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06/03/12 Frações Irracionais e Racionalização

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mai 21, 2006

Frações Irracionais e Racionalização

Newton de Góes Horta Frações, Irracionais, Matemática, Racionalização Matemática, Técnico 138 Comentários

O objetivo é apresentar as principais técnicas utilizadas na racionalização de denominadores de frações irracionais, umavez que não é possível estabelecer uma regra geral face à infinidade de formas que esses denominadores podem

assumir.

Para que o entendimento seja mais efetivo é imprescindível o conhecimento das propriedades de Radiciação ePotenciação, dentre outros conceitos que serão apresentados mas não demonstrados, por fugirem ao escopo damatéria.

O assunto está sendo tratado em decorrência do resultado da pesquisa feita no Blog, em que obteve a segundacolocação entre os temas propostos (11 votos). Maiores detalhes podem ser obtidos através do link ConsultarPesquisas na barra lateral de navegação.

FRAÇÕES IRRACIONAIS

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Definição

Fração irracional é a que tem pelo menos um termo, o numerador ou o denominador, irracional ou sob radical.

Exemplos:

RACIONALIZAÇÃO DOS DENOMINADORES DE FRAÇÕES IRRACIONAIS

As técnicas a serem explicitadas considerarão, claro, as frações irracionais dos tipos indicados nos exemplos b) e c)acima.

Tem grande importância no processo de racionalização a seguinte propriedade das frações: Uma fração não se alteraquando o numerador e o denominador são multiplicados pelo mesmo número diferente de zero.

Definições

Racionalização dos denominadores irracionais de uma fração irracional é a operação que tem por finalidadetransformá-la em um número inteiro ou em uma fração equivalente com denominador racional.

Exemplos

Fator racionalizante de uma expressão irracional é uma outra expressão, também irracional, em que o produtoentre elas resulta em uma expressão sem radical, ou seja, que a torne uma expressão racional.

Para que o significado de fator racionalizante seja melhor entendido nada como alguns exemplos:



Observe que nos exemplos da definição de Racionalização dos denominadores irracionais foi utilizado o conceito defator racionalizante.

Produtos Notáveis

Os produtos notáveis, ou derivados deles, têm um papel importante na racionalização de denominadores de fraçõesirracionais. Por isso, faço um parêntesis para, antes de colocar as técnicas, definir alguns dos mais utilizados:

1) a2 – b2 = (a + b)(a – b)

2) a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

3) a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

Note que no exemplo b) acima foi utilizado o produto notável definido em 1) e no c) o definido em 2).

Técnicas ou Regras de Racionalização Mais Frequentes

T1. Frações irracionais do tipo:

têm como fator racionalizante:

Exemplos:



T2. Frações irracionais que têm no denominador um binômio de termos que são do mesmo índice 2 (raízes quadradas):

têm como fatores racionalizantes:

respectivamente.

Demonstração do segundo tipo:

Bem simples, basta somente usar o produto notável definido em 1) acima:

A demonstração dos demais seguem raciocínio semelhante e ficam como exercício.

Exemplos

T3. Frações irracionais que têm no denominador um polinômio de termos que são do mesmo índice 2 (raízesquadradas):

A idéia é fazer recair no caso anterior mediante uma adequada associação de termos. Para ilustrar, é apresentada ademonstração para n = 3. Você observará que a racionalização necessitará de dois fatores racionalizantes.



Demonstração:

Exemplo:

T4. Frações irracionais que têm no denominador um binômio de termos que são do mesmo índice 3 (raízes cúbicas):

têm como fator racionalizante:

A demonstração já foi feita no exemplo c) da definição de fator racionalizante e é consequência dos produtos notáveis2) e 3) definidos anteriormente.

Referências:

1. Abecedário da Álgebra (Volume 1 – Ciclo Ginasial), Darcy Leal de Menezes, Rio de Janeiro, Departamento deImprensa Nacional, primeira edição, 1959;

2. Praticando Matemática, Álvaro Andrini, São Paulo, Editora do Brasil S/A.

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138 Comentários

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1. Ricardofev 27, 2012 @ 00:10:42

Humm, ta muito bom, tirei varias dúvidas q eu tinha, muita gente ta reclamando pq quer aprender tudo aki, tem qter uma base pra entender isso. fikdik =D

Responder

2. Danieljan 11, 2012 @ 20:35:35

Ótimo post.Valeu!! site que vem me ajudando muito.

Responder

3. Luís Pedrosa Santosjan 08, 2012 @ 19:29:55

Tudo, ou quase tudo, na vida terá um limite. Mas, até que ponto poderemos ter processos de racionalização dedenominadores?

Por exemplo: (em denominador)



a) soma/diferença de dois radicais de índice 3 com os radicandos elevados ao expoente 2?b) Soma/diferença de dois radicais de índices diferentes (p.e.) um cúbico e outro quadrado, com radicandos deexpoente um? E com radicandos de expoentes diferentes?c) Soma /diferença de dois radicais de índices iguais mas ímpares; por exemplo 5, 7,…(Conheço o processo para 4,6 e 8)

Notas:1- Com três radicais quadráticos, descobri um processo de resolução e encontrei num velho livro francês umoutro processo semelhante; estou presentemente a explorar a possibilidade, por meios próprios, da resolução de4 e mais raízes quadradas, em somas e diferenças.2- A minha pergunta, pedido de informação, poderá parecer capciosa; porém, pretendo saber até onde épossível chegar neste tema; isto é, encontrar o limite ou uma (ou várias) generalização, a qual mesmo não sendorealizável na prática, pelo menos no plano teórico, se possível.

Pela atenção dispensada, o meu muito obrigado e saudações lusitanas.

Pedrosa Santos(cidade de Caldas da Rainha, Portugal)

Responder

4. arilsonnov 18, 2011 @ 14:54:14

nadar ver isso

Responder

5. wallacecunhajul 22, 2011 @ 13:41:18

da proxima vez; expliquem melhor a materia, por favor; já voces querem que a gente, acesse o site de voces

Responder

MiriãCristinaset 21, 2011 @ 22:42:16

olhaaaa… sério de boa até eu sei explicar melhor até sem saber;…hehehee

Responder

6. wallacejul 22, 2011 @ 13:35:28

nao entendi nada; a explicaçao ficou muito ruim

Responder



7. hiago da silva amaroabr 07, 2011 @ 10:55:38

eu gostaria de saber se com muito esforso poderia aprender essas contas ai po meu quase tods da minha clase jasabe menos eu

Responder

8. hiago da silva amaroabr 07, 2011 @ 10:51:48

muito interesanti

Responder

9. cintia gussuli kruelabr 06, 2011 @ 20:07:26

poderia ter mais questoes esplicativas,não cosegui aprender nada!!!

Responder

10. Cezar Freitasabr 06, 2011 @ 20:06:21

Essa foi a página mais completa em casos que eu já vi na net ou mesmo em livros impressos.

Responder

11. Delfim dala Serafim Motafev 01, 2011 @ 10:08:41

gostaria que me fornecessem alguns conteudos sobre as fun cçoes irrancionais para a 10 e 12 classe.

Responder


quero mais conteudos

Responder


Gostei muito deste sit



Responder

14. flavioout 13, 2010 @ 22:15:23

Goste mais ainda não foi bem detalhado não foi de fácil entendimento poderia ser melhor.

Responder

15. elianeago 21, 2010 @ 07:43:33

gostaria de ex: mais completo tipo passo a passo1º subtrai multiplica e soma?

Responder

16. Lourdes oliveirajun 01, 2010 @ 07:32:20

Estava com dificuldade em entender que precisamos usar afatoração para resolver alguns casos. Como este assunto foidado na série anterior, só temos que relembrar e, então, tudoacontece. Muito grata pela ajuda.

Responder

17. kauanamai 17, 2010 @ 20:59:03

vooçs podiam ser mas claros obg ;D

Responder

18. Muriloabr 15, 2010 @ 20:52:31

Muito facil!

Responder

19. loianeabr 06, 2010 @ 14:16:45

nao entendi nada…vcs poderiam ser mais claros…muito dificil…

obrigado *



Responder

20. ANA LAURAabr 05, 2010 @ 19:17:54

MUTO FACIL

Responder

GSOliveirajun 03, 2011 @ 07:20:08

nem um pouco!!!!!!

Responder

21. Armindo Ngolamar 09, 2010 @ 05:16:56

muito obrigado por nos ter proporcionado estes exercicios resolvidos e explicados me ajudou bastante. thankyou.

Responder

22. Marcelamar 04, 2010 @ 17:29:19

Muito obrigada pela sua ajuda!!

Responder

23. othon marlierejan 14, 2010 @ 21:02:11

muito obrigado pelo conteudo, parabens

Responder

24. soniaout 11, 2009 @ 14:50:05

gostei muito mais como eu perde as esplicações do meu professor eu não consigo entender tem como voce meajudar

Responder

25. Jorgete



set 28, 2009 @ 21:31:19

Muito obrigado, me ajudou bastante. A minha memória às vezes falha quando o assunto é matemática básica.

Responder

26. ^^JANA^^set 03, 2009 @ 10:34:49

PODERIA TER MAIS QSTOES E EXPLICAR BEM MELHOR!!OK??

Responder

27. Ana Júliajul 13, 2009 @ 16:18:30

Não entendi nada

Responder

28. alexjul 05, 2009 @ 22:38:54

estou em duvida na seguinte questao: 4√243

Responder

29. elvisjun 23, 2009 @ 21:25:56

nao entendi nada nao explica nada nao gostei ve se melhora depois plz

Responder

30. Robisonjun 14, 2009 @ 11:36:09

Muito bom. Me bastante na construção de provas sobre o assunto

Responder

31. gordanamai 30, 2009 @ 19:09:25

aff…num gustei naum!!!!

na proxima vez ve se melhora…

Responder



32. Elvis Da Costamai 30, 2009 @ 04:37:07

Gostaria De Entender Um Pouco Mais Sobre Equações, De Primeiro é 2º Grau Obrigado.

Responder

33. Denilsonmai 17, 2009 @ 22:20:59

não houve explicação clara em relação a minha pesquisa.

Responder

34. karolmai 06, 2009 @ 23:19:09

adoraria se vooc`s colocassem exercicios no site pra nós alunos resolvermos!!seria interessante …e vim avisar que pela primeira vez em doiz anos nao fiquei de recuperaçao em matematica

no primeiro bimestre!ufa …tanto tempo estudando ate que consegui!!bjao

Responder

35. André Barcelosabr 15, 2009 @ 16:21:26

Muito elucidativo os exercícios resolvidos, gostaria de parabenizar esse exelente trabalho.

Responder

36. bianca m dantasabr 03, 2009 @ 16:53:32

ta faltando muita coisa aqui divia ter modelos de contas montadas

nao gostei porque so tem explicaçoes mais nao tem modelos

Responder

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Data de nascimento: 20 Outubro 1950Estado Civil: Casado

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