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Frações
Fonte: commons.wikimedia.org/wiki/File:FractionStrips.PNG
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• Frações ou números fracionários, são números que representam uma determinada parte de um todo.
• O Surgimento dos números fracionários remontam ao antigo egito.
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Representação de um número fracionário:
𝑎
𝑏
Em que 𝑎 e 𝑏 são números inteiros. O número 𝑎 é o numerador e b é o denominador ≠ 0.
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Obs:
• Muitas vezes 𝑎
𝑏é representado como
𝑎/𝑏, e ainda, Τ𝑎 𝑏.
•𝑎
𝑏=
𝑘𝑎
𝑘𝑏, em que k é um número
qualquer.
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Em relação à leitura:
• Τ1 2 → lê-se um meio• Τ2 3 → lê-se dois terços• Τ1 4 → lê-se um quarto• Τ4 5 → lê-se quatro quintos• Τ1 6 → lê-se um sexto• Τ5 7 → lê-se cinco sétimos• Τ1 8 → lê-se um oitavo• Τ1 9 → lê-se um nono• Τ1 10 → lê-se um décimo
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Para denominadores maiores que dez usamos o termo “avos”
Τ1 12 → lê-se um doze avosΤ3 20 → lê-se três vinte avos
Obs: quando o denominador for 100, 1.000, 1.000.000, usamos os termos centésimos, milésimos e milionésimos, respectivamente.
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Soma e subtração de frações
Na soma e subtração, é importanteverificar que para estas operações, odenominador de ambas as fraçõesdevem ser iguais. Caso osdenominadores sejam diferentes,devemos torna-los iguais, e utilizarfrações equivalentes.
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Soma e subtração de frações
𝑎
𝑏+𝑐
𝑑=
𝑚𝑚𝑐 𝑏, 𝑑𝑏
× 𝑎 +𝑚𝑚𝑐 𝑏, 𝑑
𝑑× 𝑐
𝑚𝑚𝑐(𝑏, 𝑑)
ou𝑎
𝑏+𝑐
𝑑=𝑎 × 𝑑 + 𝑐 × 𝑏
𝑏 × 𝑑Neste segundo caso, se 𝑎 e 𝑏 não forem primos entre si, a fração pode ser simplificada.
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A subtração de frações é análoga à soma:
𝑎
𝑏−𝑐
𝑑=
𝑚𝑚𝑐 𝑏, 𝑑𝑏
× 𝑎 −𝑚𝑚𝑐 𝑏, 𝑑
𝑑× 𝑐
𝑚𝑚𝑐(𝑏, 𝑑)
ou𝑎
𝑏−𝑐
𝑑=𝑎 × 𝑑 − 𝑐 × 𝑏
𝑏 × 𝑑
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Exemplos:
Pelo primeiro método:
3
4+5
6=
𝑚𝑚𝑐 4,64
× 3 +𝑚𝑚𝑐 4,6
6× 5
𝑚𝑚𝑐(4,6)
3
4+5
6=
124× 3 +
126× 5
12=9 + 10
12=19
12
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Exemplos:
Pelo segundo método:
3
4+5
6=3 × 6 + 5 × 4
4 × 6=18 + 20
24
3
4+5
6=38
24=19
12
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Multiplicação de frações
𝑎
𝑏×𝑐
𝑑=𝑎 × 𝑐
𝑏 × 𝑑
Exemplo:
4
5×9
8=4 × 9
5 × 8=36
40=
9
10
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Exemplo:
2
3×3
8×1
2=2 × 3 × 1
3 × 8 × 2=
6
48=1
8
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Divisão de frações
𝑎
𝑏÷𝑐
𝑑=𝑎
𝑏×𝑑
𝑐
Exemplo:
5
3÷7
8=5
3×8
7=40
21
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Exemplo:
4
5÷1
2÷3
4=
4
5×2
1÷3
4=8
5×4
3=32
15
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Frações e porcentagem
Porcentagem é uma medida de razão com base 100. A porcentagem é utilizada em diversas áreas, em comparações, estimativas, em matemática financeira, entre outras. De certo modo, trabalhar com porcentagem nada mais é do que trabalhar com frações que tenham denominadores iguais ao número 100.
Porcentagem na maioria absoluta das vezes é representada pelo símbolo “%”, e lê-se por cento.
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Exemplo de porcentagem em estatística
Partido A36%
Partido B33%
Partido C13%
Partido D7%
Partido E11%
Eleitores por partido
Partido A Partido B Partido C Partido D Partido E
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Representação e significado de porcentagem
𝑎% =𝑎
100= 𝑎 × 0,01
Quando falamos em 50% de uma população, falamos na metade desta população. Pois:
50% =50
100= 0,5 =
1
2
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Obs:
Em estatística, população é o nome dado ao conjunto de elementos sobre o qual o estudo estatístico é feito.
Na matemática financeira, chamamos de capital o dinheiro sobre o qual alguma operação financeira é aplicada. Por exemplo: juros e rendimento.
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Exercício:
Uma escola do ensino fundamental de 1º ao 5º ano possui 600 alunos, 25% estão no 1º ano, 22% estudam no 2º ano, 21% estudam no 3º ano, 18% estudam no 4º ano, e o restante estuda no 5º ano. Quantos alunos estudam em cada ano?
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Resolução:
1º ano: 23% de 600 =25
100× 600 = 150
138 alunos estudam no 1º ano.
2º ano: 22% de 600 =22
100× 600 = 132
132 alunos estudam no 2º ano.
3º ano: 21% de 600 =21
100× 600 = 126
126 alunos estudam no 3º ano.
4º ano: 18% de 600 =18
100× 600 = 108
108 alunos estudam no 4º ano.
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Resolução:
5º ano:100 − 25 − 22 − 21 − 18 % = 14%
14% de 600 =14
100× 600 = 84
ou ainda;600 − 150 − 132 − 126 − 108 =8484 alunos estudam no 5º ano.
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Exercício:
(ENEM 2013). Para aumentar as vendas no início do ano, uma loja de departamentos remarcou os preços de seus produtos 20% abaixo do preço original. Quando chegam ao caixa, os clientes que possuem o cartão fidelidade da loja têm direito a um desconto adicional de 10% sobre o valor total de suas compras.
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Um cliente deseja comprar um produto que custava R$50,00 antes da remarcação de preços. Ele não possui o cartão fidelidade da loja. Caso esse cliente possuísse o cartão fidelidade da loja, a economia adicional que obteria ao efetuar a compra, em reais, seria de:a) 15,00 b) 14,00 c) 10,00 d) 5,00e) 4,00
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Resolução: O preço normal do produto é de R$ 50,00. Aplicando o desconte de 20%. A economia final que teria:
𝑑𝑒𝑠𝑐. 𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 = 𝑅$10
100× 40,00
𝑑𝑒𝑠𝑐. 𝑎𝑑𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 = 𝑅$ 4,00
Portanto, a alternativa correta é aalternativa (b).
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Resolução: Caso o cliente tivesse o cartão fidelidade, ele teria mais 10% de desconto em cima do preço de R$ 40,00. O desconto
𝑃𝑟𝑒ç𝑜 = 𝑅$ 50 −20
100× 50,00
P𝑟𝑒ç𝑜 = 𝑅$ (50,00 − 10) = R$ 40,00