Domaca naloga pri Fiziki mehke snovi

FRAKTALI V FIZIKI MEHKE SNOVIFractals in Soft Matter Physics

Katja Vozel

Ljubljana, junij 2013

Kazalo

1 Uvod 2

2 Invariantnost na translacijo in invariantnost na spremembo skale 3

3 Fraktalne dimenzije 5

4 Heterogenost 6

5 Nakljucna hoja, polimeri in membrane 7

6 Perkolacija 8

7 Zakljucek 8

1

1 Uvod

Fraktali so strukture in procesi, sestavljeni iz manjsih delov, ki so na tak ali drugacen nacin po-dobni celoti [1]. Pravimo jim tudi sebi podobni procesi in strukture, invariantni na sprememboskale. Besedo fraktal je leta 1975 prvi uporabil Mandelbrot in izvira iz latinske besede frac-tus, kar pomeni ,,razdrobljen”[2]. O fraktalih v teoreticnem smislu najvec vedo matematiki.Zacetki matematicne obravnave fraktalov segajo v 17. stoletje [2].

V matematiki obravnavamo predvsem deterministicne fraktale, ki so na razlicnih prostor-skih skalah povsem identicni, skalo pa lahko manjsamo v neskoncnost; tak je na primer fraktalMandelbrot-Given na sliki 1 [1, 3]. V naravi pa lahko opazimo predvsem t.i. nakljucne frak-tale, ki so na manjsih skalah le statisticno gledano enaki celoti, niso pa njej identicni. Zarazliko od deterministicnih fraktalov je manjsanje skale omejeno, ce ne prej pa ko pridemo nanivo atomov in molekul. Zanimiv primer fraktala je vrsta brokolija na sliki 2 [2].

Slika 1: Prvi trije koraki konstrukcije fraktala Mandelbrot-Given. Povzeto po [1].

Slika 2: Vrsta italijanskega brokolija ima fraktalno strukturo. Povzeto po [2].

Fraktali v naravi so tudi oblaki, obale, gorovja, snezinke itd. Implicitno se pojavljajo vkaosu, v turbulenci, v sirjenju epidemije itd. [3]. Fraktalno naravo imajo tudi kolicine in sis-temi v kriticnih tockah; samopodobnost dogajanja izkoriscamo npr. v renormalizacijski teorijifaznih prehodov. Zaradi svoje mikroskopske narave nam fraktali pomagajo pri razumevanjupolimernih struktur, strjevanja lepil ali cementa, drobljenja materialov in hitrosti kemijskihreakcij [3].

2

Naslednja poglavja opisujejo, kako obravnavamo fraktale in njihovo povezavo s fiziko mehkesnovi. Vsa snov je povzeta po [3].

2 Invariantnost na translacijo in invariantnost na spre-

membo skale

Slika 3 prikazuje vzorec peska, ki ga dobimo tako da zmesamo pescene delce z lepilom inpustimo, da se lepilo strdi.

Slika 3: Strjena plast peska. Povzeto po [3].

Pesceni delci sicer niso urejeni v kristalno strukturo s pozicijskim redom dolgega dosega, aje translacijska simetrija vzorca kljub temu pomembna. Izracunajmo gostotno avtokorelacijskofunkcijo, ki opisuje verjetnost, da v dveh tockah, oddaljenih za r, najdemo snov iste vrste (npr.pesek, lahko pa bi se omejili tudi na prazen prostor):

c(r) =1

N

∑ρ(r + r′)ρ(r′). (1)

Pri tem je ρ(r) = 1, ce je v tocki r pesek in ρ(r) = 0, ce je v tocki r prazen prostor. Re-zultat kaze slika 4. Avtokorelacijska funkcija peska ima na razdalji okoli 200 pikslov vrh, kiprica o tem, da je pozicija delca korelirana s pozicijo najblizjih sosedov. Sistem ima torejkarakteristicno korelacijsko dolzino, ki nam pomaga pri modeliranju sistemov. Obstoj ka-rakteristicne dolzine omogoca izbiro reprezentativnega vzorca z velikostjo le malo vecjo odkorelacijske dolzine, ki se ponavlja pri vecjih razdaljah.

3

Slika 4: Gostotna avtokorelacijska funkcija c strjene plasti peska v odvisnosti od razdalje r.Povzeto po [3].

Ugotovitve pa ne drzijo za strjeno cementno pasto z nekaj prevec vode, na sliki 5.

Slika 5: Prerez strjene cementne paste. Povzeto po [3].

Gostotno avtokorelacijsko funkcijo cementne paste prikazuje slika 6. Ta avtokorelacijskafunkcija monotono pada z oddaljenostjo od opazovane tocke, zato ta sistem nima nobenekarakteristicne dolzine. Cementne paste nikakor ne bi mogli modelirati na enak nacin kotstrjen pesek. Kljub temu ta sistem vsebuje nek red. Uganemo lahko, da imamo opravkas fraktalom in tako z invariantnostjo na spremembo skale. Oblika avtokorelacijske funkcijecementne paste je potencna - brez karakteristicne dolzine:

c(r) ∼ r−α. (2)

Sprememba skale za faktor b ne spremeni oblike korelacijske funkcije:

c(br) ∼ b−αr−α. (3)

4

Slika 6: Gostotna avtokorelacijska funkcija c prereza strjene cementne paste v odvisnosti odrazdalje r. Povzeto po [3].

3 Fraktalne dimenzije

Invariantnost na spremembo skale spremeni pomen fizikalnih kolicin, na primer gostote. Kotprimer vzemimo papirnato zogo. Denimo, da iz casopisnega papirja izrezemo kvadrate zrazlicnimi dolzinami stranic L, 5 cm < L < 1 m. Masa kvadratnih kosckov casopisnegapapirja je sorazmerna L2. Potem koscke papirja zmeckamo na tak nacin, da dobimo papirnatezoge razlicnih velikosti. Kako je sedaj masa papirnatih zog odvisna od njihovega povprecnegapolmera R? Odgovor ni enostaven, ocitno pa je, da odvisnost ne bo vec kvadratna. Papirbomo tezko zmeckali tako, da v zogah ne bo nic praznega prostora, torej odvisnost tudi nebo kubicna. Velikemu stevilu zog izmerimo polmer in jih stehtamo. Eksperiment pokaze, damasa zogic ima potencno odvisnost od polmera R:

M ∼ RDf , (4)

le da eksponent Df ni vec celo stevilo in znasa okoli 2,5. Df imenujemo masna fraktalnadimenzija, tudi podobnostna dimenzija [1].

Volumen papirnatih zog je sorazmeren z R3, njihova gostota MV pa je

MV =M

V∼ RDf−3 ∼ R−β, (5)

kjer β = 0, 5. Torej gostota ni konstantna in celo pada z narascajocim polmerom papirnatihzog, ceprav je gostota papirja, iz katerega so zoge, konstantna. Odvisnosti mase in gostoteod polmera (izraza 4 in 5) sta potencni, zato sta invariantni na spremembo skale. Ko nekajzog razlicnih velikosti prerezemo na pol in pogledamo, kako izgledajo prerezi, se prepricamoo tem, da so fraktali (slika 7).

5

Slika 7: Prerezi papirnatih zog z razlicnimi povprecnimi polmeri R. Papirnata zoga je fraktal,saj njen prerez izgleda enako ne glede na to, kako velika je. Povzeto po [3].

Za ugotovitev sebi podobnosti in dolocitev Df se poleg omenjenih meritev fizikalnih kolicinin izracuna avtokorelacijske funkcije uporabljajo se druge metode. Sistem lahko na primerprekrivamo s kockami s stranico r in opazujemo, kako se stevilo kock N , potrebnih za popolnoprekritje, spreminja z dolzino stranice. Za fraktal velja

N(r) ∼(

1

r

)Df

. (6)

Lahko pa sistem postavimo na mrezo in stejemo enote mreze, v katerih je kaj snovi in nesamo prazen prostor. Ce je sistem fraktal, ima stevilo taksnih enot potencno odvisnost odvelikosti enote. Dimenzije, ki jih dobimo na omenjena nacina anglesko imenujemo box-countingdimensions.

Doslej smo govorili o masnih fraktalih, obstajajo pa tudi fraktali, v katerih ima fraktalnostrukturo prazen prostor, anglesko pore volume fractals, ali pa samo meja oziroma povrsina,anglesko boundary fractals, surface fractals. Skladno s tem nekoliko razlicno poimenujemo tudidimenzije, ki jih iscemo. Da dolocimo iskane dimenzije, izracunamo avtokorelacijsko funkcijo,masno porazdelitev ali tlakujemo povrsino ter se pri tem omejimo na tocke, ki nas zanimajo(masa, prazen prostor ali tocke na povrsini).

Invariantnost na spremembo skale je lahko tudi anizotropna, tj. ce ima Df razlicne vre-dnosti za spremembe dolzine vzdolz posameznih osi. Primer je denimo gorski relief (povrsinskifraktal). Gorovje z dvakrat vecjo povrsino ni dvakrat visje. Kvantitativno za tak fraktal velja,da spremembi ∆x → λ∆x (in morda se ∆y → λ∆y) ustreza sprememba ∆z → λH∆z, kjerje H med 0 in 1. Za opis potrebujemo dve dimenziji; prva je lokalna z vrednostjo med 1 in2. Druga je globalna s celostevilsko vrednostjo in opisuje asimptoticno obnasanje fraktala. Vprimeru gorovja je globalna dimenzija 2, saj se, gledano s satelita nad Zemljo, gorovje zlije spovrsino Zemlje.

4 Heterogenost

Podobnostna dimenzija se zdalec ni dovolj za opis kompleksne strukture fraktala. Najmanj,kar lahko se naredimo je, da dolocimo obmocje, v katerem velja invariantnost na spremembo

6

skale. V naravi vedno obstaja elementarno obnasanje sistema na majhni prostorski ali casovniskali. Po drugi strani nas vedno zanimajo sistemi koncnih velikosti.

Opis z enim stevilom je se posebej neustrezen, kadar imamo opravka s heterogenostjofraktalnega sistema. Heterogenost lahko ocenimo z opazovanjem odmika opazljivke G od njenesrednje vrednosti 〈G(R)〉 v danem volumnu R (v fraktalih so srednje vrednosti odvisne odvolumna, po katerem povprecujemo). V homogenem fraktalu se vrednost G le malo spreminjaod ene tocke do druge in 〈G(R)〉 narasca z RDf . Vsi momenti 〈G(R)q〉 narascajo s q-topotenco srednje vrednosti, 〈G(R)〉q. Df zato vsebuje zadostno informacijo o spreminjanju G.Za heterogene fraktale pa omenjene relacije ne veljajo.

5 Nakljucna hoja, polimeri in membrane

Najprej lahko pokazemo, da je nakljucna hoja fraktal. Povprecna vrednost kvadrata oddalje-nosti od zacetne tocke po N korakih dolzine a je sorazmerna stevilu korakov:

〈R2(N)〉 ∼ Na2. (7)

Stevilo korakov lahko enacimo z maso in v tem primeru bi bila masna dimenzija fraktala (gledena definicijo 4) Df = 2: N ∼ R2. Ali imamo res opravka s fraktalom ugotovimo tako, da nanovo definiramo korak, ki naj ima zdaj dolzino A in naj bo sestavljen iz n korakov dolzine a.Ker velja 5, A2 ∼ na2. Ker razdalja od zacetne do koncne tocke nakljucne hoje ostane enaka,lahko zapisemo

〈R2(N)〉 ∼(N

n

)na2 = N ′A2, N ′ =

(N

n

). (8)

Statisticno gledano nakljucna hoja ostaja enaka, tudi ce poljubno spremenimo dolzino koraka,in je zato fraktal s podobnostno dimenzijo Df = 2 (slika 8).

Slika 8: Brownovo gibanje mikronskega delca - nakljucna hoja. A: vzorcenje vsakih 30 sekund;B: vsak peti korak - ekvivalentno vzorcenju vsakih 150 sekund; C: slika B, pomanjsana zafaktor

√5 je po kolicini detajlov enaka sliki A. Povzeto po [3].

Nakljucna hoja je najpreprostejsi model za opis linearnih polimernih verig. Korak jeekvivalenten monomeru in celotna hoja je ekvivalentna polimeru. Obstaja le ena tezava. Medhojo se lahko znajdemo dvakrat na istem mestu, dva monomera pa zaradi trde sredice ocitno ne

7

moreta biti na istem mestu. Zato nakljucna hoja s podobnostno dimenzijo Df = 2 ni povsemustrezna za opis polimernih verig, pac pa bi jo bilo treba zamenjati z nakljucno hojo, ki se nevraca na ze obiskana mesta (angl. self-avoiding random walk). Floryjeva teorija povprecnegapolja kombinira preprostost osnovne nakljucne hoje z upostevanjem odboja med polimeri. Pritem pristopu minimiziramo prosto energijo, ki ji dodamo pozitiven clen zaradi odboja medmonomeri. Velikost polimera raste s stevilom monomerov na potenco 3/5 oziroma N ∼ R5/3,Df = 5/3. Podobnostna dimenzija je v tem primeru manjsa kot pri navadni nakljucni hoji,tako da ima polimer bolj odprto strukturo; pri tem smo privzeli, da polimer obdaja dobrotopilo.

V linearnih polimernih verigah odbojne interakcije torej poskrbijo za to, da so verige boljnapihnjene, kot ce bi sledile principu povsem nakljucne hoje. Podobno kot polimere lahkoobravnavamo membrane, ki se zvijajo v prostoru. Pri membranah odbojna interakcija pov-zroci, da so membrane v resnici precej bolj ravne, kot bi bile, ce bi bilo zvijanje povsemnakljucno. Podobnostna dimenzija membran znasa Df = 5/2 in je enaka podobnostni dimen-ziji papirnatih zog.

6 Perkolacija

Nastanek fraktalov je tesno povezan s procesi, ki so deloma ali v celoti nakljucni. Tako kotnakljucna hoja tudi perkolacija spada v to skupino procesov. Perkolacija je zdruzevanje vecmanjsih objektov ali dogodkov v vecji objekt ali dogodek. Za to je ponavadi potrebna visokakoncentracija snovi, ki se lahko zlepi skupaj, kemicno reagira ali kaj drugega.

Denimo, da steklen valj s prevodnima osnovnima ploskvama napolnemo z dvema vrstamakroglic: s steklenimi in s prevodnimi kroglicami. Vecji kot je delez p prevodnih kroglic,vecji so skupki le-teh. Ko dosezemo kriticen delez pc prevodnih kroglic, postane valj medosnovnima ploskvama prevoden. V dveh dimenzijah je temu ekvivalenten poskus, pri kateremna list papirja enakomerno prsimo prevodno barvo. Z njo pobarvamo tudi dve nasprotni sistranici ter preverjamo prevodnost med njima. Skupki, ki nastajajo, medtem ko vecamo delezprevodne snovi, so fraktali. Njihove podobnostne dimenzije so odvisne od dimenzije prostora.V 2D primeru podobnostna dimenzija znasa 1,89 in v 3D primeru 2,5.

Bolj ko vecamo delez prevodne snovi nad kriticni delez pc, bolj se povecuje prevodni skupek,ki se razteza od enega konca sistema do drugega. Pri p > pc obstaja karakteristicna dolzinaξ. Na skalah vecjih od ξ struktura skupka ni vec fraktalna in postane podoben pesku nasliki 3. Karakteristicna dolzina je neskoncna pri kriticnem delezu prevodnih kroglic pc indivergira v njegovi okolici, zato je skupek fraktal. Ko p povecujemo in se odmikamo od pc,je karakteristicna dolzina vse krajsa, dokler pri p = 1 sistem povsem ne izgubi fraktalnihlastnosti.

7 Zakljucek

Zapisano na kratko podaja idejo o tem, kako opisemo fraktale, kje se pojavljajo in kaksnovlogo imajo v fiziki mehke snovi. S to domaco nalogo je povezana naslednja domaca naloga znaslovom Diffusion-Limited Aggregation and Growth.

8

Literatura

[1] T. Nakayama, K. Yakubo, Fractal concepts in condensed Matter Physics. Springer-VerlagBerlin Heidelberg (2003).

[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal. (3. 6. 2013).

[3] M. Daoud, C. E. Williams (Eds.), Soft Matter Physics. Springer-Verlag Berlin Heidelberg(1999).

9