8/18/2019 Formule des Complements

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Formule des compléments

Ce développement se trouve dans Amar-Matheron,  Analyse complexe .

Théorème.   Pour tout  z ∈ C   tel que  (z) ∈]0, 1[, on a 

Γ(z)Γ(1 − z) =   πsin πz

.

Lemme.   Pour tout  α ∈]0, 1[, on a    ∞

0

dt

tα(1 + t) =

  π

sin πα.

Démonstration.   On note   I α   ladite intégrale. Elle existe et est finie car l’intégrande   u   est continue etqu’au voisinage de 0, on a  u(t) ∼ t−α et qu’au voisinage de  +∞, on a  u(t) ∼ t−(1+α).Soit alors  Ω =  C \ R+ et  f   la fonction définie sur  Ω \ {1}  par  f (z) =   1

zα(1+z) .  (on note  zα =  rαeiαθ si

z  =  reiθ. La fonction  f   est holomorphe dans  Ω \ {−1}  et possède un pôle simple en −1 de résidu  e−iπα .Pour  0  < ε  1.

Remarquons alors que pour  θ ∈ [0, 2π], on aR1−α ei(1−α)θ1+Reiθ

  R1−αR−1 . Puisque  α > 0, le TCD indiqueque la seconde intégrale tend vers 0 quand  R  tend vers  +∞. De fait

(1 − e−2iπα)I α  = 2iπαe−iπα ,

ce qui conclut la preuve du lemme.

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8/18/2019 Formule des Complements

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Pour conclure, comme on doit prouver une égalité de fonctions holomorphes, il suffit de le faire pourz  =  α ∈]0, 1[. D’après le théorème de Fubini, on peut écrire

Γ(α)Γ(1 − α) = U 

tα−1s−αe−s−tdtds =

 U 

t

s

αe−(t+s)ds

dt

t  ,

où  U   = {s,t > 0}.  On fait ensuite le changement de variable  ϕ : (t, s) → (s + t, t/s), d’inverse  (u, v) →(   uv1+v ,

  u1+v ) et dont le jacobien de l’inverse en  ϕ(t, s) = (u, v)  est −   u(1+v)2   = −   tv(1+v) .  Alors

Γ(α)Γ(1 − α) = U 

1

v1−α(1 + v)e−ududv  =

   ∞

0

dv

v1−α(1 + v),

ce qui conclut la preuve du théorème.

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