fracción continua
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Como desarrollar una fracción continuaTRANSCRIPT
Fracción continua
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En matemáticas, una fracción continua es una expresión de la forma:
donde a0 es un entero y todos los demás números an son enteros positivos. Si se permite que los numeradores o los denominadores parciales tomen valores arbitrarios, que podrían ser funciones en algún contexto, la expresión resultante es una fracción continua generalizada. Cuando fuera necesario distinguir la forma típica de arriba de una generalizada aquella se denominará fracción continua regular o simple.
Contenido
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• 1 Motivación • 2 Apuntes históricos • 3 Cálculo de una fracción continua • 4 Notación • 5 Formalización
o 5.1 Reducidas o 5.2 Mejores aproximaciones racionales
• 6 Algunos desarrollos notables o 6.1 Número π o 6.2 Raíz cuadrada de 2 o 6.3 Número áureo o 6.4 Número e
• 7 Aplicaciones o 7.1 Irracionalidad del número e o 7.2 La ecuación de Pell o 7.3 Números cuadráticos
• 8 Referencias
Motivación
El motivo del estudio de las fracciones continuas es el deseo de dar una representación «matemáticamente pura» de los números reales. Estamos familiarizados con la representación decimal:
donde a0 puede ser cualquier entero y los otros ai pertenecen a 0, 1, 2, …, 9. Así el número π , por ejemplo, se representa con la sucesión (3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, …).
Esta representación tiene algunos problemaen el sistema decimal; bien podría usarse tienen representación finita; por ejemplo, 1/
La representación en fracción continua consideremos el número 415/93, que vale mayor que 4, sobre 4+1/2. Pero el denomin415/93 es aproximadamente 4+1/(2+1/6). P4+1/(2+1/(6+1/7)). Esto es exacto. Quitanobtiene su notación abreviada [4; 2, 6, 7].
Así, puede representarse en fracción contin
• La representación en fracción contin• La representación en fracción contin• La representación en fracción conti
[a0; a1, ... an, 1] = [a0; a1, ... an + 1].• Los términos de una fracción contin
decir, si es solución de una ecuac
continua [1; 1, 1, ... ] representa al • El truncado de la representación en
es, en cierto sentido, la «mejor poside este aserto).
La última propiedad, falsa si empleáramosuna representación decimal, obtenemos uejemplo, truncando 1/7=0.142857… en va1/10. Pero es claro que el mejor racional qdecimal de π obtendremos aproximacioncontinua de π comienza con [3; 7, 15, 1, 2aproximaciones: 3, 22/7, 333/106, 355/113casi iguales pero el error en la aproximacióaproximación a π con [3; 7, 15, 1] es 100 ve
Apuntes históricos
Las fracciones continuas se utilizan desddiofánticas, así como para dar aproximaprofundizó en el estudio de las ecuacionchakravala, usando cálculos parecidos a lox2 − 61y2 = 1 encontrando la menor solució
En el siglo XII, el método fue mejorado popermitió resolver un caso general. La difereacelerando la convergencia.
La aparición en Europa fue posterior e italcontinuas para calcular aproximaciones decuenta de que el método de Bombelli valíaopúsculo sobre este asunto. Remarcó queinferiores a la raíz cuadrada buscada.
En Inglaterra hubo un progreso decisivo. Eeuropeos con varios problemas, entre los inglesa fue rápida. William Brouncker (162
blemas. Por ejemplo, la constante 10 se usa porque arse el octal o el binario. Otro problema es que m
plo, 1/3 lo hace con la sucesión infinita (0, 3, 3, …).
ntinua de los números reales evita ambos probl vale aproximadamente 4.4624. Esto es aproximadamnominador 2 no es correcto; lo sería uno algo mayor,1/6). Pero el denominador 6 no es correcto; lo sería uQuitando las partes redundantes de la expresión 4
continua cualquier número real, y se cumplen estas có
continua de un número real es finita si y solo si ese nú continua de un racional «simple» es generalmente cor continua de un racional es única siempre que no ac
1].) continua se repetirán si y solo si representa a un irra ecuación cuadrática con coeficientes enteros. Por
ta al número áureo y [1; 2, 2, 2, … ] a . ón en fracción continua de un número x da una aprox
or posible» (véanse los teoremas 6 y 7, más abajo, pa
áramos la representación convencional, es muy impomos una aproximación racional, pero habitualmen en varios sitios obtendremos aproximaciones comoional que aproxima a 1/7 es el propio 1/7. Si truncamaciones como 31415/10000 o 314/100. La represe, 1, 292,.. ]. Si truncamos esta representación obtend
55/113, 103993/33102, … Los denominadores de 31imación de 314/100 es nueve veces mayor que el de 100 veces más precisa que 3.1416.
n desde antiguo. Aryabhata (476-550) las usó para roximaciones precisas de números irracionales. Braciones llamadas hoy de Pell. Desarrolló los funds a los de las fracciones continuas. Investigó la resol
olución: x = 1 176 319 049, y = 226 153 980
do por Bhaskara II. Un algoritmo, análogo al de las diferencia más notable era que admitía números neg
e italiana. Rafael Bombelli (1526-1572) usó un antecenes de la raíz cuadrada de 13. Pietro Antonio Catai valía para todas la raíces cuadradas; lo utilizó para lcó que las aproximaciones obtenidas son alternativ
sivo. El 3 de enero de 1657, Pierre de Fermat desafe los que estaba la ecuación ya resuelta por Brahm
(1620-1684) encontró la relación entre la ecuación y
orque los cálculos se hacen que muchos racionales no …).
problemas. Por ejemplo, madamente 4, pero es algo mayor, sobre 2+1/6, ya que ería uno algo mayor, sobre
sión 4+1/(2+1/(6+1/7)), se
tas cómodas propiedades:
ese número es racional. nte corta. no acabe en 1. (de hecho:
un irracional cuadrático, es . Por ejemplo, la fracción
aproximación racional que ajo, para una formalización
importante. Si truncamos almente no la mejor. Por como 142/1000, 14/100 o runcamos la representación representación en fracción obtendremos las excelentes de 314/100 y 333/106 son el de 333/106, así como la
para resolver ecuaciones Brahmagupta (598-668)
fundamentos del método a resolución de la ecuación
e las fracciones continuas, os negativos en la fracción,
antecesor de las fracciones Cataldi (1548-1626) se dio
para la de 18 y escribió un rnativamente superiores e
desafió a los matemáticos rahmagupta. La respuesta
ción y la fracción continua,
así como un método algorítmico equivalefracción continua para construir una sucsignificativos. Estos resultados fueron publde recurrencia utilizadas por Brouncker y B«Nempe si unitati adjungatur fractio, qChristiaan Huygens (1629-1695) descubrió qel número de dientes que deben tener las ruautómata planetario.
En el siglo siguiente se resuelven algunas ccontinuas permitía resolver la ecuación de Ppunto. Leonhard Euler (1707-1783) demostróes solución de una ecuación de segundo gJoseph-Louis de Lagrange (1736-1813) . Johfracciones continuas: las usó para demostra
Esta utilización vino a ser frecuente duransuficiente para que una fracción continua sdesarrollo en fracción continua generalizadnúmeros de Liouville. Charles Hermite (18de e, base del logaritmo neperiano. Estos sque π es trascendente con el corolario de lademostró que los puntos de un segmento puayuda de fracciones continuas. El siglo Xasunto. Más de 1500 matemáticos han enco
Cálculo de una fracción con
Consideremos un número real r. Sea e la pfracción continua de r es [e; …] donde «…cambiar la primera «,» por «;».
Para calcular la representación en fracciónde r. Se resta esta parte entera a r. Si la difese repite. Este proceso tendrá fin si y solo s
Hallar la fracción continua de 3.245 (3
la fracción continua de 3.245 (3 49/200
También podría representarse con [3; 4, 12,
uivalente al de los hindúes para el cálculo de la sna sucesión que convergía a 4 / π, y aproximó n publicados por John Wallis, que aprovechó para demer y Baskara II. Dio, además, el nombre de fracción
, quae denominatorem habeat continue fractum
brió que las fracciones continuas son la herramienta i las ruedas de engranajes de un reloj. Las utilizó para
unas cuestiones teóricas. El uso mostró que el algoritón de Pell utilizando el hecho de que la fracción es pemostró que, si un número tiene una fracción continuundo grado con coeficientes enteros. El recíproco, m
Johann Heinrich Lambert (1728-1777) encontró una ostrar la irracionalidad de π.
durante el siglo XIX. Évariste Galois encontró una ctinua sea inmediatamente periódica. Joseph Liouvillealizado para construir los primeros ejemplos de núme
(1822-1901) estableció nuevos métodos para demosstos son retomados por Ferdinand von Lindemann
o de la imposibilidad de la cuadratura del círculo. Geonto pueden ponerse en bisección con los del interior d
XX vio la explosión de un gran número de pubn encontrado elementos dignos de publicación.
n continua
la parte entera y d la parte decimal de r; entoncesnde «…» es la representación en fracción continua d
cción continua de un número r, se escribe en primer la diferencia es 0 se para; en otro caso se halla el inve solo si r es racional.
45 (3 49/200)
FIN 9/200) es [3; 4, 12, 4]
4, 12, 3, 1]
e la solución. Utilizó una ó π con 10 decimales
ra demostrar las relaciones cción continua en la frase: ractum». En esta época, ienta ideal para determinar para la construcción de un
algoritmo de las fracciones es periódica a partir de un
ontinua periódica, entonces oco, más sutil, es obra de ó una nueva utilidad de las
una condición necesaria y uville (1809-1882) utilizó el números trascendentes: los demostrar la trascendencia
que demostró en 1882 Georg Cantor (1845-1918)
erior de un cuadrado con la e publicaciones sobre este
tonces la representación en tinua de 1/d. Es costumbre
primer lugar la parte entera el inverso de la diferencia y
Notación
Se puede expresar una fracción continua co
o, en la notación de Pringsheim,
o esta otra notación similar a la anterior
Se pueden definir las fracciones continuas
Este límite existe para cualquier elección de
Formalización
Llamaremos fracción continua de orden n a
donde es un real no negativo y los dem
Reducidas
Sea una fracción
y la recurrencia, para k ≥ 2
nua como
uas infinitas como un límite:
ión de enteros positivos a1, a2, a3 ...
en n a toda expresión de la forma:
os demás son estrictamente positivos. Emplearemos
acción continua: definimos la sucesión pk/qk por:
emos también la notación:
La fracción pk/qk se llama la k-sima reducid
Teorema 1. Para todo k ≤ n se tiene:
Además, para todo k, 1 ≤ k ≤ n,
Consideraremos a partir de ahora fraccionepositivo.
Teorema 2. Las reducidas de una fracción
Sea x un número real positivo, podemos po
Si entonces , del mismo modo,
.
Si , pondríamos
(siempre que
La sucesión (ak) está determinada por x y se
Teorema 3. El desarrollo en fracción contin
Teorema 4. Dada una sucesión infinita (reducidas
converge.
Podemos así dar un sentido a una fracción c
ucida de la fracción continua.
cciones continuas enteras, esto es, aquellas para los q
cción continua entera son fracciones irreducibles.
os ponerlo como a0+x0, donde a0 =[x] es la parte ente
, de manera que
, etc. Tenemos entonces para k
). Tenemos:
.
r x y se llama desarrollo en fracción continua de x.
continua de x es finito si y solo si x es racional.
ita (an) de enteros positivos tales que ak > = 1 si k
ción continua entera infinita y escribir:
a los que todo ai sea entero
te entera de x y 0 \le; x0 <1.
ra k>1, y
k > = 1, la sucesión de
donde .
Teorema 5. Sea x un real representado pocoincide con el desarrollo en fracción conti
Mejores aproximaciones racionales
Teorema 6. La k-ésima reducida pk / qk depor una fracción de denominador menor o i
Teorema 7. Sea x un número real positivo
Entonces, p/q es una de las reducidas del de
Teorema 8. (Hurwitz) Sea x un irracional p
.
Además, la constante es la mejor posib
En este último sentido el número áureo, φ
continuas; sus reducidas, (5/3, 8/5, 13/8, 21
Algunos desarrollos notable
Número π
π = [ 3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, …] o bien
ado por una fracción continua entera infinita continua de x.
onales
del desarrollo en fracción continua de x es la mejonor o igual a qk :
.
sitivo no nulo y p/q una fracción irreducible tal que:
del desarrollo de x en fracción continua.
ional positivo. Existe una cantidad infinita de racional
posible.
, φ, es uno de los irracionales que peor se apro
8, 21/13, etc.), distan casi exactamente de φ.
otables
. Entonces (an)
la mejor aproximación de x
cionales tales que:
aproxima con fracciones
de φ.
Utilizando fracciones continuas generalizad
Raíz cuadrada de 2
Sea r= , su parte entera vale 1, así que
, tenemos que
que todos los ak a partir de k=1 valen 2 y totanto:
ralizadas obtenemos desarrollos con estructuras más re
sí que a0=1 y . Ahora bien, ut
os que . Por tanto a1=2 y
2 y todos los xk valen . El desarrollo en frac
más regulares
ien, utilizando la identidad
. Concluimos
n fracción continua es, por
Número áureo
Número e
Aplicaciones
Irracionalidad del número e
Las fracciones continuas ofrecen una maninfinito entonces el número es irracionalcontinua del número e.
El desarrollo en fracción continua de e,es:
La barra utilizada aquí es una notación fenteros que cubre.
O estas otras:
Se concluye que ni e ni √e son racionales.
La ecuación de Pell
La ecuación de Pell es una ecuación diofánpedidas son enteras también. Tiene la forma
Donde n es un entero que no es cuadrado p. Una soluc
h/k √n son superiores a 1 y √n lo es estricta
En el teorema 7 se demostró que la fracci
debe estar en la sucesión de reducidas de bien más teóricas que algorítmicas, a la ecu
a manera de conocer la irracionalidad de un númerocional. Esta técnica fue utilizada por Euler, que d
,es:
ción frecuente; indica una repetición hasta el infini
ales.
diofántica, es decir, con coeficientes enteros y para forma:
rado perfecto y a es un entero no nulo. Aquí considerasolución (h, k)
rictamente, de ahí:
fracción debe ser una reducida de . Toda sol
. Este hecho, demostrado por Lagrange, perm la ecuación de Pell.
úmero. Si su desarrollo es que determinó la fracción
infinito de la sucesión de
para la que las soluciones
sideraremos que verificará:
da solución de la ecuación
, permite dar soluciones, si
Números cuadráticos
A diferencia de la exponencial, la raíz cuadrada de 2 es particularmente fácil de desarrollar en fracción continua. Esta propiedad proviene del hecho de que, a partir de cierto punto, volvemos a encontrar un cociente completo ya aparecido. La fracción continua es periódica a partir de cierto punto. La raíz de 11 tiene la misma propiedad:
Se deduce que a0 = 3, a1 = 3, x0 = 1/2(3 + √11) y x1 = 3 + √11. Calculamos la fracción continua de x1:
Se ve que x2 es igual x0, lo que permite concluir:
La periodicidad a partir de un punto es propia de los números de la forma , donde a y b son racionales, b no nulo, y n un entero que no es cuadrado perfecto. Las regularidades son mayores para las raíces cuadradas. Por ejemplo:
Exceptuando el último número del periodo, los anteriores forman un palíndromo. Además, el último término del periodo es el doble del primero (en el caso tratado, 8, que es el doble de 4).
Fracción continua generalizada
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En análisis complejo, una rama de las matemáticas, una fracción continua generalizada o fracción fractal es una generalización de una fracción continua en la cual los numeradores parciales y los denominadores parciales puedon tomar cualesquiera valores reales o complejos.1
Una fracción generalizada continua es una expresión de la forma
donde los an (n > 0) son los numeradores parciales, los bn son los denominadores parciales y el término principal b0 es el llamado parte entera de la fracción continua.
Las convergentes sucesivas de la fracción continua se forma aplicando las fórmulas fundamentales de recurrencia:
donde An es el numerador y Bn es el denominador (también llamado continuante 2 3 ) del n-ésimo convergente.
Si la sucesión de convergentes xn tiene límite, la fracción continua es convergente y tiene un valore definido. Si la sucesión de convergentes no tiene límite, la fracción continua es divergente. La divergencia puede darse por oscilación (por ejemplo, los convergentes pares e impares pueden tender a distinto límite) o por tendencia a infinito o denominadores Bn iguales a cero.
Contenido
• 1 Historia de las fracciones continas • 2 Notación • 3 Algunas consideraciones elementales
o 3.1 Numeradores y denominadores parciales o 3.2 La fórmula determinante o 3.3 La transformación de equivalencia o 3.4 Conceptos de convergencia simple o 3.5 Convergentes pares e impares o 3.6 Condiciones para la irracionalidad
• 4 Transformaciones fraccionarias lineales o 4.1 La fracción continua como una composición de TFL o 4.2 Una interpretación geométrica
• 5 Véase también • 6 Referencias
Historia de las fracciones continuas
La historia de las fracciones continuas comienza con el Algoritmo de Euclides,4 un procedimiento para encontrar el máximo común divisor de dos números naturales m y n. Ese algoritmo introdujo la idea de dividir para extraer un nuevo resto y entonces dividir por el nuevo resto de nuevo y así, sucesivamente.
Cerca de dos mil años después, Rafael Bombelli5 encontró una técnica para la aproximación de las raíces de ecuaciones cuadráticas con fracciones continuas. A partir de ahí, el ritmo de desarrollo se aceleró. Justo 24 años después Pietro Cataldi presentó la primera notación formal6 para la fracción continua generalizada. Cataldi representaba una fracción continua como
donde los puntos indicaban dónde iría la siguiente fracción y cada & representa al actual signo «más».
Más tarde, en el siglo XVII John Wallis7 introdujo el término "fracción continua" en la literatura matemática. Nuevas técnicas de análisis mátematico habían sido presentadas por Newton y Leibniz y una generación de contemporáneos de Wallis se pusieron a usar el término inmediatamente.
En 1748 Euler publicó un teorema muy importante mostrando que un tipo particular de fracción continua es equivalente a cierta serie infinita muy general.8 El teorema de fracciones continuas de Euler tiene todavía una importancia crucial en los intentos actuales de reducción en el problema de convergencia.
Las fracciones continuas pueden aplicarse también a problemas de la teoría de números y son especialmente útiles en el estudio de ecuaciones diofánticas. A finales del siglo XVIII Lagrange usó fracciones continuas para construir la solución general de la ecuación de Pell, dando así respuesta a una cuestión que había fascinado a los matemáticos durante más de mil años.9 Sorprendentemente, el descubrimiento de Lagrange implicaba que la expansión de raíz cuadrada de la fracción continua canónica de cualquier entero no cuadrado perfecto es periódica y así, si el periodo es de longitud p > 1, contiene una sucesión palindrómica de longitud p - 1.
En 1813 Gauss usó un ingenioso truco con la función hipergeométrica compleja para derivar una expresión en forma de fracción continua que ha sido denominada en su honor.10 Esa fórmula puede usarse para expresar muchas funciones elementales (e incluso más funciones avanzadas, como las funciones de Bessel como fracciones continuas rápidamente convergentes válidas casi siempre en el plano complejo.
Notación
La gran expresión de fracción continua mostrada en la introducción es, probablemente, la forma más intuitiva de fracción continua para el lector. Desafortunadamente, ocupa un montón de espacio en un libro (y tampoco es fácil su escritura). Así que los matemáticos han encontrado algunas notaciones alternativas. Una forma apropiada de expresar una fracción continua generalizada tiene el siguiente aspecto:
Pringsheim escribió una fracción continua generalizada del siguiente modo:
.
Karl Friedrich Gauss evocaba el más familiar producto infinito Π cuando ideó esta notación:
Aquí K significa Kettenbrüche, la palabra alemana para "fracción continua". Esta es probablemente la forma más compacta y conveniente para expresar fracciones continuas.
Algunas consideraciones elementales
Aquí se muestran algunos resultados elementales que son de importancia fundamental en el posterior desarrollo de la teoría analítica de fracciones continuas.
Numeradores y denominadores parciales
Si uno de los numeradores parciales an+1 es cero, la fracción continua infinita
es, precisamente, una fracción continua finita con n términos fraccionarios y, por consiguiente, una función racional de el primer n ais y el primer (n + 1) bis. Tal objeto es de poco interes desde el punto de vista adoptado en el análisis matemático, así que habitualmente se asume que ninguno de los ai = 0. No hay necesidad de aplicar esta restricción a los denominadores parciales bi.
La fórmula determinante
Cuando el n-ésimo convergente de una fracción continua
se expresa como una fracción simple xn = An/Bn podemos usar la fórmula determinante
para relacionar los numeradores y denominadores de los convergentes sucesivos xn and xn-1 entre sí. Específicamente, si ni Bn ni Bn-1 son cero, podemos expresar la diferencia entre el n-primero y el n-ésimo (n > 0) convergente como sigue:
La transformación de equivalencia
Si ci = c1, c2, c3, ... es cualquier sucesión infinita de números complejos no nulos, puede probarse por inducción que
donde la igualdad se entiende como una equivalencia, es decir, que los convergentes sucesivos de la fracción continua de la izquierda son, exactamente, los mismos que los convergentes de la fracción de la derecha.
La transformación de equivalencia es perfectamente general, pero dos casos particulares merecen una mención especial. En primer lugar, si uno de los ai es cero, se puede elegir una sucesión ci para hacer 1 cada numerador parcial:
donde c1 = 1/a1, c2 = a1/a2, c3 = a2/(a1a3) y, en general, cn+1 = 1/(an+1cn).
En segundo lugar, si uno de los denominadores parciales bi es cero, podemos usar un procedimiento similar para elegir otra sucesión di que haga 1 cada denominador parcial:
donde d1 = 1/b1 y por otra parte dn+1 = 1/(bnbn+1).
Estos dos casos especiales de transformaciones de equivalencia son enormemente útiles cuando se analiza el problema de convergencia general.
Conceptos de convergencia simple
Como ya se ha dicho, la fracción continua
converge si la sucesión de convergencia xn tiende a un límite finito.
La noción de convergencia absoluta juega un papel central en la teoría de series infinitas. No existe una noción correspondiente en la teoría analítica de fracciones continuas, en otras palabras, los matemáticos no hablan de una fracción continua absolutamente convergente. A veces la noción de convergencia absoluta entra, no obstante, en la discusión, especialmente en el estudio de el problema de la convergencia. Por ejemplo, una fracción continua en concreto
diverge por oscilación si la serie b1 + b2 + b3 + ... es absolutamente convergente.11
A veces los numeradores y denominadores parciales de una fracción continua se expresan como funciones de variable compleja z. Por ejemplo, una función relativamente simple12 podría estar definida como
Para una fracción continua como esta, la noción de convergencia uniforme surge de forma bastante natural. Una fracción continua de una o más variables complejas es uniformemente convergente en un entorno abierto Ω si los convergentes de la fracción convergen uniformemente en cada punto de Ω. O, dicho de otro modo, si para cada ε > 0 puede encontrarse un entero M tal que el valor absoluto de la diferencia
es menor que ε para cada punto z en un entorno abierto Ω cuando n > M, la fracción continua definida por f(z) es uniformemente convergente en Ω. (Aquí fn(z) denota el n-ésimo convergente de la fracción continua, evaluado en el punto z del interior de Ω, y f(z) es el valor de la fracción continua infinita en el punto z.)
Convergentes pares e impares
Es en ocasiones necesario separar una fracción continua en sus partes pares e impares. Por ejemplo, si la fracción continua diverge por oscilación entre dos puntos límite distintos p y q, entonces la sucesión x0, x2, x4, ... debe converger a uno de estos y x1, x3, x5, ... debe converger al otro. En tal situación puede ser conveniente expresar la fracción continua original como dos fracciones continuas diferentes, una de ellas convergiendo a p y la otra a q.
Las fórmulas para las partes pares e impares de una fracción continua pueden escribirse de forma más compacta si la fracción ya se ha transformado, de este modo todos sus denominadores parciales son uno. Específicamente, si
es una fracción continua, entonces la parte par xeven y la parte impar xodd vienen dadas por
y
respectivamente. Con más precisión, si los sucesivos convergentes de la fracción continua x son x1, x2, x3, ..., entonces los sucesivos convergentes de xeven como se escribían más arriba son x2, x4, x6, ... y los convergentes sucesivos de xodd son x1, x3, x5, ....13
Condiciones para la irracionalidad
Si a1,a2, . . . y b1,b2, . . . son enteros positivos con ak ≤ bk para todo k suficientemente grande, entonces
converge a un límite irracional.14
Transformaciones fraccionarias lineales
Una transformación fraccionaria lineal (TFL) es una función compleja de la forma
donde z es una variable compleja y a, b, c, d son constantes complejas arbitrarias. Suele imponerse una restricción adicional – que ad ≠ bc –, para dejar fuera los casos en los cuales w = f(z) es una constante. La transformación fraccionaria lineal, también conocida como transformación de Möbius, tiene muchas propiedades fascinantes. Cuatro de ellas son de importancia primordial en el desarrollo de la teoría analítica de fracciones continuas.
• Si d ≠ 0, la TFL tiene uno o dos puntos fijos. Esto puede verse si se considera la ecuación
que es claramente una ecuación cuadrática en z. Las raíces de esta ecuación son puntos fijos de f(z). Si el discriminante (c − b)2 + 4ad es cero, la TFL da lugar a un punto fijo; en otro caso, tiene dos puntos fijos.
• Si ad ≠ bc, la TFL es una biyección del plano complejo extendido en sí mismo . En otras palabras esta TFL tiene función inversa
tal que f(g(z)) = g(f(z)) = z para todo punto z en el plano complejo extendido y ambos, f y g preservan ángulos y formas a escalas muy pequeñas. Desde la formulación z = g(w) se comprueba que g es también una TFL.
• La composición de dos TFL diferentes para las cuales ad ≠ bc es también una TFL para la cual ad ≠ bc. En otras palabras, el conjunto de todas las TFL para las cuales ad ≠ bc es cerrado para la composición de funciones. El conjunto de tales TFL – juntas con la operación como grupo de composición - se conoce como un grupo automórfico del plano complejo extendido.
• Si b = 0 la TFL se reduce a
lo cual es una función mermórfica muy simple de z con un polo simple (at −c/d) y un resto igual a a/d. (Véase también Serie de Laurent).
La fracción continua como una composición de TFL
Considérese una sucesión de transformaciones fraccionarias lineales simples
Aquí se usa la letra griega τ (tau) para representar cada TFL simple y se adopta la notación habitual para la composicción de funciones. También se introduce un nuevo símbolo Τn para representar la composición de n+1 - τ, es decir,
y así, sucesivamente. Por substitución directa desde el primer conjunto de expresiones en el segundo, se ve que
y, en general,
donde el último denominador parcial en la fracción continua finita K se entiende que es bn + z. Y, desde bn + 0 = bn, la imagen del punto z = 0 bajo la iteración de la TFL Τn es de hecho el valor de la fracción continua finita con n numeradores parciales:
Una interpretación geométrica
La intuición no puede nunca reemplazar una prueba matemática. No obstante, es una útil herramienta que, a menudo, sugiere nuevas líneas de ataque que finalmente resuelven problemas inicialmente intratables. Si se define una fracción continua finita como la imagen de un punto bajo la iteración de una TFL Τn(z) se llega intuitivamente a una interpretación geométrica de la fracciones continuas infinitas. A continuación se puede ver cómo funciona.
La relación
es probablemente mejor comprendida mediante la reescritura de las TFL Τn(z) y Τn+1(z) en términos de fórmulas fundamentales de recurrencia:
En la primera de estas ecuaciones la razón tiende a An/Bn así como z tiende a cero. En la segunda, la razón tiende a An/Bn como z tiende a infinito. Esto lleva a la primera interpretación geométrica. Si la fracción continua converge, los convergentes sucesivos An/Bn están eventualmente tan juntos como se desee. En virtud de que la transformación fraccionaria lineal Τn(z) es una transformación continua , debe haber un entorno de z = 0 que se transforma en un entorndo arbitrariamente pequeño de Τn(0) = An/Bn. De un modo similar, debe haber un entorno del punto en infinito que se transforma en un entorno arbitrariamente pequeño de Τn(∞) = An-1/Bn-1. Así, si la fracción continua converge la transformación Τn(z) convierten z muy pequeñas y z muy grandes en un entorno arbitrariamente pequeño de x, el valor de la fracción continua, cuando n se hace más y más grande.
¿Y qué ocurre con los valores intermedios de z? Bien, en virtud de que los sucesivos convergentes se hacen más cercanos entre sí, se tiene
donde k es una constante, introducida por conveniencia. Pero entonces, sustituyendo en la expresión por Τn(z) se obtiene
así que incluso los valores intermedios de z (excepto cuando z ≈ −k−1) se transforman en entornos arbitrariamente pequeños de x, el valor de la fracción continua, así como n se hace más y más grande. Intuitivamente es casi como si el convergente de la fracción continua transformara por completo el plano complejo extendido en un simple punto.15
Nótese que la sucesión Τn cae dentro del grupo de automorfismo del plano complejo extendido, en el momento en que cada Τn es una transformación lineal fraccionaria para la cual ab ≠ cd. Y cada miembro del grupo de automorfismo se aplica desde el plano complejo extendido en sí mismo – no uno de los Τn puede posiblemente aplicar el plano en un solo punto. Todavía en el límite de la sucesión Τn define una fracción continua infinita la cual (si converge) representa un solo punto en el plano complejo.
¿Cómo es esto posible? Piénsese del siguiente modo: cuando una fracción continua infinita converge, la sucesión correspondiente Τn de TFL se "enfoca" en el plano en la dirección de x, el valor de la fracción continua. En cada etapa del proceso una región más y más grande del plano se aplica en un entorno de x, y una región más y más pequeña del plano se va achicando hasta cubrir el borde de ese entorno.16
¿Y qué hay de las fracciones continuas divergentes? ¿Pueden también ser interpretadas geométricamente? En una palabra, sí. Se distinguen tres casos:
1. Las dos sucesiones Τ2n-1 y Τ2n podrían definirse como dos fracciones continuas convergentes que tienen dos valores diferentes, xodd y xeven. En este caso, la fracción continua definida por la sucesión Τn diverge por oscilación entre dos distintos puntos límite. Y de hecho esta idea puede generalizarse (pueden construirse sucesiones Τn que oscilan entre tres o cuatro o incluso cualquier número de puntos límite. Se llega a interesantes instancias de este caso cuando la sucesión Τn constituye un subgrupo de orden finico en el grupo de automorfismos sobre el plano complejo extendido.
2. La sucesión Τn puede producir un número infinito de denominadores cero Bi mientras que también produce una subsucesión de convergentes finitos. Estos convergentes finitos podrían no repetirse o caer en un patrón de oscilación reconocible. O podrían converger a un límite finito o incluso oscilar entre múltiples límites finitos. Sin importar como se comporten los convergentes finitos, la fracción definida por la sucesión Τn diverge por oscilación con el punto en infinito en este caso.17
3. La sucesión Τn podría producir no más de un número finito de denominadores cero Bi, mientras que la subsucesión de convergentes finitos baila ampliamente alrededor de el plano en un patrón que nunca se repite y nunca alcanza un límite finito tampoco.
Se pueden construir interesantes ejemplos de los casos 1 y 3 mediante el estudio de la fracción simple continua
donde z es cualquier número real tal que z < −¼.