formulÁrio elaboraÇÃo itens/questÕes · nÍvel de dificuldade: ( ) facil ( x ) mÉdio ( )...
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FORMULÁRIO ELABORAÇÃO ITENS/QUESTÕES
ÁREA:PEDAGOGICO ELABORAÇÃO E REVISÃO
DE PROVAS CÓDIGO:FO 7.5.1/01 REVISÃO: 01 PÁGINA: 1 de 14
CONCURSO: DOCENTES EFETIVOS DO COLÉGIO PEDRO II DATA:22/12/2014
CARGO/ARÉA: MATEMÁTICÁ
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:SISTEMAS LINEARES/ VETORES NO R3 /GEOMETRIA ANALÍTICA EMR3.
NÍVEL DE DIFICULDADE: ( ) FACIL ( x ) MÉDIO ( ) DIFÍCIL
ELABORADOR(A): : CLAÚDIO SILVEIRA DE SOUZA, EDUARDO VICENTE DO COUTO, NELSON DE
MELLO REZENDE, TANIA MARIA BOFFONI SIMÕES DE FARIA
Enunciado:
Considere sistema linear
71425
5623
322
zyx
zyx
zyx
,em que cada equação representa um plano do 3 .
Comando
a) Obtenha as equações paramétricas da reta do 3 que representa a interseção dos três referidos planos.
b) Determine as equações simétricas da reta do 3 que passa pelo ponto (1, 3, -2) e é perpendicular ao plano 71425 zyx .
c) Calcule o menor ângulo formado pelos planos 322 zyx e 5623 zyx .
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DE PROVAS CÓDIGO:FO 7.5.1/01 REVISÃO: 01 PÁGINA: 2 de 14
Padrão de respostas
a)
71425
5623
322
zyx
zyx
zyx
82480
41240
322
zyx
zyx
zyx
(II) 13
(I) 322
zy
zyx
Fazendo ttz ; , e substituindo na equação (II), temos:
(III) 3113 tyty
Substituindo y e z na equação (I), temos:
413262 txttx
Logo, as equações paramétricas da reta são
tz
ty 31
4t-1x
; t
b) O vetor (5, 2, 14), normal ao plano ,71425 zyx será o vetor diretor da reta pretendida, já que
ela é perpendicular ao referido plano. Sabe-se ainda que a reta passa pelo ponto (1, 3, -2).
Logo, as equações simétricas da reta são:
14
2
2
3
5
1
zyx
c) O menor ângulo formado pelos planos 322:)( zyx e 5623:)( zyx corresponde ao
menor ângulo formado pelos seus vetores normais.
)2,2,1( n : vetor normal ao plano
)6,2,3(n : vetor normal ao plano
56)2(2231 nn
3)2(21 222 n
7623 222 n
nn
nn
cos
21
5
73
5
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ÁREA:PEDAGOGICO ELABORAÇÃO E REVISÃO
DE PROVAS CÓDIGO:FO 7.5.1/01 REVISÃO: 01 PÁGINA: 3 de 14
21
5cosarc
Referências bibliográficas:
Julianelli, Roberto, J., Cálculo Vetorial e Geometria Analítica, Ed. Ciência Moderna, 2008.
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ÁREA:PEDAGOGICO ELABORAÇÃO E REVISÃO
DE PROVAS CÓDIGO:FO 7.5.1/01 REVISÃO: 01 PÁGINA: 4 de 14
CONCURSO: DOCENTES EFETIVOS DO COLÉGIO PEDRO II DATA: 07/11/14
CARGO/ARÉA: MATEMÁTICA
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:FUNÇÃO/ DERIVADA
NÍVEL DE DIFICULDADE :( ) FACIL (x ) MÉDIO ( ) DIFÍCIL
ELABORADORES: CLAÚDIO SILVEIRA DE SOUZA, EDUARDO VICENTE DO COUTO, NELSON DE
MELLO REZENDE, TANIA MARIA BOFFONI SIMÕES DE FARIA
Enunciado:
No plano cartesiano a seguir estão representados o gráfico da função real xxx
xf 223
)(23
e
as retas .r e ,, 4321 rrr
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Sabe-se que:
a reta 1r é paralela ao eixo das abscissas e tangencia o gráfico da função f no ponto
D;
as retas 32 r e r são paralelas e tangenciam o gráfico da função f respectivamente nos
pontos C e E, sendo -2 a abscissa do ponto C;
a reta 4r é paralela ao eixo das ordenadas e passa por F, ponto de máximo local da
função f.
Comando Determine:
a) os zeros da função f .
b) as equações das retas 1r e .4r
c) as equações das retas .r e 32r
Padrão de respostas
a) f(x) = 0, então :
4
1053,
4
1053,0
:f função da s
4
10530123202
23ou 0
0223
0223
22
2
23
zero
xxxxx
x
xxx
xxx
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1:r ; 3
10:
3
10)2(2
2
2
3
2)2(
2ou x 10)('
2)(')
41
23
2
xyr
f
xxf
xxxfb
2
274:
2
27'
2
3'3.4
:,2
33,- ponto o
2
33.2
2
3
3
3f(3)
3ou x 2
06
424)('
'4://
3
224:
3
22
3
2)2(4
:,3
2 2,-- ponto o
4)2('
:
3
242
3
8f(-2) )
3
3
23
2
2
332
2
2
2
xyr
bb
temosrComo
x
xx
xxxf
bxyrrr
xyr
bb
temosrComo
fa
baxyr
c
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DE PROVAS CÓDIGO:FO 7.5.1/01 REVISÃO: 01 PÁGINA: 7 de 14
Referências bibliográficas:
Stewart, James. Cálculo. Vol.1, São Paulo Pioneira Thompson Learning, 2002.
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ÁREA:PEDAGOGICO ELABORAÇÃO E REVISÃO
DE PROVAS CÓDIGO:FO 7.5.1/01 REVISÃO: 01 PÁGINA: 8 de 14
CONCURSO: DOCENTES EFETIVOS DO COLÉGIO PEDRO II DATA:
07/11/2014
CARGO/ARÉA: MATEMÁTICA
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO: GEOMETRIA PLANA/
GEOMETRIAESPACIAL/TRIGONOMETRIA/ ANÁLISE COMBINATÓRIA
NÍVEL DE DIFICULDADE: ( ) FACIL ( ) MÉDIO ( x ) DIFÍCIL
ELABORADOR(A): CLAÚDIO SILVEIRA DE SOUZA, EDUARDO VICENTE DO COUTO, NELSON DE
MELLO REZENDE, TANIA MARIA BOFFONI SIMÕES DE FARIA
Enunciado:
Seja ABCDEFGHIJLM um dodecágono regular inscrito numa circunferência de centro O e raio
6 cm.
Comando:
a) Mostre que o lado desse dodecágono mede 3. �√6 − √2�cm.
b) Considere a região interior à circunferência e exterior ao hexágono regular ACEGIL.
Determine o volume do sólido gerado pela rotação completa dessa região em torno do eixo
que passa pelos pontos A e G.
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c) Quantos polígonos convexos se pode formar cujos vértices são vértices do dodecágono
ABCDEFGHIJLM?
Padrão de respostas
a) Seja lo lado do dodecágono regular.Aplicando a lei dos cossenos no triângulo OAB, tem-
se:
cm 26.32
26.6
2
26.6
4
22.626.6
4
348.632.6
33672
º30cos.6.6.266
2
2
222
l
l
l
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b)
3
223
gerado
cm 72
54162288
272627288
3333
126.)33(6..
3
4
.2
conecilindroesferasólido VVVV
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gerado sólidoV 3cm 72
convexos 4017
794096
1.2
11.121214096
)(2...) 212
112
012
121212
512
412
312
polígonos
CCCCCCCc
4017 polígonos convexos
Referências bibliográficas:
IEZZI, G., Trigonometria. Vol. 3. HAZZAN, S. Combinatória / Probabilidades. Vol. 5.
DOLCE, O.,POMPEO, NICOLAU, J., Geometria Plana. Vol. 9.
DOLCE, O., POMPEO, NICOLAU, J., Geometria Espacial. Vol. 10.
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ÁREA:PEDAGOGICO ELABORAÇÃO E REVISÃO
DE PROVAS CÓDIGO:FO 7.5.1/01 REVISÃO: 01 PÁGINA: 12 de 14
CONCURSO: DOCENTES EFETIVOS DO COLÉGIO PEDRO II DATA:
07/11/2014
CARGO/ARÉA: MATEMÁTICA
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO: MATEMÁTICAFINANCEIRA/LOGARITMO/PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
NÍVEL DE DIFICULDADE: ( ) FACIL ( x) MÉDIO ( ) DIFÍCIL
ELABORADOR(A): CLAÚDIO SILVEIRA DE SOUZA, EDUARDO VICENTE DO COUTO, NELSON DE
MELLO REZENDE, TANIA MARIA BOFFONI SIMÕES DE FARIA
Enunciado:
Felipe contraiu hoje um empréstimo de R$ 10 000,00 em um banco que pratica uma taxa de juros
de 10% ao mês, com juros capitalizados mensalmente.
Comando:
a) Se Felipe pretende quitar a sua dívida fazendo um primeiro pagamento de R$ 4 000,00
daqui a 30 dias e um segundo pagamento de x reais daqui a 60 dias, qual é o valor de
x?
b) Se Felipe não fizer nenhum pagamento ao banco, qual é o número mínimo de meses
necessários para que sua dívida supere os R$ 35 000,00 ?
1,04= 11 log 0,85; = 7 log 0,30; = 2 log :Dados
c) Caso Felipe quisesse quitar a sua dívida pagando 10 prestações mensais consecutivas
iguais a y reais cada, sendo a primeira 30 dias após ter contraído o empréstimo, qual
deveria ser o valor aproximado de y ?
( Dado: 59,21,1 10 )
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Padrão de respostas
Taxa de juros: i = 10% a.m.
a)
DATA FOCAL 2:
7700
121004400
1,1100001,14000 2
x
x
x
Resposta: R$7700,00
b) n = nº de meses
meses 14 n ,
75,1355,004,0
2log7log)10log11(log2
7log
10
11log5,31,135000)1,1(10000
mínimo
Logo
nn
nnnn
0
1 2nº de meses
4000,00 x reais
E= 10 000,00
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ÁREA:PEDAGOGICO ELABORAÇÃO E REVISÃO
DE PROVAS CÓDIGO:FO 7.5.1/01 REVISÃO: 01 PÁGINA: 14 de 14
c)
DATA FOCAL 10:
93,162859,1
2590
159,2
1,025900
59,21000011,1
]1)1,1.(1[1,110000)1...1,11,11,1(
1010789
y
yy
Resposta: R$1628,93
Referências bibliográficas:
César, Benjamin, Matemática Financeira, teoria e 700 questões, Rio de Janeiro, Editora Impetus, 2004. MURAKAMI, C., DOLCE, O. , IEZZI, G., Logaritmos. Vol. 2. HAZZAN, S., IEZZI G., Sequências/Matrizes/Determinantes/Sistemas. Vol. 4.
0 1 2 3 10
y y y y
nº meses
E=10000