Dvostruki integral

o Pravokutni koordinatni sustav ⇒ I =

o Primjena dvostrukih integrala

1. Površina područja D ⇒ P =

2. Volumen : Ispod plohe z = f (x,y) ⇒ V =

Između ploha z = (x,y) i z = , pod uvjetom da je (x,y) ,

za sve (x,y) D (x,y) V =

o Polarni koordinatni sustav

x = r r = , r 0 Jacobian: J = r

y= r , I = =

Površina: P =

Volumen: V = ili V =

Trostruki integral

o Pravokutni koordinatni sustav

I = gdje je ,

Ω = (x,y,z)

o Volumen područja Ω ⊆ R³: V =

o Cilindrični koordinatni sustav

x = r r = , r Jacobian: J = r

y = r ,

z = z I =

o Sferni koordinatni sustav

x = r r = , r

y = r ,

Laplaceova_transformacija, formule.pdf

Krivuljni integral 1. vrste

o Ako je c krivulja u ravnini opisana jednadžbom y = η(x) gdje je a tada je

dx

o Ako je c krivulja opisana parametarskom jednadžbom x = (t), y = η(t), gdje je , tada je

η(t))⋅ dt

Krivuljni integral 2. vrste

o Ako je c krivulja u ravnini opisana jednadžbom y = η(x) gdje je a tada je

o Ako je c krivulja opisana parametarskom jednadžbom x = (t), y = η(t), gdje je , tada je

η(t))⋅ (t) + Q( (t) ,η(t)) ⋅ η′(t)] dt

Greenova formula

- ) dxdy

Plošni integral 1. vrste

o Ako je D projekcija površine S: z = z(x,y) na XOY ravninu tada je

dxdy

o Analogno za ravnine XOZ, YOZ

= (cos ) – vektor normale

Plošni integral 2. vrste

Stoksova formula

dS

Formula Gauss-Ostrogradski

Cirkulacija vektorskog polja C = = , = (x,y,z)

Fluks vektorskog polja ds =

Fourierovi redovi

Periodična funkcija f(x) s periodom 2π, razviti u Fourierov red na intervalu znači

prikazati je u obliku

f(x)= su , , , koeficijenti.

Koeficijenti se računaju po formulama:

Ako je funkcija parna na intervalu onda je:

Ako je funkcija f(x) neparna na itervalau onda je :

Fourierov red funkcije f (x) na intervalu f (x)=

1) Razvoj u red kosinusa

Razviti funkciju f (x) na intervalu u red kosinusa znači razviti Fourierov red

parnu funkciju s periodom 2l, koja se na intervalu podudara sa f (x).

2) Razvoj reda sinusa

Razviti funkciju f (x) na intervalu u red sinusa znači razviti Fourierov red

neparnu funkciju s periodom 2l, koja se na intervalu podudara sa f (x).

3) Razvoj neperiodične funkcije u Fourierov red

Neka je zadana fubkcija f (x) na proizvoljnom intervalu

Pod razvojem u Fourierov red na to intervalu podrazumjeva se razvoj u Fourierov red

periodične funkcije s periodom 2l=b-a koja se na intervalu podudara sa

zadanom funkcijom f (x).

Laplaceova transformacija

L(f) = F, gdje je F (s) :=

Z ∞

0

e−stf(t) dt

Tablica L transformacije elementarnih funkcija

1 • 1

s

t • 1

s2

tn−1

(n− 1)! • 1

sn, n ∈ N

tn • n!

sn+1, n ∈ N

1√πt

• 1√s

2ntn− 12

1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)√

π • s−[n+ 1

2 ]

eat • 1

s− a

teat • 1

(s− a)2

tn−1eat

(n− 1)! • 1

(s− a)nn ∈ N

eat − ebt

a− b • 1

(s− a)(s− b)

aeat − bebt

a− b • s

(s− a)(s− b)

− (b− c)eat + (c− a)ebt + (a− b)ect

(a− b)(b− c)(c− a) • 1

(s− a)(s− b)(s− c)

e−at − e−bt

2(a− b)√

πt3 • 1√

s + a +√

s + b

e−at − e−bt

2(a− b)√

πt3 • 1√

s + a +√

s + b

e−at • 1

s + a

1− e−at

a • 1

s(s + a)

e−at + at− 1

a2 • 1

s2(s + a)

1

a2

1

a− t +

at2

2− 1

ae−at

• 1

s3(s + a)

1

ab

1 +

be−at − ae−bt

a− b

• 1

s(s + a)(s + b)

sin at

a • 1

s2 + a2

cos at • s

s2 + a2

shat

a • 1

s2 − a2

1− cos at

a2 • 1

s(s2 + a2)

at− sin at

a3 • 1

s2(s2 + a2)

sin at− at cos at

2a3 • 1

(s2 + a2)2

t sin at

2a • s

(s2 + a2)2

sin at + at cos at

2a • s2

(s2 + a2)2

cos at− 1

2at sin at • s3

(s2 + a2)2

t cos at • s2 − a2

(s2 + a2)2

cos at− cos bt

b2 − a2 • s

(s2 + a2) (s2 + b2)

eat sin bt

b • 1

(s− a)2 + b2

eat cos bt • s− a

(s− a)2 + b2

shat

a • 1

s2 − a2

chat • s

s2 − a2

eat (1 + 2at)√πt

• s

(s− a)3/2

eatshbt

b • 1

(s− a)2 − b2

eatchbt • s− a

(s− a)2 − b2

at chat− shat

2a3 • 1

(s2 − a2)2

t shat

2a • s

(s2 − a2)2

shat + at chat

2a • s2

(s2 − a2)2

chat +1

2at shat • s3

(s2 − a2)2

t chat • s2 + a2

(s2 − a2)2

3− a2t2sin at− 3at cos at

8a5 • 1

(s2 + a2)3

t sin at− at2 cos at

8a3 • s

(s2 + a2)3

1 + a2t2sin at− at cos at

8a3 • s2

(s2 + a2)3

3 t sin at + at2 cos at

8a • s3

(s2 + a2)3

3− a2t2sin at + 5at cos at

8a • s4

(s2 + a2)3

t2 sin at

2a • 3s2 − a2

(s2 + a2)3

t2 cos at

2 • s3 − 3a2s

(s2 + a2)3

1

23 + a2t2

shat− 3atchat

8a5 • 1

(s2 − a2)3

at2chat− tshat

8a3 • s

(s2 − a2)3

atchat +a2t2 − 1

shat

8a3 • s2

(s2 − a2)3

3 tshat + at2chat

8a • s3

(s2 − a2)33 + a2t2

shat + 5atchat

8a • s4

(s2 − a2)3

t2shat

2a • 3s2 + a2

(s2 − a2)3

t2chat

2 • s2 + 3a2s

(s2 − a2)3

e±at/2

3a2

±√

3 sin

√3at

2− cos

√3at

2± e−3at/2

• 1

s3 ± a3

e±at/2

3a

±√

3 sin

√3at

2+ cos

√3at

2∓ e−3at/2

• s

s3 ± a3

cos 2√

at√πt

• e−a/s

√s

sin 2√

at√πa

• e−a/s

√s3

δ(t)−Diracova funkcija; δ(t) • 1

δ(t− a) • e−as

Γ(t)−Gama funkcija; tr−1 • Γ(r)

sr, r > 0

tr−1eat • Γ(r)

(s− a)r, r > 0

1

0 2a 4a

t

f(t) 1

0 2a 4a

t

f(t)

-1

a 3a

trokutna periodicna funkcija pravokutna periodicna funkcija

f(t) • 1

as2thas

2

f(t) • 1

asthas

2

Tablica svojstava L transformacije

1. αf1(t) + βf2(t) • αF1(t) + βF2(t) LINEARNOST

2. f(at) • 1

aF s

a

, F (bs) • 1

bf

t

b

MNOZENJE VARIJABLE KONSTANTOM

3. e−atf(t) • F (s + a) PRIGUSENJE ORIGINALAeatf(t) • F (s− a) POJACANJE ORIGINALA

4. f(t− a) • e−asF (s) POMAK ORIGINALA

f ′(t) • sF (s)− f(0)5. f ′′(t) • s2F (s)− sf(0)− f ′(0) DERIVIRANJE ORIGINALA

f (n)(t) • snF (s)− sn−1f(0)− sn−2f ′(0)− . . .− fn−1(0)

−tf(t) • F ′(s)6. t2f(t) • F ′′(s) DERIVIRANJE SLIKE

(−1)ntnf(t) • F (n)(s)

7.

Z t

0

f(u) du • F (s)

sINTEGRIRANJE ORIGINALA

8.f(t)

t •

Z ∞

s

F (u) du INTEGRIRANJE SLIKE

KONVOLUCIJA

9. (f1 ∗ f2) (t) • F1(s)F2(s) (f1 ∗ f2) (t) :=

Z t

0

f1(u)f2(t− u) du

10. f(t) • 1

1− e−sT

Z T

0

e−stf(t) dt SLIKA PERIODICNE FUNKCIJE

f perioda T

nXk=1

Pm(ak)

Q′n(ak)eakt • Pm(s)

Qn(s), HEAVISIDEOV RAZVOJ:

11. gdje su a1, a2, . . . , an original racionalne funkcije

jednostruke realne nultocke polinoma Qn F (s) =Pm(s)

Qn(s), m < n