Fractional Factorial (FF)

Oleh :

( Kelompok VI )

Nurlina (60600109021)

Febriani (60600109005)

Rismawati (606001090)

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI ALAUDDIN

MAKASSAR

2011

BAB IIITWO_LEVEL FRACTIONAL FACTORIAL DESIGNS

“Rancangan Fractional Faktorial Dua Level”

A. Alasan Menggunakan Rancangan Faktorial Sebagian (Fractional Fraction)

1. Prinsip efek sparsitas (Sparsity of effects)

a. Mungkin ada banyak fakor, namun hanya beberapa yang

penting.

b. System didominasi oleh efek utama, low-order interactions

2. Dalam situasi penyaringan (screening), dimana diperkirakan hanya sebagian

kecil faktor yang penting.

3. Kelompok-kelompok percobaan dilaksanakan secara bertahap.

4. Interaksi-interaksi dari faktor tertentu yang beralias dengan faktor interaksi

yang lebih tinggi untuk sementara dapat dianggap tidak ada (dapat diabaikan).

Dengan kata lain, faktor-faktor tertentu yang mungkin mempunyai interaksi

yang beralias dengan faktor tersebut, pengaruhnya digambarkan dengan efek

utama saja.

Jika banyak faktor pada desain factorial 2k makin besar, maka banyaknya

percobaan (run) yang harus dilakukan makin bertambah besar pula. Sebagai

contoh pada desain 26 akan dubutuhkan 64 runs. Padahal dari desain ini dari 63

derajat bebas total akan terbagi hanya 6 derajat bebas untuk efek-efek utama, dan

hanya 15 untuk interaksi 2 faktor, sedangkan sisanya 42 untuk interaksi tiga faktor

dan interaksi yang lebih tinggi.

Jika peneliti mempunyai alasan untuk mengasumsikan bahwa interaksi

tingkat tinggi dapat diabaikan, maka informasi tentang efek-efek utama dan

interaksi tingkat rendah dapat diperoleh hanya dengan melakukan percobaan

sebagian saja dari percobaan factorial lengkap. Desain yang digunakan disebut

desain factorial sebagian (Fractional Factorial Desaign). Desain ini banyak

digunakan dalam perancangan produk dan proses serta untuk perbaikan proses

(Process improvement)

Tujuan utama dari desain factorial ini adalah untuk Screening experiments,

yakni pada jenis eksperimen ini ada banyak faktor yang harus dipertimbangkan

dan tujuannya untuk mengidentifikasi faktor-faktor (jika ada) yang mempunyai

efek besar baru kemudian dilanjutkan ke eksperimen berikutnya untuk meneliti

lebih detail terhadap faktor-faktor yang efeknya besar tersebut.

Desain fraksional (fractional factorial design) disajikan menggunakan

notasi lk – p;

Dengan:

l adalah jumlah level setiap faktor yang diselidiki

k adalah jumlah faktor yang diteliti, dan

p menggambarkan ukuran fraksi faktorial yang digunakan.

Sebagai contoh, desain 25 − 2 adalah desain 1/4 dari dua level dan lima faktor

desain faktorial. Daripada mendesain 32 percobaan yang diperlukan untuk

percobaan full factorial design 25, penelitian ini hanya membutuhkan delapan

percobaan dengan tingkat kesalahan yang tentunya lebih kecil.

B. Pengertian Rancangan Fractional Factorial (FF)

Rancangan FF dengan dua taraf/level dinotasikan dengan 2k-p merupakan

rancangan yang mencobakan hanya 2k-p kombinasi perlakuan dari seluruh 2k

kombinasi perlakuan lengkap.

Rancangan FF yang akan didiskusikan paling awal adalah yang paling

sederhana yaitu 2k-p. Rancangan ini melibatkan k faktor dan dua taraf. Alih-alih

melibatkan 2k perlakuan seperti pada rancangan faktorial lengkap, rancangan ini

hanya menggunakan 1/2p atau 2-p dari total kombinasi atau sebanyak 2k-p. Nilai 2-p

disebut sebagai fraksi rancangan.

Untuk mendapatkan rancangan 2k-p yang harus dilakukan adalah sebagai

berikut.Pertama susun (k - p) kolom yang berisi 2k-p kombinasi lengkap dari (k - p)

faktor. Notasi yang digunakan untuk taraf setiap faktor adalah '+' dan '-'.

Selanjutnya p faktor atau kolom lainnya diperoleh dengan mengalikan unsur

kolom sebelumnya menggunakan p buah generator yang saling bebas.

Fraksi Percobaan dapat diartikan sebagai seberapa besar proporsi total

kombinasi perlakuan yang akan dicobakan dalam rancangan FF. adapun jenis

fraksi percobaan yang sering digunakan adalah:

Fraksi setengah (The one-half Fraction), mencobakan hanya setengah

bagian dari kombinasi perlakuan lengkap. Bentuk rancangan dari

percobaan setengan fraksi ini adalah 2k-1.

Contoh: percobaan 25-1 melakukan 16 kombinasi perlakuan dari 32

kombinasi perlakuan lengkap.

Fraksi seperempat (The One-Quarter Fraction), percobaan fraksi

seperempat mencobakan hanya seperempat bagian dari kombinasi perlakuan

lengkap dan bentuk rancangannya adalah 2k-2.

Contoh: Percobaan 25-2.melakukan 8 dari 32 kombinasi perlakuan lengkap.

Sebuah rancangan dikatakan memiliki resolusi R jika tidak ada pengaruh i

faktor ber-alias dengan pengaruh lain yag mengandung kurang dari R-1 faktor.

Beberapa resolusi yang biasa digunakan dapat dilihat pada tabel berikut:

Tabel resolusi dan maknanya

Resolusi Keterangan

Resolusi III(2III3-1)

I = ABC

Pengaruh faktor utama tidak ber-alias dengan pengaruh faktor utama tetapi ber-alias dengan pengaruh interaksi dua faktor yang lebih tinggi.

Resolusi IV(2IV4-1)

I = ABCD

Pengaruh interaksi dua faktor tidak ber-alias dengan pengaruh faktor utama tetapi ber-alias dengan pengaruh interaksi dua faktor yang lebih tinggi.

Resolusi V(2V5-1)

I = ABCDE

Pengaruh interaksi dua faktor tidak ber-alias dengan pengaruh utama dan pengaruh interaksi dua faktor, tetapi ber-alias dengan pengaruh interaksi tiga faktor dan yang lebih tinggi.

Misalkan ada percobaan 3 faktor masing-masing 2 level yang

dipertimbangkan, tetapi peneliti tidak dapat melakukan run percobaan sebanyak

23=8 kombinasi treatment. Anggap hanya bisa melakukan 4 run, sehingga desain

yang digunakan adalah desain FF dengan fraksi setengah dari desain 23 atau sering

dinotasikan dengan desain 23-1.

Efek berbagai faktorial sebagai berikut:

A = (abc) + (ac) + (ab) + (a) - (bc) - (c) - (b) - (1)

B = (abc) + (bc) + (ab) + (b) - (ac) - (c) - (a) - (1)

C = (abc) + (bc) + (ac) + (c) - (ab) - (b) - (a) - (1)

AB = (abc) + (c) + (ab) + (1) - (bc) - (ac) - (b) - (a)

AC = (abc) + (ac) + (b) + (1) - (bc) - (c) - (ab) - (a)

BC = (abc) + (bc) + (a) + (1) - (ac) - (c) - (ab) - (b)

ABC = (abc) + (c) + (b) + (a) - (bc) - (ac) - (ab) - (1)

Misalkan peneliti memilih 4 kombinasi treatment yaitu a, b, c, dan abc.

Perhatikan bahwa peneliti hanya memilih eksperimen yang kolom ABC bertanda

positif saja.Sehingga ABC disebut bertanda positif saja. Sehingga ABC disebut

generator dan I = ABC disebut defining relation dari desain fraction ini. Secara

umum defining relation untuk suatu fractional factorial adalah kolom yang sama

tandanya dengan kolom identitas I.

Berdasarkan setengah dari tabel di atas diperoleh dugaan efek utama A, B,

dan C adalah:

A= ½ [a-b-c+abc]

B = ½ [-a+b-c+abc]

C= ½ [-a-b+c+abc]

Sedangkan dugaan dari interaksi dua faktor adalah:

BC = ½ [a-b-c+abc]

AC= ½ [-a+b-c+abc]

AB = ½ [-a-b+c+abc]

Sehingga nampak bahwa:

dinamakan kontras:

A, B,…K =

A= BC

B = AC

C = AB

Yang konsekuensinya adalah tidak mungkin membedakan antara A

dengan BC, B dengan AC dan C dengan AB. Karena dalam kenyataannya ketika

kita menduga A dan BC (ditulis A + BC), B dan AC (ditulis B + AC), serta C dan

AC (ditulis C + AB), hal ini sering dinotasikan :

A A + BC,

B B + AC

C C + AB

Dua atau lebih efek efek yang memiliki sifat seperti ini disebut aliases,

sehingga pada contoh kasus ini A dan BC beralias (aliases), B dengan AC

beralias, dan C denngan AB beralias.

Struktur alias untuk desain dengan defining relation I = ABC pada contoh

ini dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut:

A . I = A . ABC = A2 . BC = BC (karena kuadrat dari setiap kolom

selalu = kolom I)

B . I = B . ABC = AB2C = AC

C . I = C . ABC = ABC2 = AB

Setengah fraction dengan I = +ABC, biasanya disebut dengan principal

fraction.

Jika pada kasus ini dipilih defining relation I= -ABC yaitu yang dilakukan

percobaan adalah 1, ab, ac, dan bc maka akan diperoleh ketika sedang menduga

A, B, dan C. kenyataannya yang diduga adalah A – BC, B – AC, dan C – AB.

Dalam praktek desain fractional factorial I = ABC dan I = -ABC tidak dibedakan

atau sama famili.

Sehingga dapat dinuliskan bentuk-bentuk tabel plus dan minus untuk tiap resolusi sbb:

Tabel untuk 2IV4-1 dengan I = ABCD

Percobaan(runs) I

Faktor Kombinasi perlakuan

ResponA B C D=ABC

12345678

++++++++

-+-+-+-+

--++--++

----++++

-++-+--+

(1)adbdabcdacbc

abcd

Tabel untuk 2V5-1 dengan I = ABCDE

Percobaan(runs) I

Faktor Kombinasi perlakuan

ResponA B C D E=ABCDE

12345678910111213141516

++++++++++++++++

-+-+-+-+-+-+-+-+

--++--++--++--++

----++++----++++

--------++++++++

+--+-++--++-+--+

(e)ab

abec

acebceabcd

adebdeabdcdeacdbcd

abcde

Sebagai contoh desain 2 III3−1 diperoleh dengan cara pertama-tama menuliskan

bentuk full 22 factorial sebagai basic design dan kemudian menyamakan faktor C

dengan interaksi AB. Perhatikan tabel berikut:

Fraksi setengah dari desain 2k dengan resolusi tertinggi dapat dibentuk dengan

menuliskan kembali basic design (tanda faktor A bergantian dengan tanda (-) dan

(+), tanda untuk faktor B bergantian 2 kali (-) dan dua kali (+), faktor C

bergantian 4 kali (-) dan 4 kali (+), dst). Untuk runs dari full factorial 2k-1 dan

kemudian menambahkan faktor ke-k yang tanda plus minusnya sama dengan

interaksi AB… (k-1)

C. Model Matematis

Model matematis dari rancangan fractional factorial yaitu;

Y=β0+β1 x1+β2 x2+β3 x3+β4 x4+…+ε

Keterangan:

Yijk = pengamatan pada satuan percobaan ke-I yang memperoleh

kombinasi perlakuan taraf ke-j dari factor A dan taraf ke-k dari factor B

β0= mean populasi

βn = efek dari beberapa faktor

D. Tabel Anova

Secara umum, bentuk tabel Anova dari Rancangan Fractional factorial

adalah sebagai berikut:

Sumber Keragaman

Derajat Kebebasan

Jumlah Kuadrat

Kuadrat Tengah

F-Hitung

Rata-rata

Efek utamaABC...

Interaksi 2 faktor

ABACBC

.

.

.

Interaksi 3 faktor

ABCACDBCD

.

.

.

Interaksi 4 faktor dan seterusnya.

Error (kekeliruan)

Total

1

k111...

k (k−1)2

111...

k (k−1)(k−2)6

111...

2k (r−1)

r .2k

JKR

JKAJKBJKC

.

.

.

JKABJKACJKBC

.

.

.

JKABCJKACDJKBCD

.

.

.

.

.

JKEJKT

KTR

KTAKTBKTC

.

.

.

KTABKTACKTBC

.

.

.

KTABCKTCD

KTBCD...

.

.

KTEKTT

KTR/KTE

KTA/KTEKTB/KTEKTC/KTE

.

.

.

KTAB/KTEKTAC/KTEKTBC/KTE

.

.

.

KTABC/KTEKTCD/KTE

KTBCD/KTE...

.

.

KTE/KTEKTT/KTE

E. Contoh Kasus

Anggap ada 3 faktor dan 2-level yang akan diteliti , akan tetapi peneliti

hanya dapat melakukan 4 runs(percobaan) saja, sehingga dipilih desain fractional

factorial resolusi III dengan I = ABC. Hasil eksperimennya adalah sebagai

berikut:

Misal kasus yang diteliti ialah mengenai hasil semacam zat kimia karena

kondisi temperatur dan konsentrasi larutan yang berlainan, serta pada tekanan

tertentu dengan replikasi percobaan sebanyak tiga kali, seperti tampak pada tabel

berikut:

Temperatur

(B)

Konsentrsi larutan (A)30% 60%

Tekanan (C)

Rendah TinggiI II II I II III

50 0C 28 25 27 18 19 23100 0C 36 32 32 31 30 29

Solusi:

Dari tabel hasil pengamatan di atas, dengan menggunakan rancangan FF,

table tersebut dapat ditulis dalam bentuk:

Faktor Kombinasi

perlakuan

Replikasi Total

A B C=AB I II III

- - + 1 28 25 1 80+ - - a 36 32 32 100- + - b 18 19 23 60

+ + + ab 31 30 29 90

Sehingga kita dapat merumuskan hipotesisnya:

H0 : β0=β1=β2=β12=0

Tidak ada pengaruh signifikan faktor-faktor A, B, dan C terhadap zat kimia

yang dihasilkan.

H1 : Ada β yang tidak = 0.

Ada pengaruh signifikan faktor-faktor A, B, dan C terhadap zat kimia yang

dihasilkan.

Kita dapat memperhatikan kembali basic design untuk 2k dengan k=2 (22)

yang kemudian menuliskan faktor C sebagai interaksi antara faktor A dengan B

( C= AB). Maka untuk menguji data tersebut dapat dilakukan langkah-langkah

sebagai berikut:

A = 1

2.r[ (ab−b )+( a− (I ) ) ]

= 1

2r[ab+a−b−( I ) ] Kontras A

= 1

2(3)[ 90+100−60−80 ]

= 16

[50]

= 8,33

B = 1

2r[ (ab−a )+( b− (I ) ) ]

= 1

2(3)[ab+b−a−( I ) ] Kontras B

= 16

[ 90+60−100−80 ]

= -5,00

C= AB = 1

2r[ (ab−b )−(a−( I ) ) ]

= 1

2(3)[ab+ (I )−a−b ] Kontras C

= 16

[ 90+80−100−60 ]

= 1,67

Jadi, untuk membuat tabel Anovanya yaitu :

SSA = ( Kontras A )2

4 r =

(50 )2

4 (3) = 208,33

SSB= ( Kontras B )2

4 r =

(−30 )2

4(3) = 75,00

SSC= ( Kontras AB )2

4 r =

(10 )2

4 (3) = 8,33

Sehingga,

SST =∑i=1

2

∑j=1

2

∑k=1

n

y ijk2 - y2

4 n

= 9398,00 – 9075,00

= 323,00

Maka diperoleh :

SSE = SSF – SSA – SSB – SSC

= 323,00 – 208,33 – 75,00 – 8,33

= 31,34

Jadi, tabel Anovanya :

Source of

Variation

Sum of

Square (SS)

Degrees of

Freedom (df)

Mean

Square

(MS)

F.Hitung P.value

A 208,33 1 208,33 33,15 0,0001

B 75,00 1 75,00 19,13 0,0024

C 8,33 1 8,33 2,13 0,1826

Error 31,34 8 3,92

Total 323,00 12

Model Regresinya dapat ditulis :

Ŷ = β0 + β1x1 + β2x2 + β12x3

ŷ = 82,5 + (8,33)

2 x1+

(−5,00)2

+ (1,67)

2 x3 + 31,34

Adapun teknik analisis data untuk kasus fractional faktorial pada kasus

tersebut dengan menggunakan software SPSS adalah sbb:

1. Input variable yang digunakan pada kolom variable view

2. Input data pada kolom variable view

3. Klik Analyze

4. Klik General Linear Model (GLM)

5. Klik Unvariate...

Pada kotak dialog unvariate, isikan:

Dependent Variabel: masukkan data-data pengamatan

Fixed Factor(s): masukkan faktor-faktor yang terkait

6. Kilik Model ...

Specify Model: pilih full Factorial

Klik include intercept in model

Klik Continue

7. Jika pada output data ingin menampilkan grafiknya, Klik Plots...

Horizontal Axis: masukkan faktor yang terkait

Separete Lines: masukkan faktor yang terkait

Klik Add

Klik continue

1. Klik Post Hoc...

Post Hoc Tests for: masukkanfaktor-faktor yang terkait

Equal Variance Assumed: ceklis LSD dan Tukey.

Klik Continue

2. Klik OK

Adapun outputnya :

Univariate Analysis of Variance

[DataSet0]

Between-Subjects Factors

Value Label N

konsentrasi larutan 1.00 30% 6

2.00 60% 6

Temperatur 1.00 50 drj C 6

2.00 100 drj C 6

Tests of Between-Subjects Effects

Dependent Variable:output

Source Type III Sum of

Squares df Mean Square F Sig.

di

m

en

si

on

1

Model 9366.667a 4 2341.667 597.872 .000

A 208.333 1 208.333 53.191 .000

B 75.000 1 75.000 19.149 .002

A * B 8.333 1 8.333 2.128 .183

Error 31.333 8 3.917

Total 9398.000 12

a. R Squared = .997 (Adjusted R Squared = .995)

Kesimpulan :

Dari hasil analisis dengan SPSS 18. 0, maka cukum membandingkan nilai Sig

dengan α yang ditentukan , Karena nilai dari Asymp. Sig. Untuk medel regresinya

(0.000< 0.05 &0.000< 0.1) sehingga untuk taraf signifikansi α=5% dan α=10 %,

maka Ho ditolak artinya Ada pengaruh signifikan faktor-faktor A, B, dan C

terhadap zat kimia yang dihasilkan.

F. Kelebihan dan Kekurangan

Keuntungan dari rancanganfractionalfraction:

1. Dapat mengurangi penggunaan sumber daya sperti waktu, biaya dan

lain-lain

2. Dapat mengurangi terjadinya kesalahan dalam eksperimen.

3. Ketika banyak faktor yang sedang diselidiki, bagaimanapun, desain

faktorial penuh kadang-kadang sudah memiliki data yang lebih dari

cukup yang dikumpulkan.Sehingga interaksi antara banyak faktor

menjadi sulit untuk ditafsirkan. Maka alternatif yang dapat diambil ialah

dengan menggunakan rancangan faktorial pecahan/sebagian

Kekurangan percobaan Fractional Factorial

Kekurangan pada percobaan fractional fraction ini ialah pada masalah

pemilihan tingkat resolusi. kriteria resolusi tertinggi kadang kala tidak

cukup karena beberapa rancangan yang berbeda dapat memiliki resolusi

yang sama.