fraktální dimen ze
DESCRIPTION
Fraktální dimen ze. Definice frakt ální ( vnitřní ) dimen ze a jej í aplikace v datab ázích. David Hoks za. Obsah. Topologick á dimen ze Hausdorffova dimenze Frakt ální dimen ze (FD) Výpočet FD v O(n) Aplikace při selekci atributů Výpočet FD pomocí box -counting - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Fraktální dimen ze](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/568150a7550346895dbeb3ec/html5/thumbnails/1.jpg)
Fraktální dimenze
Definice fraktální (vnitřní) dimenze a její aplikace v databázích
David Hoksza
![Page 2: Fraktální dimen ze](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/568150a7550346895dbeb3ec/html5/thumbnails/2.jpg)
Obsah
Topologická dimenze Hausdorffova dimenze Fraktální dimenze (FD) Výpočet FD v O(n) Aplikace při selekci atributů Výpočet FD pomocí box-counting Aplikace při detekci očí v obrázku
![Page 3: Fraktální dimen ze](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/568150a7550346895dbeb3ec/html5/thumbnails/3.jpg)
Topologická dimenze (TD)
Geometricky hladké objekty Počet parametrů popisujících objekt
Pevně definovaným vztahem lze popsat libovolný bod objektu
Celočíselná TD nezávisí na dimenzi prostoru, kde je daný
objekt umístěn Vlastnosti tělesa nezávislé na měřítku
![Page 4: Fraktální dimen ze](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/568150a7550346895dbeb3ec/html5/thumbnails/4.jpg)
Příklady TD
Přímka y = y0 + kt
TD = 1 Funkce
x = sin(t)*log(t) y = cos2(t) z = t
TD = 1 Libovolná hladká plocha
Kruh, trojúhelník, n-úhelník TD = 2
![Page 5: Fraktální dimen ze](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/568150a7550346895dbeb3ec/html5/thumbnails/5.jpg)
Hausdorffova (fraktální) dimenze (FD)
Neceločíselná Udává úroveň členitosti objektu Délka břehu ostrova
Zmenšování měřítka => růst délky Zabírá více místa než hladká křivka Větší než topologická
![Page 6: Fraktální dimen ze](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/568150a7550346895dbeb3ec/html5/thumbnails/6.jpg)
Měření FD (1)
Úsečka Úsečku rozdělíme na N
dílů Měřítko: s = 1/N Pro FD platí: NsD = 1
NsD = 1 logNsD = log 1 logN + logsD = 0 Dlogs = - logN D = (-lognN)/logs D = logN/log(1/s)
D = logN/log(1/s) = lognN/logN = 1
![Page 7: Fraktální dimen ze](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/568150a7550346895dbeb3ec/html5/thumbnails/7.jpg)
Měření FD (2)
Čtverec s = 1/N2
D = logN/log(1/s) = logN/log(N2) = 1/(1/2) = 2
![Page 8: Fraktální dimen ze](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/568150a7550346895dbeb3ec/html5/thumbnails/8.jpg)
Měření FD (3)
Kochova křivka
5 iterací křivky
![Page 9: Fraktální dimen ze](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/568150a7550346895dbeb3ec/html5/thumbnails/9.jpg)
Měření FD (3)
Kochova křivka 3 x zjemnění => 4 x délka s = 1/3 => N = 4 D = logN/log(1/s) = log4/log3 = 1.261895
![Page 10: Fraktální dimen ze](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/568150a7550346895dbeb3ec/html5/thumbnails/10.jpg)
“Vnořená” a “Vnitřní” Dimenze
“Embedding” (vnořená) dimenze (ED) datasetu je dimenze jeho adresového prostoru. Počet atributů datasetu
“Intrinsic” (vnitřní) dimenze (ID) je dimenze prostorového objektu reprezentovaného datasetem, nezávisle na prostoru, do kterého je vnořen.
![Page 11: Fraktální dimen ze](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/568150a7550346895dbeb3ec/html5/thumbnails/11.jpg)
Vlastnosti ID a ED
Vzájemně nezávislé atributy => ED == ID Polynomiální korelace snižuje ID o jednotku Ostatní korelace můžou jinak (i o zlomek) Obvykle ID z dat není zřejmá ID určuje počet atributů potřebných k
charakterizaci datasetu
![Page 12: Fraktální dimen ze](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/568150a7550346895dbeb3ec/html5/thumbnails/12.jpg)
Zobecněná Hausdorffova fraktální dimenze (1)
Rozdělme E-dimenzionální prostor do hyperkrychlí o hraně r. Budiž N(r) počet buněk obsahující alespoň 1 bod. Potom fraktální dimenze D0 je definována jako:
Vhodné z matematického hlediska (nekonečný počet bodů)
![Page 13: Fraktální dimen ze](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/568150a7550346895dbeb3ec/html5/thumbnails/13.jpg)
Hausdorffova fraktální dimenze pro konečné množiny
Datasety nemají nekonečně mnoho bodů => definujeme pouze pro jistý úsek
Pro množinu sebepodobných bodů v rozsahu rozlišení r z (r1,r2) je Hausdorffova dimenze D0 pro tento rozsah:
![Page 14: Fraktální dimen ze](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/568150a7550346895dbeb3ec/html5/thumbnails/14.jpg)
Zobecněná Hausdorffova dimenze pro konečné množiny
Existence zobecněné definice existuje nekonečně mnoho definic Pro množinu sebepodobných bodů v rozsahu rozlišení r z
(r1,r2) je zobecněná Hausdorffova dimenze Dq definována:
![Page 15: Fraktální dimen ze](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/568150a7550346895dbeb3ec/html5/thumbnails/15.jpg)
Korelační fraktální dimenze ( vnitřní dimenze)
r – velikost pole
Cr,i - počet bodů v i-tém poli velikosti r
![Page 16: Fraktální dimen ze](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/568150a7550346895dbeb3ec/html5/thumbnails/16.jpg)
FD při selekci atributů
Datová sada o N atributech Ne všechny stejně důležité Detekce existence závislosti Odstranění závislých atributů
![Page 17: Fraktální dimen ze](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/568150a7550346895dbeb3ec/html5/thumbnails/17.jpg)
FD pro selekci - koncept
Zjištění “fraktální dimenze” datasetu Zjištění atributů, které FD málo ovlivňují Odstranění atributů
![Page 18: Fraktální dimen ze](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/568150a7550346895dbeb3ec/html5/thumbnails/18.jpg)
FD pro selekci - koncept
Obvykle data v tabulce Sloupce == vlastnosti Řádky == body Tabulka == body v E-dimenzioním
prostoru, kde |E| = |sloupce| Obvykle atributy vyjadřují číselné hodnoty
=> těžko vyjádřitelný primární klíč => indexování podle celé množiny atributů
=> “prokletí dimenzionality”
![Page 19: Fraktální dimen ze](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/568150a7550346895dbeb3ec/html5/thumbnails/19.jpg)
Fractal Dimension Algorithm (1) Počítá v čase O(N*E*R) E-dimenzionální prostor Mřížka s buňkami o velikosti r Cr,i - počet bodů v i-tém poli velikosti r S(r) = suma(Cr,i
2) Získání fraktální dimenze
Spočítat S(r) s různými hodnotami r a spočítat směrnici výsledné přímky
Vytvořena multiúrovňová struktura pro počítání S(r) <Cr,i,p>, kde p je ukazatel do další úrovně pro danou buňku Kazdá úroveň obsahuje S(r) pro hodnotu r=r/2 z předchozí úrovně Struktura je vytvářena v hlavní paměti => omezení její velikosti
![Page 20: Fraktální dimen ze](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/568150a7550346895dbeb3ec/html5/thumbnails/20.jpg)
Fractal Dimension Algorithm (2)
Množina 5-ti bodů v 2D
![Page 21: Fraktální dimen ze](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/568150a7550346895dbeb3ec/html5/thumbnails/21.jpg)
Fractal Dimension Algorithm (3)
![Page 22: Fraktální dimen ze](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/568150a7550346895dbeb3ec/html5/thumbnails/22.jpg)
Algorimus pro selekci atributů
FD (=D) <= ED (=E) Existuje D neodvoditelných atributů (D <= E) => existuje (E-D) odvoditelných atributů
Získat Eliminovat
Parciální fraktální dimenze (pD)Korelační fraktální dimenze datasetu bez bez
jednoho či více atributů.
![Page 23: Fraktální dimen ze](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/568150a7550346895dbeb3ec/html5/thumbnails/23.jpg)
Algorimus pro selekci atributůFDR – Fractal Reduction Algorithm
Spočítaní FD celého datasetu Spočítání pD s každým odebraným atributem Vybrání atributu s minimálním rozdílem pD
od FD datasetu Odebrání atributu Iterativně opakovat
Př.: atributy {a,b,c} c=a+b
![Page 24: Fraktální dimen ze](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/568150a7550346895dbeb3ec/html5/thumbnails/24.jpg)
FDR
![Page 25: Fraktální dimen ze](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/568150a7550346895dbeb3ec/html5/thumbnails/25.jpg)
Datasety pro testování Sierpinsky5
5D Sierpinského trojúhelník a=x,b=y,c=a+b,d=a2+b2,e=a2-b2
Hybrid5 5D Sierpinského trojúhelník a=x,b=y,c=f(a,b),d=random1,e= random2
Měna 6-ti dimenzionální dataset normaliyovaných kurzů měny z 01/02/87-01/28/97 a=Hong Kongský dolar, b=Japonský jen, c=US dolar, d=Německá marka,
e=Francouzský frank, f=Britská libra Eigenfaces
11000 vekotrů obličeje z projektu Informedia 16 dimenzí
![Page 26: Fraktální dimen ze](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/568150a7550346895dbeb3ec/html5/thumbnails/26.jpg)
FD datasetů
![Page 27: Fraktální dimen ze](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/568150a7550346895dbeb3ec/html5/thumbnails/27.jpg)
Testování 450 MHz Pentium II 128 MB RAM Windows NT 4.0
C++
Počítání dimenze O(N)
FDR Lineární vzhledem k N Kvadratická vzhledem k dimenzi prostoru
![Page 28: Fraktální dimen ze](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/568150a7550346895dbeb3ec/html5/thumbnails/28.jpg)
Testování – fraktální dimenze
![Page 29: Fraktální dimen ze](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/568150a7550346895dbeb3ec/html5/thumbnails/29.jpg)
Testování - FDR
![Page 30: Fraktální dimen ze](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/568150a7550346895dbeb3ec/html5/thumbnails/30.jpg)
Lokace páru očí v obrázku
3 úrovně1. detekce kandidátů na oko
2. normalizace, FD, orientovaná FD, vytvoření dvojic
3. FD hraničního obrázku, FD tváře, výstup
![Page 31: Fraktální dimen ze](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/568150a7550346895dbeb3ec/html5/thumbnails/31.jpg)
FD pomocí box-counting (1) Počet kvádrů (box) pokrývající obrázek převedený do 3D 2D -> 3D
x=x y=y z=“intenzita šedé barvy”
Vytvoření mřížky obrázek IxI mřížka SxS buňky (i,j), kde 0<=i,j<r, r=spodní_celá_část(I/S) převod na krychli SxSxS’
maximální_intensita_šedé = G spodní_celá_část(G/S’) = spodní_celá_část(I/S)
![Page 32: Fraktální dimen ze](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/568150a7550346895dbeb3ec/html5/thumbnails/32.jpg)
FD pomocí box-counting (2)
Padne-li min a max intenzita šedé na buňce (i,j) do kostek k, resp. l, pak nr(i,j)=l-k+1, kde r=spodní_celá_část(I/S)
celkový počet kostek potřebný k pokrytí povrchu:
Nr=sumai,jnr(i,j) FD = směrnice přímky proložené jednotlivými hodnotami
(log(Nr),log(1/r))
),(,
jinji
r
SI /
![Page 33: Fraktální dimen ze](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/568150a7550346895dbeb3ec/html5/thumbnails/33.jpg)
FD pomocí box-counting pro binární obrázek
2 hladiny – černá, bílá černá – obrázkový bod bílá – bod pozadí
mřížka obrázek IxI mřížka SxS nr(i,j) = “počet obrázkových bodů v buňce” zbytek stejně jako pro šedou
![Page 34: Fraktální dimen ze](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/568150a7550346895dbeb3ec/html5/thumbnails/34.jpg)
FD v centru oka a jeho okolí
![Page 35: Fraktální dimen ze](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/568150a7550346895dbeb3ec/html5/thumbnails/35.jpg)
Detekce oka v obrázku
“Údolí” – malá intenzita šedé Kandidát na region oko (x,y), jestliže:
f(x,y)<t1 , f(x,y)...obrázek tváře, t1…hranice
Φv(x,y)>tv , Φv...údolí, tv…hranice
vybrání kandidáta z každého regionu
![Page 36: Fraktální dimen ze](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/568150a7550346895dbeb3ec/html5/thumbnails/36.jpg)
Spárování kandidátů (1)
normalizace stupňů šedi (rozdílné světelné podmínky na každém z očí)
stejná velikost stejná orientace
místo square-box-counting se počítá s orintovanými kvádry horizontální fraktální dimenze FDh
vertikální fraktální dimenze FDv
Na rozdíl od ostatních textur se FDh a FDv duhovek výrazněji liší
![Page 37: Fraktální dimen ze](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/568150a7550346895dbeb3ec/html5/thumbnails/37.jpg)
Spárování kandidátů (2) Příklad FDh a FDv
![Page 38: Fraktální dimen ze](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/568150a7550346895dbeb3ec/html5/thumbnails/38.jpg)
Spárování kandidátů (3)
(x0,y0) ... lokace kandidáta levého oka
(x1,y1) ... lokace kandidáta pravého oka
Meye … průměrná FD regionu oka
t1, t2, t3, t4 ... hranice
![Page 39: Fraktální dimen ze](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/568150a7550346895dbeb3ec/html5/thumbnails/39.jpg)
Verifikace párů
(x,y) ... pozice regionu páru očí Feye(x,y) … průměrná FD regionu páru očí
Fface(x,y) … průměrná FD regionu tváře
t5, t6 ... hranice (t5 = 0,038, t6 = 0,035)
při překrytí regionů volíme minimum z:|Feye(x,y) – M’eye(x,y)| + |Fface(x,y) – M’face(x,y)|
![Page 40: Fraktální dimen ze](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/568150a7550346895dbeb3ec/html5/thumbnails/40.jpg)
Experimenty Použití MIT a ORL databáze obličejů
![Page 41: Fraktální dimen ze](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/568150a7550346895dbeb3ec/html5/thumbnails/41.jpg)
Získání ostatních vlastností
![Page 42: Fraktální dimen ze](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/568150a7550346895dbeb3ec/html5/thumbnails/42.jpg)
Literatura Fast feature selection using fractal dimension
Caetano Tranja Jr., Afma Traina, Leejay Wu, Christos Faloutsos Estimating the Selectivity of Spatial Queries Using the
‘Correlation’ Fractal Dimension Alberto Belussi, Christos Faloutsos
Fractional Box-Counting Approach to Fractal Dimension Estimation Jie Feng, Wei-Chung Lin, Chin-Tu Chen
Locating the eye in human face images using fractal dimensions K.-H.Lin, K.-M.Lam,W.-C.Siu
Fraktály v počítačové grafice Pavel Tišnovský, www.root.cz