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EXAMEN GENERAL PARA EL EGRESO DE LA LICENCIATURAEN INGENIERÍA ELECTRÓNICA
Dirección General Adjunta de los EGEL
JUNIO • 2013
formulario
EXAMEN GENERAL PARA EL EGRESO DE LA LICENCIATURAEN INGENIERÍA ELECTRÓNICA
Dirección General Adjunta de los EGEL
JUNIO • 2013
formulario
[EGEL-IINDU]
Este Formulario es un instrumento de apoyo para quienes sustentarán el Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO) y está vigente a partir de marzo de 2013. El Formulario para el sustentante es un documento cuyo contenido está sujeto a revisiones periódicas. Las posibles modificaciones atienden a los aportes y críticas que hagan los miembros de las comunidades académicas de instituciones de educación superior de nuestro país, los usuarios y, fundamentalmente, las orientaciones del Consejo Técnico del examen. El Ceneval y el Consejo Técnico del EGEL-IELECTRO agradecerán todos los comentarios que puedan enriquecer este material. Sírvase dirigirlos a:
Dirección General Adjunta de los EGEL Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
Centro Nacional de Evaluación para la Educación Superior, A. C. Av. Revolución núm. 1570
Col. Guadalupe Inn Del. Álvaro Obregón
C.P. 01020 México, D. F. Tel: 01 (55) 5322-9200, ext. 5103
http://www.ceneval.edu.mx Email: [email protected]
D. R. 2013 Centro Nacional de Evaluación para la Educación Superior, A. C. (Ceneval)
Directorio
Dirección General Mtro. Rafael Vidal Uribe
Dirección General Adjunta de los Exámenes
Generales para el Egreso de la Licenciatura (EGEL) Lic. Jorge Hernández Uralde
Dirección de Diseño, Ingenierías y Arquitectura
M. en C. Laura Delgado Maldonado
Coordinación del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniería Electrónica (EGEL-IELECTRO)
Ing. Eloín Alarcón Maldonado
Consejo Técnico
Representantes de instituciones educativas
M. en C. Rodolfo Fernando Porras Sánchez
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla
Dr. Omar Jacobo Santos Sánchez
Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo
Dr. Julio César Martínez Romo Instituto Tecnológico de Aguascalientes
M. en C. José Luis Álvarez Flores
Universidad de Colima
M. en I. Rubisel Tovilla Heredia Instituto Tecnológico de Puebla
Mtra. Mónica Judith Durón González
Universidad de Guadalajara
Ing. Jaime Martínez Garza
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey
M. en C. Waldo Cervantes Solís
Universidad Iberoamericana
M. en C. Gabriel Domínguez Sánchez
Universidad Autónoma de Aguascalientes
Ing. Alejandro Sosa Fuentes
Universidad Nacional Autónoma de México
M. en C. Marco Antonio Félix Lozano
Universidad Autónoma de Baja California
M. en C. José Iván Orlando Rodríguez
Martínez Universidad Politécnica de Aguascalientes
Dr. José Rubén Lagunas Jiménez Universidad Autónoma de Campeche
Dr. Ricardo Oscar Magos Pérez
Universidad Tecnológica de México
Dr. José Antonio Ruz Hernández Universidad Autónoma del Carmen
Dr. Enrique A. Morales González
Universidad Veracruzana
Representantes de Colegios y Organizaciones gremiales
M. en I. Luis A. Haro Ruiz Consejo de Acreditación de la
Enseñanza de la Ingeniería, A.C.
Representantes del Sector empleador
Ing. Mario Alberto Cavazos Caballero Comisión Federal de Electricidad
Contenido
Administración de sistemas electrónicos ......................................................... 11
Operación y mantenimiento de sistemas electrónicos .................................... 11
Inversión inicial ............................................................................................................... 11
Tasa mínima aceptable de rendimiento .......................................................................... 11
Tasa mínima aceptable de rendimiento mixta ................................................................ 11
Valor presente neto (con TMAR) .................................................................................... 12
Valor presente neto (con anualidad e interés) ................................................................ 12
Tasa interna de retorno .................................................................................................. 12
Periodo de recuperación de la inversión ........................................................................ 13
Punto de equilibrio en ventas ......................................................................................... 13
Costo beneficio ............................................................................................................... 13
Ingeniería económica ..................................................................................................... 14
Interés simple ................................................................................................................. 14 Interés compuesto .................................................................................................................... 14 Valor futuro pago único............................................................................................................. 14 Valor presente pago único ........................................................................................................ 14 Cantidad compuesta serie uniforme ......................................................................................... 14
Ingeniería económica ..................................................................................................... 15
Interés simple ................................................................................................................. 15 Interés compuesto .................................................................................................................... 15 Valor futuro pago único............................................................................................................. 15 Valor presente pago único ........................................................................................................ 15 Cantidad compuesta serie uniforme ......................................................................................... 15 Fondo de amortización ............................................................................................................. 16 Recuperación del capital de una serie uniforme ...................................................................... 16 Valor presente de una serie uniforme ...................................................................................... 16 Series de gradiente ................................................................................................................... 16 Tasa efectiva de interés anual .................................................................................................. 16 Capitalización continua ............................................................................................................. 16 Definición de e .......................................................................................................................... 17 Pagos continuos ....................................................................................................................... 17 Tasa mixta ................................................................................................................................ 17 Métodos de análisis de inversiones .......................................................................................... 18
Diseño e integración de sistemas electrónicos ................................................ 19
Construcción e implementación de sistemas electrónicos ............................. 19
Comunicaciones ............................................................................................................. 19 Radiofrecuencia ........................................................................................................................ 19 Parámetros de dispersión ......................................................................................................... 22
Líneas de transmisión ..................................................................................................... 23 Impedancia característica ......................................................................................................... 23
Línea de transmisión de tipo microcinta ................................................................................... 24 Constante de propagación ....................................................................................................... 25 Velocidad de propagación ........................................................................................................ 25 Tiempo de retardo .................................................................................................................... 25 Coeficiente de reflexión ............................................................................................................ 26 Relación de onda estacionaria (SWR) y el coeficiente de reflexión ( ) ................................... 26 Impedancia de entrada ( inZ ) .................................................................................................... 26 Tabla de parámetros distribuidos ............................................................................................. 27
Conectores ..................................................................................................................... 31 RJ45 .......................................................................................................................................... 31 RJ11 .......................................................................................................................................... 32 VGA .......................................................................................................................................... 33 USB ........................................................................................................................................... 34 DB9 ........................................................................................................................................... 34 DB-25 ........................................................................................................................................ 35 IEEE.488 ................................................................................................................................... 36 RS-232 DB9 .............................................................................................................................. 37 RS – 422/485 DB – 9 ................................................................................................................ 38
Formulario general .............................................................................................. 39
Matemáticas ................................................................................................................... 39 Álgebra...................................................................................................................................... 39 Cálculo diferencial .................................................................................................................... 45 Cálculo integral ......................................................................................................................... 50 Geometría ................................................................................................................................. 59 Geometría analítica plana......................................................................................................... 60 Geometría analítica del espacio ............................................................................................... 62 Trigonometría ........................................................................................................................... 66 Números complejos .................................................................................................................. 71 Análisis vectorial ....................................................................................................................... 72 Función de fracciones racionales ............................................................................................. 77 Series de Fourier ...................................................................................................................... 78 Transformada de Fourier .......................................................................................................... 82 Transformada de Laplace ......................................................................................................... 85 Probabilidad y estadística ......................................................................................................... 90
Física .............................................................................................................................. 95 Mecánica .................................................................................................................................. 95 Electricidad y magnetismo ...................................................................................................... 104
Química ........................................................................................................................ 109
Análisis de circuitos eléctricos ...................................................................................... 111 Ley de Ohm ............................................................................................................................ 111 Voltaje y corriente en elementos reactivos ............................................................................. 111 Divisor de corriente ................................................................................................................. 111 Divisor de voltaje .................................................................................................................... 112 Leyes de Kirchhoff .................................................................................................................. 112 Potencia .................................................................................................................................. 113 Resonancia RLC serie ............................................................................................................ 113 Resonancia RLC paralelo ....................................................................................................... 114 Circuitos excitados con señales senoidales de diferentes frecuencias ................................. 114 Impedancia y admitancia de una red pasiva de dos terminales............................................. 115
Teoremas de redes ................................................................................................................. 115 Parámetros de dos puertos .................................................................................................... 117 Respuesta transitoria .............................................................................................................. 119 Función de transferencia ........................................................................................................ 122 Sistemas acoplados ................................................................................................................ 123 Sistemas trifásicos .................................................................................................................. 123 Potencia trifásica .................................................................................................................... 125
Electrónica Analógica ................................................................................................... 126 Diodo de propósito general .................................................................................................... 126 Diodo zener ............................................................................................................................ 126 Rectificadores de media onda y onda completa (fuentes de alimentación) ........................... 127 Transistor de unión bipolar (BJT) ........................................................................................... 129 Transistor de efecto de campo (FET) ..................................................................................... 138 Transistor MOSFET ................................................................................................................ 145 Amplificadores operacionales ................................................................................................. 146 Filtros ...................................................................................................................................... 149 Convertidores ......................................................................................................................... 150 Amplificadores de corriente .................................................................................................... 152
Electrónica digital .......................................................................................................... 156 Algebra Boole ......................................................................................................................... 156 Mapa de Karnaugh ................................................................................................................. 158 Conversión de decimal a BCD natural, BCD Aiken y BCD exceso 3 ..................................... 160 Conversión de Decimal a Binario, Hexadecimal .................................................................... 160 Circuitos digitales básicos ...................................................................................................... 161 Flip – flops .............................................................................................................................. 162
Electrónica de potencia ................................................................................................ 165 Fórmulas básicas .................................................................................................................... 165 Dispositivos ............................................................................................................................. 166
Teoría de control ........................................................................................................... 175 Terminología de la ingeniería de control ................................................................................ 175 Modelos de control ................................................................................................................. 175 Tipos de respuesta ................................................................................................................. 176 Regla de Mason ...................................................................................................................... 178 Controladores ......................................................................................................................... 179
Comunicaciones ........................................................................................................... 181 Osciladores ............................................................................................................................. 181 Modulación y demodulación AM-FM ...................................................................................... 186 Decibel .................................................................................................................................... 186 Oscilador de relajación UJT ................................................................................................... 188 Oscilador de relajación PUT ................................................................................................... 188
Instrumentación ............................................................................................................ 190 Valor promedio ....................................................................................................................... 190 El valor rms ............................................................................................................................. 190 Errores en medición ................................................................................................................ 190 Desviación estándar y varianza .............................................................................................. 191 Distribución gaussiana ............................................................................................................ 191 Puentes de Wheatstone ......................................................................................................... 192 Puente de Kelvin ..................................................................................................................... 192 Ruido térmico o ruido de Jhonson .......................................................................................... 193 Amplificador de instrumentación ............................................................................................ 193
Termopar ................................................................................................................................ 194 Termistor ................................................................................................................................. 194 Sensores ................................................................................................................................. 195 Transformada Z ...................................................................................................................... 200
Datos prácticos ............................................................................................................. 201
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11
Administración de sistemas electrónicos
Operación y mantenimiento de sistemas electrónicos Inversión inicial
donde: II: Inversión inicial CO: Costos de operación CP: Costos de producción CA: Costos de administración y ventas Tasa mínima aceptable de rendimiento
TMAR = (µ * i)n
donde: TMAR: Tasa mínima aceptable de rendimiento µ: Monto i: Tasa de interés n: Número de periodos a considerar Tasa mínima aceptable de rendimiento mixta
TMARmixta = [I1 + PR1 + %I1 + %PR1] + [I2 + PR2 + %I2 + %PR2] +…+ [In + PRn + %In + %PRn] donde: TMARmixta: Tasa mínima aceptable de rendimiento mixta In: Inflación PRn: Premio al riesgo %In: Inflación ÷ 100 %PRn: Premio al riesgo ÷ 100
I I CO CP CA= + +
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12
Valor presente neto (con TMAR)
== − +
+n
0 tt 1
S tV P N S
(1 i)
donde: VPN = Valor presente neto SO = Inversión Inicial St = flujo de efectivo neto del periodo t n = número de periodos de la vida del proyecto i = tasa de recuperación mínima atractiva Valor presente neto (con anualidad e interés)
( )( )
n
n
1 i 1V P N P A V S
i 1 i
+ − = − + + +
donde: VPN: Valor presente neto P: Inversión inicial A: Anualidad i: Tasa de interés VS: Valor de salvamento al final del periodo n n: Número de periodos Tasa interna de retorno
nnn n
1
F N E V ST I R
(1 i) (1 i)= +
+ +
donde: TIR: Tasa interna de retorno FNE: Flujo neto de efectivo del periodo n, o beneficio neto después de impuesto más depreciación VS: Valor de salvamento al final del periodo n i: Tasa de interés n: Número de periodos
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13
Periodo de recuperación de la inversión
UNR O I
I=
donde: ROI: Periodo de recuperación de la inversión UN: Utilidad neta I: Inversión Punto de equilibrio en ventas
CFPE
CV1
VT
=−
donde: PE: Punto de equilibrio CF: Costos fijos CV: Costos variables VT: Ventas totales Costo beneficio
B B D
C C
−=
donde: B: Beneficios asociados al proyecto C: Costo neto del proyecto D: Valor de las desventajas
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14
Ingeniería económica Glosario de términos para ingeniería económica I: Inversión n: Periodo i: Tasa de interés P: Valor presente F: Valor futuro A: Serie uniforme G: Gradiente Ief: Tasa efectiva R: Tasa de interés divisible m: Periodo de intervalo
A : Factor de pago continuo RC: Factor de recuperación de capital Vs: Valor de salvamento Θ: Tasa mixta Pr: Periodo de recuperación B: Beneficio C: Costo D: Desventaja e: Base de logaritmos neperianos
Interés simple
I = n i P Interés compuesto
nF
i 1I
= −
Valor futuro pago único
( )1n
F P i= +
Valor presente pago único
( )1
1nP F
i=
+
Cantidad compuesta serie uniforme
( ) + − =
n1 i 1
F Ai
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15
Ingeniería económica Glosario de términos para ingeniería económica I: Inversión n: Periodo i: Tasa de interés P: Valor presente F: Valor futuro A: Serie uniforme G: Gradiente Ief: Tasa efectiva R: Tasa de interés divisible m: Periodo de intervalo
A : Factor de pago continuo RC: Factor de recuperación de capital Vs: Valor de salvamento Θ: Tasa mixta Pr: Periodo de recuperación B: Beneficio C: Costo D: Desventaja e: Base de logaritmos neperianos
Interés simple
I = n i P Interés compuesto
nF
i 1I
= −
Valor futuro pago único
F = P(F/P,i,n) ( )nF P 1 I= +
Valor presente pago único
P = F(P/F,i,n) P = F(1+I)–n
Cantidad compuesta serie uniforme
F = A(F/A,i,n)
( )n1 i 1
Ai
FI
+ − =
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16
Fondo de amortización
( )n
iA F
1 i 1
= + −
Recuperación del capital de una serie uniforme
( )( )
n
n
i 1 iA P
1 i 1
+ = + −
Valor presente de una serie uniforme
( ) n1 1 I
P Ai
− − + =
Series de gradiente
( )n
1A G
i n
1 i 1
= − + −
Tasa efectiva de interés anual
m
e f
ri 1 1
m = + −
Capitalización continua
mr
m
ri l i m 1 1 e 1
m→∞
= + − = −
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17
Definición de e
m
m
1i l i m 1 e
m→∞
= + =
mFe
P=
mPe
F−=
( )( )
m
r
e 1F
A e 1
−=
−
( )( )
r
m
e 1A
F e 1
−=
−
( )( )
r
m
e 1A
P 1 e
−=
−
( )( )
m
r
1 eP
A e 1
−−=
−
m m
A 1 n
G 1 e e 1− = − − −
Pagos continuos
( )me 1Fˆ rA
−=
( )m
A r
F e 1=
−
( )m
m
e 1P
A re
−=
m
m
A re
P e 1=
−
Tasa mixta
θ = (i – λ)/(1 – λ)
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18
Métodos de análisis de inversiones Valor presente
n
j 0
V p F l u j o(P / F,i, j)=
=
Valor futuro
n
j 0
V p F l u j o(F / P,i, j)=
=
Costo anual uniforme equivalente (CAUE)
( )n
j 0
V p F l u j o(P / F,i, j) * A / P,i, j=
=
Serie uniforme equivalente
SAUE = - CAUE Recuperación de capital
CAUE = - SAUE = RC
(P – Vs)(A/P,i,n) + iVs Retiro y reemplazo
CAUE (j) = RC(j) + A(j) Tasa interna de retorno
n
j 1
V p F l u j o i n i c i a l F l u j o(P / F,i, j)=
= − +
Periodo de recuperación
A B S(f l u j o)P r
i n g r e s o p o r p e r i o d o=
Razón costo-beneficio
B DB
C C= −
Nota: El ROI no se maneja en este contexto ya que es un indicador financiero.
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Diseño e integración de sistemas electrónicos
Construcción e implementación de sistemas electrónicos Comunicaciones Radiofrecuencia Estabilidad
( )1 02 Rer t
r t
Y YC
g g Y Y=
− Sí C < 1 el transistor es incondicionalmente estable Si C > 1 el transistor es potencialmente inestable Factor de estabilidad de Stern
( )( )( )
1 02
Res L
r t r t
g G g GK
Y Y Y Y
+ +=
+
Ganancia máxima disponible en el transistor (MAG)
2
1 04rY
MAGg g
=
donde: Yr = La admitancia de transferencia inversa Yt = La admitancia de transferencia directa g1 = La conductancia de entrada g2 = La conductancia de salida Re = La parte real del número complejo Gs = La conductancia de la fuente GL = La conductancia de la carga Criterio de estabilidad incondicional en términos de los parámetros S
2 2 2
11 22
12 12
11
2
S SK
S S
− − + Δ= <
donde:
11 22 12 12S S S SΔ = −
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20
Teorema de Miller
( )( ) 1ent Miller bo vC C A= + Capacitancia de entrada Miller, donde C = Cbo
( )
1 vsal Miller bo
v
AC C
A
+=
Capacitancia de salida Miller, donde C = Cbo
donde: Cbo es la capacitancia entre la entrada y la salida amplificador. Respuesta en frecuencia de un amplificador
Modelo de señal pequeña del BJT
Modelo de señal pequeña del FET
Respuesta en altas frecuencias de un amplificador emisor común (BJT)
Modelo equivalente de señal pequeña del amplificador
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21
Los polos del circuito son:
( ) ( )1
1
2 1p
Lo m L L
o
fR
r C C g R C Crπ π μ μπ
π=
+ + + +
( )( )2
2L m o L L o m
pLL
C g C g g g C g gf
C CC C C Cπ μ π π
ππ μ μπ+ + + +
= ≅++ +
donde:
1
LL
Rg
=
1o
o
rgπ
π
=
Respuesta en altas frecuencia de un amplificador fuente común (FET)
Considere el caso anterior (Respuesta en altas frecuencias de un amplificador emisor común (BJT)) y en las expresiones según la figura. Respuesta en bajas frecuencias de un amplificador emisor común (BJT) Si : y es despreciable:
La función de transferencia está dada por:
iC Cπ>> Cμ
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22
( )
( ) ( )
2
1 1
om L
i L o
i i o o L
r rg R s
R r R rH s
s sC R r C r R
π
π
π
+ +=
+ + + +
Los polos del circuito están dadas por:
( )1
1
2pi i
fC R rππ
=+
( )2
1
2po o L
fC r Rπ
=+
Respuesta en bajas frecuencias de un amplificador fuente común (FET)
Si es despreciable:
La función de transferencia está dada por:
( )
( )
1
1 1
om L
i gs L o
i gs
i i gs o o L
rg R s
R C R rH s
C Cs s
R C C C r R
+= +
+ + +
y los polos del circuito son:
1
1
1
2p
i gs
i gs
fC C
RC C
π=
+
( )2
1
2po o L
fC r Rπ
=+
Parámetros de dispersión
Cμ
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23
1 11 12 1
2 21 22 2
b S S a
b S S a
=
2
111
1 0a
bS
a=
= Coeficiente de reflexión del puerto 1 (Entrada)
2
221
1 0a
bS
a=
= Coeficiente de transmisión del puerto 1 al 2 (Ganancia)
1
112
2 0a
bS
a=
= Coeficiente de transmisión del puerto 2 al 1 (Ganancia en inversa)
1
222
2 0a
bS
a=
= Coeficiente de reflexión del puerto 2 (Salida)
Líneas de transmisión Impedancia característica
0
2276 log
DZ
d=
donde: D = distancia entre conductores o diámetro exterior d = diámetro del conductor o diámetro interior Impedancia característica para cable coaxial:
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24
0
1ln 138 log
2r
r
D DZ
d d
μμπ ε ε
= ≈
donde: D = distancia entre conductores o diámetro exterior d = diámetro del conductor o diámetro interior
rμ y rε es la permeabilidad relativa y la permitividad relativa del material aislante, respectivamente.
Línea de transmisión de tipo microcinta
Si t W<<
( )0
60 8ln
4
120
/ 1.393 0.667 ln / 1.444
e
e
b W
W bZ
W b W d
επ
ε
+ = + + +
donde:
1 1 1
2 2 1 12 /r r
ed W
ε εε + −= ++
En otro caso:
/ 1Si W b <
/ 1Si W b >
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25
0
87 5.98ln
0.81.41
bZ
W tε = ++
rε = constante dieléctrica
W = ancho de la pista t = espesor de la pista h = distancia entre la pista al plano a tierra Impedancia característica de líneas de microcinta paralelas
( )0
60 4ln
0.67 0.8 /
dZ
W t bε π
= +
Impedancia característica
0
R j LZ
G j C
ωω
+=+
Constante de propagación
( )( )R j L G j Cγ ω ω= + +
Velocidad de propagación
1pv
LC=
Tiempo de retardo
dt LC=
Ondas estacionarias
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Coeficiente de reflexión
r
i
V
VΓ =
0
0
L
L
Z Z
Z Z
−Γ =+
Si max 1V = + Γ y min 1V = − Γ , entonces,
max min
max min
V V
V V
−Γ =+
donde: Γ = Coeficiente de reflexión Vr = Voltaje reflejado Vi = Voltaje incidente Relación de onda estacionaria (SWR) y el coeficiente de reflexión ( )
1max
min 1
VSWR
V
+ Γ= =
− Γ
y 1
1
SWR
SWR
−Γ =+
Si LZ ∈ℜy 0LZ Z> , entonces:
0
LZSWR
Z=
Si LZ ∈ℜy 0LZ Z< , entonces:
0
L
ZSWR
Z=
Impedancia de entrada ( inZ )
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27
( )( )
00
0
tan
tanL
inL
Z jZ lZ Z
Z jZ l
ββ
+=
+
donde: β = es el número angular de onda
l = es la longitud de la línea Para una línea de transmisión de / 2λ
in LZ Z=
Para una línea de transmisión de / 4λ
20
inL
ZZ
Z=
Tabla de parámetros distribuidos
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Antenas Ganancia directiva
( ) [ ]antena de refecia
dBantena de prueba
PG dB
P=
Resistencia de radiación
[ ]2radiada
rentrada
PR
I= Ω
[ ]2
790r
lR
λ = Ω
Ancho de banda de la antena
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29
[ ]m L Hf f f Hz= ⋅ Longitud efectiva
[ ]292el m
f=
Área efectiva
ref
i
WA
P=
Densidad de potencia radiada
( ) ( ), ReP E Hθ φ ∗= ×
Impedancia característica del medio
E
Hη=
Potencia total radiada
( ),rW P dsθ φ= ⋅ Directividad
max
24r
PD
Wrπ
=
Lóbulo
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30
Ancho del haz principal
32.25n dBBW BW−≈
Intensidad del campo
30 t tD PE
d
⋅=
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31
Conectores RJ45
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32
RJ11
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33
VGA
Pines
Un conector DE15 hembra.
Pin 1 RED Canal rojo
Pin 2 GREEN Canal verde
Pin 3 BLUE Canal azul
Pin 4 N/C Sin contacto
Pin 5 GND Tierra (HSync)
Pin 6 RED_RTN Vuelta rojo
Pin 7 GREEN_RTN Vuelta verde
Pin 8 BLUE_RTN Vuelta azul
Pin 9 +5 V +5 V (Corriente continua)
Pin 10 GND tierra (Sincr. Vert, corriente continua)
Pin 11 N/C Sin contacto
Pin 12 SDA I²C datos
Pin 13 HSync Sincronización horizontal
Pin 14 VSync Sincronización vertical
Pin 15 SCL I2Velocidad reloj
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34
USB
Patillaje
The standard USB A plug (left) and B plug (right)
Pin 1 VCC (+5 V)
Pin 2 Data-
Pin 3 Data+
Pin 4 Ground
DB9
Se debe tener en cuenta que existen adaptadores DB9-DB25 para convertir fácilmente un enchufe DB9 en uno DB25 y viceversa.
Pines
Número de clavija Nombre
1 CD: Detector de transmisión
2 RXD: Recibir datos
3 TXD: Transmitir datos
4 DTR: Terminal de datos lista
5 GND: Señal de tierra
6 DSR: Ajuste de datos listo
7 RTS: Permiso para transmitir
8 CTS: Listo para enviar
9 RI: Indicador de llamada
Protección
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35
DB-25 Asignaciones de patas el conector D-25 para impresoras: Este conector trabaja para el puerto paralelo.
Pata Señal E/S Definición
1 STB# E/S Estrobo
2 PD0 E/S Bit 0 de datos de impresora
3 PD1 E/S Bit 1 de datos de impresora
4 PD2 E/S Bit 2 de datos de impresora
5 PD3 E/S Bit 3 de datos de impresora
6 PD4 E/S Bit 4 de datos de impresora
7 PD5 E/S Bit 5 de datos de impresora
8 PD6 E/S Bit 6 de datos de impresora
9 PD7 E/S Bit 7 de datos de impresora
10 ACK# E Reconocimiento
11 BUSY E Ocupado
12 PE E Fin del papel
13 SLCT E Seleccionar
14 AFD# S Avance automático
15 ERR# E Error
16 INIT# S Iniciar impresora
17 SLIN# S Seleccionar
18–25 GND N/D Tierra de señal
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36
IEEE.488
Terminales
Conector hembra IEEE-488
Pin 1 DIO1 Entrada de dato / bit de salida
Pin 2 DIO2 Entrada de dato / bit de salida.
Pin 3 DIO3 Entrada de dato / bit de salida
Pin 4 DIO4 Entrada de dato / bit de salida
Pin 5 EOI Final o identificación
Pin 6 DAV Validación de datos
Pin 7 NRFD No está listo para recibir dato
Pin 8 NDAC No se acepta el dato
Pin 9 IFC Interfaz limpia
Pin 10 SRQ Servicio
Pin 11 ATN Atención de datos
Pin 12 SHIELD
Pin 13 DIO5 Entrada de dato / bit de salida
Pin 14 DIO6 Entrada de dato / bit de salida
Pin 15 DIO7 Entrada de dato / bit de salida
Pin 16 DIO8 Entrada de dato / bit de salida
Pin 17 REN Remoto activado
Pin 18 GND (emparejado con DAV)
Pin 19 GND (emparejado con NRFD)
Pin 20 GND (emparejado con NDAC)
Pin 21 GND (emparejado con IFC)
Pin 22 GND (emparejado con SRQ)
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37
RS-232 DB9
PIN 1:PIN 2:PIN 3:PIN 4:PIN 5:PIN 6:PIN 7:PIN 8:PIN 9:
Detector de acarreo Recibe dato Transmite dato Terminal de dato lista Tierra Dato listo Requisita para mandarLimpia para enviar Indicador
Convertidor RS-232 a DB-25
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38
RS – 422/485 DB – 9
PIN 1:PIN 2:PIN 3:PIN 4:PIN 5:PIN 6:PIN 7:PIN 8:PIN 9:
Salida auxiliar + Dato de salida + Tierra Entrada de dato + Salida auxiliar + Salida auxiliar – Salida de dato – Entrada de dato – Entrada auxiliar –
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39
Formulario general Matemáticas
Álgebra
<<<><<<><
+<+<
zx zyy; xSi
yz xz 0zy; xSi
yz xz 0zy; xSi
zyzx y xSi
ℜ∈∀ zy,x,
( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2r r r r ∠θ ∠θ = ∠ θ + θ Nota: θ θ = cos i sen∠θ +
( )nnk 360
r r ;n
θ +∠θ = ∠
k entero
( ) ( )iln r e ln r 2 k iθ = + θ + π ; k entero
f(x) ; g(x) 0, ∀ ≠ existen q(x); r(x); f, g, q, r polinomios tales que: f(x) = g(x) q(x) + r(x), con gr(r) < gr(g)
o r(x) = 0
11 1 0( ) ...n n
n nf x a x a x a x a−−= + + + + ; 0na ≠ ; 0 0a ≠ las raíces racionales de f son de la forma
q
p
donde p es factor de a0 y q de an.
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40
Para matrices A y B
( )
( ) ( )
( )
( )
=
=
=+
= −−−
singular noA ;(A)det
1 )(Adet
I det(A) =A)A (Adj A AdjA
det(B) det(A)= (AB)det
)(Adet = (A)det
A B= AB
Atr a= aAtr
B tr +A tr B)tr(A
singulares no By A ;AB AB
1-
T
TTT
111
Si B = v1, , v , v2 n es base de un espacio V; x V∈
y x v v vn n= + + +α α α1 1 2 2 ; entonces, el vector de coordenadas de x respecto a B es:
( ) ( )xB
T= α α α1, , , 2 n
Si ( )u w, , v V C∈ espacio vectorial, entonces ( ) ( )f u v u v, |= es producto interno en V si:
1) ( ) ( )u v v| = |u
2) ( ) ( ) ( )u v w u u | v | w| + = +
3) ( ) ( )α α v | vu u| =
4) ( )u | u si u> ≠0 0
( )v v= | v1 2
norma de v
( ), v distancia de u a vd u v u= −
( )
v u
v cos
•= uθ coseno del ángulo entre u y v
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41
Si n21 g , ,g , gB = es base ortogonal de un espacio V; v V∈ y
( ) ( ) ( )( )vv
gBn
T= =α α α α1 2, , , ; entonces | g
g | i = 1, 2, , ni
i
i i
Si e1, , e , e2 m es base ortonormal de un subespacio W del espacio V y v V∈ ; entonces, la
proyección de ( )v ei sobre W es: v | e ii=1
m
Para la transformación lineal T:V→W( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
T V T v | v V recorrido de V
N T v V / T v O nucleo de T
d im V = d im T V + d im N T
= ∈
= ∈ =
Para T:V→W; A= v1, , v , v2 n base de V y B base de W la matriz asociada a T, ( )M TBA tiene por
columnas a:
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]T v v T vB B
nB
1 , , , T 2
para T:V→V, v V∈ es vector característico de T si:
( )T v v= ≠ ≠λ λ con 0 y v 0
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42
Fórmulas para potencia y raíces
( )⋅ ± ⋅ = ± ⋅n n np a q a p q a m n m na a a +⋅ =
mm n
n
aa
a−= ( ) ( )n mm n m na a a ⋅= =
1nn
aa
− = nn
n
a a
b b
=
( )n n np a q a p q a⋅ ± ⋅ = ± ⋅ n n na b a b⋅ = ⋅
1n n
nn
a a a
b bb
= =
n x nm x ma a⋅ ⋅ =
( ) mm
n m n na a a ∗= = a i a− = ⋅
( ) ( )22 No es válida en algunos casos; p. ej., 2 2, 2 2∗ − = + − = −
Nota: Los exponentes para potencias y raíces deben ser escalares Transformación de expresiones algebraicas usuales
( )2 2 22a b a ab b± = ± + ( )3 3 2 2 33 3a b a a b ab b± = ± + ±
( )2 2 2 22 2 2a b c a ab ac b bc c+ + = + + + + + ( )( )2 2a b a b a b− = + −
( )( )3 3 2 2a b a b a ab b+ = + − + ( )( )3 3 2 2a b a b a ab b− = − + +
22
1,2
40
2
− ± −+ + = = b b acax bx c x
a
22
1,20 2 4
p px px q x q+ + = = − ± − ( )2 2 2 22 2 2a b c a ab ac b bc c− + = − + + − +
( ) ( ) ( )( )1 2 2 3 31 1 2
1 1 2 1 2 3n n n n n nn n n n nn
a b a a b a b a b b− − −− − −+ = + + + + +
⋅ ⋅ ⋅
( )( )1 2 3 2 2 1n n n n n n na b a b a a b a b ab b− − − − −+ = − − + + +
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43
Logaritmos
( )log log logx y x y⋅ = + log log logx
x yy
= −
log lognx n x= 1
log logn x xn
=
log log=a n n a log 1=a a
log1 0= Binomio de Newton
( ) 1 2 2 3 3
0 1 2 3n n n n nn n n n
a b a a b a b a b− − − + = + ⋅ + ⋅ + ⋅ +
Donde n tiene que ser un número entero
( ) ( )1 2 1
1 2 3
n n n n n k
k k
− − − + = ⋅ ⋅
Teorema del binomio (de Newton)
( ) ( ) 2n n n 1 xn x
1 x 1 . . .1! 2!
−+ = + + +
Teorema binomial
( ) nn k n kk 0
nx a x a
k−
=
+ =
Permutaciones Número de permutaciones de n elementos
! 1 2 3nP n n= = × × × ×
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44
Combinaciones y ordenaciones
Número de combinaciones sin repetición
Número de combinaciones con repetición
( )!
! !nk
nnC
kk n k
= = −
( )
( )11 !
! 1 !
+ −+ − = = −
r nk
n kn kC
kk n
r con repetición
Número de ordenaciones sin repetición Número de ordenaciones con repetición
( )!
!!
n nk k k
n nO C P k
k n k
= ⋅ = ⋅ = −
r n kkO n=
donde: C: número de combinaciones posibles n: número de elementos dados k: número de elementos seleccionados de entre n elementos dados O: número de ordenaciones posibles Serie binómica o binomial
( ) ( ) ( ) 211 1 ...
2!
−= ± = ± + +f x x x x
α α αα
α es un número cualquiera, positivo o negativo, entero o fraccionario
( )( )( ) ( )1 2 3 1
!
− − − − + =
n
n n
α α α α α α
Serie de Taylor (serie de McLaurin)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ''
2
1! 2!
f a f af x f a x a x a= + − + − +
Forma de McLaurin, cuando 0a =
( ) ( ) ( ) ( )' ''20 0
01! 2!
f ff x f x x= + + +
Expansión de Taylor
2 3x x x x
e 1 . . . , x1! 2! 3!
= + + + + − ∞ < < ∞
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45
Cálculo diferencial Relación de cambio: Derivada Pendiente en un punto. Relación (o intensidad) de cambio Pendiente de una curva En una curva y = f (x) , la pendiente m varía en cada punto. La pendiente de la curva en un punto P es también la pendiente de su tangente en dicho punto:
m = tanα =Δy '
Δx '
Relación media de cambio (cociente incremental)
La intensidad media de variación de la función y = f (x) es la relación de los incrementos Δy
Δx
correspondientes al segmento de curva PP1
Δy
Δx=
f (x + Δx) − f (x)
Δx
Derivada (cociente diferencial) Cuando Δx tiende a cero, el punto P1 tiende al punto P, y la secante PP1 , a la tangente a la curva en P. De manera que la relación de incrementos se convierte en la relación de diferenciales, que es la derivada (o Intensidad de cambio) de la función en P:
y ' = limΔx→0
Δy
Δx=
dy
dx= f '(x)
Interpretación geométrica de la derivada Curvas de derivadas sucesivas Si para cada x de una curva se lleva la pendiente (o derivada) correspondiente y' como ordenada, se obtendrá la curva de y ' = f '(x) , o de la primera derivada de la curva dada y = f (x) . Si se deriva la
curva y ' = f '(x) se obtendrá y '' = f ''(x) o la segunda derivada de la curva dada y = f (x) , etc. Radio de curvatura ρ en un punto dado x.
ρ =(1+ ′y 2 )3
′′y
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46
Coordenadas del centro de curvatura C correspondiente a un radio ρ
a = x −1 + ′y 2
′′y′y
b = y +1 + ′y 2
′′y
Determinación de los valores máximos, mínimos y puntos de inflexión Valores máximos y mínimos Hágase y ' = 0 y sea a el valor obtenido de x . Sustitúyase ahora x = a en y '' Si y ''(a) > 0 habrá un mínimo en x = a Si y ''(a) < 0 habrá un máximo en x = a Punto de inflexión Hágase y '' = 0 y sea a el valor obtenido de x . Sustitúyase ahora x = a en ''y Si y ''(a) ≠ 0 habrá un punto de inflexión en x = a Forma de la curva y = f (x)
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47
Crecimiento y decrecimiento y '(x) > 0 y(x) crece si aumenta x
y '(x) < 0 y(x) decrece si aumenta x
y '(x) = 0 y(x) tiene en x una tangente paralela al eje x
Curvatura y ''(x) > 0 y(x) será cóncava hacia arriba
y ''(x) < 0 y(x) será cóncava hacia abajo
y ''(x) = 0 con cambio de signo y(x) tendrá en x un punto de inflexión
sin cambio de signo y(x) tendrá en x un máximo o un mínimo
Otros casos Si para x = a
( 1)'( ) ''( ) '''( ) ( ) 0−= == = = ny a y y y aa a , pero yn ≠ 0 , pueden presentarse los cuatro casos siguientes:
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48
Tablas de derivadas
d
dxc( ) = 0 ( )d
dxcx c=
( )d
dxcx ncxn n= −1 ( )d
dxu v w
du
dx
dv
dx
dw
dx± ± ± = ± ±
( )d
dxcu c
du
dx= ( )d
dxuv u
dv
dxv
du
dx= +
( )d
dxuvw u v
dw
dxu w
dv
dxv w
du
dx= + +
( ) ( )d
dx
u
v
v dudx u dv
dxv
=
−2
( )d
dxu nu
du
dxn n= −1
du
dx dxdu
= 1
dF
dx
dF
du
du
dx= (Regla de la cadena)
Derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas
[ ]ln ln
-1
ln
ln
v v u v u
v v
d d du e e v u
dx dx dxdu dv
vu u udx dx
= = =
+
loglog 0, 1a
a
ed duu a a
dx u dx= > ≠
lnu ud dua a a
dx dx=
1ln loge
d d duu u
dx dx u dx= =
u ud due e
dx dx=
Derivadas de las funciones trigonométricas y de las trigonométricas inversas
d
dxu u
du
dxsen cos=
d
dxu u
du
dxcot csc= − 2
d
dxu u
du
dxcos sen= −
d
dxu u u
du
dxsec sec tan=
d
dxu u
du
dxtan sec= 2
d
dxu u u
du
dxcsc csc cot= −
1 1
2
1cos 0 cos
1
d duu u
dx dxuπ− −− = < < −
1 12 22
1sen sen
1
d duu u
dx dxuπ π− − = − < < −
1 12 22
1tan tan
1
d duu u
dx u dxπ π− − = − < < +
1 12
1cot 0 cot
1
d duu u
dx u dxπ− −− = < < +
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49
1
2 2
12
12
1 1sec ,
1 1
0 sec
sec
d du duu
dx dx dxu u u u
si u
si u
π
π π
−
−
−
±= =− −
+ < < − < <
1
2 2
12
12
1 1csc ,
1 1
0 csc
csc 0
d du duu
dx dx dxu u u u
si u
si u
π
π
−
−
−
−= =− −
− < < + − < <
Derivadas de las funciones hiperbólicas y de las hiperbólicas recíprocas
d
dxu u
du
dxsenh cosh=
d
dxu u
du
dxcoth csc= − h2
d
dxu u
du
dxcosh senh=
d
dxu u u
du
dxsec sec tanhh h= −
d
dxu u
du
dxtanh sec= h2
d
dxu u u
du
dxcsc csc cothh h= −
-1
2
1sen h
1
d duu
dx dxu=
+ [ ]1
2
1tanh , 1 1
1
d duu u
dx u dx− = − < <
−
[ ]
-1
2
1csc h ,
1
si 0, si 0
d duu
dx dxu u
u u
−=+
− > + <
-1
2
1
1
1cos h ,
1
si cosh 0, 1
si cosh 0, 1
d duu
dx dxu
u u
u u
−
−
±=−
+ > > − < <
-1
2
1
1
1sec h ,
1
si sec h 0,0 1
si sec h 0,0 1
d duu
dx dxu u
u u
u u
−
−
±=−
− > < < + < < <
[ ]
12
1coth ,
11 ó 1
d duu
dx u dxu u
− =−
> < −
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50
Cálculo integral Significado de la integración Por integración se entiende el encontrar una función ( )F x a partir de una función dada ( )y f x= de manera que la derivada ( )F x′ sea igual a la original ( )f x . Por lo tanto,
( )( ) ( )
dF xF x f x
dx′ = =
La integral indefinida
( ) ( )f x dx F x C= + C es una constante indeterminada que desaparece al derivar, ya que la derivada de una constante es igual a cero. Significado geométrico de la integral indefinida. Como muestra la figura, hay una infinidad de curvas ( )y F x= con pendiente o derivada ( )y F x′ = .
Todas las curvas ( )y f x= son iguales pero desplazadas paralelamente y en la dirección del eje y.
La constante C fija una curva determinada. Si la curva debe pasar por el punto 0 0,x y se tendrá:
0 0( )C y F x= −
La integral definida La integral definida tiene la forma:
( ) ( ) ( ) ( )b b
aaf x dx F x F b F a= = −
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51
En la integral resultante se sustituye primero el límite superior y luego el inferior, y se resta el segundo resultado del primero. Desaparece así la constante C.
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52
Reglas de integración Formas fundamentales
u dv uv v du= − u ue du e C= +
u dun
u C nn n=+
+ ≠ −+ 1
111 a du
a
aCu
u
= +ln
lndu
u Cu
= +
Formas trigonométricas
sen cosu du u C= − + csc cot cscu u du u C= − +
+= Cuduu sencos += Cuduu seclntan
+= Cuduu tansec2 cot ln senu du u C= +
2csc cotu du u C= − + Cuuduu ++= tanseclnsec
+= Cuduuu sectansec csc ln csc cotu du u u C= − +
Formas cuadráticas
a u duu
a ua
u a u C2 2 2 22
2 2
2 2+ = + + + + + ln
du
a u
u
aC
2 2
1
−= +− sen
( )u a u duu
a u a ua
u a u C2 2 2 2 2 2 22
2 2
82
8+ = + + − + + + ln +=
+− C
a
u
aua
du 1
22tan
1
a u
udu a u a
a a u
uC
2 22 2
2 2+= + −
+ ++ ln
du
u u a a
u
aC
2 2
11
−= +− sec
du
u a u
a u
a uC
2 2 2
2 2
2+= −
++
du
a u a
u a
u aC2 2
1
2−=
+−
+ ln
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53
( )du
a u
u
a a uC
2 2 3 2 2 2 2+=
++ / du
u a a
u a
u aC2 2
1
2−=
−+
+ ln
a u
udu
a u
uu a u C
2 2
2
2 22 2+
= −+
+ + + + ln du
u a u a
a u a
uC
2 2
2 21
+= −
+ ++ ln
( )u a u duu
u a a ua u
aC2 2 2 2 2 2 2
41
82
8− = − − + +− sen a u du
ua u
a u
aC2 2 2 2
21
2 2− = − + +− sen
u du
a u
ua u
au a u C
2
2 2
2 22
2 2
2 2+= + − + + + ln
du
a uu a u C
2 2
2 2
+= + + + ln
u a duu
u aa
u u a C2 2 2 22
2 2
2 2− = − − + − + ln
u du
a u
ua u
a u
aC
2
2 2
2 22
1
2 2−= − − + +− sen
a u
udu a u a
a a u
uC
2 22 2
2 2−= − −
+ −+ ln
a u
udu
ua u
u
aC
2 2
22 2 11−
= − − − +− sen
du
u a u a
a a u
uC
2 2
2 21
−= −
+ −+ ln ( )u u a du
uu a u a
au u a2 2 2 2 2 2 2
42 2
82
8− = − − − + − + ln C
du
u a u a ua u C
2 2 2 22 21
−= − − + u a
udu u a a
a
uC
2 22 2 1−
= − − +− cos
( ) ( )a u duu
u a a ua u
aC2 2
32 2 2 2 2
41
82 5
3
8− = − − − + +− sen u a
udu
u a
uu u a C
2 2
2
2 22 2−
= −−
+ + − + ln
( )du
a u
u
a a uC
2 23
2 2 2 2−
=−
+ du
u au u a C
2 2
2 2
−= + − + ln
+−++−=−
Cauua
auu
au
duu 222
22
22
2
ln22
( )2
1ln
udua bu a a bu C
a bu b= + − + +
+
( )( )
( )du
u a bu
a bu
a n u
b n
a n
du
u a bun n n+= −
+−
−−− +− −
1
2 3
2 11 1
du
u u a
u a
a uC
2 2 2
2 2
2−=
−+
( ) ( )[ ]u du
a bu ba bu a a bu a a bu C
2
32 21
24 2
+= + − + + + + ln
( )3 2 2 22 2 2
du uC
a u au a= − +
−−
( )du
u a bu a
u
a buC
+=
++ 1
ln du
u a bu a
a bu a
a bu aC a
+=
+ −
+ ++ > 1
0ln , si
=−
+−
+ <−201
a
a bu
aC atan , si
( )du
u a bu au
b
a
a bu
uC2 2
1
+= − +
++ ln
a bu
udu a bu a
du
u a bu
+= + +
+ 2
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54
( ) ( )udu
a bu
a
b a bu ba bu C
+=
++ + + 2 2
1ln a bu
udu
a bu
u
b du
u a bu
+= −
++
+ 2 2
( ) ( )du
u a bu a a bu a
a bu
uC
+=
+−
++ 2 2
1 1ln ( )udu
a bu bbu a a bu
+= − + 2
322
( ) +
+−
+−+=
+Cbuaa
bua
abua
bbua
duuln2
1 2
32
2
( ) ( )
u du
a bu
u a bu
b n
na
b n
u du
a bu
n n n
+=
++
−+ +
−2
2 1
2
2 1
1
( )( )u a budub
bu a a bu C+ = − + + 2
153 22
32
Otras formas trigonométricas
3 1 12 2csc csc cot ln csc cotu du u u u u C= − + − + 2 1 1
2 4sen sen 2u du u u C= − +
1 21 1sen sen cos senn n n
n
nu du u u u du
n− −−= − +
2 1 12 4cos sen 2u du u u C= + +
cos cos sen cosnn
n nu du u un
nu du= +
−− − 1 1 21
+−= Cuuduu tantan 2
−− −−
= duuun
duu nnn 21 tantan1
1tan +−−= Cuuduu cotcot 2
cot cot cotn n nu dun
u u du=−−
−− − 1
11 2 ( )3 21
3sen 2 sen cosu du u u C= − + +
sec sec secn n nu dun
tanu un
nu du=
−+
−−
− − 1
1
2
12 2 ( )3 21
3cos 2 cos senu du u u C= + +
csc cot csc cscn n nu dun
u un
nu du=
−+
−−
− − 1
1
2
12 2 ++= Cuuduu coslntantan 2
213
( )( )
( )( )
sen sensen sen
2 2
a b u a b uau bu du C
a b a b
− += − +
− +
3 212cot cot ln senu du u u C= − − +
( )( )
( )( )cos cos
sen senau bu du
a b u
a b
a b u
a bC=
−−
+++
+2 2
3 1 12 2sec sec tan ln sec tanu du u u u u C= + + +
1cos sen senn n nu u du u u n u u du−= −
( )( )
( )( )sen cos
cos cosau bu du
a b u
a b
a b u
a bC= −
−−
−++
+2 2
sen sen cosu u du u u u C= − +
sen cosn mu u du= −
++
−+
− +−sen cos
sen cosn m
n mu u
n m
n
n mu u du
1 121
= −+
+−
+
+ −−sen cos
sen cosn m
n mu u
n m
m
n mu u du
1 121
cos cos senu u du u u u C= + + 1sen cos cosn n nu u du u u n u u du−= +
u u duu
uu u
Ccos cos− −=−
−−
+ 12
122 1
4
1
4 +−+= −− C
uu
uduuu
2tan
2
1tan 1
21
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55
u u dun
u uu du
unn n
n
sen sen ,− + −+
=+
−−
≠ − 1 1 1
1
2
1
1 11
1 1 2sen sen 1u du u u u C− −= + − +
u u dun
u uu du
unn n
n
cos cos ,− + −+
=+
+−
≠ − 1 1 1
1
2
1
1 11
1 1 2cos cos 1u du u u u C− −= − − +
−≠
+−
+=
+−+− 1,
1tan
1
1tan
2
1111 n
u
duuuu
nduuu
nnn
( ) ++−= −− Cuuuduu 22111 1lntantan
Formas exponenciales y logarítmicas
( )ue dua
au e Cau au= − + 112 ln lnu du u u u C= − +
u e dua
u en
au e dun au n au n au= − − 1 1
( )( )[ ]u u du
u
nn u Cn
n
ln ln=+
+ − ++
1
211 1
( )e bu due
a ba bu b bu Cau
au
sen sen cos=+
− + 2 2 1
u udu u C
lnln ln= +
( )e bu due
a ba bu b bu Cau
au
cos cos sen=+
+ + 2 2
Formas hiperbólicas
senh coshu du u C= + += Cuduu 21tanlnsech
cosh senhu du u C= + += Cuduu tanhsech 2
+= Cuduu coshlntanh +−= Cuduu cothcsch 2
coth ln senhu du u C= + +−= Cuduuu sechtanhsech
+= − Cutanduu senhsech 1 +−= Cuduuu cschcothcsch
Otras formas cuadráticas
22
22
2 22
1au u duu a
au ua a u
aC− =
−− +
−
+− cos
du
a u u
a u
aC
2 2
1
−=
−
+− cos
u au u duu au a
au ua a u
aC2
2 3
62
22
22
31− =
− −− +
−
+− cos
udu
au ua u u a
a u
aC
22
2
2 1
−= − − +
−
+− cos
22
2
22 1
a u u
udu a u u a
a u
aC
−= − +
−
+− cos
du
u a u u
a u u
a uC
2
22
2
−= −
−+
( ) +
−+−+−=
−− C
a
uaauau
au
uau
duu 12
2
2
2
cos2
32
2
3
2
2 2 22
2
21
a u u
udu
a u u
u
a u
aC
−= −
−−
−
+− cos
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56
Regla de Simpson Para curvas hasta de tercer grado
( )0 1 243i
hA y y y= + +
Para curvas de grado mayor que el tercero
( ) ( )0 2 4 2 1 3 12 ... 4 ...3 n n n
hA y y y y y y y y− −
= + + + + + + + + +
Integrales múltiples
( )( )
2
1
( ),
b f x
x a y f xF x y dydx
= = ( )( ) 2
1
( ),
b f x
x a y f xF x y dy dx
= ==
Donde ( )y f x= 1 e ( )y f x= 2 son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente, mientras que a y b son las abscisas de los puntos P y Q. Esta integral también se puede escribir así:
( )( )
2
1
( ),
d g y
y c x g yF x y dxdy
= = ( )( ) 2
1
( ),
d g y
y c x g yF x y dx dy
= ==
Dondex g y= 1( ) , x g y= 2 ( ) son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ, respectivamente, mientras que c y d son las ordenadas de H y G. Estas son las llamadas integrales dobles o integrales de área. Los anteriores conceptos se pueden ampliar para considerar integrales triples o de volumen así como integrales múltiples en más de tres dimensiones.
( ) ( )t
as s t r t dt′= =
Es la longitud de curva correspondiente al intervalo paramétrico a t, .
En parámetro arbitrario: En parámetro s:
Vector tangente unitario ( )
( )( )
r tt t
r t
′=
′
( ) ( )t s r s=
Vector normal principal ( ) ( ) ( )n t b t t t= ×
n sr s
r s( )
( )( )
=
Vector binormal ( )
( )( )
r r tb t
r r t
′ ′′×=′ ′′×
( ) ( )( )
( )
r s r sb s
r s
×=
Los vectores unitarios t n b, , forman una triada positiva ( )
b t n n b t t n b= = =x x x, ,
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57
Recta tangente en t0 Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica
( ) ( ) ( ) r r t r tλ λ= + ′0 0
x x
x
y y
y
z z
x
−′
= −′
= −′
0
0
0
0
0
0
Plano oscilador( )
t n, en t0 Ecuación vectorial Ecuación paramétrica
( )( ) ( ) ( )( ) r r t r t xr t− • ′ ′′ =0 0 0 0
x x y y z z
x y z
x y z
− − −′ ′ ′′′ ′′ ′′
=0 0 0
0 0 0
0 0 0
0
Curvatura y torsión
32 2
´
1 ( )
y
y
κ = +
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
κ τtr t r t
r tt
r t r t r t
r t r t=
′ ′′′
=′ ⋅ ′′ ′′′
′ ′′
x x
x3 2
( ) ( )s r sκ = d
T k Nds
=
d
N B kTds
τ= −
d
B Nds
τ= −
Plano normal Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica:
( )( ) ( ) r r t r t− ⋅ ′ =0 0 0 ( ) ( ) ( )′ − + ′ − + ′ − =x x x y y y z z z0 0 0 0 0 0 0
Plano rectificante ( ) t b, en t0
Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica:
( )( ) ( ) r r t n t− ⋅ =0 0 0
x x y y z z
x y z
y z y z z x z x x y x y
- - -0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0′ ′ ′′ ′′ − ′′ ′ ′ ′′ − ′′ ′ ′ ′′ − ′′ ′
=
Componentes tangencial y normal de la aceleración
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58
.T
aa Ta ν
ν
→ →→ →
→= =
N
x aa Na
ν
ν
→ →
→ →
→= =
Propiedades de la divergencia
( ) ( )
) div( ) div( ) div( )
) div( ) div( ) (grad )
) div( ) rot - rot
i F G F G
ii F F F
iii F G G F F G
φ φ φ+ = +
= + •
+ = • •
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59
Geometría
Áreas
Círculo =
Trapecio A=B b+
2 h
Triángulo A=ab bhsen α
2 2=
Volúmenes
Prismas V= SB h donde SB = área de la base
Pirámides V=S hB
3
donde SB = área de la base
Volumen = 43
3π r
Área de la superficie = 4 2π r
Volumen = πr h2
Área de la superficie lateral = 2π rh
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60
Volumen = 13
2πr h
Área de la superficie lateral = + =π πr r h r l2 2
Volumen ( )= + +13
2 2π h a a b b Área de la superficie lateral
( ) ( )( )
= + + −= +
ππ
a b h b a
a b l
2 2
Geometría analítica plana
Distancia entre dos puntos ( ) ( )x x y y2 1
2
2 1
2− + −
Pendiente de una recta 2 1
2 1
y ym
x x
−=
−
Ecuación de una recta 1 1m( ); 0y y x x Ax By C− = − + + =
Ángulo entre rectas 1 2
1 2
m mtan
1 m mθ −=
+
Circunferencia 2 2 2 2 2( ) ( ) ; 0x h y k r Ax Ay Dx Ey F− + − = + + + + = Parábola
Eje vertical 2 2( ) 4 ( ); 0x h p y k Ax Dx Ey F− = − + + + =
Eje horizontal 2 2( ) 4 ( ); 0
4 e 1
y k p x h By Dx Ey F
LR p
− = − + + + == =
Elipse
Eje focal horizontal ( ) ( )x h
a
y k
b
−+
−=
2
2
2
21 ; a> b
Eje focal vertical ( ) ( )x h
b
y k
a
−+
−=
2
2
2
21 ; a> b
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61
22 2 2
2 2
2; ; 1
0; 0
b ca b c LR e
a a
Ax Cy Dx Ey F AC
= + = = <
+ + + + = >
Hipérbola
Eje focal horizontal ( ) ( )x h
a
y k
b
−−
−=
2
2
2
21
Eje focal vertical ( ) ( )y k
a
x h
b
−−
−=
2
2
2
21
2
2 2 2
2 2
2; ; 1
0; 0
b cc a b LR e
a a
Ax Cy Dx Ey F AC
= + = = >
+ + + + = <
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62
Geometría analítica del espacio Considerando ( )P x y z1 1 1 1= , , y ( )P x y z2 2 2 2= , , Vector que une P1 y P2:
( ) ( ) ( ) ( )P P x x y y z z l m n1 2 2 1 2 1 2 1= − − − =, , , ,
Distancia entre dos puntos:
( ) ( ) ( )d x x y y z z l m n= − + − + − = + +2 1
2
2 1
2
2 1
2 2 2 2
Recta que pasa por dos puntos: Forma paramétrica:
x x l t= +1 y y mt= +1 z z nt= +1 Forma simétrica:
tx x
l= − 1 t
y y
m= − 1 t
z z
n= − 1
Cosenos directores:
cosα = − =x x
d
l
d2 1 cosβ = − =y y
d
m
d2 1 cos γ = − =z z
d
n
d2 1
donde α β γ, , denotan los ángulos que forman la línea que une los puntos P1 y P2 con la parte positiva de los ejes x, y, z, respectivamente. Ecuación del plano:
- Que pasa por un punto P1(x1, y1, z1) y tiene vector normal a a a a→
= 1 2 3, , :
( ) ( ) ( )a x x a y y a z z1 1 2 1 3 1 0− + − + − =
-Forma general:
Ax By Cz D+ + + = 0
cos cos cos2 2 2 1α β γ+ + = o l m n2 2 2 1+ + =
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63
Distancia del punto P0(x0, y0, z0) al plano 0Ax By Cz D+ + + =
dAx By Cz D
A B C=
±+ + +
+ +0 0 0
2 2 2
en la cual el signo debe escogerse de tal manera que la distancia no resulte negativa. Coordenadas cilíndricas:
x r
y r
z z
===
cos
sen
θθ ( )
==
+=−
zz
yxr
xy1
22
tanθ
Coordenadas esféricas:
===
φρθφρθφρ
cos
cos
z
senseny
senx
( )2 2 2
1
1
2 2 2
tan
cos
yx
x y z
z
x y z
ρ
θ
ϕ
−
−
= + + =
= + +
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64
Definiciones geométricas importantes
Ángulo entre dos rectas en el plano 1 2
1 2
tan1
m m
m mα −=
+
Producto escalar para a y b que pertenecen a R3 a b a b a b a b• = + +1 1 2 2 3 3
Producto vectorial a
i j k
a a a
b b b
x b = 1 2 3
1 2 3
Producto mixto [ ]a b c
a a a
b b b
c c c
=1 2 3
1 2 3
1 2 3
Ángulo entre dos vectores cosθ =a • b
a b ; senθ =
a x b
a b
Ecuación vectorial de la recta p p= o + tu
Ecuaciones paramétricas de la recta ( )x x at
y y bt
z z ct
u a b co
o
o
= += += +
= , ,
Ecuaciones cartesianas de la recta, en forma simétrica
x x
a
y y
b
z z
co o o−
=−
=−
u a= ( , b, c)
Distancia de un punto Q a una recta dP Qo
= x u
u
Distancia entre dos rectas ( )1 2 1 2
1 2
u x u
PP u x ud
•=
Ecuación vectorial de un plano p p ru svo= + +
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65
Ecuaciones paramétricas de un plano
x x ru sv
y y ru sv
z z ru sv
o x x
o y y
o z z
= + += + += + +
Ecuación cartesiana de un plano en forma general
0Ax By Cz D+ + + =
N A= ( , B, C)
Ecuación normal de un plano ( )PoP N 0 ; N A ,B, C• = =
Distancia de un punto Q a un plano dPoQ N
N=
•
Ángulo entre una recta y un plano N
senu N
uα •=
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66
Trigonometría Medida de ángulos planos Representación: La medida de un ángulo puede expresarse en unidades comunes (grados) o en unidades de arco (radianes). Se representa a veces, respectivamente, por α y α . Unidades comunes (sexagesimales): grado (°), minuto ('), segundo ("). 1° = 60'; 1' = 60"
Unidad de arco: 1 radián (rad) es el ángulo central de una circunferencia de radio unitario que intercepta un arco también unitario. Por lo tanto,
11 1(número adimensional)
1= =m
radm
Con frecuencia no se indica específicamente la unidad, como en la siguiente tabla.
α 0° 30° 45° 60° 75° 90° 180° 270° 360°
α 0 / 6π / 4π / 3π 5 / 12π / 2π π 3 / 2π 2π 0 0.52 0.78 1.05 1.31 1.57 3.14 4.71 6.28
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67
Equivalencias. Por definición:
180360 2 rad, 1 rad = 57.2967
1 rad = 0.017453 rad180
ˆ =180 57.2967
longitud de arcoˆ =
radio
°° = = °
° =
=
= arc
ππ
π
π αα α
α α
La longitud de un arco (b) es el producto del radio r y el ángulo central α (en radianes) de la circunferencia:
b = rα Funciones trigonométricas En un triángulo rectángulo:
cateto opuestosen
hipotenusa
cateto adyacentecos
hipotenusa
cateto opuestotan
cateto adyacente
a
c
b
c
a
b
α
α
α
= =
= =
= =
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68
Operaciones con funciones trigonométricas
sen cos2 2 1A A+ = sen cos2 12
12 2A A= −
sec tan2 2 1A A− = cos cos2 12
12 2A A= +
csc cot2 2 1A A− = sen sen cos2 2A A A=
tansen
cosA
A
A= cos cos sen2 2 2A A A= −
cotcos
senA
A
A= ( )sen sen cos cos senA B A B A B± = ±
sen cscA A=1 ( )cos cos cos sen senA B A B A B± =
cos secA A=1 ( )tan A BtanA tanB
tanAtanB± =
±1
tan cotA A=1 sencosA A
2
1
2= ± −
( )sen sen− = −A A cos
cosA A
2
1
2= ± +
( )cos cos− =A A ( ) ( )[ ]sen sen cos cosA B A B A B= − − +12
( ) AA tantan −=− ( ) ( )[ ]sen cos sen senA B A B A B= − + +12
( ) ( )[ ]cos cos cos cosA B A B A B= − + +12
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69
Las leyes siguientes son válidas para cualquier triángulo plano ABC de lados a, b, c y de ángulos A, B, C. Ley de los senos
a
A
b
B
c
Csen sen sen= =
Ley de los cosenos
c a b a b C2 2 2 2= + − cos
Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar Ley de las tangentes
( )( )
a b
a b
tan A B
tan A B
+−
=+−
1212
Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar Teorema de Pitágoras
2 2 2a b c+ = Valores de las funciones de ángulos importantes
θ sen θ cos θ tan θ cot θ sec θ csc θ
0° 0 1 0 ∞ 1 ∞
30° 2
1 2
3 3
3 3 3
32 2
45° 2
2 2
2 1 1 2 2
60° 2
3 2
1 3 3
3 2 3
32
90° 1 0 ∞ 0 ∞ 1
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70
Relaciones entre ángulo simple, ángulo doble y mitad de ángulo:
sinα = cosα = tanα = cotα = cos(90 )α° − ° − αs n(90 )e cot(90 )α° − tan(90 )α° −
21 cos α− − α21 s ne 1
cotα
1tanα
⋅2s n cos2 2
eα α
−2 2cos s n2 2
eα α
s ncose α
α
αα
coss ne
2
tan
1 tan
αα+
2
cot
1 cot
αα+
− 2
s n
1 s n
e
e
αα
2
cos
1 cos
αα−
2cos cos2α α− − 21 2 s n2
eα
2
11
cos α− −
2
11
s ne α
2
1
1 cot α+
2
1
1 tan α+
2
2 tan2
1 tan2
α
α+
2
2
1 tan2
1 tan2
α
α
−
+
2
2 tan2
1 tan2
α
α−
2cot 12
2 cot2
α
α
−
=s n2e α cos2α = tan2α = cot2α =
⋅2 s n cose α α
−2 2cos s neα α 2
2 tan
1 tan
αα−
2cot 1
2cotα
α−
22 cos 1α − 2cot tanα α−
1 1
cot tan2 2
α α− − 21 2sen α
=s n2
eα
cos2α = tan
2α = cot
2α =
1 cos2
α−
1 cos2
α+
+s n
1 cose α
α
−s n
1 cose α
α
−1 coss ne
αα
+1 coss ne
αα
1 cos1 cos
αα
−+
1 cos1 cos
αα
+−
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71
Números complejos Forma trigonométrica o polar de un número complejo
Se tiene que ( , )r z x y= = y que 1arg( ) tan
yz
x− θ = =
Luego:
sin sin
cos cos
yy r
rx
x rr
θ = = θ θ = = θ
Por lo tanto:
( , ) cos sin (cos sin )z x y x yi r i r r i= = + = θ + θ = θ + θ Forma exponencial de un número complejo Sea (cos sin )z r i= θ + θ un número complejo donde r es su módulo y θ su argumento. Entonces mediante el empleo de la fórmula de Euler se obtiene:
(cos sin ) iz r i r e θ= θ + θ = Teorema de De Moivre Siendo p un número real cualquiera, el teorema de De Moivre establece que
r cosθ + isenθ( )[ ]p= rp cos pθ + isenpθ( )
Sea n cualquier entero positivo y p n= 1 , entonces
r cosθ + isenθ( )[ ]1n = r
1n cosθ +2kπ
n + isenθ +2kπn[ ]
donde k es un entero positivo. De aquí se pueden obtener las n raíces n-ésimas distintas de un número complejo haciendo 1,,2,1,0 −= nk
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72
Análisis vectorial Magnitud, dirección y componentes de vectores. Vector: Representación de una cantidad física con magnitud y dirección.
Coordenadas del punto inicial del vector
Coordenadas del punto final del vector
Vectores unitarios sobre los ejes Componentes escalares
Componentes vectoriales
Magnitud de un vector: (o bien, )
( siempre )
Cosenos directores de un vector:
son los ángulos entre el vector y los ejes
, ,
Cálculo de las componentes. Si se conocen ,
A 1 1 1: , ,a x y z
B 2 2 2: , ,a x y z
, , : , ,OX OY OZ i j k
, , 0x y za a a ><
2 1
2 1
2 1
x
y
z
a x x
a y y
a z z
= −= −= −
x y z
x y z
a a a a
a a i a j a k
= + += − +
a
a
2 2 2| | x y za a a a= + +| |a
0≥
cos , cos , cosα β γ
, , α β γ a
, , .OX OY OZ ( ), , 0 180 .α β γ = ° °
cos| |xa
aα = cos
| |ya
aβ = cos
| |za
aγ =
| |, , , a α β γ
| | cos ;xa a α= | | cos ;ya a β=
| | cosza a γ=
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73
Observación: Operaciones vectoriales como la determinación de magnitudes, cosenos directores, sumas y productos se llevan a cabo con las componentes de los vectores a lo largo de los ejes
Adición y sustracción de vectores
Suma vectorial de dos vectores libres y
Diferencia vectorial de dos vectores libres y
Valores importantes
para 2
vectores
0°; 360° 90° 180° 270°
0
Suma vectorial de dos vectores libres y , , etc.:
, , .OX OY OZ
s
ab
2 2 2
, ,
| |
x y z
x x x y y y z z z
x y z
s a b s i s j s k
s a b s a b s a b
s s s s
= + = + += + = + = +
= + +
s
ab
2 2 2
( )
, ,
| |
x x x y y y z z z
x y z
s a b
s a b s a b s a b
s s s s
= + −= − = − = −
= + +
| |s
ϕ
| | | |a b≠
| | | |a b+ 2 2| | | |a b+
| | | |a b− 2 2| | | |a b+
| | | |a b= 2 | |a
| | 2a
| | 2a
s
abc−
2 2 2
, ,
| |
x y z
x x x x y y y y z z z z
x y z
s a b c s i s j s k
s a b c s a b c s a b c
s s s s
= + − + = + += + − + = + − + = + − +
= + +
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74
Producto de un escalar por un vector Escalar: Magnitud física sin dirección. El producto escalar con el vector da el vector
Si entonces por lo que
Si entonces por lo que
Productos de dos vectores libres
El producto escalar de dos vectores libres y da el escalar Símbolo del producto escalar: punto “ˑ”
Valores importantes
0°; 360° 90° 180° 270°
0 0
Ejemplo: Trabajo de una fuerza en el desplazamiento
Fuerza Desplazamiento
k a
c
; ; ; | |x x y y z z
c k a
c k a c k a c k a c k a
= ⋅= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅
0,k > ,c a↑↑
0,k < ,c a↑↓
ab
k
1
cos | | | | cos
cos| | | |
x x y y z z
x x y y z z
k a b b a a b a b
k a b a b a b
a b a b a b
a b
ϕ ϕ
ϕ −
= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅= ⋅ + ⋅ + ⋅
⋅ + ⋅ + ⋅=
⋅
ϕ| | | | cosa b ϕ⋅
| || |a b+
| || |a b−
W Fs
W = × = F s⋅
cosW F s ϕ=
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75
El producto vectorial de dos vectores libres y da el vector Símbolo del producto vectorial: cruz “x”
, , forman una triada derecha
b
Φ
a
c<
(c = 0)>
Φ 180°<Φ<360°
0°<Φ<180°
a
b c
Valores importantes
0°; 360° 90° 180° 270°
0 0
A B• = ≤ ≤A B cosθ θ π0
donde θ es el ángulo formado por A y B
A B• = + +A B A B A B1 1 2 2 3 3 donde:
A i j k= + +A A A1 2 3
B i j k= + +∧ ∧ ∧
B B B1 2 3 Son resultados fundamentales:
Producto cruz: 1 2 3
1 2 3
i j k
A B A A A
B B B
∧ ∧ ∧
× =
( ) ( ) ( )kji ˆˆˆ122131132332 BABABABABABA −+−+−=
Magnitud del producto cruz sen θ× =A B A B
El operador nabla se define así:
ab
c
( )| | sin | || | sin
y
c a b b a
c ab a b
c a c b
ϕ ϕ= × = − ×
= =⊥ ⊥
abc
2 2 2| |
x y z z y
y z x x z
z x y y x
x y z
c a b a b
c a b a b
c a b a b
c c c c
= −= −= −
= + +
ϕ| | | | sina b ϕ⋅
| || |a b+
| || |a b−
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76
x y z
∂ ∂ ∂∇ = + +∂ ∂ ∂
i j k
En las fórmulas siguientes se asume que ( , , )U U x y z= y ( , , )A A x y z= tienen derivadas parciales.
Gradiente de U grad( )U U U
U U Ux y z x y z
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ∇ = + + = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ i j k i j k
Divergencia de A ( ) 31 21 2 3div( )
AA AA A A A A
x y z x y z
∂∂ ∂∂ ∂ ∂= ∇ • = + + • + + = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ i j k i j k
Rotacional de A ( )1 2 3
1 2 3
3 32 1 2 1
rotA A A A Ax y z x y z
A A A
A AA A A A
y z z x x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ∇ × = + + × + + = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
i j k
i j k i j k
i j k
Laplaciano de U 2 2 2
22 2 2
( )U U U
U Ux y z
∂ ∂ ∂∇ = ∇ • ∇ = + +∂ ∂ ∂
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77
Función de fracciones racionales Descomposición
20 1 2
20 1 2
...( )( ) , donde y on enteros y
( ) ...
mm
nn
a a x a x a xP xy x n m s n m
Q x b b x b x b x
+ + + += = >+ + + +
Los coeficientes , pueden ser reales o complejos. Si son las raíces de , se obtiene la
forma factorizada:
1 21 2
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ...( )k k kqq
P x P xy x
Q x x n x n x nα= =
− − −
En esta expresión pueden representarse raíces de multiplicidad 1 2, , ..., qk k k de ( )Q x , que pueden
ser reales o complejas; α es un factor constante. Descomposición de fracciones parciales Para lograr un manejo más sencillo de ( )y x es conveniente descomponerla en fracciones parciales:
1 111 122 1
1 1 1
2 221 222 2
2 2 2
1 2
2
( )( ) ...
( ) ( ) ( )
... ...( ) ( )
...( ) ( )
kk
kk
q q qkq
kqq q q
AA AP xy x
Q x x n x n x n
AA A
x n x n x n
A A A
x n x n x n
= = + + +− − −
+ + + +− − −
+ + +− − −
Si los coeficientes de ( )Q x son reales, aparecen raíces complejas por parejas (raíces complejas conjugadas). Para efectuar la descomposición se agrupan estas parejas en fracciones parciales
reales. Si en 2 1'1, b n n= (compleja conjugada de 1n ) y debido a su aparición por parejas 1 2 3k k k= = ,
entonces las fracciones parciales de ' 2b , con las constantes 11 2 2,..., kA A pueden agruparse en las
fracciones parciales:
1 111 11 12 122 2 2 2
...( ) ( )
k kk
B x CB x C B x C
x ax b x ax b x ax b
++ ++ + ++ + + + + +
aγ bμ nδ ( )Q x
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78
Series de Fourier
Toda función periódica f(x), que puede descomponerse en el intervalo de periodicidad xπ π− ≤ ≤ en un número finito de intervalos continuos, podrá descomponerse en ese intervalo en una serie convergente de la forma:
( ) ( ) ( )0
1
cos s n2
∞
=
= + + n nn
af x a nx b e nx
Los coeficientes de cada término se forman como sigue:
( ) ( )1coska f x kx dx
π
ππ −
= ( ) ( )1s n
−
= π
ππkb f x e kx dx
Funciones pares: ( ) ( )f x f x= −
( ) ( )0
2coska f x kx dx
π
π= Para 0,1, 2, ,k =
0kb =
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79
Funciones impares: ( ) ( )f x f x= − −
0ka =
( ) ( )0
2s n=
π
πkb f x e kx dx Para
Tablas de desarrollo en series de Fourier
y a= para 0 x π< <
y a= − para π π< < 2x
= + + + 4 n(3 ) n(5 )
s n ...3 5
a se x se xy e x
π
y a= para xα π α< < −
y a= − para 2xπ α π α+ < < −
= ++ +
4 1cos s n cos(3 )s n(3 )
31
cos(5 )s n(5 ) ...5
ay e x e x
e x
α απ
α
y a= para 2xα π α< < −
( )2y f xπ= +
− − −= − +− − +
2 s n( ) s n2( )cos cos2
2 1 3
s n3( ) cos3 ...
3
a e ey x x
ex
π α π α π απ
π α
y
xo π 2π 3π
a
α
/y ax b= para 0 x b≤ ≤
y a= para b x bπ≤ ≤ −
( ) /y a x bπ= − para b xπ π− ≤ ≤
0,1, 2, ,k =
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80
= ++ +
2 2
2
4 1 1s n s n s n(3 )s n(3 )
1 31
s n(5 )s n(5 ) ...5
ay e b e x e b e x
b
e b e x
π
2ax
yπ
= para 0 2x π< <
( )2y f xπ= +
= − + + + s n s n2 s n 3
...2 1 2 3a a e x e x e x
yπ
2 /y ax π= para 0 / 2x π≤ ≤
( )2 /y a xπ π= − para / 2 xπ π≤ ≤
( )y f xπ= − +
= − + − 2 2 2
8 s n 3 s n 5s n ...
3 5e x e x
y a e xπ
/y ax π= para 0 x π≤ ≤
( )2 /y a xπ π= − para 2xπ π< <
( )2y f xπ= +
2 2 2 2
4 cos cos 3 cos 5...
2 1 3 5
a a x x xy
π
= − + + +
= s ny a e x para 0 x π≤ ≤
= − s ny a e x para 2xπ π≤ ≤
( )y f xπ= +
2 4 cos 2 cos 4 cos 6...
1 3 3 5 5 7a a x x x
yπ π
= − + + + ⋅ ⋅ ⋅
0y = para 0 / 2x π≤ ≤
= −s n( /2)y a e x π para / 2 3 / 2xπ π≤ ≤
( )2y f xπ= +
2 2 2
2 1 cos2 cos 4 cos 6cos . ...
2 4 2 1 4 17 6 1
a x x xy x
ππ
= − + − + − − − −
2y x= para xπ π≤ ≤ −
( ) ( )2y f x f xπ= − = +
2
2 2 2
cos cos 2 cos 34 ...
3 1 2 3
x x xy
π = − − + −
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81
axy
π= para 0 x π< <
( )2y f xπ= +
= − + + + + − + −
2 2 2 2
2 cos cos2 cos 3...
4 1 2 3s n s n2 s n 3
...1 2 3
a a x x xy
a e x e x e xπ
π
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82
Transformada de Fourier Definiciones:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
jwt
1 jwt
F s t S w s t e dt; j 1
1F S w s t S w e dw; j 1
2
∞−
−∞∞
−
−∞
= = = −
= = = −π
Reglas de operación
Desplazamiento en tiempo ( ) ( ) jwtF s t S w e−− τ =
Convolución
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 2 1
1 2 1 2
1 2 1 2
s t s t s s t d s * s t d
F s t s t S w * S w
F s t S w
1 wF s at S , a 0
a a
F s t s t S w S w
∞ ∞
−∞ −∞⋅ = τ ⋅ − τ τ = τ − τ τ
⋅ =
=
= >
+ = +
Enseguida se indican las densidades espectrales calculadas para algunas importantes funciones del tiempo.
Función tiempo ( ) Densidad espectral ( ) Función rectángulo ∙ ( ) ( ) = 2 ( )/
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83
Función tiempo ( ) Densidad espectral ( ) Función rectángulo con cambio de signo
( ) = − 2 22
( ) = 4 (2 )
( ) = ( ) = ( ) = ( ) (Función rectángulo)
Función triángulo ( )
( ) = 22
Rectángulo modulado
∙ ( ) ( ) = =
( ) = ( + )+ + ( − )−
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84
Función tiempo ( ) Densidad espectral ( ) Impulso de Gauss
( ) = √ ∙
Impulso coseno ( ) =
( ) = 41 − 2
Impulso cos2 ( ) =
( ) = 4 44 11 − 4
Impulso exponencial
( ) = +
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85
Transformada de Laplace Definiciones:
Reglas de operación Linealidad
Teorema de traslación
Teorema de convolución
Cambio de variable
Diferenciación
Integración
0
-1
( ) ( ) ( ) ;
1 ( ) ( ) ( ) ; 1
2
st
st
L f t F s f t e dt
L F s f t F s e ds jjπ
∞−
+∞
−∞
= =
= = = −
1 2 1 2
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
L f t f t F s F s
L c f t cF s
+ = +⋅ =
( ) ( )asL f t a e F s−⋅ − =
1 2 1 2 2 10 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t
f t f t f f t d f f t dτ τ τ τ τ τ∗ = ⋅ − = ⋅ −
1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( )L f t f t F s F s∗ = ∗1 ( ) ( )ta a
L f F a s= ⋅
2
1( ) ( ) 1
0
'( ) ( ) (0)
''( ) ( ) (0) '(0)
( ) ( ) (0)n
n n k n k
k
L f t sF s f
L f t s F s sf f
L f t s F s f s−
− −
=
= −
= − −
= − 1 ( ) ( )s
L f t dt F s⋅ =
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86
Tabla de transformadas de Laplace: f(t) L f(t)=F(s)
1. 1 1
s
2. =, 1, 2, 3,...nt n n
sn
!+1
3. −1/2t πs
4. ±ate 1
s a
5. senkt k
s k2 2+
6. coskt s
s k2 2+
7. senhkt k
s k2 2−
8. coshkt s
s k2 2−
9. ( )ate f t −( )F s a
10. μ − ≥( ), 0t a a e
s
as−
11. − − ≥( ) ( ), 0f t a U t a a − ( )ase F s
12. =( ), 1, 2, 3...nt f t n )()1( sFds
dn
nn−
13. =( ), 1, 2, 3...nf t n − −− − −1 ( 1)( ) (0) ... (0)n n ns F s s f f
14. ( ) ( ) τττ dtgf
t−
0 ( ) ( )F s G s
15. δ − ≥
0 0( ), 0t t t 0ste−
16. =, 1, 2, 3...n att e n n
s a n
!
( )− +1
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87
17. senate kt k
s a k( )− +2 2
18. cosate kt s a
s a k
−− +( )2 2
19. sent kt 22 2 2
ks
s k( )+
20. cost kt s k
s k
2 2
2 2 2
−+( )
21. −sen coskt kt kt 2 3
2 2 2
k
s k( )+
22. +sen coskt kt kt
( )222
22
ks
ks
+
23. −senh senkt kt 2 3
4 4
k
s k−
24. −cosh coskt kt 2 2
4 4
k s
s k−
25. −1 coskt
( )k
s s k
2
2 2+
26. − senkt kt ( )
k
s k
3
2 2 s2 +
27.
)bab(a
bsenatasenbt22 −
− ( )( )
12 2 2 2s a s b+ +
28.
22
coscos
ba
atbt
−−
( )( )s
s a s b2 2 2 2+ +
29. 1
30.
31.
( )tδ
1
( 1)!
nt
n
−
−1ns
exp( ) 1at −
( )a
s s a−
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88
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
1 exp( / )T
t T− 11 Ts+
12
sin( )k
kt2 2 2( )
s
s k+
12
2
sin( )
cos( )kt
kt
kt
++
2
2 2 2( )
s
s k+
2
cos( )
sin( )k
kt
t kt
−−
3
2 2 2( )
s
s k+
,bt ate e
b ab a
− ≠−
1( )( )s a s b− −
1 sin( )atke kt− ⋅
2 2
1
( )s a k+ +
1
tπ1
s
2t
π1
s s
32
1
2 tπ−
⋅s
52
3
4 tπ ⋅s s
( )1 at bte et
− −− lns b
s a
++
1sin( )a tt
⋅1tan ( )a s−
2
4
2
at
ae
t tπ
−
; 0a se a− >
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89
45.
46. Función de Bessel
erfc2
a
t
1; 0a se a
s− ≥
( )oJ kt
2 2
1
s k+
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90
Probabilidad y estadística Parámetro Estimador Intervalo de confianza puntual (1-α) 100% Media μ
(varianza σ2 conocida)
Varianza σ2 (de una distribución normal)
Desviación estándar de distribución de medias
x n
σσ =
Valor promedio (media)
n
ii 1x
xn==
Media de medias
m
jj 1x
xn==
Intervalo o rango de valores
= −m ax m in
R V V
Media de rangos
m
jj 1R
Rm==
Xn
Xii
n=
=
1
1X z
nX z
n− ≤ ≤ +α α
σμ
σ
2 2
Sn
X Xn ii
n
−=
=−
−12 2
1
1
1( )
( ) ( )n S n Sn n−≤ ≤
−− −
−
1 112
2
2 12
12
χσ
χα α -1
2
, n-1
2
, n
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91
Hipótesis nula Estadístico de prueba
H0 : μ = μ0, σ2 conocida Z0 =
H0 : μ = μ0, σ2 desconocida t0
σ = σ2 20 0
H :
Regresión lineal
β ββ β
β
= =
=
=
=
= += −
−
= −
0 1
0 1
1 1
11 2
12
1
ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ
ˆ
n n
i ini i
i ii
n
ini
ii
y x
y x
y x
y xn
x
xn
Coeficiente de correlación de la muestra =
= =
−=
− −
11/2
2 2
1 1
( )
( ) ( )
n
i ii
n n
i ii i
y x xr
x x y y
Permutaciones =−!
( )!n
r
nP
n r
Combinaciones ( )
= −
!
! !
n nr r n r
Permutaciones con objetos similares =1 2, ,...,
1 2
!! !... !k
n
n n n
k
nP
n n n
X
n
− μσ
0
=−
−
XS
nn
μ0
1
( )χ
σ02 1
21
0
2=
− −n Sn
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92
Probabilidad condicional ∩= ( )
( )( )
P A BP A B
P B
Teorema de Bayes
=
=
1
( ) ( )( )
( ) ( )
k k
k N
i ii
P B P A BP B A
P B P A B
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93
Tabla de distribución de probabilidad normal estándar
z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0 0.5 0.504 0.508 0.512 0.516 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359
0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.591 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.648 0.6517 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.67 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 0.6915 0.695 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.719 0.7224 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.7 0.758 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.8 0.7881 0.791 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.834 0.8365 0.8389 1 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621
1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.877 0.879 0.881 0.883 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.898 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.937 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.975 0.9756 0.9761 0.9767 2 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817
2.1 0.9821 0.9826 0.983 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.985 0.9854 0.9857 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.989 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.4 0.9918 0.992 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.5 0.9938 0.994 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.996 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.997 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.998 0.9981 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.999 0.999
3.1 0.999 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993 3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995 3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997 3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998 3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 3.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.8 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
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94
Modelos probabilísticos comunes
Nombre Distribución Rango Media Varianza Función generatriz de momentos
Binomial n
x p qx n- x
x = 0,1, . . n np npq (q + p e )nθ
Geométrica
p qx-1 x = 1,2, . . .
1
p
q
p2
p e
1 - q e
θ
θ
De Pascal (Binomial negativa) qp
1r
1x rxr −
−−
x = r, r + 1, .r
p
rq
p2 pe
qe
rθ
θ1 −
De Poisson ( t ) e
x
x - tλ λ
! x = 0,1,2, . . λt λt λ θt(e -1)e
Uniforme 1
b - a a x b≤ ≤
a + b
2
(b - a )
12
2
b ae - e(b - a)
θ θ
θ
Exponencial
λ λ- xe x 0≥ 1
λ
12λ
λ
λ θ -
Normal
1
2 e
-1
2
2x-
πσ
μσ
- < x <∞ ∞ μ 2σ μ θ σ θ+
1
22 2
e
Ji-cuadrada x > 0 ν 2ν (1 - 2 )
vθ −
2
t de Student - < x <∞ ∞ 0
νν
ν- 2
, > 2
F (de Fisher)
0 < x < ∞
2
2
2
- 2 ,
> 2
νν
ν
21 22
21 2 2
2
2 ( + - 2)
( - 2 ( - 4))
> 4
ν ν νν ν ν
ν
Erlang λ λ λ( t ) e
(r - 1)!
r -1 - t
t > 0 r
λ
r2λ
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95
Física Mecánica Centroides Arco de circunferencia
( )( )( )
180απ α
= =
r sen rsy
b
Triángulo
1
3=y h
Sector de círculo
( )( )( )
2 180 2
33
απ α
= =
r sen rsy
b Trapecio
2
3
+= ⋅+
h a by
a b Segmento de corona circular
3 3
2 2
2
3
αα
−= ⋅ ⋅−
R r seny
R r
3 3
2 2
2
3
−= ⋅ ⋅−
R r sy
R r b
Segmento de círculo
3
12= s
yA
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96
Estática Fuerza aplicada paralelamente al plano de deslizamiento Fricción estática
φ
φ φ
= − == −< <
1 1 1
1 0
tan
(variable)
fF F G
N G
C
Valor límite
φ
μ φ μφ φ
= − == −= >= >
0 0 0
0 0
0
tan
tan
constante
fF F G
N G
Fricción dinámica
φ
μ φ μφ φ
= − == −= >= >
0
0
tan
tan
constante
fF F G
N G
Fuerza aplicada oblicuamente respecto al plano de deslizamiento
( )F = Gsen -
Gsen
sen -0
0
0
0
μα μ α
φ
α φcos=
Rozamiento en un plano inclinado
α φ μ= =tan tan Fricción de chumaceras De carga radial
μ=1 rM rF
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97
De carga axial
μ+
= 1 2
2f a
r rM F
Fricción rodante Rodamiento de un cilindro macizo
F = f
rN
f
rG≅
Condición de rodamiento
μ<0f
F N
Movimiento de una placa sobre rodillos
( )F =
f f G nf G
2r1 2 1 2 2+ +
Si = =1 2f f f y <
2 1nG G
F = f
rG1
Fricción en cables Fuerza de tracción para subir la carga G
μ μ= = −1
, ( 1)a a
fF e G F e G
Fuerza de tracción para bajar la carga G
μ μ− −= = −2
, (1 )a a
fF e G F e G
Transmisión de banda o correa
= = y ip p
MF F F
r
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98
En movimiento
FF
e0
p
a=−μ 1
F1 =−
Fe
ep
a
a
μ
μ 1
F Fe
ea p
a
a=+−
μ
μ
1
1 En reposo
( )( )F F
F e
e
aa
a0 1
1
2 1= =
+
−
μ
μ
F Fe
ea p
a
a=+−
μ
μ
1
1
Cinemática
θ
θ
ρθ
θ θ θ
= + + = =
= + =
= += − + +
2
2
ˆ ˆ
ˆ ˆ( ) ( 2 )
t n t
r
r
dr dvF xi yj zk v a
dt dtdv v
a u u v vudt
v ru r u
a r r u r r u
Movimiento en una dimensión
( )
( )
== +
= +
= +
= + +
= + +
= + −
0
0
0
0 0
20 0
2 20 0
12
12
12
2 ( )
x vt
x x vt
v v v
v v at
x x v v t
x x v t at
v v a x x
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99
Dinámica
W: peso
Características cinemáticas de puntos y segmentos rectilíneos Conceptos lineales y angulares1 Se tiene que son conceptos lineales:
r = posición, v= velocidad, a = aceleración, t = tiempo Se tiene que son conceptos angulares:
θ = posición, ω= velocidad,α= aceleración, t = tiempo Expresión que relaciona ambos conceptos:
v= ωx r Conceptos correspondientes a puntos y partículas en movimiento
Concepto Símbolo(s) más
común(es) Relación con otra(s)
función(es) Vector de posición (lineal)
Velocidad (lineal) , =
Aceleración (lineal) , = =
1 Por simplicidad se omite la dependencia del tiempo en las funciones. Por ejemplo: v(t) ≡ V.
ag
WamF
==
F Gm M
r= 2
F m dV dt= /
ABA
B XXX −=
ABA
B VVV −=
ABA
B aaa −=
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100
Conceptos correspondientes a segmentos rectilíneos que modifican su dirección durante el movimiento, y de cuerpos rígidos que contengan ese tipo de segmentos
Concepto Símbolo(s) más
común(es) Relación con otra(s)
función(es) Vector de posición (angular) θ
Velocidad (angular) , =
Aceleración (angular) , = =
Componentes cartesianas de los vectores de posición, velocidad y aceleración lineales para movimientos en el espacio, en un plano y rectilíneos.
= = + + = = + + = = + + ( ) , , r r t xi yj zk v r xi yj zk a r xi yj zk Entonces, si P se mueve en el plano xy tenemos:
= = + = + = + , , r r xi yj v xi yj a xi yj Si P realiza un movimiento rectilíneo cualquiera en el eje x se tienen:
= = = , , r xi v xi a xi Relaciones entre conceptos lineales y angulares.
ω ω α= × × + ×( )a r r Cinemática del cuerpo rígido = + = + + ( ) Ecuaciones aplicables a cualquier tipo de movimiento del cuerpo rígido. Centro y eje instantáneo de rotación.
ω= × Γv donde Γ es un vector perpendicular al eje instantáneo de rotación. Primeros momentos de la masa de un sistema de partículas. Con respecto a los planos xy, xz, yz tenemos:
= = =
= = = 1 1 1
, , n n n
xy i i xz i i yz i ii i i
M m z M m y M m x
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101
Primeros momentos de la masa de un cuerpo rígido.
= = = , , xy xz yz
V V V
M zdM M ydM M xdM
Ecuaciones escalares de centro de masa.
= = =
= = = 1 1 1
, , n n n
Xc i i Yc i i Zc i ii i i
M m x M m y M m z
Para cuerpos rígidos tenemos:
= = = , , Xc Yc Zc
V V V
M xdM M ydM M zdM
Momentos de inercia de la masa de un cuerpo rígido.
= + = + = + xx xz xy yy yz xy zz yz xzI MM MM I MM MM I MM MM
Dinámica de la partícula Ecuaciones de movimiento
=F ma
= Fam
Trabajo y energía
= •dT p dr Energía cinética y su relación con el trabajo realizado por la fuerza resultante que actúa sobre una partícula
= 212
EC mv
Impulso y cantidad de movimiento lineales
= −1
2 12
( ) ( )dt mv mvF
Ecuación del impulso y la cantidad de movimiento lineales Ecuación diferencial de movimiento para sistemas de partículas
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102
=
= 11
n
ii
m aF
Ecuación fundamental para el estudio de la dinámica del cuerpo rígido.
=c
F Ma
= =
= −
2
1 11 2 1
n n
i i i ii i
dt m v m vF
Ecuación de impulso y cantidad de movimiento lineales para sistemas de partículas Principio de la conservación de la cantidad de movimiento lineal para sistemas de partículas.
01121
=
−
==
n
iiii
n
ii mm νν
Ecuación para obtener la cantidad de movimiento angular de un cuerpo rígido.
ω=CC CCH I
Ecuación para obtener la suma de los momentos de los elementos mecánicos que actúan sobre un cuerpo rígido.
α=CC CCM I
Momento de un sistema de fuerzas y/o pares que actúan sobre un cuerpo, con respecto el eje CC.
ρ=
= 1
( * )n
CC i ii
M F
Primera forma de la ecuación del trabajo y la energía para un cuerpo rígido que realiza un movimiento plano general.
2CC
2
1
2
11
2
1
1
2I
2
1
2
1FrF V ωθρ +=+•+•
==c
Mdddn
jji
n
iiC jQ
Ecuación del impulso y la cantidad de movimiento angulares.
( ) −2
1 12 = M ωωCCCC Idt
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103
Modelo matemático correspondiente a las vibraciones libres con un grado de libertad. + = 0 con = Modelo matemático correspondiente a las vibraciones forzadas con un grado de libertad. + = con =
Trabajo, energía y conservación de la energía = . = . = = . = . P: potencia = η: eficiencia = Δ = − = K: energía cinética W = −Δν = ν − ν V: energía potencial ( ) = = 12
Impulso e ímpetu
: ímpetu
: impulsof i
I Fdt
I p
p mv p
p p p Fdt p
=
= Δ=
Δ = − = Δ
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104
Electricidad y magnetismo
1 2 1 21 22 2
0
= : flujo eléctrico
: potencial ele
E E
q q q qrF k F k r r r
r r r
FE
q
qE dA
qV k V
r
ε
= = = −
=
Φ ⋅ = Φ
=
1
1 1 0
ctróstatico
: energía potencial electrostática4
bb a ab
b a
a
m ii j
i j ij
U U WV V E dl
q q
q qU U
rπε
−
= =
−− = = − = − ⋅
=
Capacitancia
0
0
0
: capacitancia
Capacitor de placas paralelas
= : constante dieléctrica
2
ln( / )
q CV C
AC k
dA
C k kd
lC k
b a
ε
ε ε ε
πε
=
=
=
=
22
20
Capacitor cilíndrico
1 1 U: energía almacenada en un capacitor
2 2 21
: densidad de energía2
qU CV qV
C
u k E uε
= = =
=
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105
Corriente, resistencia y fuerza electromagnética
: corriente eléctrica
: densidad de corriente, : área
: resistividad
:
i i ii
qi i
ti nqvA
ij n q v j A
A
E
j
V lR R
i A
ρ ρ
ρ
=
=
= =
=
= =
0
22
resistencia
(1 ) Variación de R con la temperatura
Elevaciones de potencial Caídas de potencial 0
: potencia eléctric
ab
ent sal
i
R R t
V IR
i i
v
VP Vi Ri P
R
αε
= + Δ
= −
=
= =
= = =
a
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106
Magnetismo
0
0
: velocidad, : campo magnético
: elemento de longitud
= sen
2
F qv B v B
F il B l
NiAB
B dl i
B dA
iB
r
τ θ
μ
μπ
= ×
= ×
⋅ =
Φ = ⋅
=
0
0
0
01 2
: distancia
2
N: número de vueltas2
sen : radio4
(cos -cos )4
- B
r
IB
aNi
BrI
dB d ra
IB
ad
dt
μ
μπμ θ θπ
μ θ θπ
ε
=
=
=
=
Φ= : fuerza electromagnética
-vBl
d
dt
ε
ε
ε
=Φ=
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107
Equivalencias Longitud
m in ft mi 1 m 1 39.37 3.281 6.214x10-4
1 in 2.54x10-2 1 8.333x10-2 1.578x10-5
1 ft 0.3048 12 1 1.894x10-4
1 mi 1 609 6.336x104 5 280 1 Masa
Kg uma lb 1 kg 1 6.022x1026 2.205 1 uma 1.661x10-27 1 3.662x10-27
1 lb 0.4536 2.732x1026 1 Fuerza
dina N lbf kgf 1 dina 1 10-5 2.248x10-6 1.020x10-6
1 N 105 1 0.2248 0.1020 1 lbf 4.448x105 4.448 1 0.4536 1 kgf 9.807x105 9.807 2.205 1
Presión
atm mm Hg Pa bar 1 atm 1 760 1.013x105 1.013 1 mm Hg 1.316x10-3 1 133.3 1.333x10-3
1 Pa 9.869x10-6 7.501x10-3 1 10-5
1 bar 0.987 750.062 105 1 Energía, trabajo, calor
Btu HP·h J cal kWh eV 1 Btu 1 3.929x10-4 1 055 252 2.930x10-4 6.585x1021
1 HP·h 2 545 1 2.385x106 6.413x105 0.7457 1.676x1025
1 J 9.481x10-4 3.725x10-7 1 0.2389 2.778x10-7 6.242x1018
1 cal 3.969x10-3 1.560x10-6 4.186 1 1.163x10-6 2.613x1019
1 kWh 3 413 1.341 3.600x106 8.600x105 1 2.247x1025
1 eV 1.519x10-22 5.967x10-26 1.602x10-19 3.827x10-20 4.450x10-26 1 Campo magnético
gauss T 1 gauss 1 10-4
1 tesla 104 1
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108
Flujo magnético maxwell Wb 1 maxwell 1 10-8
1 weber 108 1
1 rpm = 6.283 rad/min
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109
Química Constantes Carga del electrón = -1.6021 x 10-19 C Carga del protón = 1.6021 x 10-19 C Masa electrón = 9.1094 x 10-31 kg Masa protón = 1.673 x 10-27 kg Constante de Boltzmann = 1.3805 x 10-23 J/K Constante de Planck = 6.6261 x 10-34 J s Constante gravitacional G = 6.67384 x 10-11 Nm2/kg2 Constante dieléctrica εo = 8.8542 x 10-12 F/m Constante de permeabilidad = 4π x 10-7 H/m = 1.2566 x 10-6 H/m Electrón-volt (eV) = 1.6021 x 10-19 J Radio medio de la Tierra = 6.378 x 106 m Distancia de la Tierra a la Luna = 3.844 x 108 m Masa de la Tierra = 5.972 x 1024 kg Masa de la Luna = 7.349 x 1022 kg Aceleración en la superficie de la:
Luna 1.62 m/s2 Tierra g = 9.81 m/s2
ρCu = 1.71 x 10-8 Ω.m ρAl = 2.82 x 10-8 Ω.m ρAg = 1.62 x 10-8 Ω.m ρFe = 9.71 x 10-8 Ω.m δCu = 8.96 x 103 kg/m3 δAl = 2.7 x 103 kg/m3 δmadera = 0.6 - 0.9 x 103 kg/m3
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110
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111
Análisis de circuitos eléctricos Ley de Ohm
VI
Z=
donde: I = Corriente [A] V= Voltaje [V] Z = Impedancia [Ω] Voltaje y corriente en elementos reactivos Capacitor
1cV Idt
C= c
dVI C
dt=
Inductor libre de acoplamientos magnéticos
1LI Vdt
L= L
dIV L
dt=
Inductor con acoplamientos magnéticos
1
1N
L ll kl
I V dtL=
= 1,2,3...,k N= 1
Nl
L ll
dIV L
dt=
= 1,2,3...,k N=
donde: Lkl = Inductancia mutua entre el inductor k y el inductor l. N = número total de inductores que se encuentren acoplados Divisor de corriente Si el circuito está integrado sólo por dos elementos:
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112
AB f
A B
RI I
R R=
+ A
B fA B
ZI I
Z Z=
+
Si el circuito se encuentra formado por más de una resistencia por rama:
rama contrariaRx f
T
RI I
R=
rama contrariaZx f
T
ZI I
Z=
donde
rama contrariaR es la resistencia de toda la rama y TR es la suma de las resistencias
de cada una de las ramas. Divisor de voltaje
BRB f
A B
RV V
R R=
+ A
RA fA B
RV V
R R=
+
Leyes de Kirchhoff
Ley de Kirchhoff de voltaje Ley de Kirchhoff de corriente
1
0eN
kk
V=
= 1
0iN
kk
I=
=
donde:
eN = Número de caidas o elevaciones de tensión en una malla cerrada
iN = Número de corrientes que entran o salen a un nodo
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113
Potencia Potencia activa
( ) [ ]
( ) [ ]
( ) [ ]
2
2
cos
cos
cos
P VI W
VP W
Z
P I Z W
θ
θ
θ
=
=
=
Potencia reactiva
( ) [ ]
( ) [ ]
( ) [ ]
2
2
sin
sin
sin
Q VI VAR
VQ VAR
Z
Q I Z VAR
θ
θ
θ
=
=
=
Potencia compleja
[ ]*S VI VA=
Factor de potencia
( )cospf θ=
Resonancia RLC serie
1s
LCω =
1
2sf
LCπ=
1
s
LQ
R C=
3 2 1dBBW f f− = −
2
1
1 1 4
2 2 2
R Rf
L L LCπ
= − + +
2
2
1 1 4
2 2 2
R Rf
L L LCπ
= + +
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114
Resonancia RLC paralelo
211
2l
p
R Cf
LLCπ= −
||s p
pL
R RQ
X=
1
2pf
LCπ=
2||TP s lZ R Q R=
TP
pp
ZQ
Lω=
Circuitos excitados con señales senoidales de diferentes frecuencias
Sea ( )V t una función de la forma:
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 ...o n n nV t V V sen t V sen t V sen tω α ω α ω α= + + + + + + +
Entonces, el voltaje eficaz (RMS) en una red excitada con una tensión ( )V t es:
2 2
1
1
2
n
rms o kk
V V V=
= + donde 1,2,3,...,k n=
Sea ( )I t una función de la forma:
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 ...o n n nI t I I sen t I sen t I sen tω β ω β ω β= + + + + + + +
La corriente eficaz (RMS) en una red en la que circula una corriente ( )I t es:
2 2
1
1
2
n
rms o kk
I I I=
= + donde 1,2,3,...,k n=
La potencia media es:
( )1
1cos
2
n
o o k k k kk
P V I V I α β=
= + − donde 1,2,3,...,k n=
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115
Impedancia y admitancia de una red pasiva de dos terminales Impedancia
kk
klT Zcof
ZZ
Δ=
Admitancia
kk
klT Ycof
YY
Δ=
Teoremas de redes Teorema de Thevenin Pasos para obtener el circuito equivalente de Thevenin
• Identificar los nodos A y B dentro del circuito donde se desea encontrar el circuito equivalente de Thevenin.
• Desconectar del circuito original el circuito del que se desea obtener su equivalente. Entre los nodos A y B debe considerarse un circuito abierto.
• Calcular el voltaje en los puntos A y B ( thV ).
• Poner en cortocircuito los nodos A y B y calcular la corriente de corto circuito (
ccI ).
• Calcular la impedancia de Thevenin como:
thth
cc
VZ
I=
• Construir el circuito equivalente de Thevenin. • El teorema de Thevenin se puede aplicar para redes que cuenten con
acoplamientos magnéticos, siempre y cuando, éste no se encuentre dentro por completo dentro del circuito al que se desea encontrar el equivalente.
Teorema de Norton Pasos para obtener el circuito equivalente de Norton
• Identificar los nodos A y B dentro del circuito donde se desea encontrar el circuito equivalente de Norton.
• Desconectar del circuito original el circuito del que se desea obtener su equivalente. Entre los nodos A y B debe considerarse un corto circuito.
• Calcular la corriente de Norton que circula entre los nodos A y B ( NI ).
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116
• Considerar entre los nodos A y B u circuito abierto y calcular el voltaje de
circuito abierto ( caV ).
• Calcular la impedancia de Norton como:
caN
N
VZ
I=
• Construir el circuito equivalente de Norton. • El teorema de Norton se puede aplicar para redes que cuenten con
acoplamientos magnéticos, siempre y cuando, éste no se encuentre dentro por completo dentro del circuito al que se desea encontrar el equivalente.
Teorema de reciprocidad Si se tiene un circuito formado sólo por elementos pasivos, entonces, es posible aplicar el teorema de reciprocidad. Si este circuito tiene una fuente de corriente o voltaje a la entrada, entonces, los pasos para aplicar el teorema de intercambio de fuentes son:
• Identificar los nodos A y B donde se va a aplicar el teorema de reciprocidad. • Calcular el voltaje o corriente entre A y B. • Desconectar la fuente de entrada y conectarla entre A y B. • Si la fuente es de voltaje, la entrada se cortocircuita. Si la fuente es de
corriente, la entrada se pone en circuito abierto. • La corriente o el voltaje, según sea el caso, a la entrada del circuito es la
misma que en el caso original. Teorema de superposición Si el circuito es lineal es posible aplicar este teorema. Los pasos necesarios son:
• Identificar el número de fuentes que se encuentran en el circuito. • Seleccionar una de ellas y con el resto de las fuentes debe considerarse lo
siguiente: si es una fuente de voltaje, ésta debe substituirse por un corto circuito y si es una fuente de corriente, ésta debe substituirse por un circuito abierto.
• Obtener los voltajes y corrientes en el circuito. • Repetir el proceso según el número de fuentes que haya en el circuito
seleccionando en cada iteración una fuente diferente. • Sumar los voltajes y corrientes obtenidos para cada una de las fuentes dadas
en el circuito.
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117
Parámetros de dos puertos Parámetros de impedancias(Z)
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
V Z I Z I
V Z I Z I
= += +
Los parámetros de impedancias están dados por:
2
111
1 0I
VZ
I=
= Impedancia de entrada
2
221
1 0I
VZ
I=
= Impedancia de transferencia directa
1
112
2 0I
VZ
I=
= Impedancia de transferencia inversa
1
222
2 0I
VZ
I=
= Impedancia de salida
Parámetros de admitancias (Y)
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
I Y V Y V
I Y V Y V
= += +
2
111
1 0V
IY
V=
= Admitancia de entrada
2
221
1 0V
IY
V=
= Admitancia de transferencia directa
1
112
2 0V
IY
V=
= Admitancia de transferencia inversa
1
222
2 0I
IY
V=
= Admitancia de salida
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118
Parámetros híbridos directos
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
V h I h V
I h I h V
= += +
2
111
1 0V
Vh
I=
= Impedancia de entrada con terminales de salida en corto
2
221
1 0V
Ih
I=
= Ganancia en corriente
1
112
2 0I
Vh
V=
= Inverso de la ganancia de voltaje
1
222
2 0I
Ih
V=
= Admitancia de salida con terminales de entrada abiertas
Parámetros híbridos inversos
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
I g V g I
V g V g I
= += +
2
111
1 0I
Ig
V=
= Admitancia de entrada con terminales de salida abiertas
2
221
1 0I
Vg
I=
= Ganancia en voltaje
1
112
2 0V
Ig
I=
= Inverso de la ganancia corriente
1
222
2 0V
Vg
I=
= Impedancia de salida con terminales de entrada en corto circuito
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119
Respuesta transitoria Condiciones iniciales y finales de los elementos
Elemento Circuito equivalente inicial para t < 0 Circuito equivalente pata t>>0 Cargado Descargado
R Resistencia L iL(0
-) = iL(0+)
Fuente ideal de corrienteiL(0
+) = 0 Circuito abierto
Cortocircuito
C vC(0-) = vC(0+) Fuente ideal de Voltaje
VC(0+) = 0 Cortocircuito
Circuito abierto
Respuesta libre en circuitos RC
Para la corriente
( ) ( )( ) [ ]0t
RCcE V e
i t AR
−
−=
Para el capacitor
( ) ( )( ) [ ]0t
RCC CV t E V E e V
−
= + −
Para la resistencia
( ) ( ) ( )( ) [ ]0t
RCR cV t Ri t E V e V
−
= = −
Constante de tiempo
[ ]RC sτ =
donde ( )0cV es el voltaje inicial en el capacitor.
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120
Respuesta en circuitos RL
La corriente para
( ) ( ) [ ]1 0Rt Rt
L LE
i t e i e AR
− − = − +
Para el resistor
( ) ( ) ( ) [ ]1 0Rt Rt
L LRV t Ri t E e Ri e V
− − = = − +
Para el inductor
( ) ( ) ( ) [ ]0Rt Rt
L LL
di tV t L Ee Ri e V
dt
− −
= = −
La constante de tiempo es:
[ ]Ls
Rτ =
Respuesta forzada en un circuito RC
( ) 1t
RCq t EC e−
= −
( )t
RCEi t e
R
−=
t
RCRv Ri Ee
−= =
−==−=
− tRC
RC eEvEv1
1
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121
Respuesta forzada en un circuito RL
Respuesta libre de un circuito RLC
Caso I: Respuesta bajo amortiguada (raíces complejas conjugadas)
( ) ( ) ( )1 2
j t j ti t k e k eα β α β− + − −= +
1 2k k= −
( )0
2cv
kLβ
−
=
( ) ( ) ( )0c t
vi t e sen t
Lα β
β
−−=
Caso II: Respuesta críticamente amortiguada (raíces reales y repetidas)
( ) 1 2t ti t k e k eα α− −= +
1 0k =
( )2
0cvk
L
−
=
−=
− tL
R
eR
Eti 1)(
−=
− tL
R
R eEv 1
tL
R
L eEv−
=
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122
( ) ( )0c tv
i t eL
α−
−=
Caso III: Respuesta sobre amortiguada (raíces reales y diferentes)
( ) ( ) ( )1 2
j t j ti t k e k eα β α β− + − += +
1 2k k= −
( )1
0
2cv
kLβ
−
=
( )2
0
2cv
kLβ
−
= −
( ) ( ) ( )0c t
vi t e senh t
Lα β
β
−−=
Función de transferencia
( ) ( )( )
o
i
V sH s
V s= Relación de voltajes
( ) ( )( )
o
i
V sH s
I s= Impedancia de transferencia
( ) ( )( )
o
i
I sH s
I s= Relación de corrientes
( ) ( )( )
o
i
I sH s
V s= Admitancia de transferencia
donde ( )oI s y ( )oV s son la corriente y el voltaje en la salida, respectivamente. ( )iI s y
( )iV s son la corriente y el voltaje en la entrada, respectivamente.
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123
Sistemas acoplados Factor de acoplamiento
lkkl
kk ll
LK
L L=
⋅
Inductancia mutua
kl kl kk llL K L L= ⋅ donde: Kkl = factor de acoplamiento entre los inductores k y l Lkl = inductancia mutua entre los inductores k y l Lll = inductancia propia del inductor l Lkk = inductancia propia del inductor k Sistemas trifásicos Resistencia y reactancia en serie La impedancia Z de una carga reactiva que está formada por una resistencia R y una reactancia en serie es:
Z R jX= + Convirtiéndola a su admitancia equivalente Y:
2
R jXY
Z
−=
donde 2 2Z R X= +
Según la ley de Ohm:
V ZI= y
I YV= Entonces:
2
VR jVXI
Z
−=
2 2
VR VXI j
Z Z= −
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124
P QI I jI= −
donde PI e QI son las corrientes activa y reactiva, respectivamente.
La corriente activa IP y la corriente reactiva IQ son:
( )2 cosP
VRI I
Zθ= =
( )2 sinQ
VXI I
Zθ= =
donde θ está dada por:
tan cos sinQ P Q
a a aP S S
θ = = =
Si se aplica una tensión V, a una carga reactiva Z y la corriente I que circula en el circuito, entonces, la potencia compleja S, potencia activa P y potencia reactiva Q están dadas por:
22*
2
ZVS VI I Z
Z= = =
2
2
2
2
P
Q
V RP VI
Z
V XQ VI
Z
= =
= =
El factor de potencia ( fp ) y el factor reactivo ( fr ) son:
( )cosR
fpZ
θ= =
( ) Xfr sen
Zθ= =
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125
Potencia trifásica
Para una carga balanceada conectada en estrella con una tensión de línea lineaV y una
corriente de línea líneaI :
3linea
estrella
VV =
estrella líneaI I=
3estrella linea
estrellaestrella estrella
V VZ
I I= =
223 3 3linea
estrella estrella estrella linea línea línea estrellaestrella
VS V I V I I Z
Z= = = =
Para una carga balanceada conectada en delta con una tensión de línea lineaV y una
corriente de línea líneaI :
delta líneaV V=
3línea
delta
II =
3delta líneadelta
delta línea
V VZ
I I= =
223
3 líneadelta delta delta línea delta
delta
VS V I I Z
Z= = =
Note que la equivalencia entre cargas balanceadas conectadas en estrella y delta es:
3delta estrellaZ Z=
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126
Electrónica Analógica Diodo de propósito general Ecuación de Shockley del diodo
1Dq V
n k TD SI I e
⋅⋅ ⋅
= −
donde: ID = Corriente a través del diodo [A] Is = Corriente de saturación (10-12 A) VD = Voltaje de polarización directo [V] q = Carga del electrón (1.6022E-19) n = Constante para Ge = 1 y para Si = 1.1 y 1.8 k = Constante de Boltzman 1.3806E-23 [J/K] T = Temperatura absoluta [K] Diodo zener
Regulación de línea = z
z s
R
R R+
( )Regulación de carga z sR R= −
Regulación zener s
z s
R
R R=
+
( )zo z z zV V R I= − ⋅
Para RL = 0
( )( )
s zoz
z s
V VI
R R
−=
+
El voltaje de salida está dado por:
( )o zo z zV V R I= + ⋅
s zo z zs
z L
V V R IR
I I
− − ⋅=+
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127
En caso de conocer los rangos de VS e IL
(max) (max)
(max) (min)
s zo z zs
z L
V V R IR
I I
− − ⋅=
+
(min) (min)
(min) (max)
s zo z zs
z L
V V R IR
I I
− − ⋅=
+
z z zP V I= ⋅
Rectificadores de media onda y onda completa (fuentes de alimentación) Rectificador de media
onda Rectificador de onda
completa Voltaje de rizo pico-pico
( )m
r ppL
VV
f R C=
⋅ ⋅
( ) 2
mr pp
L
VV
f R C=
⋅ ⋅
Voltaje de salida VO ( )( )
2 1
2m L
O cdL
V f R CV
f R C
⋅ −=
⋅ ⋅
( )( )
4 1
4m L
O cdL
V f R CV
f R C
⋅ −=
⋅ ⋅
Voltaje rizo rms ( )
2 2m
r rms
L
VV
f R C=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
( )
4 2m
r rms
L
VV
f R C=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Factor de rizo
( )1
2 2 1L
FRf R C
=⋅ ⋅ −
( )1
2 4 1L
FRf R C
=⋅ ⋅ −
Cálculo del capacitor 1 11
2 2L
Cf R RF
= + ⋅ ⋅
1 11
4 2L
Cf R RF
= + ⋅ ⋅
Relación Vrms y VL 1
0.0024420
rms
L
V
V≈ ≈
Regulación de voltaje
100%sal
ent
VR. línea
V
Δ= ⋅ Δ
. NL FL
FL
V VR carga
V
−=
Regulación de carga 100sal
FL
R
R
= ⋅
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128
donde:
VNL = Voltaje sin carga
VFL = Voltaje a plena carga Regulador básico en serie con OA
2
3
1o
RV Vref
R
= +
Reguladores en paralelo lineales básico
( )maxin
LL
VI
R=
Reguladores de conmutación básicos
ono in
tV V
T =
donde:
T = tin + toff Reguladores de voltaje en circuito integrado
22
1
1SAL REF ADJ
RV V I R
R
= + +
1
(max)1
SALL G
VI I
R= +
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129
Transistor de unión bipolar (BJT) Parámetros de corriente directa
ccd
B
I
Iβ =
ccd
E
I
Iα =
donde: βcd = Ganancia en corriente en CD αcd = Factor de amplificación de corriente en polarización directa IC = Corriente de colector IB = Corriente de base IE = Corriente de emisor Corrientes en un transistor
E C BI I I= +
Voltaje entre la base y el emisor
0.7BEV V≅ Corriente en la base
CC BEB
B
V VI
R
−=
donde: VBB = Voltaje de polarización en la base VBE = Voltaje base – emisor RB = Resistencia de base Voltaje en el colector con respecto al emisor
CE CC C CV V I R= −
donde: VCC = Voltaje de polarización en el colector
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130
VCE = Voltaje colector – emisor RC = Resistencia de colector Voltaje en el colector con respecto a la base
CB CE BEV V V= −
donde: VCB = Voltaje colector – base VCE = Voltaje colector – emisor RC = Resistencia de colector Condición de corte
( ) CCCE corteV V=
Corriente de saturación en el colector
( )( )CC CE SAT
C SATC
V VI
R
−=
Corriente de base mínima para saturación
( )( )
min
C SAT
Bcd
II
β=
Polarización Polarización con realimentación del emisor
B E E BEV I R V= +
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131
C CC C CV V I R= −
E B BEV V V= −
( )/CC BE
EE B cd
V VI
R R β−=
+
C EI I≅
Polarización con realimentación del colector
C CC C CV V I R= −
B BEV V= 0EV V=
CC BEC
C
V VI
R
−≅
CC BEC
BC
cd
V VI
RR
β
−=+
CE CC C CV V I R= −
E CI I≅
C BEB
B
V VI
R
−=
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132
Polarización de base
B BEV V=
C CC C CV V I R= −
0EV V=
CC BEC cd
B
V VI
Rβ
−=
E CI I≅
C BEB
B
V VI
R
−=
CE CC C CV V I R= −
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133
Polarización del emisor
B E BEV V V= +
C CC C CV V I R= −
E EE E EV V I R= +
EE BEE
E
V VI
R
− −≅
EE BEE
BE
cd
V VI
RR
β
− −=+
E CI I≅
BB
B
VI
R= B
BB
VI
R=
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134
Polarización con divisor de voltaje
2
1 2B CC
RV V
R R
= +
C CC C CV V I R= −
E B BEV V V= −
EE
E
VI
R=
E CI I≅
TH BEE
THE
cd
V VI
RR
β
−=+
BB
cd E
VI
Rβ=
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135
Parámetros de corriente alterna (amplificador) Amplificador emisor común
Ecuaciones considerando el modelo T en señal pequeña de primer orden
25
'eE
mVr
I=
( )1 2 'in ca inR R R rβ= ⊕⋅
out C LR R R≈
'C L
Ve
R RA
r=
CI
in
IA
I=
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136
Amplificador con compensación para variación de temperatura
1
C LV
E
R RA
R≅
out C LR R R=
( ) ( )1 2 11 'in ca e ER R R r Rβ= + ⋅ +
Amplificador colector común
Ecuaciones considerando el modelo T en señal pequeña de primer orden
25
'eE
mVr
I=
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137
( ) ( )1 2 1 'in ca e E LR R R r R Rβ= + +
( ) ( )1 2' 1out E L e out caR R R r R R r β= + ÷ +
e
e
R1
' RVe
Ar
= ≈+
ei
in
IA
I=
Amplificador en base común
Ecuaciones considerando el modelo T en señal pequeña de primer orden
25'e
E
mVr
I=
ENT(emisor)R 'er=
SAL CR R≅
'C
Ve
RA
r≅
1iA ≅
donde: r’e = Resistencia interna de CA en el emisor Rent = Resistencia de entrada Rsal = Resistencia de salida Av = Ganancia en voltaje Ai = Ganancia en corriente
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138
Transistor de efecto de campo (FET)
Parámetros de corriente directa Características de transferencia de un JFET
2
(corte)
1 GSD DSS
GS
VI I
V
= −
Transconductancia
( )
2
0 1 GS
DS corte
Vgm gm
V
= −
Transconductancia con VGS = 0
(corte)
20 DSS
GS
Igm
V=
Característica de transferencia de E – MOSFET
( )2(umbral)D GS GSI K V V= −
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139
Polarización Polarización fija
GS GGV V= −
DD DSDS
D
V VI
R
−=
DD DS DSV I V= +
Autopolarización
GSDS
S
VI
R= −
( )OFFGS
SDSS
VR
I=
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140
( )
2
1OFF
GSDS DSS
GS
VI I
V
= −
1DS DSSI K I=
0.382
Q offGS GSV V=
DD DSDS
D S
V VI
R R
−=+
( )DD DS D S DSV I R R V= + +
Polarización por divisor de voltaje
GG GSDS
S
V VI
R
−=
1 2GR R R=
1
1 2GG DD
RV V
R R=
+
DD DSDS
S D
V VI
R R
−=+
382.01 =K
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141
Amplificador fuente común
1 2G
L C L
R R R
R R R
==
i G
o ds D
Z R
Z r R
==
( ) GLV ds D L
S G S
RVA gm r R R
V R r= = −
+
DS DL
i m GS DS D L
r RVA g R
V r R R= = − ⋅
+
( )
2
1CORTE
D SD DSS
GS
I RI I
V
= −
V dA gmR=
entR GSG
GSS
VR
I
=
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142
Parámetros de corriente alterna (amplificador) Amplificador drenaje común
Característica Drenaje común
1ds
s
rR
μ +
1L
Vin
VA
V=
11
S L
dsS L
R Rr
R R
μμ
μ
⋅+ +
+
1L
Iin
IA
I= 1
inV
L
ZA
R=
2
( )
1 D SD DSS
GS corte
I RI I
V
= −
1S
VS
gmRA
gmR=
+
entR GSG
GSS
VR
I
=
iZ GR
oZ
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143
Amplificador en compuerta común
Característica Compuerta común
1ds D L
S
r R RR
μ + +
( )( )1D ds S aR r R rμ+ +
1L
Vin
VA
V=
( )1
1m ds D L
ds
D L
g r R Rr
R R
μ + ≈+
1L
Iin
IA
I= 1
inV
L
ZA
R⋅
2
( )
1 D SD DSS
GS corte
I RI I
V
= −
V DA gmR=
ent
1R SR
gm
=
donde: ID = Corriente a través de un FET autopolarizado Av = Ganancia en voltaje Rent = Resistencia de entrada IDSS = Corriente en drenaje VGS = Voltaje en la compuerta RS = Resistencia en la fuente IGSS = Corriente de fuga en inversa
iZ
oZ
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144
Capacitancia Compuerta común Drenaje común
( )( )
1
2 L a inF r Zπ +
( )1
210
La in
Fr Zπ +
( )1
210
LL out
fr Zπ +
( )
1
2 L of Zπ +
iC
oC
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145
Transistor MOSFET Curva característica
=
Para un MOSFET de canal inducido tipo n en su región lineal:
( )2
( ) 2DS
D Act GS T DS
VI K V V V= − −
donde: = en la que b es el ancho del canal, μn la movilidad de los electrones, ε es la
permitividad eléctrica de la capa de óxido, L la longitud del canal y W el espesor de capa de óxido. Cuando el transistor opera en la región de saturación, la fórmula pasa a ser la siguiente:
( )2
( )0
1D sat GS T
KI V V
K
+= −
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146
Amplificadores operacionales Características Razón de rechazo de modo común
V
mc
ACMRR
A=
20log V
mc
ACMRR
A
=
Rapidez de variación de voltaje (slew-rate)
salVSR
t
Δ=Δ
Corriente de polarización de entrada
1 2polarización 2
I II
+=
Desequilibrio de corriente de entrada
1 2OSI I I= −
Voltaje de error de salida
( ) v os entsal errorV A I R=
Frecuencia máxima de operación
max si AB2 p
SRf AB
Vπ= ≤
max si AB >2 2p p
SR SRf
V Vπ π=
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147
Configuraciones de amplificadores Amplificador no inversor
1 fv
i
RA
R= +
Seguidor de voltaje
1VA =
Amplificador inversor
fV
i
RA
R= −
ent iZ R≅
Amplificador sumador de n entradas
( )1 2sal ent ent entnV V V V= − + +⋅⋅⋅+
Amplificador sumador con ganancia de n entradas
1 2
1 2
ent ent entnsal f
n
V V VV R
R R R
= − + + ⋅⋅⋅+
Amplificador restador
2 4 22 1
1 3 4 1 2
1sal
R R RV V V
R R R R R
= + − + +
Amplificador derivador
entsal
dVV RC
dt= −
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148
Amplificador integrador
( ) ( )10sal ent cV V t dt V
RC= − +
Amplificador de disparo alto
( )2 max
1 2disparo alto sal
RV V
R R= +
+ Amplificador de disparo bajo
( )2 max
1 2disparo bajo sal
RV V
R R= −
+ Amplificador de histéresis
H disparo alto disparo bajoV V V= −
Amplificador de instrumentación
21cl
G
RA
R= +
2
1Gcl
RR
A=
− Amplificador de aislamiento
11
1
1fv
i
RA
R= +
2
21
1fv
i
RA
R= +
Amplificador logarítmico
( )1
0.025 ln entsal
EBO
VV
I R
= −
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149
Amplificador anti logarítmico
ln25
entsal f EBO
VV R I anti
mV = −
Convertidor de voltaje a corriente
sal i fV I R=
Convertidor de corriente a voltaje
1
entL
VI
R=
Disparador Schmitt
1sat
Fth
VR R
V=
1X FR R R= Filtros Ancho de banda de un filtro pasa bajas
cAB f=
Ancho de banda de un filtro pasa banda
cs ciAB f f= −
Frecuencia central de un filtro pasa banda
0 cs cif f f= ⋅
Filtros Butterworth La magnitud de la función de transferencia al cuadrado es:
( ) 2
2
1
1 nH jω
ω=
+
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150
La función de transferencia para un filtro Butterworth se expresa como:
( ) ( )1
n
H sB s
=
Los polinomios normalizados para los filtros Butterworth son:
( )1 1B s s= +
( ) 22 1.4142 1B s s s= + +
( ) 3 23 2 1B s s s s= + + +
Convertidores Convertidores de voltaje a frecuencia
10
ref ent ref
vf
V R C=
donde: V1 = voltaje de entrada Vref = voltaje de refencia Cref = capacitancia de referencia Convertidores de frecuencia a voltaje
0 ref int ref entV V R C f=
donde:
=entf frecuencia de entrada en Hz
=|| refV voltaje de referencia en V
=intR resistencia del integrador interno
=refC capacitancia de referencia
Convertidores digital analógico
0 31 2
0 1 2 3s ref
B BB BI V
R R R R
= + + +
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151
0 31 20
0 1 2 3F F F ref
B BB BV R I R V
R R R R
= − = − + + +
donde:
0 02
RR R= =
1 12 2
R RR = =
2 22 4
R RR = =
3 32 8
R RR = =
Convertidor digital analógico con red de escalera R – 2R
00 43 2
ref FV R BV
R = −
para LSB = 1 único
30 13 2
ref FV R BV
R = −
para MSB = 1 único
0 31 20 4 3 2 13 2 2 2 2
ref FV R B BB BV
R = − + + +
cuando el sistema está completamente activado
Convertidor analógico digital de aproximaciones sucesivas
( ) 1 sgn
0 a b
conv a ba b
para V VV V V
para V V
>= − = <
Proceso de aproximaciones sucesivas
Paso Vb B3 B2 B1 B0 Comparaciones Respuesta 1 8 V 1 0 0 0 ¿Es Va > 8 V? Sí 2 12 V 1 1 0 0 ¿Es Va > 12 V? No 3 10 V 1 0 1 0 ¿Es Va > 10 V? Sí 4 11 V 1 0 1 1 ¿Es Va > 11 V? No 10 V 1 0 1 0 Leer salida
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152
Amplificadores de corriente Fuentes de corriente con BJT
1 2 1 0.7BE BE CEV V V V= = =
La corriente en el colector
1 2 21
RC C
F
II I
β
= =+
11
CC BE
R
V VR
I
−=
Fuente de corriente con Widlar
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153
La suma de las tensiones en la base de los transistores
1 2 2 0BE BE EV V IC R− − =
Para el análisis de esta fuente de corriente es preciso utilizar la ecuación de Ebers-Moll simplificada de un transistor en la región lineal que relaciona la IC con la tensión VBE:
1ln CT S E
S
IV I R
I=
donde: 1
1
CC BEC
V VI
R
−=
La resistencia de salida de esta fuente es:
12
2
1 F EO oe
ie E
RZ h
h R
β− = + +
Fuente de corriente de Wilson
( )2 21E F BI Iβ= + Si los transistores son idénticos
12 3 3 1
11 C
E C B BF F
II I I I
β β
= + + = + +
OUT1
2CC BEV VI
R
−=
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154
Resistencia de salida
1
2fe oe
out
h hZ
−
=
Fuente de corriente Cascode
1
2CC BEout
V VI
R
−=
1
out fe oeZ h h−= ⋅
Fuentes de corriente controlada con voltaje
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155
Si R2 = R4
2
1
eS
S
R VI
R R=
Para que el operacional esté en equilibrio se debe de cumplir que:
4 1 2
e S SV V R IV
R R R
++ −= +
Para la polarización del transistor
2 S SV V R I+= −
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156
Electrónica digital Algebra Boole Propiedades: a) Ambas operaciones son conmutativas, es decir si a y b son elementos del álgebra, se verifica:
a b b a+ = + a b b a⋅ = ⋅
b) Dentro del álgebra existen dos elementos neutros, el 0 y el 1, que cumplen la propiedad de identidad con respecto a cada una de dichas operaciones:
0 a a+ = 1 a a⋅ =
c) Cada operación es distributiva con respecto a la otra:
( )a b c a b a c⋅ + = ⋅ + ⋅
( ) ( ) ( )a b c a b a c+ ⋅ = + ⋅ +
d) Para cada elemento a del álgebra existe un elemento denominado a tal que:
1a a+ =
0a a⋅ = Leyes del algebra de Boole
0A A+ = 0 0A ⋅ = 1 1A+ = 1A A⋅ =
A A A+ = A A A⋅ =1A A+ = 0A A⋅ =
Principio de dualidad
0 1A A A A+ = ⋅ =
0 1A A A A⋅ = + =
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157
Operaciones binarias Suma binaria
0 0 0+ =0 1 1+ = 1 0 1+ = 1 1 0+ =
Resta binaria
0 0 0− =0 1 1− = 1 0 1− = 1 1 0− =
Operaciones lógicas Suma lógica
0 0 0+ =0 1 1+ = 1 0 1+ = 1 1 1+ =
Producto lógico
0 0 0⋅ =0 1 0⋅ = 1 0 0⋅ = 1 1 1⋅ =
Complementación
0 1 1 0
Propiedades Propiedad conmutativa
A B C D D C B A⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ A B C D C D A B+ + + = + + +
D C B A D C A B C D C A C B D A C B⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
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158
Propiedad asociativa
( ) ( )A B C D A B C D+ + + = + + +
( ) ( )D C B A D C B A⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
Propiedad distributiva
( )A B C A B A C⋅ + = ⋅ + ⋅
( ) ( ) ( )A B C A B A C+ ⋅ = + ⋅ +
Teorema de Shanon Indica que cualquier expresión booleana negada es equivalente a la misma expresión en la que todas las variables son negadas y se sustituyen las operaciones (+) por (·) y viceversa.
( ) ( )f A B C A B C= + ⋅ = ⋅ +
Teorema de De Morgan Primer teorema de De Morgan El complemento de un producto de variables es igual a la suma de los complementos de las variables. Fórmula para expresar el teorema para dos variables:
A B A B⋅ = + Segundo teorema de De Morgan El complemento de una suma de variables es igual al producto de los complementos de las variables. Fórmula para expresar el teorema para dos variables:
A B A B+ = ⋅ Mapa de Karnaugh Reglas para simplificar una función mediante el mapa Karnaugh
• Determinar el número de varias involucradas Ejemplo: A y B
• Realizar un mapa que cumpla con la relación 2N. Donde N representa el número de variables y 2N el número de combinaciones posibles Ejemplo: Si N es igual a 2 entonces 22 = 4 combinaciones posibles
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159
• Debe de existir un cuadro para cada combinación de entrada
• Introducir el valor lógico de cada minitérmino en su cuadro correspondiente.
Ejemplo: F(A,B)= ∑m( 0,1 )
• Buscar encerrar 2N cuadros adyacentes. Hacer encierros de 1,2,4,8, etc.
Determinar la función de salida correspondiente: Ejemplo: Salida = /B
• Aspectos a considerar a) Tratar de hacer el máximo encierro posible b) Buscar que no exista redundancia en los encierros seleccionados
A B SALIDA
0 0
0 1
1 0
1 1
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160
Conversión de decimal a BCD natural, BCD Aiken y BCD exceso 3
Decimal BCD natural BCD Aiken BCD exceso 3 8 4 2 1 2 4 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 2 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 3 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 4 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 5 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 6 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 7 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 8 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 9 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0
Conversión de Decimal a Binario, Hexadecimal
Decimal Binario Hexadecimal0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 0 0 1 0 2 3 0 0 1 1 3 4 0 1 0 0 4 5 0 1 0 1 5 6 0 1 1 0 6 7 0 1 1 1 7 8 1 0 0 0 8 9 1 0 0 1 9 10 1 0 1 0 A 11 1 0 1 1 B 12 1 1 0 0 C 13 1 1 0 1 D 14 1 1 1 0 E 15 1 1 1 1 F
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161
Circuitos digitales básicos
Compuerta Función Tabla de verdad
OR
B A f 0 0 00 1 11 0 11 1 1
AND
B A f 0 0 00 1 01 0 01 1 1
NOT
A f 0 11 0
NOR
B A f 0 0 10 1 01 0 01 1 0
NAND
B A f 0 0 10 1 11 0 11 1 0
XOR
B A f 0 0 00 1 11 0 11 1 0
XNOR
B A f 0 0 10 1 01 0 01 1 1
BAf +=
BAf ⋅=
Af =
BAf +=
BAf ⋅=
BAf ⊕=
BAf ⊗=
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162
Flip – flops Flip – flop SR básico con compuerta NAND
S R Q(t+1) Ǭ(t+1)
0 0 invalido invalido0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 Q(t) Ǭ(t)
Flip – flop básico con compuerta NOR
S R Q(t) Ǭ(t)
0 0 Q(t) Ǭ(t)0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 invalido
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163
Flip – flop RS Temporizado
Q S R Q(t+1) 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 indeterminado1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 indeterminado
Flip – flop D
Q D Q (t+1)0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1
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164
Flip – flop JK
Q J K Q (t+1)0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0
Flip – flop T
Q T Q (t+1)0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0
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165
Electrónica de potencia Fórmulas básicas Eficiencia
CD
CA
P
Pη =
Valor efectivo CA
2 2CA rms CDV V V= −
El factor de utilización del transformador
CD
s s
PTUF
V I=
donde: VS = Voltaje rms en el secundario del transformador [V] IS = Corriente rms en el secundario del transformador [A] Distorsión armónica total THD
1
1
12 2 2
2
−=
S S
S
I ITHD
I
Rectificador monofásico de onda completa
2
0
22 Tm
CD m
VV V sen tdt
Tω
π= =
donde: Vm = Voltaje máximo inverso [V] Corriente promedio de carga es
CDCD
VI
R=
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166
Corriente rms de salida
= rmsrms
VI
R Voltaje rms salida
1
22 22
0
2
2
Tm
rms m
VV V sen tdt
Tω
= =
Rectificador trifásico en puente
6
0
2 3 33
2 / 6CD m mV V cos t dt Vπ
ωπ π
= =
donde: Vm = Voltaje máximo [V] El voltaje rms de salida es:
1122
2 26
0
2 3 9 33
2 / 6 2 4
π
ωπ π
= = +
cd m mV V cos t dt V
Dispositivos Ecuación del Diodo Schockley
1
= −
D
T
V
nVD SI I e
donde: ID = Corriente a través del diodo [A] VD = Voltaje de polarización directo [V] IS = Corriente de fuga [A] n = Constante para Ge = 1 y para Si = 1.1 y 1.8
25.8= ≈T
kTV mV
q donde:
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167
VT = Voltaje térmico Q = Carga del electrón (1.6022 x 10-19) [C] T = Temperatura absoluta [K] K = Constante de Boltzman 1.3806 x 10-23 [J/K] Tiempo total de recuperación inversa (trr)
= +rr a bt t t
donde: ta = Tiempo de almacenamiento de carga en la región de agotamiento [s] tb = Tiempo de almacenamiento de carga en el cuerpo del semiconductor [s] Corriente inversa pico (IRR)
2α= =i iRR RR
t t
d dI t Q
d d donde: QRR = carga de recuperación inversa [C] Rectificadores monofásicos de media onda Potencia de salida en CD
CD CD CDP V I=
Potencia de salida en CA
CA rms rmsP V I=
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168
UJT
El disparo ocurre entre el emisor y la base1 y el voltaje al que ocurre este disparo está dado por la fórmula:
2 10.7= + B BVp nV
donde: n = intrinsic stand off radio (dato del fabricante) VB2B1 = Voltaje entre las dos bases
Condición para encendido y apagado
1BB VBB P
P V
V VV VR
I I
−− > >
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169
PUT Este transistor se polariza de la siguiente manera:
Cuando IG = 0
2
1 2
= +
BG BB
B B
RV V
R R
G BBV nV=
donde: n = RB2 / (RB1+RB2) El periodo de oscilación T está dado en forma aproximada por:
2
1
11
RVsT RC ln RC ln
f Vs Vp R
= = = + −
Circuito de disparo para un PUT
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170
DIAC
Si (+V) o (- V) es menor que la tensión de disparo, el DIAC se comporta como un circuito abierto Si (+V) o (- V) es mayor que la tensión de disparo, el DIAC se comporta como un cortocircuito
Circuito equivalente del DIAC
SCR Cuando el SCR está polarizado en inversa se comporta como un diodo común (ver la corriente de fuga Is. En la región de polarización en directo el SCR se comporta también como un diodo común, siempre que el SCR ya haya sido activado (On). Ver los puntos D y E. Para valores altos de corriente de compuerta (IG) (ver punto C), el voltaje de ánodo a cátodo es menor (VC).
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171
Si la IG disminuye, el voltaje ánodo-cátodo aumenta. (ver el punto B y A, y el voltaje ánodo-cátodo VB y VA).
Circuito equivalente del SCR
TRIAC
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172
Circuito equivalente al TRIAC
IGBT
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173
GTO Característica estática
Al cebarlo por corriente entrante de puerta, tenemos exactamente el mismo proceso que en el SCR normal. Para bloquearlo, será necesario sacar los transistores de saturación aplicando una corriente de puerta negativa:
luego β
− > AG
off
II
donde es la ganancia de corriente en el momento del corte y vendrá expresada por:
2
1 2 1
αβα α
=+ −off
Para conseguir cortar el GTO, con una corriente soportable por la puerta, debe ser βoff lo mayor posible, para ello debe ser: α2 ≈1 (lo mayor posible) y α1 ≈0 (lo menor posible).
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174
SIT Curva característica
Nota: A=D y K=S
1
ββ
− = ++G A CBOI I I
1
− =+
AG
G
II
gmR
( )
( )1
1 11
ββ
+=
+ ++
CBO GA
G
I gmRI
gmR
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175
Teoría de control Terminología de la ingeniería de control
donde: r = señal de referencia o set point e = señal de error (e = r – y) u = acción de control (variable manipulada) y= señal de salida (variable controlada) C = controlador P= Proceso Modelos de control Los modelos clásicos de control clásico comprenden ecuaciones diferenciales de orden n.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
0 1 2 11...
−
− −−+ + + + + =n n
n n nn n
d y t d y t dy ta a a a y t a k u t
dt dt dt
Modelo diferencial de primer orden
( ) ( ) ( )1
τ τ= − +
dy t ky t u t
dt
donde: u(t) = variable de entrada y(t) = variable de salida = Constante de tiempo
k= ganancia del sistema Modelo diferencial de segundo orden Frecuencia amortiguada
21d nω ω ζ= −
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176
Tipos de respuesta Respuesta escalón La respuesta escalón es la variación, respecto al tiempo, de la variable de salida de un elemento de transferencia, cuando la variable de entrada es una función escalón
( ) , cte.= =r t c c
Respuesta al escalón de sistemas de primer orden
( ) 1 τ−
= −t
y t e
Respuesta al escalón de sistemas de segundo orden Forma estándar del sistema de segundo orden:
2
2 2
( )
( ) 2
ωζω ω
=+ +
n
n n
C s
R s s s
donde: ζ es el factor de amortiguamiento
ω es la frecuencia angular
1. Subamortiguado 0 1< <ζ , raíces complejas conjugadas.
( ) ( ) ( )2
1 cos1
ζω ζω ωζ
− = − + −
ntn ny t e t sen t
2. Críticamente amortiguado ζ = 1 , raíces reales e iguales.
( ) 1 ω ωω− −= − −n nt tny t e te
3. Sobreamortiguado ζ > 1 , raíces reales y diferentes.
( )21
21 2
12 1
ω ωζ
−− = + −
−
s ts tn n tee
y ts s
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177
donde ( )( )
21
22
1
1
ζ ζ
ζ ζ
= + −
= − −
s
s
4. No amortiguado ζ = 0 , raíces imaginarias puras.
( ) ( )1 cos ω= − ny t t
Parámetros de la respuesta transitoria
Tiempo de retardo (Td) Es el tiempo que tarda la respuesta del sistema en alcanzar por primera vez la mitad del valor final. Tiempo de crecimiento (Tr) Es el tiempo requerido para que la respuesta crezca del 0 al 100% de su valor final o del 10 al 90%.
1tan
π βω
ωβζω
−
−=
=
d
d
n
Tr
Tiempo pico (Tp) Es el tiempo en el cual la respuesta del sistema alcanza el primer pico del sobreimpulso.
πω
=pd
T
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Máximo sobreimpulso (Mp) Es el valor pico máximo de la respuesta medido desde la unidad.
2 1
ζ πζ
− − =pM e
Tiempo de establecimiento (Ts) Es el tiempo requerido por la curva de respuesta para alcanzar y mantenerse dentro de determinado rango alrededor del valor final especificado en porcentaje absoluto del valor final. Se usa generalmente el 5% o 2%
Para un criterio de 2%, 4
ζω=s
n
T
Para un criterio de 5%, 3
ζω=s
n
T
Regla de Mason La función de transferencia entre una entrada U(s) y una salida Y(s) está dada por:
( ) ( )( )
1= = ΔΔ i i
Y sG s G
U s
donde:
= ganancia de la trayectoria directa i-ésima entre yentrada y ysalida
= determinante del sistema = 1 - (ganancia de todos los lazos individuales) + (productos de las ganancias de todas las combinaciones posibles de dos lazos que no se
tocan) - (productos de las ganancias de todas las combinaciones posibles de tres lazos que no se tocan) +...
= el valor de para aquella parte del diagrama de bloques que no toca la k-ésima trayectoria directa Tabla 1. Fórmulas para sintonización por el método de ganancia última
Tipo de controlador Ganancia
proporcional Tiempo integral
Tiempo derivativo
Proporcional P Ku/2 -- -- Proporcional-Integral PI Ku/2.2 Tu/1.2 -- Proporcional-Integral-Derivativo PID
Ku/1.7 Tu/2 TU/8
Kc
iG
Δ
iΔ Δ
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179
Controladores Raíces en el plano complejo
Controlador Ganancia
P ( ) =cG s Kc
PI ( ) 11
τ
= +
ci
G s Kcs
PD ( ) ( )1 τ= +c dG s Kc s
PID ( ) 11 τ
τ
= + +
c di
G s Kc ss
Controladores PID Estructura ideal
( ) ( )( )
11c d
i
U sG s Kc s
E s sτ
τ
= = + +
donde: E(s)=R(s) - Y(s) R(s) es la transformada de Laplace de la referencia Y(s) es la transformada de Laplace de la variable de proceso controlada U(s) es la transformada de Laplace de la variable de manipulación Sintonización por criterios integrales para cambios en perturbación para un PID ideal Proporcional-Integral ISE IAE ITAE = 1.305 .
= 0.984 .
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180
= 0.859 . = 0.492 .
= 0.608 . = 0.674 .
Proporcional-Integral-Derivativo ISE IAE ITAE = 1.495 .
= 1.435 . = 1.357 . = 01.101 . = 0.878 . = 0.842 . = 0.560 . = 0.482 . = 0.381 .
donde: K = la ganancia del proceso de primer orden τ = constante de tiempo to = tiempo muerto Sintonización por criterios integrales para cambios en referencia para un PID ideal Proporcional-Integral IAE ITAE Proporcional-Integral-Derivativo IAE ITAE
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181
Comunicaciones Osciladores Oscilidor controlado por voltaje Modo de carga Tiempo de carga en el capacitor
( )1 11f C H L
Q Q
C Cv V V
I IΔ = Δ = −
Modo de descarga
( ) ( )1 1 12f C L H H L
Q Q Q
C C Cv V V V V
I I IΔ = − Δ = − − = −
( )11 2
2 H Lf f
Q
C V VT
I
−= Δ + Δ =
La frecuencia de oscilación es:
( )01
1
2Q
H L
If
T C V V= =
−
( )Q m CN COI G v v= +
donde: Gm = Transconductancia de la fuente de corriete, en A/V VCN = voltaje de control aplicado, en V VCO = voltaje constante
( )0
12m
vFCN H L
df GK
dv C V V= =
− Oscilador de corrimiento de fase La función de transferencia del oscilador es:
( ) ( )( )
3 3 3
3 3 3 2 2 26 5 1F
o
V s R C ss
V s R C s R C s RCsβ = =
+ + +
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182
La ganancia de voltaje de lazo cerrado es:
( ) ( )( ) 1
o F
F
V s RA s
V s R= = −
La frecuencia de oscilación es:
0
1
2 6f
RCπ=
La resistencia de retroalimentación es:
1 2 2 2
51FR R
R C ω = −
Osciladores de cuadratura La función de transferencia es:
( ) ( )( )
11
1 1f
o
V s CssRV s RCsCs
β = = =+ +
La frecuencia de oscilación es:
0
1
2f
RCπ=
La ganancia en lazo cerrado es:
12fA
β= =
El voltaje en la salida es:
1
1o
o
RVV
RCs=
+
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183
Osciladores de Puente Wien La función de transferencia es:
( ) ( )( ) 2 2 2 3 1
F
o
V s RCss
V s R C s RCsβ = =
+ +
La ganancia en voltaje de lazo cerrado es:
( )1
1 FRA s
R= +
La frecuencia de oscilación es:
0
1
2f
RCπ=
La condición para la oscilación es:
1
2FR
R=
Oscilador Colpitts La ganancia de lazo cerrado es:
1 0Aβ− = La frecuencia de oscilación es:
1
21 2
01 2
1
2
C Cf
C C Lπ +=
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184
Oscilador de Harley La frecuencia de oscilación es:
( )
1
2
01 2
1 1
2f
C L Lπ
= +
Osciladores de cristal La impedancia del cristal esta dada por:
( )2 2
2 2
1 s
p p
sZ s
sC s
ωω
+=+
La frecuencia de oscilación es:
0
1
2 s
fLCπ
=
555/556 (Multivibrador astable)
donde:
( )0.693 a bTA R R C= +
0.693 bTB R C=
La frecuencia con que la señal de salida oscila está dada por la fórmula:
( )0
1.44
2a b
fR R C
=+
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185
y el período es simplemente: 01/T f=
555/556 (monoestable)
El tiempo o periodo es igual a:
1.1 aT R C=
La especificación mínima de muestras por segundo de una tarjeta DAQ
frecuencia mínima de muestreo = 2*fmax
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186
Modulación y demodulación AM-FM Modulación en amplitud Señal moduladora
( ) ( )coss s sy t A tω=
Señal portadora
( ) ( )cosp p py t A tω=
Señal modulada
( ) ( ) ( )1 cosp p n py t A mA x t tω = + donde: y(t) = señal modulada xn(t) = señal moduladora normalizada con respecto a su amplitud = ys(t) / As m = índice de modulación (suele ser menor que la unidad)=As / Ap La expresión matemática de la señal modulada en frecuencia está dada por:
( ) ( )2 cos 2p p mm
fv t V sen f t f t
fπ π
Δ= +
El índice de modulación es:
m
fm
f
Δ=
donde: mf = índice de modulación ∆f = variación de la frecuencia de la portadora Fm = frecuencia de la portadora Decibel
110
0
dB 10logP
P
=
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187
El decibel referenciado a 1 mW
( ) 11010 log
1
PP dBm
mW
=
Densidad de flujo (W/m2)
( )21
10 2/10 log
1 /W m
PS dB
W m
=
Decibel referenciado a µV
( ) 11020log
1V
UU dB
Vμ μ
=
Acoplamiento de impedancias Decibel en antenas dBi = Ganancia de una antena referenciada a una antena isotrópica dBd = Ganancia de una antena referenciada a una antena dipolo dBq = Ganancia de una antena referenciada a una antena de un cuarto longitud de onda Decibel en acústica dB(SPL) = Nivel de presión del sonido relativo a 20 µPa dB(PA) = dB relativo a un pascal dB SIL = intensidad de nivel de sonido referenciado a 10 E - 12 W/m2 dB SWL = Nivel de potencia del sonido referenciado a 10 E – 12 W
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188
Oscilador de relajación UJT
donde:
p d a d bbV V V V nV= + = +
( )1 1 2 1/ / bbn R R R R R= + =
( )ln 1 / 1e eT R C n= −
( )max /e bb p pR V V I= −
( )minbb e vV R Iv V= +
Oscilador de relajación PUT
donde:
( )1 1 2/g bb b b b bbV V R R R nV= + =
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189
0.7ak p d g bbV V V V nV= = + = +
( )1 2ln 1 /b bT RC R R= +
( )max /bb p pR V V I= −
( )min bb vR V V Iv= −
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190
Instrumentación Valor promedio
prom
área bajo la curva
longitud del periodoA =
Siendo promA el valor promedio de la onda
( )0
1 T
promA f t dtT
=
El valor rms
( ) ( )2 2
0
1 T
rmsA f t f t dtT
= =
Señal senoidal Rectificador de media onda
0PROMA =
00.7071rmsA A=
0
0
0.31
0.5PROM
rms
A A
A A
==
Rectificador de onda completa Señal triangular
0
0
0.636
0.7071PROM
rms
A A
A A
==
30
0
3
PROM
rms
A
AA
=
=
Señal cuadrada Señal senoidal desplazada con CD
0
0
2
2
PROM
rms
AA
AA
=
=
( )
1
221 0 1
1
2
PROM
rms
A A
A A A A
=
= + −
Errores en medición
Error absoluto = Resultado - Valor verdadero
Error absoluto Error relativo =
Valor verdadero
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191
Valor promedio
1 2 ... nprom
a a aa
n
+ + +=
donde: aprom = valor promedio an = valor de cada lectura n = número de lecturas Desviación estándar y varianza
2 2 21 2 ...
1nd d d
nσ + + +=
− donde: σ = desviación estándar di = desviación de la lectura i-ésima con respecto al valor promedio L a varianza V es el valor de la desviación estándar σ elevado al cuadro Distribución gaussiana
2V σ=
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192
Puentes de Wheatstone
2
3 1
xR R
R R=
Puente ligeramente desbalanceado
( ) ( )1 2 3TH xR R R R R= +
30 2 2
3 32THx x
R RV V
R R R R
Δ=+ +
Si las cuatro resistencias son iguales el puente esta en equilibrio por lo cual:
THR R=
0 4TH
RV V
R
Δ=
Puente de Kelvin
5 1
6 2
R R
R R=
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193
Ruido térmico o ruido de Jhonson
( )4n H LE KTR f f= − donde: K = constante de Boltzman = 1.38E-23 J/K T = temperatura (K) R = Valor de la resistencia (Ω) fH = frecuencia máxima de operación (Hz) fL = frecuencia mínima de operación (Hz) Amplificador de instrumentación
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194
( )2 1
1g
g
I V VR
= −
( ) 1intermedio 2 1
21
g
RV V V
R
= − +
( ) 312 1
2
21out
g
RRV V V
R R
= − +
( ) 12 1
21out
g
RV V V
R
= − +
El rechazo de modo común es máximo cuando:
kR
R
R
R==
6
7
4
5
Termopar La relación de temperatura voltaje es:
20V AT BT= +
Termistor El cambio de resistencia de los termistores en respuesta a cambios en la temperatura
( )31ln lnA B R C R
T= + +
donde: T = temperatura (K) R = resistencia del termistor (Ω) A,B,C = constantes del ajuste de curva La proximación de la resistencia se obtiene con:
0
1 1
0T TR R e
β
− =
donde: R = resistencia a la temperatura T (K) R0 = resistencia a T0 (K)
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195
β = constante del ajuste de curva Sensores Sensores resistivos Potenciómetros
( ) ( )1R l l xA A
ρ ρα= − = −
donde: x = distancia recorrida desde un punto fijo α = fracción de longitud correspondiente en un punto fijo ρ = coeficiente de resistividad del material l = longitud del material A = sección transversal del material Galgas extensométricas Las galgas extensométricas se basan en la variación de la resistencia de un conductor o un semiconductor cuando es sometido a un esfuerzo mecánico.
lR
Aρ=
Si se somete a un esfuerzo en la dirección longitudinal R cambia.
dR d dl dA
R l A
ρρ
= + −
El cambio de longitud que resulta se determina a través de la ley de Hooke
F dlE E
A lσ ε= = =
donde: E = módulo de Young σ = tensión mecánica ε = deformación unitaria
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196
Fotorresistencia Energía de la radiación óptica
E hf= donde: E = energía h = constante de Planck 6.62 x 10-34 Ws2 f = frecuencia Para la longitud de onda de radiación
hc
Eλ =
donde: c = velocidad de la luz h = constante de Plack E = 1.602E-19 J Sensores capacitivos Condensadores variables
( )0 1r
AC n
dε ε≈ −
donde: A = área de las placas d = distancia entre pares de placas εr = constante dieléctrica relativa ε0 = 8.85 pF/m Los sensores capacitivos no son lineales, su linealidad depende del parámetro que varía y del tipo de medición. En un condensador plano, si varía A o εr por lo cual:
( )1
AC
dε
α=
+
donde:
d
xα =
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197
Condensador diferencial
11
AC
d x
ε=+
22
AC
d x
ε=−
1
1 1 2i i
ii
i i
d x d xV V V
dd x d x
− −= =+
+ −
Por lo cual, para el caso en que d1 y d2, se tiene:
1 2
xV V V
d− =
Sensores inductivos La inductancia se expresa como:
dL N
di
φ=
donde: N = número de vuelas del circuito I = corriente Φ = flujo magnético El flujo magnético se obtiene con:
M
RΦ =
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198
donde: M = fuerza electromotriz R = reluctancia Para una bobina de sección A y de longitud l, la reluctancia es:
0
1 1
r
RAμ μ
=
Sensores electromagnéticos. Sensor basados en la ley de Faraday
de N
dt
Φ= −
Tacogeneradores La tensión inducida por el generador es:
e NBA sen tdtω ω= Si ω es constante
cose NBA tω ω= − Sensores de velocidad lineal
e Blv= donde: L = longitud del conductor v = velocidad lineal
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199
Sensores de efecto Hall
HH
V tA
IB=
Aportación de magnitud y fase para cada término de la función de transferencia Término Magnitud
logarítmica Ángulo de fase Magnitud logarítmica Ángulo de
fase K 20 log K 0φ = ° 20log K φ = 0°
jω 20logω 90φ = ° Línea diagonal con
pendiente 20 dB/dec que cruza el punto (w=1,db=0)
φ = 90°
1
jω 20logω− 90φ = − °
Línea diagonal con pendiente –20 dB/dec que cruza el punto (w=1,db=0)
φ = -90°
1jωτ + 20logωτ 1tanφ ωτ−=
0 db, hasta la frecuencia de corte.
(ω=1/τ Pendiente 20 dB/dec
a partir de ω>1/τ
φ de 0° a 90°
en (ω=1/τ) = 45°
1
1jωτ + 20logωτ− 1tanφ ωτ−= −
0 db, hasta la frecuencia de corte
(ω=1/τ
Pendiente - 20 dB/dec a partir de ω>1/τ
φ de 0° a – 90°
en (ω=1/τ) = −45°
2
21
n n
jω ωω ω
− + + 40logn
ωω
12
2
tan
1
n
n
ωςωφωω
−
= −
Línea horizontal 0 db hasta ω=ωn
Pendiente 40 dB/dec para
ω>ωn
φ de 0° a 180°
en (ω=ων ) = 90°
2
2
1
1n n
jω ωω ω
− + + 40log
n
ωω
−
12
2
tan
1
n
n
ωςωφωω
−
= − −
Línea horizontal 0 db hasta ω=ωn
Pendiente -40 dB/dec
para ω>ωn
φ de 0° a -180°
en: (ω=ων ) = −90°
0j te ω− 0 057.3 tφ ω= − 0 φ = -57.3 ωto
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200
Transformada Z La TZ bilateral de una señal definida en el dominio del tiempo discreto x[n] es una función X (z) que se define:
( ) [ ] [ ] n
n
X z Z x n x n z∞
−
=−∞
= =
donde: n = un entero z = un número complejo
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201
Datos prácticos Sistema de unidades eléctricas. Fórmulas fundamentales en CD
Magnitud Sistema Fórmulas más utilizadas para su
cálculo MKSI CGSEM
Unidad Símbolo Unidad Símbolo Desplazamiento o inducción
I, i
Ampere A I=V/R
Cantidad de electricidad
Q Coulomb Q Q=I·t
d.d.p. o tensión U Volt V V=R·I Resistencia R Ohm Ω R=V/I Capacidad C Farad F C=Q/V Campo eléctrico y gradiente de potencia
E V/m -- E=F/Q
Desplazamiento o inducción electrostática
D Q/m2 -- D=ϵ·E
Inducción magnética
B Tesla W/m2 Gauss Gs β=1,25 · N · I · μ/L (Gs)
Campo magnético H A/m -- Oersted Oe H=1,25 · N · I/L (Oe)
Permeabilidad μ -- -- μ=β/H Flujo magnético Φ Weber Wb Maxwell Mx Φ=1,25·N·I·μ·S/L
(mx) Fuerza magnetomotriz
Ampere At, A Gisbert Gb ϵ=1,25 · N · I
Inductancia L Henry H L=N·φ/108·I Reluctancia R At/Wb R=I/S·μ Intensidad luminosa I Candela Cd I=φ/ω Flujo luminoso Φ Lumen lm Φ=Q/t Cantidad de luz Q lm/s -- -- Iluminación E Lux lx E=φ/S Brillo Stilb sb Sb=1 cd/1 cm2
1 nit= 1 cd/1 m2
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202
Resistividad y conductividad de conductores (a 20 °C)
Material
Material
Acero dulce 0.13 7.7 Latón Ms 63 0.071 14 Aluminio 0.0278 36 Magnesio 0.0435 23 Antimonio 0.417 2.4 Manganina 0.423 2.37 Cadmio 0.076 13.1 Mercurio 0.941 1.063 Carbón 40 0.025 Níquel 0.087 11.5 Cobre (eléc.) 0.0175 57 Niquelina 0.5 2.0 Constantán 0.48 2.08 Oro 0.0222 45 Cromo-Ni-Fe 0.10 10 Plata 0.016 62.5 Estaño 0.12 8.3 Plata alemana 0.369 2.71 Hierro fundido 1 1 Platino 0.111 9 Hierro (puro) 0.10 10 Plomo 0.208 4.8 Grafito 8.00 0.125 Tungsteno 0.059 17 Latón Ms 58 0.059 17 Zinc 0.061 16.5
Resistividad de aislantes Material Material Aceite de parafina 1018 Mica 1017 Agua de mar 106 Parafina (pura) 1018 Agua destilada 107 Plexiglás 1015 Ámbar comprimido 1018 Poliestireno 1018 Baquelita 1014 Porcelana 1014 Caucho (hule) duro 1018 Tierra húmeda 108 Mármol 1010 Vidrio 1015
Coeficiente térmico de resistencia (a 20 °C)
Material Material
Acero dulce + 0.00660 Manganina +/- 0.00001 Aluminio + 0.00390 Mercurio + 0.00090 Carbón - 0.00030 Níquel + 0.00400 Cobre + 0.00380 Niquelina + 0.00023 Constantán - 0.00003 Plata + 0.00377 Estaño + 0.00420 Plata alemana + 0.00070 Grafito - 0.00020 Platino + 0.00390 Latón + 0.00150 Zinc + 0.00370
ρ γ
ρ2 /mm mΩ ⋅
1γρ
=ρ
2 /mm mΩ ⋅1γρ
=
ρ
cmΩ ⋅ cmΩ ⋅
20α
1 1,oC K− − 1 1,oC K− −
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203
Constante dieléctrica
Material aislante Material aislante Material aislante
Aceite de oliva 3 Caucho (hule) duro 4 Papel Kraft 4.5 Aceite de parafina 2.2 Caucho (hule) suave 2.5 Papel pescado 4 Aceite de ricino 4.7 Compuesto
(compound) 2.5 Parafina 2.2
Aceite mineral para transformadores
2.2 Cuarzo 4.5 Petróleo 2.2
Aceite vegetal para transformadores
2.5 Ebonita 2.5 Pizarra 4
Agua 80 Esteatita 6 Plexiglás 3.2 Aire 1 Fibra vulcanizada 2.5 Poliamida 5 Aislamiento para cable alta tensión
4.2 Gutapercha 4 Polistireno 3
Aislamiento para cable telefónico
1.5 Laca (Shellac) 3.5 Porcelana 4.4
Araldita 3.6 Mármol 8 Resina fenólica 8 Baquelita 3.6 Mica 6 Teflón 2 Cartón comprimido 4 Micanita 5 Tela 4 Papel 2.3 Trementina
(aguarrás) 2.2
Papel impregnado 5 Vidrio 5 Serie de potenciales electroquímicos Diferencia de potencial referida a electrodo de hidrógeno Material Volts Material Volts Material Volts Aluminio -1.66 Hidrógeno 0.00 Platino +1.20 Berilio -1.85 Hierro -0.41 Plomo -0.13 Cadmio -0.40 Magnesio -2.37 Potasio -2.93 Calcio -2.87 Manganeso -1.19 Sodio -2.71 Cobalto -0.28 Mercurio +0.85 Tungsteno -0.58 Cobre +0.34 Níquel -0.23 Zinc -0.76 Cromo -0.74 Oro +1.50 Estaño -0.14 Plata +0.80
Números estandarizados mediante una razón progresiva
Serie E 6 ( )6 10≈ Serie E 12 ( )12 10≈ Serie E 24 ( )24 10≈
1.0 2.2 4.7 1.0 2.2 4.7 1.0 2.2 4.7 1.1 2.4 5.1 1.2 2.7 5.6 1.2 2.7 5.6 1.3 3.0 6.2 1.5 3.3 6.8 1.5 3.3 6.8 1.5 3.3 6.8
rε
rε
rε
rε
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204
1.6 3.6 7.5 1.8 3.9 8.2 1.8 3.9 8.2 2.0 4.3 9.1 10 22 47 10 22 47 10 22 47
etc. etc. etc.
Intensidad de campo h y permeabilidad relativa en función de la inducción
magnética b deseada
Inducción o densidad de flujo
Hierro fundido Acero fundido y lámina tipo “dynamo”
Lámina de acero aleado
B H H H
Tesla (T=Vs/m2)
Gauss(Gs) A/m A/m A/m
0.1 1 000 440 181 30 2 650 8.5 9 390 0.2 2 000 740 215 60 2 650 25 6 350 0.3 3 000 980 243 80 2 980 40 5 970 0.4 4 000 1 250 254 100 4 180 65 4 900 0.5 5 000 1 650 241 120 3 310 90 4 420 0.6 6 000 2 100 227 140 3 410 125 3 810 0.7 7 000 3 600 154 170 3 280 170 3 280 0.8 8 000 5 300 120 190 3 350 220 2 900 0.9 9 000 7 400 97 230 3 110 280 2 550 1.0 10 000 10 300 77 295 2 690 355 2 240 1.1 11 000 14 000 63 370 2 360 460 1 900 1.2 12 000 19 500 49 520 1 830 660 1 445 1.3 13 000 29 000 36 750 1 380 820 1260 1.4 14 000 42 000 26 1 250 890 2 250 495 1.6 16 000 3 500 363 8 500 150 1.7 17 000 7 900 171 13 100 103 1.8 18 000 12 000 119 21 500 67 1.9 19 000 19 100 79 39 000 39 2.0 20 000 30 500 52 115 000 14 2.1 21 000 50 700 33 2.2 22 000 130 000 13 2.3 23 000 218 000 4
rμ
10 3.6 /Fe
W Kgρ =10 1.3 /
FeW Kgρ =
rμ
rμ
rμ
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205
Valores para lámina tipo “dynamo” (de la norma din 46 400)
Clase Lámina normal
Lámina de aleación Baja Mediana Alta
Tipo I 3.6 II 3.0 III 2.3 IV 1.5 IV 1.3 Tamaño
mm x mm 1 000 x 2 000 750 x 1 500
Espesor, mm 0.5 0.35 Densidad, kg/dm3 7.8 7.75 7.65 7.6
Valor máximo de las pérdidas,
W/kg
3.6 3.0 2.3 1.5 1.3
8.6 7.2 5.6 3.7 3.3
Valor mínimo de la
inducción
B25 Tesla Gauss
1.53 15 300
1.50 15 300
1.47 14 700
1.43 14 300
B50 Tesla Gauss
1.63 16 300
1.60 16 000
1.57 15 700
1.55 15 500
B100 Tesla Gauss
1.73 17 300
1.71 17 100
1.69 16 900
1.65 16 500
B300 Tesla Gauss
1.98 19 800
1.95 19 500
1.93 19 300
1.85 18 500
Explicaciones: B25 = 1.53 tesla significa que una inducción o densidad de flujo mínima de 1.53 T se alcanzará con una intensidad de campo de 25 A/cm. Para una línea de flujo de, p. ej., 5 cm, se necesitarán: 5 x 25 = 125 A.
Pérdidas magnéticas por unidad de masa con las inducciones de:
10 000 Gs = 1.0 tesla
15 000 Gs = 1.5 tesla
Los valores corresponden a las siguientes condiciones: Densidad a t=15 °C Temperaturas (o puntos) de fusión y de ebullición para = 1.0132 bar = 760 Torr Los valores entre paréntesis indican sublimación, o sea, cambio directo del estado sólido al gaseoso. Conductividad térmica a 20 °C Capacidad térmica específica (o calor específico) para el intervalo de temperaturas 0 < t < 100 °C
Puntos de
Sustancia Densidad
Fusión (soldf.)
Ebullición Conductividad
térmica k
Calor específico
c kg/dm3 ° C ° C W/(mK)(1) kJ/(kgK)(2)
Aceite de colza 0.91(3) -3.5 300 0.17 1.97 Aceite de linaza 0.94(3) -20 316 0.15
10Feρ
10Feρ
10Feρ
15Feρ
ρ
ρ
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206
Aceite para calefacción
0.92(3) -5 175-350 0.12
Aceite para máquinas 0.91 -5 380-400 0.126 1.67 Aceite para
transformadores 0.87 -5 170 0.15 1.84
Acero 7.85 ~1 350 2 500 47-58 0.46 Acero colado 7.8 ~1 350 52.3 0.502 Acero dulce 7.85 ~1 400 2 500 46.5 0.461
Acero de alta velocidad
8.4-9.0 ~1 650 2 600 25.6 0.498
Acetona 0.79(3) 56.1 Ácido acético 1.08 16.8 118
Ácido cianhídrico 0.7 -15 27 Ácido clorhídrico 10% 1.05 -14 102 0.50 3.14 Ácido clorhídrico 40% 1.20
Ácido fluorhídrico 0.99 -92.5 19.5 Ácido nítrico 1.56(4) -1.3 86 0.53 2.72
Ácido sulfúrico 1.49(5) -73 -10 1.34 Ácido sulfúrico 50% 1.40
Ácido sulfúrico concentrado
1.84 10-0 338 0.5 1.38
Ágata ~2.6 ~1 600 ~2 600 11.20 0.80 Agua 1.0(6) 0 100 0.58 4.183
Alcohol 0.79 -130 78.4 0.17-0.23 2.42 Alcohol etílico 95% 0.82(3) -90 78 0.16
Alcohol metílico 0.8 -98 66 2.51
Ceneval, A.C. Camino al Desierto de los Leones (Altavista) 19,
Col. San Ángel, Del. Álvaro Obregón, C.P. 01000, México, D.F. www.ceneval.edu.mx
El Centro Nacional de Evaluación para la Educación Superior es una asociación civil sin fines de lucro que quedó formalmente constituida el 28 de abril de 1994, como consta en la escritura pública número 87036 pasada ante la fe del notario 49 del Distrito Federal. Sus órganos de gobierno son la Asamblea General, el Consejo Directivo y la Dirección General. Su máxima autoridad es la Asamblea General, cuya integración se presenta a continuación, según el sector al que pertenecen los asociados, así como los porcentajes que les corresponden en la toma de decisiones: Asociaciones e instituciones educativas (40%): Asociación Nacional de Universidades e Instituciones de Educación Superior, A.C. (ANUIES); Federación de Instituciones Mexicanas Particulares de Educación Superior, A.C. (FIMPES); Instituto Politécnico Nacional (IPN); Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey (ITESM); Universidad Autónoma del Estado de México (UAEM); Universidad Autónoma de San Luis Potosí (UASLP); Universidad Autónoma de Yucatán (UADY); Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM); Universidad Popular Autónoma del Estado de Puebla (UPAEP); Universidad Tecnológica de México (UNITEC). Asociaciones y colegios de profesionales (20%): Barra Mexicana Colegio de Abogados, A.C.; Colegio Nacional de Actuarios, A.C.; Colegio Nacional de Psicólogos, A.C.; Federación de Colegios y Asociaciones de Médicos Veterinarios y Zootecnistas de México, A.C.; Instituto Mexicano de Contadores Públicos, A.C. Organizaciones productivas y sociales (20%): Academia de Ingeniería, A.C.; Academia Mexicana de Ciencias, A.C.; Academia Nacional de Medicina, A.C.; Fundación ICA, A.C. Autoridades educativas gubernamentales (20%): Secretaría de Educación Pública. • Ceneval, A.C.®, EXANI-I®, EXANI-II® son marcas registradas ante la Secretaría de
Comercio y Fomento Industrial con el número 478968 del 29 de julio de 1994. EGEL®, con el número 628837 del 1 de julio de 1999, y EXANI-III®, con el número 628839 del 1 de julio de 1999.
• Inscrito en el Registro Nacional de Instituciones Científicas y Tecnológicas del Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología con el número 506 desde el 10 de marzo de 1995.
• Organismo Certificador acreditado por el Consejo de Normalización y Certificación de Competencia Laboral (CONOCER) (1998).
• Miembro de la International Association for Educational Assessment. • Miembro de la European Association of Institutional Research. • Miembro del Consortium for North American Higher Education Collaboration. • Miembro del Institutional Management for Higher Education de la OCDE.
Dirección General Adjunta de los EGEL
JUNIO • 2013