FORMULARIO PARA CIRCUITOS MAGNÉTICOS

Bg= µoHg T (Densidad del campo magnético en entrehierro)

µm = µrµo = Bm / Hm (Permeabilidad del medio o del material)

Bm= µmHm T (ki = f. de apilamiento; Efecto de borde y acero laminado)

ϕm =BmAmki Wb ki = Aef / Atot (Aef = área efectiva del núcleo; Atot = área total del núcleo)

ϕg =BgAg Wb (Flujo magnético en entrehierro)

Rm = lm /µmAm Hy-1 Rg = lg /µoAg Hy

-1 Rtot = Rm + Rg

F= Ni = ϕRtot A-v (Potencial magnético o fuerza magnetomotriz)

Hm lm + Hg lg = Ni A-v

Wg = 0.5 HgBg lg Ag J (Energía mag. almacenada en entrehierro)

L = N2/Rtot = Nϕ / i = /i = N

2µoAg / lg Hy (Inductancia de la bobina)

= Nϕ Wb (Dispersión del flujo en el devanado)

Si µm Hm lm + Hg lg = Ni = 0

Atoroide circular = (π/4)d2 (d= diámetro) lm = 2π(Ri + Re)/2 lm= 2πRm

lm= 2πRm – lg (con entrehierro)

Eef = Vef = (2π/ 2 )f N ϕmax (Tensión inducida en la bobina)

Ph = f η(Bmax)2 (Perdida por Histéresis)

Pf = π2f

2 t

2 B

2 máx. / 6ρ (Perdida por corriente parásita o Foucault donde t= espesor de la

lámina; f=frecuencia de la fuente; ρ=resistividad del material).

Pn = Pf + Ph (Pérdida total en el núcleo)

Ag = (a+g)(b+g) (caras rectangulares paralelas)

Ag = (c+2g)(d+2g) (caras rectangulares paralelas diferentes)*

Ag = π/4(d + g)2 (caras circulares paralelas iguales)

Ag = π/4(d + 2g)2 (caras circulares paralelas diferentes)*

*Se consideran los lados de la menor de las secciones.

FORMULARIO PARA TRANSFORMADORES (1ϕ)

a=N1 /N2 = V1 /V2 = I2 / I1 (Razón de transformación)

Io= Ic + Im (Corriente de vacío o de excitación)

Ic= Pn / E1 (Componente de pérdida en el núcleo) gc = Ic /E1

Im= (I2

o – I2

c)1/2

(Componente de magnetización del núcleo) bm = Im /E1

Prueba de Vacío

Ic= Po / Vo gc = Ic /Vo Yo = Io /Vo bm= (Y2

o – g2

c)1/2

fp= Po / Io Vo

Prueba de Corto Circuito

Zeq = Vcc /Icc Req = Pcc /I2 cc Xeq= (Z

2eq – R

2eq)

1/2 fp= Pcc / Icc Vcc

Vcc ≈ 5% Vn ; Io ≈ 1- 8% In

ReqDC = R1 + a2R2 (R1 y R2 resistencias de los enrrollados medidos con DC)

ε = (V1-aV2 /aV2)∙100 % (Regulación de tensión) V1= a(I2Zeq+V2) V2= VnBT

η = (Sncarga cosφ/ Sncarga cosφ + Pcc +Po)∙100 % (Rendimiento o Eficiencia a plena carga)

k =Icarga / In (Carga en porcentaje, acompaña a Pcc como k2) ReqBT I2

2 con I2= Sc / VBT

Ptrafo= Pnucleo + Pcarga Pnucleo= (V1/a)2 /Rcarga ; Pcarga= ReqBT I2

2

(Re) 75º = (Re) Tº (234,5+75º /234,5+ Tº) (Temperatura de operación del transformador)

Valores en por unidad (pu)

Base = SB = IB VB pu Xu = Base ∙ Xo/1 (ejemplo)

ZB = (V)B2 / (VA)B

IB = SB /VB Ro/1 = R / ZB pu a = (VB)AT / (VB)BT

ZB = VB /IB Xo/1 = X / ZB pu 1/a = (IB)AT / (IB)BT

YB = IB /VB Yo/1 = Y / YB pu (SB)AT = (SB)BT = SB

Calculo directo de parámetros en por unidad (pu)

Zeqo/1 = Vcc / Vn pu Yo

o/1 = Io / In pu

Reqo/1 = Pcc / Sn pu gc

o/1 = Po / Sn pu

Xeqo/1 = ( Z

2eqo/1 - R

2eqo/1)

1/2 pu

bm

o/1 = ( Y

2oo/1 - g

2co/1)

1/2 pu

FORMULARIO PARA TRANSFORMADORES (3ϕ)

∆/∆ a3φ = a1φ V3φAT = V1φAT V3φBT = V1φBT

Y/Y a3φ = a1φ V3φAT = 3 V1φAT V3φBT = 3 V1φBT

∆/Y a3φ = a1φ / 3 V3φAT = V1φAT V3φBT = 3 V1φBT

Y/∆ a3φ = 3 a1φ V3φAT = 3 V1φAT V3φBT = V1φBT

SB1φ = SB3φ / 3 ZB3φ = (Vlinea-linea)2 / SB3φ

Ze∆ = 3ZeY Re = Pcc / 3Icc Ze = Vcc / 3 Icc

ZB = (V)B2 / (VA)B

ε = (V1-aV2 /aV2)∙100 % (Regulación de tensión) V1= a(I2Zeq+V2) V2= VnBT

η = (Sncarga cosφ/ Sncarga cosφ + Pcc +Po)∙100 % (Rendimiento o Eficiencia a plena carga)

k =Icarga / In (Carga en porcentaje, acompaña a Pcc como k2) ReqBT I2

2 con I2= Sc / VBT

Prueba de Vacío

Ic= (Po/3) / (Vo/ 3 ) gc = Po/Vo2

Yo = Io /(Vo/ 3 ) bm= (Y2

o – g2

c)1/2

fp= Po / Io Vo

Prueba de Corto Circuito

Zeq = (Vo/ 3 ) /Icc Req = (Pcc/3) /I2 cc Xeq= (Z

2eq – R

2eq)

1/2 fp= Pcc / Icc Vcc

Vcc ≈ 5% Vn ; Io ≈ 1- 8% In

FORMULARIO PARA MOTORES TRIFÁSICOS DE INDUCCIÓN

ωs = 4πf /P con ω=2πf (Velocidad Sincrónica del Campo Giratorio)

ns=120f /P (Velocidad sincrónica de los campos magnéticos)

ωm = 2πn/60 = ωs – ωr (Velocidad Mecánica)

s = ns – nn / ns s = ωs – ωm / ωs (Deslizamiento) nn= n = ns(1- s) = dato

s ≈ 3-8% en condiciones Nominales n < ns ; ωm < ωs

nr = ns - n (Velocidad del Campo Giratorio Inducido en el Rotor)

fr = sf (Frecuencia de deslizamiento de las corrientes en el rotor)

E2 = 4,44fNΦmax (Voltaje inducido en el rotor (detenido))

I2e = V1 / {(r1+ r2e / s)2 + xe

2}

1/2 (Corriente inducida en el rotor)

r2e = a2r2 , x2e = a

2x2 E1 = aE2 (Cantidades del rotor referidas al estator)

r2e / s = r2e (1- s) / s + r2e xe = x1 + x2e

Pent = 3 V3FI3Fcosφ = 3V1FI1Fcosφ (Potencia de entrada)

I1 = V1 / Zent (Corriente de entrada o corriente estatórica)

Te = 3V1φ2 r2e / ωs [(r1+r2e)

2 + xe

2] (Torque electromagnético de partida )

Teje = Peje / ωr (Torque en el Eje) ωr = ωs(1 – s)

η = Peje / Pentrada (Rendimiento) ; Td = Pg / ωs (Torque Desarrollado o Torque Interno)

Peje = Pconv – Prot = Psalida (Potencia disponible en el Eje)

Pe = 3I12r1 (Pérdida en los enrrollados del estator)

Pr = 3I22r2 = 3I2e

2r2e (Pérdida en los enrrollados del rotor)

Pg = Pent - 3I22r2 (Potencia de entrehierro)

Prot = Pmecanicas + Pnucleo + Padicionales (Pérdidas Rotacionales) ≈ 5-7%

Pmecanicas = Roce + Ventilación ; Padicionales ≈1% de Psalida (Cuando no hay información)

Pconv = Pg - 3I22r2 = Pg(1-s) (Potencia Convertida o Mecánica Interna)

Tmax = 3V1φ2 / 2ωs [r1+ (r1

2 + xe

2)

1/2] (Torque máximo) sTmax = r2e / (r1

2 + xe

2)

1/2

FORMULARIO PARA MÁQUINAS SINCRÓNICAS

XS = Xφ + Xl (Reactancia Sincrónica ) Xφ = Reactancia de Magnetización

Xl = Reactancia de Dispersión de armadura

XSag = Eaf ag / Ia sc (Reactancia Sincrónica no Saturada)

XS = Eaf / Ia sc (Reactancia Sincrónica Saturada)

Ef = Kφω (Voltaje interno Generado)

Ra ≈ 0 PJoule-armadura = 0 ; PJoule-armadura = 3 RaIa2 , PJoule-campo = 3 RfIf

2

Pent = Psal + Prot Psal = PHP→W η = Psal / Pent

ωs = 4πf /P con ω=2πf (Velocidad Sincrónica del Campo Giratorio)

nm = ns=120f /P (Velocidad sincrónica de los campos magnéticos)

ωm = 2πn/60 = ωs (Velocidad Mecánica)

Pe = (EfVt / XS)senδ (Potencia Eléctrica del Motor o Generador )

Te = Pe / ωr = EfVt / ωr XS (Torque eléctrico a velocidad sincrónica)

Tmax = 3EfVt / ωm XS = Pmax / ωm (Torque máximo desarrollado)

Pmax = 3VtEf / XS para δ = 90º

Pconv = Tindωm (Potencia Interna Convertida de la MS)

Ef = kf If (Linealidad)

Límite de estabilidad permanente para δ = 90º

Desconexión de la carga para δ = 0º y φ = 90º

S3φ = 3 V3φ Ia

I3φ = Ia Conexión Y

V3φ = 3 Vt

S3φ = 3 V3φ Ia

I3φ = 3 Ia Conexión ∆ V3φ = Vt

Ia = Ef / Ra + jXS (Corriente de Inducido para Terminales Cortocircuitados Vt =0)

ZS = (Ra 2 + XS

2 )

1/2 = Ef / Ia (Impedancia Interna de la Máquina)

IB = SB /VB Ro/1 = R / ZB pu a = (VB)AT / (VB)BT P[pu] = Pmax / Pn

ZB = VB /IB Xo/1 = X / ZB pu 1/a = (IB)AT / (IB)BT

YB = IB /VB Yo/1 = Y / YB pu (SB)AT = (SB)BT = SB

ε = (V1-V2 /V2)∙100 % (Regulación de tensión) V1= (I2Zeq+V2) V2= Vn

MOTOR SINCRÓNICO (δ < 0)

Pent = (3EfVt / XS) senδ = 3Vt Ia cosφ= 3 V3φ Ia cosφ

Qent = 3Vt Ef sen φ= 3 V3φ Ia senφ

Pent = Psal + Prot Psal = Peje = PHP→W Q = (3Vt / XS )Ef cosδ + Vt

Consumo: Q < 0 Subexcitado (FP en atraso) Absorbe Reactivos (Bob. Sincr.)

Suministro: Q > 0 Sobreexcitado (FP en adelanto) Entrega Reactivos (Cond. Sinc.)

GENERADOR SINCRÓNICO (δ > 0)

Psal = (3EfVt / XS) senδ = 3Vt Ia cosφ = 3 V3φ Ia cosφ

Qsal = 3Vt Ef sen φ= 3 V3φ Ia senφ

Q = (3Vt / XS )Ef cosδ - Vt

ε = (V0-Vn /Vn)∙100 % (Regulación de tensión del Generador)

V0 = Voltaje del Generador en Vacío

Vn = Voltaje del Generador a Plena Carga

Si FP= atr ε (+) >>>

Si FP= 1 ε (+) <<<

Si FP= adl ε (-)

Consume: Q < 0 Sobreexcitado (FP en adelanto) Absorbe Reactivos (Cond. Sincr.)

Suministra: Q > 0 Subexcitado (FP en atraso) Entrega Reactivos (Bob. Sinc.)