frame bergoyang & tidak bergoyang

23
Analisis Struktur II - 38 5. Frame Frame atau portal merupakan kombinasi dari batang yang mengalami gaya aksial desak atau tarik (rangka batang) dan batang yang mengalami momen dan gaya geser pada joint/titik nodal (balok) baik dalam bentuk dua dimensi (bidang) atau tiga dimensi (ruang). 1. Frame dua dimensi (plane frame system) balok kantilever (overhang) kolom sendi rol jepit Gambar. 5.1. konfigurasi frame Y y i j X x Gambar 5.2. Frame (Sumber Bambang Suhendro, 2000)

Post on 12-Jul-2016

327 views

Category:

Documents


24 download

DESCRIPTION

keren

TRANSCRIPT

Page 1: Frame Bergoyang & Tidak Bergoyang

Analisis Struktur II - 38

5. Frame

Frame atau portal merupakan kombinasi dari batang yang mengalami gaya aksial

desak atau tarik (rangka batang) dan batang yang mengalami momen dan gaya

geser pada joint/titik nodal (balok) baik dalam bentuk dua dimensi (bidang) atau

tiga dimensi (ruang).

1. Frame dua dimensi (plane frame system)

balok kantilever (overhang)

kolom

sendi rol jepit

Gambar. 5.1. konfigurasi frame

Y

y

i

j

X

x

Gambar 5.2. Frame (Sumber Bambang Suhendro, 2000)

Page 2: Frame Bergoyang & Tidak Bergoyang

Analisis Struktur II - 39

Pada sistem frame, tiap 1 titik nodal akan mengalami gaya aksial (fx), gaya lintang

(fy) dan momen lentur (mz), sedangkan displacement yang terjadi akan

bersesuaian dengan gaya yang terjadi yaitu lendutan searah sumbu x (ui), lendutan

searah sumbu y (vi) dan rotasi sudut (z), sehingga untuk 1 elemen akan

mengalami 6 macam gaya (masing-masing 3 ditiap titik nodal) dan 6 macam

displacement.

Gambar 5.3. Idealisasi balok

Gambar 5.4. Idealisasi rangka batang.

Secara matrik bentuk persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut,

j

j

j

i

i

i

zj

yj

xj

zi

yi

xi

v

u

v

u

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

E

L

EI

L

EL

AE

L

AEL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

E

L

EI

L

EL

AE

L

AE

m

f

f

m

f

f

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

Page 3: Frame Bergoyang & Tidak Bergoyang

Analisis Struktur II - 40

eee ukf …(5.1)

ef : vektor gaya koordinat lokal pada frame

ek : matrik kekakuan lokal elemen frame

eu : vektor displacement koordinat lokal

Gambar 5.5. Displacements titik nodal pada koordinat lokal dan global

Gambar 5.6. Gaya pada koordinat lokal dan global

2. Transformasi koordinat

Transformasi koordinat berguna untuk menggabungkan elemen yang berbeda

orientasi (berbeda sudut) menjadi gabungan elemen yang bersifat global.

Merupakan matrik yang menghubungkan antara matrik elemen lokal terhadap

matrik elemen global.

Page 4: Frame Bergoyang & Tidak Bergoyang

Analisis Struktur II - 41

a. koordinat lokal b. koordinat global

Gambar 5.7. Transformasi koordinat

y Y

Fy x

fy”

fx” Fx

fy’

X

i fx’

Gambar 5.8. Hubungan antara koordinat lokal dan global

dari gambar tersebut dapat diperoleh:

fx’=Fx cos fx”=Fy sin

fy’= Fx sin fy”=Fy cos

berdasarkan vektor perpindahannya diperoleh:

fx=fx’+fx”=Fx cos + Fy sin

fy=fy’+fy”=Fy cos - Fx sin

dan untuk momen Mz tidak mengalami perubahan, sehingga Mz=1. Mz’=1. Mz”

dalam bentuk matrik ditulis sebagai berikut:

Page 5: Frame Bergoyang & Tidak Bergoyang

Analisis Struktur II - 42

Mz

Fy

Fx

mz

fy

fx

100

0cossin

0sincos

Sehingga untuk balok yang selain mengalami gaya aksial juga mengalami momen

lentur, diperoleh matriks transformasi sebagai berikut (untuk 1 elemen) atau

dalam matrik sebagai berikut:

j

j

j

i

i

i

j

j

j

i

i

i

V

U

V

U

v

u

v

u

100000

0cossin000

0sincos000

000100

0000cossin

0000sincos

eee UTu

eee ukf

eeeee UTkFT

pada ruas kiri dan kanan dikalikan dengan 1eT

eeeeeee UTkTFTT

11

eeeee UTkTF

1

atau dalam bentuk yang umum ee

g

e UkF

dengan nilai eetee

g TkTk

Contoh 1.

Y P=100 kN

45o

1 1 45O

Mzb=50 kNm

1 2 2

A=6x103 mm

2

I=200x106mm

4

E=200 kN/mm2 2 A=4x10

3 mm

2

5m I=50x106 mm

4

E=200 kN/mm2

X

8m 3

Page 6: Frame Bergoyang & Tidak Bergoyang

Analisis Struktur II - 43

1. Elemen 1 (batang 1-2) =0o

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

Ei

L

EI

L

EiL

AE

L

AEL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

Ei

L

EI

L

EiL

AE

L

AE

k e

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

100000

0cossin000

0sincos000

000100

0000cossin

0000sincos

T

2

2

2

1

1

1

1

...

...

...

...

...

...

10000075,1805000075,180

75,180047,0075,180047,00

0075,00075,0

5000075,18010000075,180

75,180047,0075,180047,00

0075,00075,0

200

v

u

v

u

k

Sudut =0o maka matrik transformasi merupakan matrik identitas, sehingga

11

gkk

Page 7: Frame Bergoyang & Tidak Bergoyang

Analisis Struktur II - 44

2. Elemen 2 (batang 2-3) =270o

3

3

3

2

2

2

2

...

...

...

...

...

...

4000012020000120

120048,00120048,00

008,0008,0

200012040000120

120048,00120048,00

008,0008,0

200

v

u

v

u

k

sudut =270o diperoleh matrik transformasi

3

3

3

2

2

2

...

...

...

...

...

...

100000

001000

010000

000100

000001

000010

v

u

v

u

T

matrik transformasi yang ditranspose

3

3

3

2

2

2

2

...

...

...

...

...

...

100000

001000

010000

000100

000001

000010

v

u

v

u

TT

2222 TkTkT

g

3

3

3

2

2

2

2

...

...

...

...

...

...

4000001220000012

08,0008,00

1200048,01200048,0

2000001240000012

08,0008,00

1200048,01200048,0

200

v

u

v

u

k g

Page 8: Frame Bergoyang & Tidak Bergoyang

Analisis Struktur II - 45

3. Overall stiffness matrix

4000001220000012000

08,0008,00000

1200048,01200048,0000

2000001214000075,18125000075,180

08,0075,188047,0075,180047,00

1200048,01207548,00075,0

0005000075,18010000075,180

00075,180047,0075,180047,00

0000075,00075,0

200

333222111

gk

vuvuvu

4. Boundary condition (kondisi batas)

u1=v1=1=u3=v3=3=0 (tumpuan terjepit)

u2=v2=2=? (titik nodal, displacement yang akan dicari)

ee

g

e UkF

2

2

2

14000075,1812

75,188047,00

1207548,0

200

50000

71068,70

71068,70

v

u

diperoleh displacement di titik nodal 2

rad

mm

mm

v

u

00169,0

39989,0

44147,0

2

2

2

5. Gaya batang elemen 1

eeeeee UTkukf

1111 UTkf

10000075,1805000075,180

75,180047,0075,180047,00

0075,00075,0

5000075,18010000075,180

75,180047,0075,180047,00

0075,00075,0

200

2

2

2

1

1

1

z

y

x

z

y

x

m

f

f

m

f

f

Page 9: Frame Bergoyang & Tidak Bergoyang

Analisis Struktur II - 46

00169,0

39989,0

44147,0

0

0

0

100000

010000

001000

000100

000010

000001

kNmm

kN

kN

kNmm

kN

kN

931,35385

729,6

221,66

756,18442

729,6

221,66

6. Gaya batang elemen 2

eeeeee UTkukf

2222 UTkf

4000012020000120

120048,00120048,00

008,0008,0

200012040000120

120048,00120048,00

008,0008,0

200

3

3

3

2

2

2

x

y

x

z

y

x

m

f

f

m

f

f

0

0

0

00169,0

39989,0

44147,0

100000

001000

010000

000100

000001

000010

kNmm

kN

kN

kNmm

kN

kN

789,7836

490,4

982,63

069,14614

490,4

982,63

-18442,756 kNmm 35385,931 kNmm

-14614,06 kNmm

7836,78 kNmm

Gambar 5.9. Bending Momen Diagram (BMD)

Page 10: Frame Bergoyang & Tidak Bergoyang

Analisis Struktur II - 47

Contoh 2.

B C

2

A=6x103 mm

2

I=200x106mm

4

1 E=200 kN/mm2 3 A=4x10

3 mm

2

5m I=50x106 mm

4

E=200 kN/mm2

(data untuk kolom)

A 8m D

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

E

L

EI

L

EL

AE

L

AEL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

Ei

L

EI

L

EiL

AE

L

AE

k e

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

Gambar 5.10. Gaya

Geser/Lintang

Gambar 5.11. Gaya Aksial

66,21 kN (tarik)

-63,98 kN (tekan)

6,729 kN

4,49 kN

Page 11: Frame Bergoyang & Tidak Bergoyang

Analisis Struktur II - 48

100000

0cossin000

0sincos000

000100

0000cossin

0000sincos

T

Elemen 1 (batang a-b) =90o

b

b

b

a

a

a

ab

v

u

v

u

k

...

...

...

...

...

...

4000012020000120

120048,00120048,00

008,0008,0

2000012040000120

120048,00120048,00

008,0008,0

200

b

b

b

a

a

a

ab

v

u

v

u

T

...

...

...

...

...

...

100000

001000

010000

000100

000001

000010

b

b

b

a

a

a

Tab

v

u

v

u

T

...

...

...

...

...

...

100000

001000

010000

000100

000001

000010

ababTabab

g TkTk

b

b

b

a

a

a

ab

g

v

u

v

u

k

...

...

...

...

...

...

4000001220000012

08,0008,00

1200048,01200048,0

2000001240000012

08,0008,00

1200048,01200048,0

200

Page 12: Frame Bergoyang & Tidak Bergoyang

Analisis Struktur II - 49

Elemen 2 (batang b-c) =0o

c

c

c

b

b

b

bc

v

u

v

u

k

...

...

...

...

...

...

10000075,1805000075,180

75,1800469,0075,1800469,00

0075,00075,0

5000075,18010000075,180

75,1800469,0075,1800469,00

0075,00075,0

200

c

c

c

b

b

b

bc

v

u

v

u

T

...

...

...

...

...

...

100000

010000

001000

000100

000010

000001

Karena matrik transformasi merupakan matrik identitas maka bc

g

bc kk

ababTabab

g TkTk

Elemen 3 (batang c-d) =270o

d

d

d

c

c

c

cd

v

u

v

u

k

...

...

...

...

...

...

4000012020000120

120048,00120048,00

008,0008,0

2000012040000120

120048,00120048,00

008,0008,0

200

d

d

d

c

c

c

cd

v

u

v

u

T

...

...

...

...

...

...

100000

001000

010000

000100

000001

000010

Page 13: Frame Bergoyang & Tidak Bergoyang

Analisis Struktur II - 50

cdcdTcdcd

g TkTk

d

d

d

c

c

c

ab

g

v

u

v

u

k

...

...

...

...

...

...

4000001220000012

08,0008,00

1200048,01200048,0

2000001240000012

08,0008,00

1200048,01200048,0

200

Overall stiffness matrix

ua va a ub vb b uc vc c ud vd d

0,0048 0 -12 -0,0048 0 -12 0 0 0 0 0 0 ua

0 0,8 0 0 -0,8 0 0 0 0 0 0 0 va

-12 0 40000 12 0 20000 0 0 0 0 0 0 a

-0,0048 0 12 0,7548 0 12 -0,75 0 0 0 0 0 ub

0 -0,8 0 0 0,80469 18,75 0 -0,00469 18,75 0 0 0 vb

[Kg]=200 -12 0 20000 12 18,75 140000 0 -18,75 50000 0 0 0 b

0 0 0 -0,75 0 0 0,7548 0 12 -0,0048 0 12 uc

0 0 0 0 -0,00469 -18,75 0 0,80469 -18,75 0 -0,8 0 vc

0 0 0 0 18,75 50000 12 -18,75 140000 -12 0 20000 c

0 0 0 0 0 0 -0,0048 0 -12 0,0048 0 -12 ud

0 0 0 0 0 0 0 -0,8 0 0 0,8 0 vd

0 0 0 0 0 0 12 0 20000 -12 0 40000 d

Kasus 1

Pada elemen b-c terdapat beban terbagi merata sebesar 2 kN/m

2kN/m

B C

A=6x10

3 mm

2 2

I=200x106mm

4

E=200 kN/mm2 1 1 3 A=4x10

3 mm

2

5m I=50x106 mm

4

E=200 kN/mm2

(data kolom)

A D

8m

pada titik nodal b terdapat momen sebesar Mzb=-10,667.103 kNmm dan

Fyb= -8 kN Fxb=0

Page 14: Frame Bergoyang & Tidak Bergoyang

Analisis Struktur II - 51

pada titik nodal c terdapat momen Mzc=10,667.103 kNmm dan Fyc= -8 kN

Fxc=0

pada titik nodal a dan d kondisi batasnya adalah ua=va=a=ud=vd=d=0

(terjepit)

Gambar 5.11. Reaksi gaya lintang dan momen pada beban terbagi merata

Gambar 5.12. Reaksi gaya lintang dan momen pada beban terpusat

Gambar 5.13. Reaksi gaya lintang dan momen pada beban terpusat

di tengah bentang

Gambar 5.14. Reaksi gaya lintang dan momen akibat momen

Gambar 5.15. Reaksi gaya lintang dan momen akibat defleksi

Page 15: Frame Bergoyang & Tidak Bergoyang

Analisis Struktur II - 52

a. tanpa mengabaikan deformasi aksial

ee

g

e UkF

vektor gaya

kNmm

kN

kN

kNmm

kN

kN

m

f

f

m

f

f

zc

yc

xc

zb

yb

xb

3

3

10.667,10

8

0

10.667,10

8

0

c

c

c

b

b

b

v

u

v

u

14000075,18125000075,80

75,1880469,0075,1800469,00

1207548,00075,0

500075,801400075,1812

75,1800469,0075,1880469,00

0075,01207548,0

200

10.667,10

8

0

10.667,10

8

0

3

3

diperoleh nilai displacement di titik b dan c

rad

mm

mm

rad

mm

mm

v

u

v

u

c

c

c

b

b

b

000593,0

050000,0

004731,0

000593,0

050000,0

004731,0

Gambar 5.16. Deformasi akibat beban terbagi merata 2 kN/m

Page 16: Frame Bergoyang & Tidak Bergoyang

Analisis Struktur II - 53

b. dengan mengabaikan deformasi aksial

Akibat mengabaikan deformasi aksial maka vb=vc=0 (batang tidak mengalami

perpendekan atau perpanjangan) dan akibat frame simetris maka ub=uc

c

c

b

b

zb

xc

zb

xb

u

u

m

f

m

f

14000012500000

127548,0075,0

50000014000012

075,0127548,0

200

Dengan bentuk beban simetris maka b=-c dan ub=uc=0 (akibat deformasi aksial

diabaikan dan frame yang simetris)

c

c

b

b

zb

xc

zb

xb

u

u

m

f

m

f

14000012500000

120048,000

50000014000012

00120048,0

200

disederhanakan menjadi

c

b

zc

zb

m

m

14000050000

50000140000200

diperoleh displacement di titik b rad

rad

c

b

000593,0

000593,0

(bandingkan hasilnya dengan tanpa mengabaikan deformasi aksial)

Gambar 4.17. Gambar BMD dan SFD akibat beban terbagi merata 2kN/m

a. Bending Moment diagram

2,3 kNm

4,7 kNm

-4,7 kNm

8 kN

1,42 kN

b. Shear Force Diagram

Page 17: Frame Bergoyang & Tidak Bergoyang

Analisis Struktur II - 54

Kasus 2

Ada beban horisontal pada titik nodal b dan c sebesar 2,5 kN

a. tanpa mengabaikan deformasi aksial

B C

2,5 kN

2,5 kN

2

A=6x103 mm

2

I=200x106mm

4 1

E=200 kN/mm2 1 5m 3 A=4x10

3 mm

2

I=50x106 mm

4

a E=200 kN/mm2

A D

8m

ee

g

e UkF

c

c

c

b

b

b

v

u

v

u

14000075,18125000075,80

75,1880469,0075,1800469,00

1207548,00075,0

500075,801400075,1812

75,1800469,0075,1880469,00

0075,01207548,0

200

0

0

5,2

0

0

5,2

diperoleh nilai displacement di titik b dan c

rad

mm

mm

rad

mm

mm

v

u

v

u

c

c

c

b

b

b

000197,0

009149,0

097808,3

000197,0

009149,0

097808,3

b. dengan mengabaikan deformasi aksial

kondisi batas dengan mengabaikan deformasi aksial (vb=vc=0, ub=uc, b=c)

c

c

b

b

u

u

14000012500000

127548,0075,0

50000014000012

075,0127548,0

200

0

5,2

0

5,2

Page 18: Frame Bergoyang & Tidak Bergoyang

Analisis Struktur II - 55

c

c

b

b

u

u

14000012500000

120048,000

50000014000012

00120048,0

200

0

5,2

0

5,2

karena ub=uc, b=c maka nilai untuk baris dan kolom untuk b

=140.000+50.000=190.000

b

bu

19000012

120048,0200

0

5,2

Diperoleh displacement di titik b rad

mmu

b

b

000195,0

092447,3

nilai displacement ub=uc dan b=c (hasil yang diperoleh tidak jauh berbeda

dengan asumsi tanpa mengabaikan deformasi aksial)

Gambar 5.18. Deformasi akibat 2,5 kN di titik B dan C searah bumbu X global

Kasus 3

Gabungan kasus 1 dan 2

a. tanpa mengabaikan deformasi aksial

jika beban horisontal ke kanan akan diperoleh:

2kN/m

2,5 kN B C 2,5 kN

A=6x103 mm

2 2

I=200x106mm

4

E=200 kN/mm2 1 1 3 A=4x10

3 mm

2

5m I=50x106 mm

4

E=200 kN/mm2

(data kolom)

A D

8m

Page 19: Frame Bergoyang & Tidak Bergoyang

Analisis Struktur II - 56

kNmm

kN

kN

kNmm

kN

kN

m

f

f

m

f

f

zc

yc

xc

zb

yb

xb

3

3

10.667,10

8

5,2

10.667,10

8

5,2

c

c

c

b

b

b

v

u

v

u

E

E

14000075,18125000075,80

75,1880469,0075,1800469,00

1207548,00075,0

500075,801400075,1812

75,1800469,0075,1880469,00

0075,01207548,0

200

040667,1

8

5,2

040667,1

8

5,2

diperoleh nilai displacement di titik b dan c

rad

mm

mm

rad

mm

mm

v

u

v

u

c

c

c

b

b

b

0008,0

0591,0

1025,3

0004,0

0409,0

0931,3

Gambar 5.18. Deformasi akibat beban 2,5 kN di titik B dan C

searah bumbu X global dan beban terbagi merata di balok B-C

Page 20: Frame Bergoyang & Tidak Bergoyang

Analisis Struktur II - 57

Gambar 4.19. Gambar BMD dan SFD akibat beban 2,5 kN di titik B dan C

searah bumbu X global dan beban terbagi merata di balok B-C

Kasus 4

Jika beban Fxb=2,5 kN (ke kanan) dan Fxc=-2,5 kN (ke kiri)

2kN/m

2,5 kN B C 2,5 kN

A=6x103 mm

2 2

I=200x106mm

4

E=200 kN/mm2 1 1 3 A=4x10

3 mm

2

5m I=50x106 mm

4

E=200 kN/mm2

(data kolom)

A D

8m

kNmm

kN

kN

kNmm

kN

kN

m

f

f

m

f

f

zc

yc

xc

zb

yb

xb

3

3

10.667,10

8

5,2

10.667,10

8

5,2

a. Bending moment diagram a. Shear force diagram

Page 21: Frame Bergoyang & Tidak Bergoyang

Analisis Struktur II - 58

c

c

c

b

b

b

v

u

v

u

E

E

14000075,18125000075,80

75,1880469,0075,1800469,00

1207548,00075,0

500075,801400075,1812

75,1800469,0075,1880469,00

0075,01207548,0

200

040667,1

8

5,2

040667,1

8

5,2

diperoleh nilai displacement di titik b dan c

rad

mm

mm

rad

mm

mm

v

u

v

u

c

c

c

b

b

b

00059,0

05000,0

00358,0

00059,0

05000,0

00358,0

Gambar 5.20. Deformasi akibat beban 2,5 kN di titik B (searah) dan C (tidak

searah) bumbu X global dan beban terbagi merata di balok B-C

Gambar 4.21. Gambar BMD dan SFD akibat beban 2,5 kN di titik B (searah) dan

C (tidak searah) bumbu X global dan beban terbagi merata di balok B-C

a. Bending moment diagram a. Shear force diagram

Page 22: Frame Bergoyang & Tidak Bergoyang

Analisis Struktur II - 59

Soal Tambahan

Struktur tangga diidealisasikan secara sederhana sebagai berikut.

q=150 kg/m

2m

3m 2m

Tebal plat 10 cm (lebar 100cm), bahan beton

q1=50 kg/m

100 kg

4m

q2=100 kg/m

150 kg

4m

6m

Dimensi kolom 40/40 (cm), balok 40/60 (cm), bahan beton

Page 23: Frame Bergoyang & Tidak Bergoyang

Analisis Struktur II - 60

50 kg/m

1m

4m

2x5m

Kolom wf 200.100, gable frame wf 200.100 tebal 10mm (sayap dan badan)

c 300 kg/m2

b

a

Tebal plat 10 cm (lebar 100cm), bahan beton

Daftar Pustaka

West, Harry H., 1989., Analysis of Structure ( an Integrated of Cassical and

Modern Methods), 2nd

edition., John Wiley and sons, Canada

Gere, JM., Weaver., WJR., 1965., Analysis of Framed Structures, Chapter 4, Van

Nostrand., Princeton., NY.

M. Guire.W., Gallagher.RH, 1979., Matrix structural analysis., Chapter 3-5

Wiley and Sons., NY

Suhendro, Bambang., 2004., Analisa Struktur Metoda Matrix., Beta Offset,

Yogyakarta