VECTOR NORMAL ES N 00 NPP

ECUACIN GENERAL DEL PLANO: 0 DzCyBxA , DONDE SU VECTOR NORMAL EST DADO POR: CBAN ,,

DISTANCIA DE UN PUNTO Q A UN PLANO:

N

NPQd

0

NGULO ENTRE DOS PLANOS: 21

21cosNNNN

ang

CONDICIN DE PERPENDICULARIDAD: 021 NN

CONDICIN DE PARALELISMO: 021 NN

LA DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS SE CALCULA COMO LA DISTANCIA ENTRE UN PUNTO DE UN PLANO Y EL OTRO PLANO

NGULO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO: vNvNangsen

CONDICIN DE PARALELISMO ENTRE UN PLANO Y UNA RECTA: 0 vN

CONDICIN DE PERPENDICULARIDAD ENTRE UN PLANO Y UNA RECTA: vkN

C O P A D I 10

CLASIFICACIN DE LAS SUPERFICIES CUDRICAS

CON CENTRO: NzMyLxK 222

SI 0N Y DOS COEFICIENTES SON NULOS, EL LUGAR GEOMTRICO SON LOS PLANOS COORDENADOS.

SI 0N Y UN COEFICIENTE ES NULO, EL LUGAR GEOMTRICO

SON LOS EJES COORDENADOS.

SI 0N Y TODOS LOS COEFICIENTES TIENEN EL MISMO SIGNO, EL LUGAR GEOMTRICO ES EL ORIGEN DE COORDENADAS.

SI 0N Y DOS COEFICIENTES TIENEN EL MISMO SIGNO,

EL LUGAR GEOMTRICO ES EL CONO ELPTICO.

SI 0N Y DOS COEFICIENTES SON NULOS, EL LUGAR GEOMTRICO SON DOS PLANOS PARALELOS A LOS PLANOS COORDENADOS.

SI 0N Y UN COEFICIENTE ES NULO, EL LUGAR GEOMTRICO

SON CILINDROS PARALELOS A LOS EJES COORDENADOS.

SI 0N Y TODOS LOS COEFICIENTES SON POSITIVOS, EL LUGAR GEOMTRICO ES EL ELIPSOIDE.

SI 0N Y DOS COEFICIENTES SON POSITIVOS Y EL OTRO NEGATIVO,

EL LUGAR GEOMTRICO ES EL HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA O UN MANTO.

SI 0N Y DOS COEFICIENTES SON NEGATIVOS Y EL OTRO POSITIVO, EL LUGAR GEOMTRICO ES EL HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS O DOS MANTOS.

SIN CENTRO: 022 PzPyLxK

SI K Y L SON NULOS, EL LUGAR GEOMTRICO ES EL PLANO yx .

SI K L ES NULO, EL LUGAR GEOMTRICO ES UN CILINDRO PARABLICO.

SI K Y L TIENEN EL MISMO SIGNO, EL LUGAR GEOMTRICO ES UN PARABOLOIDE ELPTICO.

SI K Y L TIENEN DIFERENTE SIGNO, EL LUGAR GEOMTRICO ES UN PARABOLOIDE HIPERBLICO.

C O P A D I 11

FRMULAS DE DERIVACIN ORDINARIA

dxduc

dxdycxfucuy ;;

0; dxdyccy

1dxdyxy

u

dxdu

dxdyxfuuy

2;

dxduun

dxdynxfuuy nn 1;;

dx

dvdxdu

dxdy

xgvxfu

vuy

;

;

u f x dy dv duy uv u vv g x dx dx dx

2; v dx

dvudxduv

dxdy

xgvxfu

vuy

dxdu

uu

dxdyxfuuy ;

udxdu

dxdyxfuuy ;ln

eudxdu

dxdybxfuuy bb log;;log

dxdue

dxdyxfuey uu ;

12

dxduaa

dxdyaxfuay uu ln;;

dx

dvuudxduuv

dxdy

xgvxfu

uy vvv ln; 1

dxduu

dxdyxfuuseny cos;

dxduusen

dxdyxfuuy ;cos

dxduu

dxdyxfuuy 2sec;tan

dxduu

dxdyxfuuy 2csc;cot

dxduuu

dxdyxfuuy tansec;sec

dxduuu

dxdyxfuuy cotcsc;csc

21

;u

dxdu

dxdyxfuuangseny

21

;cosu

dxdu

dxdyxfuuangy

21;tan udxdu

dxdyxfuuangy

21;cot udxdu

dxdyxfuuangy

1

;sec2 uu

dxdu

dxdyxfuuangy

1

;csc2 uu

dxdu

dxdyxfuuangy

C O P A D I 13

FRMULAS BSICAS DE INTEGRACIN

k f u d u k f u d u f u g u du f u du g u du

Cudu

1;1

1

nCnuduu

nn

Cuudu ln

Cedue uu

C

aadua

uu ln

Cuduusen cos

Cusenduu cos

CuCuduu seclncoslntan

Cusenduu lncot

Cuuduu tanseclnsec

14

Cuuduu cotcsclncsc

Cuduu tansec 2

Cuduu cotcsc 2

Cuduuu sectansec

Cuduuu csccotcsc

Cauangsen

uadu 22

Cauangaau du tan122

C

au

angaauu

du sec1

22

Cau auaau du ln2122

C

uaua

auadu

ln2122

Cauuau

du 2222 ln

Cauuau

du 2222 ln

C O P A D I 15

S E R I E S I N F I N I T A S

SERIE TELESCPICA

1;11

1

S

nnn

SERIE GEOMTRICA

;0

n

nra CONVERGE SI 1r ; r

aS 1 DIVERGE SI 1r

SERIE ARMNICA

1

1n n

; DIVERGENTE

SERIE ARMNICA "" p

1

1n

pn ; 0 1p DIVERGE

1p CONVERGE

1

;1n

nnp SSRSnEST ACOTADO POR: 1

10 1 pnR pn

CONVERGENCIA O DIVERGENCIA

divergeSlim

convergeSSlima

nn

nn

nn

1

DONDE nS ES LA SUCESIN DE SUMAS PARCIALES

16

lim 0

lim 0

n nn

n nn

a es convergente a

a a es divergente

;

n n

n n n n

n

a b convergea y b convergen a b converge

c a converge c

;n n

n n n n

a diverge c a diverge c

a converge y b diverge a b diverge

PRUEBA DE LA INTEGRAL

SI f ES POSITIVA, CONTINUA Y DECRECIENTE PARA 1x ENTONCES LA SERIE ...)(...)2()1( nfff

1

1

)()

)()

divergenteesdxxfsidivergeii

econvergentesdxxfsiconvergei

PRUEBA DE LA COMPARACIN

SEAN nn bya SERIES DE TRMINOS POSITIVOS. ENTONCES:

)

)n n n n

n n n n

i si b converge y a b entonces a converge

ii si b diverge y a b entonces a diverge

PRUEBA DEL LMITE DEL COCIENTE

SEAN nn bya SERIES DE TRMINOS POSITIVOS. ENTONCES:

lim 0nn

n

las dos convergena k ob

las dos divergen

PRUEBA DE LA SERIE ALTERNADA

17

1 10

( 1)lim 0k k n

nnn

a aa es convergentea

CONVERGENCIA ABSOLUTA Y CONDICIONAL

n n

n n

nn

n

a es absolutamente convergente si a es convergente

a es absolutamente convergente a es convergente

a convergea es condicionalmente convergente si

a diverge

PRUEBA DE LA RAZN

SEA na UNA SERIE CON TRMINOS NO NULOS. ENTONCES:

1

1

1

) lim 1

) lim 1

) lim 1

nnn

n

nnn

n

nn

n

ai L a es absolutamente convergentea

aii L a es divergentea

aiii el criterio no decidea

PRUEBA DE LA RAZ

SEA na UNA SERIE INFINITA. ENTONCES:

) lim 1

) lim 1

) lim 1

nn nn

nn nn

nnn

i a L a es absolutamente convergente

ii a L a es divergente

iii a el criterio no decide

C O P A D I 18

SERIES DE POTENCIAS

UNA SERIE DE LA FORMA

0

2210

n

nn

nn xaxaxaaxa

ES CONOCIDA COMO SERIE DE POTENCIAS EN x

TEOREMA SI nn xa ES UNA SERIE DE POTENCIAS, ENTONCES UNA DE LAS SIGUIENTES AFIRMACIONES ES CIERTA:

- LA SERIE CONVERGE SLO SI 0x .

- LA SERIE ES ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE PARA TODA x . - EXISTE UN NMERO POSITIVO r TAL QUE LA SERIE ES ABSOLUTAMENTE

CONVERGENTE SI rx Y DIVERGENTE SI rx

SI c ES UN NMERO REAL, UNA SERIE DE LA FORMA

0

2210

n

nn

nn cxacxacxaacxa

ES CONOCIDA COMO SERIE DE POTENCIAS EN cx

TEOREMA SI nn cxa ES UNA SERIE DE POTENCIAS, ENTONCES UNA DE LAS SIGUIENTES AFIRMACIONES ES CIERTA:

- LA SERIE CONVERGE SLO SI 0 cx , ESTO ES, SI cx .

- LA SERIE ES ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE PARA TODA x . - EXISTE UN NMERO POSITIVO r TAL QUE LA SERIE ES ABSOLUTAMENTE

CONVERGENTE SI rcx Y DIVERGENTE SI rcx .

TEOREMA

SEA UNA SERIE DE POTENCIAS nn xa CON UN RADIO DE CONVERGENCIA NO NULO r Y CONSIDRESE LA FUNCIN f DEFINIDA POR:

0

2210

n

nn

nn xaxaxaaxaxf

PARA TODA x EN EL INTERVALO DE CONVERGENCIA. SI rxr , ENTONCES:

0

12321

1

1 32'1n

nn

n

nn

nnx xanxaxaaxanxaDxf

0 0

132

210

0

1

0 11

31

21

12

n

x nn

n

nnnn

xxa

nxaxaxax

na

dttadttf

NOTA. ES POSIBLE PROBAR QUE ESTAS DOS SERIES DE POTENCIAS TIENEN EL MISMO RADIO DE CONVERGENCIA QUE LA SERIE ORIGINAL nn xa .

19 TEOREMA. SERIE DE TAYLOR

SI f ES UNA FUNCIN TAL QUE

0n

nn cxaxf

PARA TODA x EN UN INTERVALO ABIERTO QUE CONTIENE A c , ENTONCES

nn cxn

cfcxcfcxcfcfxf!!2

''' 2

SE CONOCE COMO SERIE DE TAYLOR PARA xf EN c

TEOREMA. SERIE DE MACLAURIN

SI 0c EN LA SERIE DE TAYLOR, SE CONSIDERA ENTONCES A LA FUNCIN f TAL QUE

0n

nn xaxf

PARA TODA x EN UN INTERVALO ABIERTO rr, , Y ENTONCES nn x

nfxfxffxf

!0

!20''0'0 2

SE CONOCE COMO SERIE DE MACLAURIN PARA xf

POR LA FRMULA DE TAYLOR, SE TIENE QUE SU POLINOMIO DE GRADO ENSIMO EQUIVALE A LA FUNCIN MENOS EL RESIDUO, ES DECIR, QUE

xRxfxP nn DONDE

11

1 !

nn

nf z

R x x cn

PARA ALGN VALOR DE z ENTRE xyc . EN EL SIGUIENTE TEOREMA SE UTILIZA EL RESIDUO xRn PARA ESPECIFICAR LAS CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA EXISTENCIA DE UNA SERIE DE POTENCIAS REPRESENTATIVA DE LA

FUNCIN xf .

TEOREMA

SEA UNA FUNCIN f CON DERIVADAS DE TODOS LOS RDENES A TRAVS DEL INTERVALO QUE CONTIENE A c . ENTONCES, SI 0lim xR nn

PARA TODA x EN EL INTERVALO, ENTONCES LA FUNCIN xf ES REPRESENTADA POR LA SERIE DE TAYLOR PARA xf EN c .

C O P A D I 20

ALGUNAS FUNCIONES REPRESENTADAS POR SERIES DE POTENCIAS

nn xxxxxx

11111111 432 INTERVALO DE CONVERGENCIA: 2,0

nxxxxxx

x54321

11

INTERVALO DE CONVERGENCIA: 1,1 CONOCIDA POR ALGUNOS COMO SERIE GEOMTRICA

nn xxxxxxx 1111 5432

INTERVALO DE CONVERGENCIA: 1,1

nn xxxx

x2642

2 1111


3 5 7 2 1

13! 5! 7! 2 1 !

nnx x x xsenx x

n

INTERVALO DE CONVERGENCIA: ,

2 4 6 2

cos 1 12! 4! 6! 2 !

nnx x x xx

n


3 5 7 2 1

2 2 4 6 8 2 22 2 2 2 212! 4! 6! 8! 2 2 !

nn nsen x x x x x x

n


3 5 2 1

2 2 4 6 22 2 2 2cos 1 12! 4! 6! 2 !

nn nx x x x x

n

INTERVALO DE CONVERGENCIA: , NOTA. EL TRMINO ENSIMO CONSIDERA A PARTIR DEL SEGUNDO TRMINO CON 1n

2 2 16 10 14

2 2 13! 5! 7! 2 1 !

nnx x x xsen x x

n


21

4 8 12 4

2cos 1 12! 4! 6! 2 !

nnx x x xx

n


3 5 7 2 1

3! 5! 7! 2 1 !

nx x x xsenhx xn


2 4 6 2

cosh 12! 4! 6! 2 !

nx x x xxn


2 13 5 7

2

2 !1 3 1 3 52 3 2 4 5 2 4 6 7 2 ! 2 1

n

n

n xx x xangsenx xn n


121

753tan

12753

nxxxxxxang

nn


!!3!2

132

nxxxxe

nx


!!4!3!2

12864

22

nxxxxxe

nx


nxxxxxx

nn 1141

31

211ln

1432


11

4321ln

1432

nxxxxxx

nn


!4

321!3

21!2111

432 xkkkkxkkkxkkkxx k

INTERVALO DE CONVERGENCIA: *1,1 * LA CONVERGENCIA EN 1x DEPENDE DEL VALOR DE "" k

C O P A D I 22

FUNCIONES HIPERBLICAS: IDENTIDADES, DERIVACIN E INTEGRACIN

IDENTIDADES FUNDAMENTALES

xsenhxxxsenhxxsenhxx

xxsenhxhxxhxxsenhx

senhxsenhyyxyxsenhxsenhyyxyx

xsenhyysenhxyxsenhxsenhyysenhxyxsenh

22

21

212

21

212

22

22

22

cosh2coshcosh22

2coshcosh

2cosh1csccoth1sectanh1cosh

coshcoshcoshcoshcoshcosh

coshcoshcoshcosh

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES HIPERBLICAS

1;

1'';coth

1;1

'';tanh

1;1

'';cosh

1'';

'cothcsc';csc'tanhsec';sec

'csc';coth'sec';tanh

'';cosh'cosh';

21

21

2

1

2

1

2

2

uuuyxfuuy

uuuyxfuuy

uuuyxfuuy

uuyxfuusenhy

uuhuyxfuhuyuuhuyxfuhuy

uuhyxfuuyuuhyxfuuy

usenhuyxfuuyuuyxfusenhuy

23

0;

1'';csc

10;1

'';sec

2

1

2

1

uuu

uyxfuuhy

uuu

uyxfuuhy

INTEGRACIN DE Y CON LAS FUNCIONES HIPERBLICAS

;lncosh

ln

csccothcsc

sectanhsec

cothcsc

tanhsec

tanhlncsc

tanhsec

lncoth

coshlntanh

cosh

cosh

221

22

221

22

2

2

2

1

CauuCau

audu

CauuCausenh

audu

Chuduuhu

Chuduuhu

Cuduuh

Cuduuh

Cduhu

Csenhuduhu

Cusenhduu

Cuduu

Csenhuduu

Cudusenhu

u

sta, donde u > a > 0

1

2 21

1 1tanh ln ;2

1 1coth ln ;2

u a uC C u aa a a a udu

a u u u aC C u aa a a u a

sta en forma compacta es:

auCuaua

auadu

;ln2122

auCua

aC

au

hauau

du

uCuasenh

aC

au

hauau

du

0;cosh1sec1

0;1csc1

11

22

11

22

C O P A D I 24

MXIMOS Y MNIMOS. UNA O MS VARIABLES

FUNCIONES ESCALARES DE VARIABLE ESCALAR xfy

PUNTOS CRTICOS

SON AQUELLOS PUNTOS DONDE f ES CONTINUA Y LA DERIVADA DE LA FUNCIN ES NULA O NO EXISTE, ES DECIR, DONDE

' 0dy dyf x o no existedx dx

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA CADA PUNTO CRTICO 0'0' xfaxf MXIMO RELATIVO 0'0' xfaxf MNIMO RELATIVO

SI NO HAY CAMBIO DE SIGNO NO HAY EXTREMO RELATIVO

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA CADA PUNTO CRTICO 0'' xf MNIMO RELATIVO 0'' xf MXIMO RELATIVO

SI 0'' xf NO SE PUEDE APLICAR ESTE CRITERIO

PUNTOS DE INFLEXIN Y CONCAVIDAD SON AQUELLOS PUNTOS DONDE f ES CONTINUA Y LA SEGUNDA DERIVADA ES NULA

O NO EXISTE Y DONDE LA CONCAVIDAD DE UNA CURVA CAMBIA

UNA CURVA ES CNCAVA HACIA ARRIBA CUANDO SUS TANGENTES ESTN POR DEBAJO DE ELLA Y CNCAVA HACIA ABAJO CUANDO SUS TANGENTES ESTN POR ENCIMA DE ELLA 0''0'' xfaxf PUNTO DE INFLEXIN

0''0'' xfaxf PUNTO DE INFLEXIN

FUNCIONES ESCALARES DE VARIABLE VECTORIAL yxfz ,

PUNTOS CRTICOS O ESTACIONARIOS SON AQUELLOS EN LOS CUALES z ES CONTINUA

Y LAS PRIMERAS DERIVADAS PARCIALES yzy

xz

SE ANULAN O NO EXISTEN

25 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

HESSIANO

22

2

2

2

2

,

xyz

yz

xzyxg

0,0,0, 000000 yxfoyxfyyxg yyxx MXIMO RELATIVO 0,0,0, 000000 yxfoyxfyyxg yyxx MNIMO RELATIVO 0, 00 yxg PUNTO SILLA

0, 00 yxg EL CRITERIO NO DECIDE

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA (FORMA MATRICIAL) PARA CADA PUNTO CRTICO SE CALCULA LA MATRIZ HESSIANA

yyyx

xyxx

ffff

H

SE CALCULA E IGUALA A CERO EL DETERMINANTE 0det IH LOS SIGNOS DE LOS VALORES CARACTERSTICOS 21 y DETERMINAN

LA NATURALEZA DEL PUNTO CRTICO: 00 21 y MNIMO RELATIVO 00 21 y MXIMO RELATIVO

00

00

2

1

2

1

o PUNTO SILLA

SI POR LO MENOS UN VALOR CARACTERSTICO ES CERO, EL CRITERIO NO DECIDE

GENERALIZACIN

SEAN: LA FUNCIN nf : CON PRIMERAS DERIVADAS PARCIALES CONTINUAS; nxxxfrf ,,, 21 EN UNA REGIN D DEL ESPACIO n-DIMENSIONAL; Dr 0 UN PUNTO CRTICO TAL QUE 00 rf ix Y H LA MATRIZ HESSIANA DEFINIDA POR:

ijjiji

ji

nnnn

n

n

ffxxff

fff

ffffff

H

;;

2

21

22221

11211

ENTONCES: 0) rfi ES UN MXIMO RELATIVO DE f SI LOS VALORES CARACTERSTICOS DE LA MATRIZ HESSIANA VALUADA EN 0r SON TODOS NEGATIVOS. 0) rfii ES UN MNIMO RELATIVO DE f SI LOS VALORES CARACTERSTICOS DE LA MATRIZ HESSIANA VALUADA EN 0r SON TODOS POSITIVOS. 0) rfiii ES UN PUNTO SILLA (MINIMXIMO) SI EXISTEN VALORES CARACTERSTICOS DE LA

MATRIZ HESSIANA VALUADA EN 0r CON SIGNOS DIFERENTES. )iv EL CRITERIO NO DECIDE SI UNO POR LO MENOS DE LOS VALORES CARACTERSTICOS DE

LA MATRIZ HESSIANA VALUADA EN 0r VALE CERO.

26 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

SEA nxxxfrfz ,,, 21 UNA FUNCIN ESCALAR CONTINUA Y DIFERENCIABLE EN UNA REGIN CERRADA nD DONDE f EST SUJETA A LAS CONDICIONES:

00,,,

00,,,00,,,

21

212

211

oxxxg

oxxxgoxxxg

nm

n

n

nm

Y SEA EL PROBLEMA: OPTIMIZAR LA FUNCIN OBJETIVO: rfz

SUJETA A LAS RESTRICCIONES: nmiorgi ,...,2,1;00

SI EXISTE UN EXTREMO RELATIVO DE f EN 0r , ENTONCES 0L , ES DECIR, ni

xL

i

,,2,10

Y ADEMS nmkrgk ,,2,10 ESTAS DOS EXPRESIONES FORMAN UN SISTEMA DE nm ECUACIONES,

0

0

11

11 111

nnn xmmxx

xmmxx

ggf

ggf

0,,,

0,,,

21

211

mm

n

xxxg

xxxg

DONDE m ,,, 21 SE CONOCEN COMO MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

A PARTIR DE ESTE SISTEMA PUEDEN SER DETERMINADAS LAS INCGNITAS mnxxx ,,,,,,, 2121 . AQU, LOS VALORES DE nxxx ,,, 21 SON LAS COORDENADAS

DEL PUNTO EN EL QUE PUEDE HABER UN EXTREMO CONDICIONADO.

PARA EL CASO DE UNA FUNCIN yxfz , Y UNA RESTRICCIN 0,, zyxg , EL SISTEMA A RESOLVER SERA EL SIGUIENTE: 0,,;0;0;0 zyxggfgfgf zzyyxx

Y PARA EL CASO DE LA MISMA FUNCIN yxfz , PERO CON DOS RESTRICCIONES,

EL SISTEMA SERA: 0,,;0,,;;; 21221122112211 zyxgzyxgggfggfggf zzzyyyxxx

C O P A D I 27

GEOMETRA DIFERENCIAL. FRMULAS DE FRENET-SERRET CINEMTICA DE UNA PARTCULA

tr ECUACIN VECTORIAL DE UNA CURVA EN 3

s PARMETRO LONGITUD DE ARCO

VECTOR TANGENTE UNITARIO: dsrd

dtrd

dtrd

T YA QUE dtrd

dtds

VECTOR NORMAL UNITARIO:

dsTd

dsTd

N ; CURVATURA: dsTdk ; RADIO DE CURVATURA:

k1

VECTOR BINORMAL UNITARIO: NTB

NyT FORMAN EL PLANO OSCULADOR

ByT FORMAN EL PLANO RECTIFICADOR ByN FORMAN EL PLANO NORMAL

TORSIN = ;dsBd RADIO DE TORSIN:

1

FRMULAS DE FRENET-SERRET

NdsBd

BTkdsNd

NkdsTd

tr ECUACIN VECTORIAL DE UNA CURVA EN 3

t PARMETRO CUALQUIERA

VECTOR TANGENTE UNITARIO : ''

rrT

28

VECTOR NORMAL UNITARIO: ''''''''

rrrrrr

N

VECTOR BINORMAL UNITARIO: ''''''

rrrr

B

CURVATURA: 3

'

'''

r

rrk

; RADIO DE CURVATURA: k1

TORSIN : 2'''

''''''

rr

rrr

; RADIO DE TORSIN:

1

CINEMTICA DE UNA PARTCULA

SEA ktzjtyitxtr EL VECTOR DE POSICIN DE UNA PARTCULA EN MOVIMIENTO CON RESPECTO A UN SISTEMA DE REFERENCIA Y SEA "" t UN PARMETRO.

VELOCIDAD: dtrdv ; RAPIDEZ: vv ; ACELERACIN: 2

2

dtrd

dtvda

EL VECTOR VELOCIDAD DE LA PARTCULA SIEMPRE ES TANGENTE

A LA CURVA Y TIENE LA DIRECCIN DEL MOVIMIENTO.

COMPONENTES DE LA ACELERACIN

22 vay

dtdvaNvT

dtdva NT

Ta (ACELERACIN TANGENCIAL) Y Na (ACELERACIN NORMAL)

LA ACELERACIN DE LA PARTCULA ES UN VECTOR SITUADO EN EL PLANO DE LA TANGENTE Y LA NORMAL A LA CURVA (PLANO OSCULADOR) CON COMPONENTES TANGENCIAL

Y NORMAL DADAS POR dtdv Y

2v RESPECTIVAMENTE.

LA ACELERACIN ES NICAMENTE TANGENCIAL CUANDO EL MOVIMIENTO ES RECTILNEO ( )

Y ES NICAMENTE NORMAL CUANDO LA RAPIDEZ ES CONSTANTE ( 0dtdv ).

COPADI 29

LONGITUDES, REAS Y VOLMENES: LONGITUD DE ARCO, REA BAJO LA CURVA, REA ENTRE DOS CURVAS, REAS DE SUPERFICIES,VOLMENES

LONGITUD DE UN ARCO DE CURVA

SEA f UNA FUNCIN CUYA GRFICA ES UNA CURVA SUAVE C , CONTINUA EN EL INTERVALO ba, . LA LONGITUD DE ARCO DE LA GRFICA DE f , DEL PUNTO afaA , AL PUNTO bfbB , EST DADA

POR: ba dxxfL 21

NOTA. TAMBIN SE PUDE REALIZAR EL CLCULO EN TRMINOS DE LA VARIABLE "" y .

LONGITUD DE UN ARCO DE CURVA EXPRESADA EN FORMA PARAMTRICA SEA UNA FUNCIN CUYA GRFICA ES UNA CURVA SUAVE (CONTINUA) C DADA PARAMTRICAMENTE POR LAS ECUACIONES btatgyytfx ; ; SI C NO SE CORTA A S MISMA, EXCEPTO POSIBLEMENTE EN btyat , ENTONCES LA LONGITUD L DE LA CURVA C EST DADA POR:

b

a

b

adt

dtdy

dtdxdttgtfL

2222

LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA EN COORDENADAS POLARES

SI UNA CURVA SUAVE C ES LA GRFICA DE UNA FUNCIN CUYA ECUACIN POLAR ES fr DE A ES POSIBLE CALCULAR SU LONGITUD L MEDIANTE LA EXPRESIN:

dd

drrL2

2

REA BAJO LA CURVA

SI f ES UNA FUNCIN INTEGRABLE Y 0xf PARA TODA bax , , ENTONCES EL REA DE LA REGIN LIMITADA POR LA GRFICA DE f , EL EJE DE LAS ABSCISAS

Y LAS RECTAS bxyax , SE OBTIENE A TRAVS DE: ba dxxfA

NOTA. TAMBIN SE PUDE REALIZAR EL CLCULO EN TRMINOS DE LA VARIABLE "" y .

REA ENTRE DOS CURVAS SI f Y g SON DOS FUNCIONES CONTINUAS Y xgxf PARA TODA bax , , ENTONCES EL REA

DE LA REGIN LIMITADA POR LAS GRFICAS DE f Y g Y LAS RECTAS bxyax , EST DADA POR:

ba dxxgxfA

30 REA DE UNA REGIN EN COORDENADAS POLARES

SI LA FUNCIN f (EN COORDENADAS POLARES) ES CONTINUA Y 0f EN EL INTERVALO , , DONDE 20 , ENTONCES EL REA DE LA REGIN LIMITADA POR LAS GRFICAS

DE , ,r f y SE CALCULA POR MEDIO DE LA EXPRESIN. drdfA 2221

REA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIN SI f ES UNA CURVA SUAVE Y 0xf EN EL INTERVALO ba, , ENTONCES EL REA DE LA SUPERFICIE

GENERADA AL GIRAR LA GRFICA DE f ALREDEDOR DEL EJE DE LAS ABSCISAS, SE DETERMINA CON:

ba dxxfxfS 2'12 NOTA. SI LA FUNCIN ES NEGATIVA EN PARTE DEL INTERVALO, ENTONCES

SE PODRA UTILIZAR LA MISMA EXPRESIN CON EL VALOR ABSOLUTO DE xf . NOTA. TAMBIN SE PUDE REALIZAR EL CLCULO EN TRMINOS DE LA VARIABLE "" y .

REA DE UNA SUPERFICIE SEA UNA FUNCIN ESCALAR DE VARIABLE VECTORIAL 0, yxf DEFINIDA EN UNA REGIN R EN EL

PLANO yx DONDE f TIENE PRIMERAS DERIVADAS PARCIALES EN LA REGIN. ENTONCES EL REA DE LA SUPERFICIE (GRFICA DE f ) SE CALCULA MEDIANTE:

R

dAyyxf

xyxfA

22 ,,1

NOTA. ESTA FRMULA TAMBIN PUEDE UTILIZARSE CUANDO LA FUNCIN ES NEGATIVA.

VOLUMEN DE UN SLIDO DE REVOLUCIN SEA UNA FUNCIN f (EN EL PLANO yx ) CONTINUA EN EL INTERVALO ba, , Y SEA R LA REGIN

LIMITADA POR LA GRFICA DE f , EL EJE DE LAS ABSCISAS Y LAS RECTAS bxyax . EL VOLUMEN DEL SLIDO DE GENERACIN GENERADO AL GIRAR LA REGIN R ALREDEDOR DEL EJE x ES.

dxxfV ba 2

NOTA. TAMBIN SE PUEDE REALIZAR EL CLCULO EN TRMINOS DE LA VARIABLE "" y .

VOLUMEN DE UN SLIDO MEDIANTE UNA INTEGRAL DOBLE SEA UNA FUNCIN ESCALAR DE VARIABLE VECTORIAL EN 3 TAL QUE 0, yxf PARA TODO yx,

EN UNA REGIN R DEL PLANO yx . EL VOLUMEN DEL SLIDO BAJO LA GRFICA DE yxfz , Y SOBRE LA REGIN R ES:

dAyxfVR ,

VOLUMEN DE UN SLIDO MEDIANTE UNA INTEGRAL TRIPLE SEA UNA FUNCIN ESCALAR DE VARIABLE VECTORIAL f EN 4 TAL QUE 1,, zyxf A TRAVS DE

UNA REGIN VOLUMTRICA Q . ENTONCES, EL VOLUMEN DE ESTA REGIN Q EST DADO POR LA INTEGRAL TRIPLE:

Q

dVV

C O P A D I 31

MASA, MOMENTOS, CENTRO DE MASA Y CENTROIDE

MOMENTO DE UN SISTEMA EN 1

EL MOMENTO CON RESPECTO AL ORIGEN DE UN SISTEMA DE MASAS nmmm ,...,, 21 , LOCALIZADAS EN LOS PUNTOS nxxx ,...,, 21 DEL EJE DE LAS ABSCISAS, EST DADO POR

nn xmxmxmM ...22110 SI LA MASA TOTAL DEL SISTEMA ES nmmmm ...21 , SU CENTRO DE MASA EST DADO POR

mM

x 0

MOMENTOS Y CENTRO DE MASA DE UN SISTEMA EN 2

SI SE TIENE UN SISTEMA DE MASAS PUNTUALES nmmm ,...,, 21 LOCALIZADAS EN LOS PUNTOS

nn yxyxyx ,,,,,, 2211 EN UN PLANO COORDENADO Y SEA

n

kkmm

1 LA MASA TOTAL DEL SISTEMA, ENTONCES:

A) EL MOMENTO DEL SISTEMA CON RESPECTO AL EJE x EST DADO POR:

n

kkkx ymM

1

B) EL MOMENTO DEL SISTEMA CON RESPECTO AL EJE y EST DADO POR:

n

kkky xmM

1

C) LAS COORDENADAS DEL CENTRO DE MASA DEL SISTEMA SON:

mMyy

mM

x xy

MOMENTOS, CENTRO DE MASA Y CENTROIDE DE UNA LMINA

CONSIDRESE UNA LMINA, UNA PLACA PLANA O BIEN, UNA DISTRIBUCIN PLANA DE MASA QUE TIENE LA FORMA DETERMINADA POR UNA CIERTA REGIN R EN EL PLANO xy . SI ESTA PLACA PLANA TIENE UNA DENSIDAD SUPERFICIAL DE MASA DADA

POR yx, , FUNCIN CONTINUA EN R , Y SU MASA EST DADA POR R

dAyxm , , ENTONCES: A) SU PRIMER MOMENTO O MOMENTO ESTTICO CON RESPECTO AL EJE x ES:

R

x dAyxyM , B) SU PRIMER MOMENTO O MOMENTO ESTTICO CON RESPECTO AL EJE y ES:

R

y dAyxxM , C) LAS COORDENADAS DE SU CENTRO DE MASA SON:

R

Rx

R

Ry

dAyx

dAyxy

mMyy

dAyx

dAyxx

mM

x,

,

,

,

32 D) SI LA DENSIDAD DE LA PLACA ES CONSTANTE SE DICE QUE STA ES HOMOGNEA Y LAS COORDENADAS

DE SU CENTRO DE MASA, QUE SE CONOCE COMO CENTROIDE, ESTN DADAS POR LAS EXPRESIONES SIGUIENTES:

R

Rx

R

Ry

dA

dAy

mMyy

dA

dAx

mM

x

DE LAS CUALES SE OBTIENE QUE: RAydAyyRAxdAx

RR

DONDE

R

dARA ES EL REA DE LA REGIN, ES DECIR, DE LA PLACA.

E) SUS SEGUNDOS MOMENTOS O MOMENTOS DE INERCIA, CON RESPECTO A LOS EJES yyx , AS COMO CON RESPECTO AL ORIGEN, CONOCIDO STE LTIMO COMO MOMENTO POLAR DE INERCIA, ESTN DADOS, RESPECTIVAMENTE

POR: yxO

Ry

Rx IIdAyxIdAyxxIdAyxyI

2222 ;,;,

MOMENTOS, CENTRO DE MASA Y CENTROIDE DE UN CUERPO

SI UN SLIDO TIENE LA FORMA DE UNA REGIN Q TRIDIMENSIONAL, ES DECIR, VOLUMTRICA, Y SU DENSIDAD ES zyx ,, , FUNCIN CONTINUA EN Q , ENTONCES:

A) SU MASA EST DADA POR:

Q

dVzyxM ,, B) SUS MOMENTOS CON RESPECTO A LOS PLANOS COORDENADOS yzyxzxy , SON:

Q Q

yzQ

xzxy dVzyxxMdVzyxyMdVzyxzM ,,;,,;,, C) LAS COORDENADAS DE SU CENTRO DE MASA SON:

mM

zmMy

mM

x xyxzyz ;; D) SI Q ES HOMOGNEA, ENTONCES LA DENSIDAD ES CONSTANTE

Y LAS COORDENADAS DE SU CENTRO DE MASA O CENTROIDE SON:

Q

Q

Q

Q

Q

Q

dV

dVzz

dV

dVyy

dV

dVxx ;;

DE DONDE: Q Q

QVzdVzQVydVyQVxdVx ;;

DONDE Q

dVQV ES EL VOLUMEN DE LA REGIN, ES DECIR, DEL SLIDO.

E) SUS SEGUNDOS MOMENTOS O MOMENTOS DE INERCIA, CON RESPECTO A LOS EJES zyyx , , AS COMO CON RESPECTO AL ORIGEN, CONOCIDO STE LTIMO COMO MOMENTO POLAR DE INERCIA, ESTN DADOS, RESPECTIVAMENTE

POR: Q

zQ Q

yx dVzyxyxIdVzyxzxIdVzyxzyI ,,;,,;,,222222

Q

O dVzyxI222

C O P A D I 33

ALGUNOS CASOS DE DERIVACIN EXPLCITA EN FUNCIONES ESCALARES DE VARIABLE VECTORIAL

SEA yxfz , ; ENTONCES SUS DERIVADAS PARCIALES SON:

yzy

xz

Y LA DIFERENCIAL TOTAL EST DADA POR:

dyyzdx

xzdz

SEA uyxfz ,, ; ENTONCES SUS DERIVADAS PARCIALES SON:

uzy

yz

xz

,

Y SU DIFERENCIAL TOTAL EST DADA POR:

duuzdy

yzdx

xzdz

SEA yxfz , DONDE tgytfx ; SUS DERIVADAS PARCIALES SON:

xzy

xz

SU DERIVADA TOTAL EST DADA POR:

dtdy

yz

dtdx

xz

dtdz

Y LA DIFERENCIAL TOTAL ES:

dyyzdx

xzdz

DONDE dttgdyydttfdx ''

SEA uyxfz ,, DONDE tkuthytgx ;; SUS DERIVADAS PARCIALES SON:

uzy

yz

xz

,

SU DERIVADA TOTAL EST DADA POR:

dtdu

uz

dtdy

yz

dtdx

xz

dtdz

Y SU DIFERENCIAL TOTAL ES:

duuzdy

yzdx

xzdz

DONDE dttkduydtthdydttgdx '';'

34 SEA tsgxyxfz ,

ENTONCES SUS DERIVADAS PARCIALES CON RESPECTO A tys SON:

tx

dxdz

tzy

sx

dxdz

sz

Y SU DIFERENCIAL EST DADA POR: dxxfdz ' DONDE dt

txds

sxdx

SEA yxfz , DONDE vuhyyvugx ,,

ENTONCES SUS DERIVADAS PARCIALES CON RESPECTO A vuyx ,,, SON:

yz

xz

;

vy

yz

vx

xz

vz

uy

yz

ux

xz

uz

; Y SU DIFERENCIAL TOTAL EST DADA POR:

dyyzdx

xzdz

DONDE

dvvydu

uydyydv

vxdu

uxdx

SEA uyxfz ,, DONDE srkusrhysrgx ,;,;,

ENTONCES SUS DERIVADAS PARCIALES CON RESPECTO A sruyx ,,,, SON:

uz

yz

xz

;;

su

uz

sy

yz

sx

xz

sz

ru

uz

ry

yz

rx

xz

rz

; Y SU DIFERENCIAL TOTAL EST DADA POR:

duuzdy

yzdx

xzdz

DONDE

dssudr

ruduyds

sydr

rydyds

sxdr

rxdx

;

C O P A D I 35

ALGUNOS CASOS DE DERIVACIN IMPLCITA EN FUNCIONES ESCALARES DE UNA VARIABLE Y DE VARIABLE VECTORIAL

UNA ECUACIN CON DOS VARIABLES

0, yxF x

y

y

x

FF

dydx

FF

dxdy ;

UNA ECUACIN CON TRES VARIABLES

0,, zyxF

z

y

z

x

FF

yzy

FF

xzyxfz

,

x

z

x

y

FF

zxy

FF

yxzyfx

,

y

z

y

x

FF

zyy

FF

xyzxfy

,

DOS ECUACIONES CON TRES VARIABLES

0,,;0,, zyxGzyxF

zyGFJ

xyGFJ

dxdzy

GGFFGGFF

zyGFJ

zxGFJ

dxdy

zy

zy

zx

zx

,,,,

,,,,

yxGFJ

zxGFJ

dzdyy

yxGFJ

yzGFJ

dzdx

,,,,

,,,,

zxGFJ

yxGFJ

dydzy

zxGFJ

zyGFJ

dydx

,,,,

,,,,

NOTA. COMO SE OBSERVA, SE UTILIZAN DETERMINANTES JACOBIANOS, FORMADOS POR

LAS DERIVADAS PARCIALES DE FUNCIONES, CON RESPECTO A LAS VARIABLES DE LAS CUALES DEPENDEN.

36 DOS ECUACIONES CON CUATRO VARIABLES

0,,,;0,,, vuyxGvuyxF

yxGFJ

vxGFJ

vyy

yxGFJ

uxGFJ

uy

yxGFJ

yvGFJ

vxy

yxGFJ

yuGFJ

ux

vugyvufx

,,,,

,,,,

,,,,

,,,,

,,

vuGFJ

yuGFJ

yvy

vuGFJ

xuGFJ

xv

vuGFJ

vyGFJ

yuy

vuGFJ

vxGFJ

xu

yxgvyxfu

,,,,

,,,,

,,,,

,,,,

,,

NOTA. SE PROCEDERA DE MANERA SEMEJANTE CON TODAS LAS COMBINACIONES POSIBLES DE DOS VARIABLES DEPENDIENTES Y DOS INDEPENDIENTES.

TRES ECUACIONES CON CINCO VARIABLES

0,,,,;0,,,,;0,,,, vuzyxHvuzyxGvuzyxF

zyxHGFJ

vyxHGFJ

vzy

zyxHGFJ

uyxHGFJ

uz

zyxHGFJ

zvxHGFJ

vyy

zyxHGFJ

zuxHGFJ

uy

zyxHGFJ

zyvHGFJ

vxy

zyxHGFJ

zyuHGFJ

ux

vuhzvugyvufx

,,,,,,,,

,,,,,,,,

,,,,,,,,

,,,,,,,,

,,,,,,,,

,,,,,,,,

,,,

NOTA. SE PROCEDERA DE MANERA SEMEJANTE CON TODAS LAS COMBINACIONES POSIBLES DE TRES VARIABLES DEPENDIENTES Y DOS INDEPENDIENTES.

C O P A D I 37

COORDENADAS POLARES, CILNDRICAS Y ESFRICAS

COORDENADAS POLARES

ECUACIONES DE TRANSFORMACIN

LAS COORDENADAS CARTESIANAS yx, Y LAS COORDENADAS POLARES ,r SE RELACIONAN A TRAVS DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES:

senryrx ;cos 222;tan yxr

xyang

ECUACIN DE LA RECTA EN COORDENADAS POLARES

pr cos

DONDE r ES LA DISTANCIA DEL POLO A UN PUNTO ,rP DE LA RECTA Y p ES LA DISTANCIA DEL POLO AL PUNTO ,pN DE LA RECTA, MEDIDA SOBRE LA PERPENDICULAR A ELLA.

ECUACIN DE LA CIRCUNFERENCIA EN COORDENADAS POLARES

222 cos2 acrcr DONDE r ES LA DISTANCIA DEL POLO AL PUNTO ,rP DE LA CIRCUNFERENCIA, c ES LA

DISTANCIA DEL POLO A SU CENTRO EN EL PUNTO ,cC Y a ES SU RADIO.

ECUACIONES POLARES DE LAS CNICAS

1 cos 1e d e dr o re e sen

DONDE e ES LA EXCENTRICIDAD DE LA CNICA Y d ES LA DISTANCIA DEL POLO A LA RECTA DIRECTRIZ. REPRESENTA A UNA CNICA, LA CUAL SER PARBOLA SI 1e , ELIPSE SI 10 e E HIPRBOLA SI

1e

PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE

LA PENDIENTE m DE LA RECTA TANGENTE A LA CURVA DE ECUACIN fr EN EL PUNTO ,rP EST DADA POR

sencos

cossen

rddr

rddr

m

38 COORDENADAS CILNDRICAS


LAS COORDENADAS CARTESIANAS zyx ,, Y LAS COORDENADAS CILNDRICAS z,, SE RELACIONAN A TRAVS DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES:

zzxyangtanyx

zzyx

;;

;sen;cos

222

DONDE CONSTANTE REPRESENTA UNA FAMILIA DE CILINDROS CUYO EJE DE SIMETRA ES EL EJE z , CONSTANTE REPRESENTA UNA FAMILIA DE SEMIPLANOS VERTICALES QUE CONTIENEN AL EJE z Y z CONSTANTE REPRESENTA UNA FAMILIA DE PLANOS HORIZONTALES PARALELOS AL PLANO xy .

NOTA. SE TRATA DE UN SISTEMA COORDENADO CURVILNEO ORTOGONAL.

DIFERENCIAL DE LONGITUD DE ARCO

22222 dzddds NOTA. SI 0z , SE TIENE EL SISTEMA ORTOGONAL PLANO DENOMINADO

SISTEMA COORDENADO POLAR.

DIFERENCIAL DE REA

dddA (SISTEMA COORDENADO POLAR)

DIFERENCIAL DE VOLUMEN

dzdddV

GRADIENTE

zez

ee

1

DIVERGENCIA

3211 fzffF

ROTACIONAL

321

1

fffz

eee

F

z

39 LAPLACIANO

zz

112

NOTA. zefefefFyz 321,,

INTEGRAL TRIPLE EN COORDENADAS CILNDRICAS

Q

z

z

z

z

z

zdzddzfdVzf 2

1

2

1

2

1

,

,,,,,

DONDE ES EL FACTOR DE ESCALA O JACOBIANO DE LA TRANSFORMACIN DE COORDENADAS.

COORDENADAS ESFRICAS


LAS COORDENADAS CARTESIANAS zyx ,, Y LAS COORDENADAS ESFRICAS ,,r SE RELACIONAN A TRAVS DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES:

xyang

zyxzangzyxr

rzsenrsenysenrx

tan;cos;

cos;;cos

222

2222

DONDE r CONSTANTE, REPRESENTA UNA FAMILIA DE ESFERAS CON CENTRO EN EL ORIGEN,

CONSTANTE REPRESENTA UNA FAMILIA DE SEMICONOS CON EL EJE z COMO EJE DE SIMETRA Y CONSTANTE, REPRESENTA UNA FAMILIA DE SEMIPLANOS VERTICALES QUE CONTIENEN AL EJE z .

DIFERENCIAL DE LONGITUD DE ARCO

2222222 dsenrdrdrds

DIFERENCIAL DE VOLUMEN

dddrsenrdV 2

GRADIENTE

e

rsene

re

rr

11

40 DIVERGENCIA

32122

1 rfsenrfsenfrrsenr

F

ROTACIONAL

senrsenrfrff

r

ersenere

F

r

2

321

1

LAPLACIANO

sensenrsenrrsenr

11 22

2

NOTA. efefefFyr r 321,,

INTEGRAL TRIPLE EN COORDENADAS ESFRICAS

21 21 21 ,, 2,,,, rrQ

dddrsenrrfdVrf

DONDE sen2r ES EL FACTOR DE ESCALA O JACOBIANO DE LA TRANSFORMACIN DE COORDENADAS.

C O P A D I 41

OPERADORES VECTORIALES, GRADIENTE, DIVERGENCIA, ROTACIONAL Y LAPLACIANO, EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES

TEOREMA. GRADIENTE EN COORDENADAS CURVILNEAS

SEAN wvu ,, UNA FUNCIN ESCALAR DIFERENCIABLE Y wvuzzwvuyywvuxx ,,,,.,,,

LAS ECUACIONES DE TRANSFORMACIN DE UN SISTEMA COORDENADO CURVILNEO ORTOGONAL. ENTONCES EL GRADIENTE DE EN ESTE SISTEMA EST DADO POR:

w

w

v

v

u

u

ewh

evh

euh

111

TEOREMA. DIVERGENCIA EN COORDENADAS CURVILNEAS

SEA wvu ewvuewvuewvu ,,,,,, 321 UNA FUNCIN VECTORIAL DIFERENCIABLE EN EL SISTEMA

CURVILNEO ORTOGONAL DE VECTORES BASE wvu eyee , . ENTONCES LA DIVERGENCIA DE ESTE SISTEMA ES:

3211 vuwuwv

wvu

hhw

hhv

hhuhhh

TEOREMA. ROTACIONAL EN COORDENADAS CURVILNEAS

SEA wvu ewvuewvuewvu ,,,,,, 321 UNA FUNCIN VECTORIAL DIFERENCIABLE EN EL SISTEMA

CURVILNEO ORTOGONAL DE VECTORES BASE wvu eyee , . ENTONCES EL ROTACIONAL EN ESTE SISTEMA ES:

wuvvu

vwuwu

uvwwv

ehv

huhh

ehu

hwhh

ehw

hvhh

123123 111

TEOREMA. LAPLACIANO EN COORDENADAS CURVILNEAS

SEA wvu ,, UNA FUNCIN ESCALAR DIFERENCIABLE DOS VECES Y wvuzzwvuyywvuxx ,,,,,,,,

LAS ECUACIONES DE TRANSFORMACIN DE UN SISTEMA COORDENADO CURVILNEO ORTOGONAL. ENTONCES, EL LAPLACIANO DE EN ESTE SISTEMA EST DADO POR:

whhh

wvhhh

vuhhh

uhhh wvu

v

wu

u

wv

wvu

12

NOTA. EN ESTAS EXPRESIONES, wrh

vrh

urh wvu

;; SON LOS FACTORES DE ESCALA.

C O P A D I 42

TEOREMAS DE GREEN, STOKES Y GAUSS

TEOREMA DE GREEN

SEA R UNA REGIN LIMITADA POR UNA CURVA SIMPLE CERRADA C. SI

xN

yMyxNyxM

,,,,, SON FUNCIONES CONTINUAS SOBRE R,

ENTONCES SE CUMPLE QUE:

C R

dAyM

xNdyNdxM

FORMAS ALTERNATIVAS DEL TEOREMA DE GREEN

CR

CR

dAFdivNF

dAkFrotrdF

INTEGRAL DE LNEA PARA EL REA DE UNA REGIN

SI R ES UNA REGIN LIMITADA POR UNA CURVA SIMPLE CERRADA C,

ENTONCES EL REA DE R EST DADA POR:

C

dyxdxyA21

TEOREMA DE STOKES

SEA S UNA SUPERFICIE TAL QUE SU PROYECCIN SOBRE LOS PLANOS , ,XY XZ YZ SON REGIONES LIMITADAS POR CURVAS SIMPLES CERRADAS. SEA TAMBIN zyxFF ,, UN

CAMPO VECTORIAL CONTINUO Y DIFERENCIABLE DOS VECES. Y SUPNGASE QUE C ES UNA CURVA SIMPLE CERRADA QUE LIMITA A LA SUPERFICIE S. ENTONCES SE CUMPLE QUE.

CSS

rdFdSNFdSNFrot

DONDE N ES UN VECTOR UNITARIO NORMAL A LA SUPERFICIE S

Y dS ES EL DIFERENCIAL DE REA DE S.

43 Y, SI

kjinykzyxOjzyxNizyxMF coscoscos,,,,,,

ENTONCES ESTE TEOREMA TAMBIN SE PUEDE EXPRESAR COMO:

dSMNOMNOdzOdyNdxMS

yxxzzyC coscoscos

TEOREMA DE GAUSS

SI LA FUNCIN VECTORIAL kzyxfjzyxfizyxfzyxF ,,,,,,,, 321 TIENE PRIMERAS DERIVADAS PARCIALES CONTINUAS EN UNA REGIN R DEL ESPACIO 3 , LIMITADA POR UNA SUPERFICIE REGULAR S, ENTONCES LA INTEGRAL DE VOLUMEN DE LA DIVERGENCIA DE F DENTRO DE S

ES IGUAL A LA INTEGRAL DE SUPERFICIE EXTERNA DE F SOBRE S, ES DECIR:

RS

dVFdivdSNF

Y, SI

kjiN coscoscos

ES UN VECTOR UNITARIO NORMAL A LA SUPERFICIE S,

ENTONCES ESTE TEOREMA TAMBIN SE PUEDE EXPRESAR COMO:

RS

dVzf

yf

xfdSfff 321321 coscoscos

C O P A D I 44

TRANSFORMADAS DE LAPLACE

0; ttf 0 dtetfsF st RESTRICCIONES EN "" s t (FUNCIN DELTA DE DIRAC) 1

1 s1 0s

ate as

1 as positivoenterontn ,;

1

!ns

n 0s positivoenteronet atn ,; 1

! nas

n as

t1

s 0s

atsen 22 as

a 0s

atcos 22 as

s 0s

atsenh 22 as

a

as

atcosh 22 as

s

as

atsent 2222

as

sa

0s

att cos 22222

asas

0s

atsent 2 3222232

asasa

0s

att cos2 32222 32

asass

0s

btseneat 22 basb

as

bteat cos 22 basas

as

btsenheat 22 basb

abs

bteat cosh 22 basas

abs

C O P A D I 45

SERIES DE FOURIER

DEFINICIN LA SERIE DE FOURIER CORRESPONDIENTE A LA FUNCIN f , LA CUAL SE SUPONE DEFINIDA EN EL

INTERVALO Lcxc 2 , DONDE 0Lyc SON CONSTANTES, SE DEFINE COMO:

1

0 cos2 n

nn Lxnsenb

Lxnaa DONDE

Lc

cn

Lc

cn

dxL

xnsenxfL

b

dxL

xnxfL

a2

2

1

cos1

SI f y 'f SON CONTINUAS EN Lcc 2, SALVO EN UN CONJUNTO FINITO DE PUNTOS, EN LOS QUE

EXISTEN SUS LMITES LATERALES, Y SI xf EST PERIODICAMENTE DEFINIDA CON UN PERIODO DE L2 , O SEA, QUE xfLxf 2 , ENTONCES LA SERIE CONVERGE HACIA xf SI x ES UN PUNTO DE

CONTINUIDAD, Y HACIA 0021 xfxf SI x ES UN PUNTO DE DISCONTINUIDAD.

FORMA COMPLEJA DE LAS SERIES DE FOURIER

SI SE SUPONE QUE LAS SERIES ANTERIORES CONVERGEN HACIA xf , SE TIENE QUE:

n

Lxinn ecxf

/ DONDE

0

21

021

021

1

0

/2

na

niba

niba

dxexfL

c nn

nn

LxinLc

cn

IDENTIDAD DE PARSEVAL

1

222

02 2

21

nnn

Lc

cbaadxxf

L

FORMA GENERAL DE LA IDENTIDAD DE PARSEVAL

1

002

21

nnnnn

Lc

cdbcacadxxgxf

L

DONDE nnnn dcyba ,, SON LOS COEFICIENTES DE FOURIER QUE CORRESPONDEN A xgyxf RESPECTIVAMENTE.

46 SERIES DE FOURIER DE ALGUNAS FUNCIONES DE USO FRECUENTE

...

55

33

14

0101 xsenxsensenx

xx

xf

...

55cos

33cos

1cos4

200

222

xxxxxxx

xxf

...

33

22

1220; xsenxsensenxxxxf

...75

6cos534cos

312cos42; xxxxsenxxf

20

0xxsenx

xf

...756cos

534cos

312cos2

211 xxxsenx

...

7563

5342

3128

0cos0cos xsenxsenxsen

xxxx

xf

...

33cos

22cos

1cos4

3; 222

22 xxxxxxf

...

36cos

24cos

12cos

60; 222

2 xxxxxxxf

...

33

22

112; 333

xsenxsensenxxxxxxf

...3

3cos32

2cos21cos2

201

00xsenxsenxsen

xxx

xf

47

...

55

33

18

0;0;

333

xsenxsensenxxxxxxx

xf

...3

332

221

2;; 222222 xsenxsensenxsenenteroxxsenxf

...3

3cos2

2cos1cos

212;;cos 2222222

xxxsenenteroxxxf

122

cos1212;

n

nx

nnxnsennxxsenhxexf

...3

332

221

2; 222222 xsenxsensenxsenhxxsenhxf

...3

3cos2

2cos1cos

212;cosh 2222222

xxxsenhxxxf

...

33cos

22cos

1cos2ln0;

21ln xxxxxsenxf

...

33cos

22cos

1cos2ln;

21cosln xxxxxxf

CARTULA Y PRLOGO N D I C E1 - IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS2 - CRCULO TRIGONOMTRICO3 - RECTA Y CIRCUNFERENCIA4 - LAS CNICAS5 - GEOMETRA ANALTICA EN EL ESPACIO6 - CLASIFICACIN DE LAS SUPERFICIES CUDRICAS7 - FRMULAS DE DERIVACIN ORDINARIA8 - FRMULAS BSICAS DE INTEGRACIN9 - SERIES INFINITAS10 - SERIES DE POTENCIAS11 - ALGUNAS FUNCIONES REPR POR SERIES DE POT12 - FUNCIONES HIPERBLICAS13 - MXIMOS Y MNIMOS14 - GEOMETRA DIFERENCIAL15 - LONGITUDES, REAS Y VOLMENES16 - MASA, MOMENTOS, CENTRO DE MASA Y CENTROIDE17 - DER EXPLCITA EN FUN ESC DE VAR VECTORIAL18 - DER IMPLCITA EN FUN ESC DE UNA VAR Y DE VAR VECT19 - COORD POLARES, CILNDRICAS Y ESFRICAS20 - OPERADORES VECT EN COORD CURVILNEAS21 - TEOREMAS DE GREEN, STOKES Y GAUSS22 - TRANSFORMADAS DE LAPLACE23 - SERIES DE FOURIER

formulario copadi

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