Fraktale

Co to jest fraktal?Fraktal to zbiór o skomplikowanej budowie, ale opisany

prostymi równaniami, które powtarza się wiele razy.

Wiele fraktali kryje w sobie zadziwiającą tajemnicę jaką jest ich nieskończone samopodobieństwo. Oznacza to, że dowolnie mały jego kawałek, odpowiednio powiększony, przypomina do złudzenia cały zbiór lub jego znaczną część.

Fraktal oznacza zwykle obiekt samo-podobny czyli taki, którego części są podobne do całości, ukazujące subtelne detale nawet w wielokrotnym powiększeniu. Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów fraktal można określić jako zbiór który: ma nietrywialną strukturę w każdej skali, jest samo-podobny, ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" i) wygląd.

Fraktal - Historia

Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki przez francuskiego informatyka i matematyka polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrota w latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama zbiorów o niecałkowitym wymiarze - Hausdorffa, postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady pewnych twierdzeń. Szczególny wkład w rozwój geometrycznej teorii miary wniósł Abraham Bezikowicz, który skonstruował również wiele konkretnych fraktali o paradoksalnych własnościach. Również zbiór Julii, ściśle związany ze zbiorem Mandelbrota, był badany w latach 20 zeszłego wieku.

Mandelbrot używając komputera do wizualizacji uczynił z fraktali przedmiot intensywnych badań. O ważności tego zagadnienia zadecydowały zastosowania w różnych dziedzinach, zwłaszcza poza matematyką, np. obecnie prawie każdy telefon komórkowy korzysta z wbudowanej anteny fraktalnej liczne odpowiedniki fraktali istnieją też w naturze grafika komputerowa, projektowania bezpiecznych mostów, samolotów, itp. umożliwiają przewidywanie pęknięć podczas przyszłej eksploatacji nowych konstrukcji

Fraktal w przyrodzie

Na Ziemi nie ma tych lądów, rzek i mórz! To sztuczne obrazy!

Matematycy wymyślili, jak opisać spotykane w przyrodzie kształty. Wymyślone do tego wzory matematyczne mogą służyć m.in. do tworzenia pięknej grafiki komputerowej, przypominającej kolorami i kształtami np. geometryczne wzornictwo starożytnych greków.

Odłam cząstkę z kalafiora

i przyjrzyj się jej! Czyż nie przypomina całego

kalafiora, tylko o mniejszym rozmiarze?

Popatrz na kształt fiordów! Czy widać w nim jakąś regularność? Raczej nie!

Trudno nie zauważyć, że fragmenty kwiatów są powtarzalne, podobne jeden do drugiego!

Czy można kwiaty opisać wzorem matematycznym?

Fraktale - Samo-podobieństwoPrzyjrzyj się animacji (z lewej), by zobaczyć jak powstaje

fraktal zwany Smokiem Heighwaya. Z prawej widzisz Smoka w

kolorach. Zwróć uwagę na podobieństwo tworzących go fragmentów.

Smok Heighwaya pojawił się w powieści Michaela Crichtona Jurassic Park

Zwróć uwagę na podobieństwo fragmentów kolejnego fraktala. Porównaj z prawej fragment niebieski z czerwonym i granatowym.

Paproć Barnsleya (liść paproci) - fraktal znany ze względu na uderzające podobieństwo do liści paproci występujących w

naturze.

Bardziej skomplikowany i „nieregularny” jest fraktal zwany zbiorem Mandelbrota, ale o tym za chwile. Tutaj znajdziesz

podobieństwa. Obejrzyj cztery różne powiększenia jego fragmentów.

Pierwsze przybliżenie fragmentu

zbioru

Fragment zbioru

powiększony 4x

Fragment zbioru

powiększony 30x

Fragment zbioru

powiększony 350x

Podobne?Podobne?

Benoît B. Mandelbrot urodził się 20 listopada 1924 w Warszawie, zmarł 14 października 2010 w Cambridge.

Zajmował się szerokim zakresem problemów matematycznych, znany jest przede wszystkim jako ojciec geometrii fraktalnej, opisał zbiór Mandelbrota oraz wymyślił samo słowo „fraktal”.Mandelbrot dotarł do prac dwóch francuskich matematyków: • Gastona Julii• Pierre'a FatouBadali oni zachowanie się iteracji pewnych funkcji zespolonych. Mandelbrot wykorzystał do tego celu komputery. Uzyskane przez niego wykresy zostały nazwane fraktalami.

Fraktale Mandelbrota

Zbiór MandelbrotaZbiór ten jest uznawany za najbardziej skomplikowaną

strukturą znaną człowiekowi !

Konstrukcja Zbioru Mandelbrota

Zbiór Mandelbrota - jako mapa zbiorów Julii

To niezwykły rezultat dowiedziony niedawno przez chińskiego

matematyka Tan Lei.

Zbiór M jest nie tylko samopodobny, ale lokalnie jest podobny do odpowiedniego

zbioru Julii!

Fraktale Juli

Gaston Maurice Julia (1893-1978) – Francuski matematyk urodzony w Algierii, badał układy dynamiczne, w szczególności iteracje funkcji kwadratowej na płaszczyźnie zespolonej. W czasie pierwszej wojny światowej został ranny w twarz, od tego czasu nosił maskę zakrywająca nos.

Zbiory Juli

Spójność zbiorów Julii

Kiedy zbiór Julii składa się z jednego kawałka?Matematycznie: Kiedy zbiór Julii jest spójny?Zbiór spójny : “Istnieje łamana, zawarta całkowicie w tym zbiorze, łącząca dowolne dwa jego punkty”.

Przykład 1. Zbiór niespójny:

Przykład 2. Zbiór spójny:

Przykład 3. Zbiór całkowicie niespójny – pojedyncze punkty

Fraktale Sierpińskiego

Wacław Sierpiński - polski matematyk, jeden z czołowych przedstawicieli warszawskiej szkoły matematycznej. Był jednym z twórców polskiej szkoły

matematycznej.

Fraktalami Sierpińskiego nazywamy:- Dywan Sierpińskiego- Trójkąt Sierpińskiego- Piramidę Sierpińskiego

Z czasem powstało wiele wariacji tych figur i powstały zbiory o bardziej skomplikowanej budowie.

Dywan Sierpińskiego

Krok 1: Kwadrat o boku „a” dzielimy na 9 części i usuwamy środkową częśc.

Krok 2 i dalsze: Postępujemy tak samo z kolejno

powstającymi kwadratami.

Oto figura po 5 krokach

Trójkąt Sierpińskiego

Krok 1 :Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny

o długości boku np. 1. Środki boków trójkąta łączymy odcinkami. Otrzymaliśmy cztery trójkąty

równoboczne, każdy o długości boku. Usuwamy środkowy trójkąt.

Krok 2:Każdy z pozostałych trzech

mniejszych trójkątów dzielimy znowu na cztery równe trójkąty.

Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów otrzymanych w

pierwszym kroku. Usuwamy środkowe trójkąty.

Oto figura po 5 krokach

Piramida Sierpińskiego

Krok pierwszyNajpierw rysujemy czworościan.

Łączymy odcinkami środki krawędzi czworościanu. Usuwamy bryłę, której krawędziami są te odcinki. Czym jest

usunięta bryła? Krok drugi

Z każdego małego czworościanu usuwamy bryłę, której krawędziami są

odcinki łączące środki krawędzi czworośćianów otrzymanych w

pierwszym kroku. Powstanie piramida, która ma 5 dziur.

Zbiór, który otrzymamy po nieskończenie wielu krokach

nazywa się piramidą Sierpińskiego.

Fraktale Koha

Helge von Koch (ur. 1870, zm. 1924). Szwedzki matematyk, twórca jednego z najbardziej znanych i zarazem jednego z pierwszych fraktali – krzywej Kocha (opisana w1906 roku). Napisał wiele prac na temat teorii liczb, zajmował się hipotezą Riemanna. Zajmował się nieskończonymi wyznacznikami, Płatek Kocha wynalazł w 1904 r.

Krok IRysujemy trójkąt równoboczny

o długości boku np. 1. Każdy bok trójkąta dzielimy na trzy równe części i doklejamy

do części środkowej..

Krok IIKażdy bok gwiazdy dzielimy

znowu na trzy równe części i do części środkowej doklejamy trójkąt równoboczny o boku

trzy razy krótszym niż poprzednio.

Krok IIIW kolejnych krokach

postępujemy podobnie jak poprzednio. Rysunek pokazuje

gwiazdkę po 5 krokach konstrukcji. Płatek ten ta 3072

boki.

Płatek Koha

Dziękujemy za uwagę