RESUMO DE FÓRMULAS PARA GEOMETRÍA ANALÍTICA B: 1ª ÁREA Prof. Elismar R. Oliveira

Soma de vetores:

Soma dos vetores=> Regra do Paralelogramo =>

Em coordenadas: 𝒖 = (𝒙𝟏,𝒚𝟏,𝒛𝟏) e 𝒗 = (𝒙𝟐,𝒚𝟐,𝒛𝟐)

𝒖 + 𝒗 = (𝒙𝟏 + 𝒙𝟐,𝒚𝟏 + 𝒚𝟐,𝒛𝟏 + 𝒛𝟐)

Multiplicação p/ nº real Em coordenadas

𝒖 = (𝒙𝟏,𝒚𝟏,𝒛𝟏) 𝜶, um número real. 𝜶𝒖 = (𝜶𝒙𝟏 ,𝜶 𝒚𝟏,𝜶𝒛𝟏)

LD ou LI

1 vetor

{𝒖 } = 𝑳𝑫, 𝒔𝒆 𝒖 = 𝟎 𝑳𝑰, 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓á𝒓𝒊𝒐

2 vetores

{𝒖 ,𝒗 } = 𝑳𝑫, 𝒔𝒆 𝒖 = 𝜶𝒗 𝒐𝒖 𝒗 = 𝜶𝒖 𝑳𝑰, 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓á𝒓𝒊𝒐

3 vetores (em coordenadas) Se 𝒖 = (𝒙𝟏,𝒚𝟏,𝒛𝟏), 𝒗 = (𝒙𝟐,𝒚𝟐,𝒛𝟐) e

𝒘 = (𝒙𝟑,𝒚𝟑,𝒛𝟑),

𝒅 = 𝒅𝒆𝒕

𝒙𝟏 𝒚𝟏 𝒛𝟏𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐𝒙𝟑 𝒚𝟑 𝒛𝟑

{𝒖 ,𝒗 ,𝒘 } = 𝑳𝑫, 𝒔𝒆 𝒅 = 𝟎 𝑳𝑰, 𝒔𝒆 𝒅 ≠ 𝟎

Norma em coordenadas 𝒖 = (𝒙,𝒚, 𝒛)

| 𝒖 | = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐

Produto interno

𝒖 ⋅ 𝒗 = 𝟎, 𝒔𝒆 𝒖 = 𝟎 𝒐𝒖 𝒗 = 𝟎

| 𝒖 | 𝒗 𝒄𝒐𝒔 𝜽,

𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓á𝒓𝒊𝒐

Em coordenadas: 𝒖 ⋅ 𝒗 = 𝒙𝟏𝒙𝟐 + 𝒚𝟏𝒚𝟐 + 𝒛𝟏𝒛𝟐

𝒖 ⋅ 𝒖 = | 𝒖 𝟐

Ou | 𝒖 | = 𝒖 ⋅ 𝒖 𝒖 ⋅ 𝒗 = 𝟎 <=> 𝒖 ⊥ 𝒗

Ângulo e Projeção 𝒖 = 𝒙𝟏,𝒚𝟏,𝒛𝟏 e 𝒗 = (𝒙𝟐,𝒚𝟐,𝒛𝟐)

Ângulo 𝜽 = ∢(𝒖 ,𝒗 ): 𝒄𝒐𝒔 𝜽 =𝒖 ⋅𝒗

| 𝒖 | 𝒗

Projeção ortogonal de 𝒖 sobre 𝒗 :

𝒑𝒓𝒐𝒋𝒗 𝒖 = 𝒖 ⋅ 𝒗

𝒗 ⋅ 𝒗 𝒗

Produto Vetorial

𝒖 ∧ 𝒗 = ||𝟎, 𝒔𝒆 {𝒖 ,𝒗} é 𝑳𝑫

𝒖 ∧ 𝒗 || = | 𝒖 | 𝒗 𝒔𝒆𝒏 𝜽,

𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓á𝒓𝒊𝒐

Em coordenadas:

𝒖 ∧ 𝒗 = 𝒅𝒆𝒕 𝒊 𝒋 𝒌

𝒙𝟏 𝒚𝟏 𝒛𝟏𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐

𝒖 ∧ 𝒗 ⊥ 𝒖 e 𝒖 ∧ 𝒗 ⊥ 𝒗

||𝒖 ∧ 𝒗 || = Área do paralelogramo

formado por 𝒖 e 𝒗 .

Produto Misto

𝒖 ,𝒗 ,𝒘 = 𝒖 ∧ 𝒗 ⋅ 𝒘

Em coordenadas:

𝒖 ,𝒗 ,𝒘 = 𝒅𝒆𝒕

𝒙𝟏 𝒚𝟏 𝒛𝟏𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐𝒙𝟑 𝒚𝟑 𝒛𝟑

| 𝒖 ,𝒗 ,𝒘 | = Volume do

paralelepípedo formado por 𝒖 ,𝒗 e 𝒘 .

Vetor entre A e B

𝑨𝑩 = 𝑩− 𝑨 = 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏,𝒚𝟐 − 𝒚𝟏,𝒛𝟐 − 𝒛𝟏 onde, 𝑨 = 𝒙𝟏,𝒚𝟏,𝒛𝟏 e 𝑩 = 𝒙𝟐,𝒚𝟐,𝒛𝟐

Mudanças de coordenadas

𝚺𝟏 = {𝑶,𝒆𝟏 ,𝒆𝟐 ,𝒆𝟑 } => 𝚺𝟐 = {𝑶′,𝒆𝟏 ,𝒆𝟐 ,𝒆𝟑 }

𝑿 = 𝒙,𝒚, 𝒛 𝚺𝟏

𝑶′ = 𝒉,𝒌,𝒎 𝚺𝟏

𝑿 = 𝒙′,𝒚′, 𝒛′ 𝚺𝟐

𝒙 = 𝒙′ + 𝒉𝒚 = 𝒚′ + 𝒌

𝒛 = 𝒛′ + 𝒎

𝚺𝟏 = {𝑶,𝒆𝟏 ,𝒆𝟐 ,𝒆𝟑 } => 𝚺𝟐 = {𝑶,𝒇𝟏 ,𝒇𝟐 ,𝒇𝟑 }

𝑿 = 𝒙,𝒚, 𝒛 𝚺𝟏 e 𝑿 = 𝒙′,𝒚′, 𝒛′ 𝚺𝟐

𝒇𝟏 = 𝒂𝟏𝟏𝒆𝟏 + 𝒂𝟐𝟏 𝒆𝟐 + 𝒂𝟑𝟏 𝒆𝟑

𝒇𝟐 = 𝒂𝟏𝟐𝒆𝟏 + 𝒂𝟐𝟐 𝒆𝟐 + 𝒂𝟑𝟐 𝒆𝟑

𝒇𝟑 = 𝒂𝟏𝟑𝒆𝟏 + 𝒂𝟐𝟑 𝒆𝟐 + 𝒂𝟑𝟑 𝒆𝟑

𝒙 = 𝒂𝟏𝟏𝒙′ + 𝒂𝟏𝟐𝒚′ + 𝒂𝟏𝟑𝒛′

𝒚 = 𝒂𝟐𝟏𝒙′ + 𝒂𝟐𝟐𝒚′ + 𝒂𝟐𝟑 𝒛′

𝒛 = 𝒂𝟑𝟏𝒙′ + 𝒂𝟑𝟐 𝒚′ + 𝒂𝟑𝟑 𝒛′

Equações da reta Vetorial

𝒓: 𝑿 = 𝑨 + 𝝀 𝒗 𝑨 = (𝒙𝟎,𝒚𝟎,𝒛𝟎) e 𝒗 = 𝒂,𝒃, 𝒄 .

Paramétrica

𝒓:

𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝝀 𝒂𝒚 = 𝒚𝟎 + 𝝀 𝒃𝒛 = 𝒛𝟎 + 𝝀 𝒄

Simétrica 𝒙 − 𝒙𝟎𝒂

=𝒚 − 𝒚𝟎𝒃

=𝒛 − 𝒛𝟎𝒄

Ângulo entre retas 𝒓: 𝑿 = 𝑨 + 𝝀 𝒖 𝒔: 𝑿 = 𝑩 + 𝝀 𝒗

Ângulo: 𝜽 = ∢(𝒓, 𝒔)

𝒄𝒐𝒔 𝜽 =|𝒖 ⋅ 𝒗 |

| 𝒖 | 𝒗

Posição relativa entre as retas r e s:

𝒓: 𝑿 = 𝑨+ 𝝀 𝒖 𝒔: 𝑿 = 𝑩 + 𝜷 𝒗

Paralelismo

𝒓 ∥ 𝒔 <=> 𝒖 ∥ 𝒗

Concorrentes X Reversas

𝒖 = (𝒂𝟏,𝒃𝟏,𝒄𝟏), 𝒗 = (𝒂𝟐,𝒃𝟐,𝒄𝟐) e 𝑨𝑩 = 𝑩− 𝑨 = 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏,𝒚𝟐 − 𝒚𝟏,𝒛𝟐 − 𝒛𝟏 ,

𝒅 = 𝒅𝒆𝒕 𝒂𝟏 𝒃𝟏 𝒄𝟏𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐

𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 𝒛𝟐 − 𝒛𝟏

= 𝑪𝒐𝒏𝒄𝒐𝒓𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔, 𝒔𝒆 𝒅 = 𝟎 𝑹𝒆𝒗𝒆𝒓𝒔𝒂𝒔, 𝒔𝒆 𝒅 ≠ 𝟎

Perpendicular X Ortogonal

𝒓 ⊥ 𝒔 <=> 𝒖 ⊥ 𝒗 = 𝑶𝒓𝒕𝒐𝒈𝒐𝒏𝒂𝒊𝒔, 𝒔𝒆 𝒓 𝒆 𝒔 𝒔ã𝒐 𝒓𝒆𝒗𝒆𝒓𝒔𝒂𝒔

𝑷𝒆𝒓𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔, 𝒔𝒆 𝒓 𝒆 𝒔 𝒔ã𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒄𝒐𝒓𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔