françoise krasucki institut de mathématiques et de ......les plaques : dalles, murs, tabliers de...
TRANSCRIPT
Françoise Krasucki
Institut de Mathématiques et de Modélisation de Montpellier
Département d’enseignement Mécanique de l’UFR de Sciences de l’UMII
Résistance des Matériaux:
Ensemble de théories simplifiées appliquées à des Milieux Continus, basées
sur la géométrie des solides que l ‘on considère.
Objectifs
Résoudre les problèmes - type de l’ingénieur : Une pièce doit supporter une
sollicitation donnée ou remplir une fonction donnée. Comment concevoir cette
pièce (forme, dimension, matériau, …) pour qu’elle puisse le faire dans les
meilleurs conditions de sécurité et d’économie ?
Part
ie 1
: I
ntro
duc
tion
Difficultés :
Dans la plupart des cas il est nécessaire de faire un calcul numérique (code de
calculs)
En MMC :
On considère une pièce donnée (géométrie, matériau) soumise à une
sollicitation donnée.
On détermine la répartition des contraintes et des déformations.
1. Mécanique Milieux Continus ou RDM ?
Coût pour les petits bureaux d’études.
C’est souvent trop demander : on ne connaît que globalement les efforts appliqués
On doit avoir la répartition de tous les efforts appliquées sur les bords de la structure
Part
ie 1
: I
ntro
duc
tion
1. Mécanique Milieux Continus ou RDM ?
Avantages de la MMC:
Approche plus rigoureuse.
Calculs de structures quelque soit la géométrie.
Résultats précis sur la répartition des efforts intérieurs
Prise en compte de lois de comportement modélisant des phénomènes complexes
(plasticité, endommagement, rupture,grandes déformations…)
Part
ie 1
: I
ntro
duc
tion
Les coques : Réservoirs sphériques, cylindriques, tours de réfrigération,
coupoles…
Ce sont des structures pour lesquelles une dimension est petite par rapport aux
deux autres (l’épaisseur).
2. Quelles sont les structures concernées?
Les plaques : dalles, murs, tabliers de ponts, éléments de carrosserie….
Ce sont des coques dont la surface moyenne est plane.
Les poutres droites ou courbes :
Ce sont des structures dont deux dimensions sont petites par rapport à la
troisième.
Part
ie 1
: I
ntro
duc
tion
Partie 2: Statique
1. Hypothèses fondamentales en théorie des poutresPa
rtie 2
: Sta
tiqu
e
Définitions : La fibre moyenne est le
lieu des centres de gravité des
sections.
La section droite est la
section perpendiculaire à la ligne
moyenne.
Comment tenir compte de l’aspect élancé de ce type de structures?
Le solide 3 D est assimilé à un milieu 1D : on concentre chaque section droite en un
point. On perd des informations mais on obtient des équations plus simples. Les
quantités que l’on recherche deviennent des fonctions d’une variable.
Part
ie 2
: Sta
tiqu
e
1x
G
La poutre est d’un point de vue géométrique une courbe
d’équation : . où s est l’abscisse curviligne.( )OG x s
1x
est le vecteur unitaire tangent défini par :
1
dOG
dx
s
1. Hypothèses fondamentales en théorie des poutres
Part
ie 2
: Sta
tiqu
e
Hypothèses fondamentales de la
RDM :
Hypothèse des Petites
Perturbations.
Hypothèse de Saint Venant
Hypothèse de Navier Bernoulli
HPP : La poutre s’écarte peu de la configuration de référence. On assimile la
configuration de référence et la configuration déformée.
Saint Venant : Tous les efforts sont schématisés par leur torseur résultant.
On ne connaît pas la répartition des efforts en chaque point de la section mais
seulement leur moyenne et la moyenne des moments en un point.
1. Hypothèses fondamentales en théorie des poutres
Part
ie 2
: Sta
tiqu
e
Navier Bernoulli : Les sections restent planes et normales à la
fibre moyenne.
Cette hypothèse ne porte pas sur les efforts et sera étudiée dans
la partie 3.
Avant déformation
Après déformation
D’autres modèles sont utilisés, ne respectant pas cette
hypothèse
1. Hypothèses fondamentales en théorie des poutres
2. Schématisation des efforts dans une poutrePa
rtie 2
: Sta
tiqu
e
Poutre à section en I.
On note O le centre de la section.
On note h sa largeur et sa hauteur.
F
F
Est équivalent
pour la RDM
F
2
F
2
F
3( )efforts sur la section
F
M O Fhe
T
2. Schématisation des efforts extérieurs dans une poutrePa
rtie 2
: Sta
tiqu
e
1
0
1
0
( )
( ) ( ) ( )
s
s
s
s
f s ds
M O OG s f s ds
eff. exterieursT
Densité linéique d’efforts
Efforts ponctuels
F
s1
s0
f
G*
1x s*
*( )
F
M O OG F
eff. exterieursT
2. Schématisation des efforts extérieurs dans une poutrePa
rtie 2
: Sta
tiqu
e
Liaisons usuelles :
point de contact
F
M
l iaisonT Encastrement :
Point de contact0
F
M
l iaisonT Rotule sphérique :
3 inconnues de liaison
3 inconnues de liaison
Dans le cas des poutres chargées dans leur plan on a :
3 point de contact
F
M x
l iaisonT Encastrement :
6 inconnues de liaison
point de contact
F
O
l iaisonT Articulé = Rotule : 2 inconnues de liaison
1
point de contact
. 0F x
O
l iaisonT Appui simple : 1 inconnue de liaison
3. Torseur des efforts intérieurs (torseur de cohésion)Pa
rtie 2
: S
tatiqu
e
Partie P+ : s >s0
On oriente la poutre
Partie P- : s <s0
Section S0 :s=s0
Par convention on définira les
efforts intérieurs comme les efforts
exercés par la partie P+ sur la
partie P-
Schématisation poutre (hypothèse de
Saint Venant)
0
.
0( )eff int
R s
M s
T
Représentation des efforts par un
torseur :
3. Torseur des efforts intérieurs (torseur de cohésion)Pa
rtie 2
: S
tatiqu
e
Equilibre de la poutre P:. . .
0+ -eff ext P eff ext P eff ext PT T T
Partie P+ : s >s0
Partie P- : s <s0
Section S0 : s=s0
Equilibre de la partie P+:.
0+ +eff ext P P PT T
Equilibre de la partie P-:.
0- -eff ext P P PT T
En sommant (2) et ( 3) et compte tenu de (1) on a :
0 -+-+ P P P PP P P PT T T T
4. EquilibrePa
rtie 2
: S
tatiqu
e
Section S0 : s=s0
Section S1 : s=s1
On s’intéresse à l ‘équilibre de la partie de poutre comprise entre S0 et S1, en
supposant qu’il n’y a pas de charges ponctuelles et sous l’effet d’une charge
répartie f
s1
s0
f
Bilan des efforts :
Les actions de la partie {s>s1} en s1
Les actions de la partie {s<s0} en s0
La densité linéique f
4. EquilibrePa
rtie 2
: S
tatiqu
e
s1
s0
f
Bilan des efforts :
Les actions de la partie {s>s1} en s1
Les actions de la partie {s<s0} en s0
La densité linéique f
P. F. S. Théorème de la résultante :
1
0
1 0 0
s
s
f s ds R s R s
1
0
0 10, ,
s
s
d R sf s ds s s
ds
D’où : 0d R s
f sds
4. EquilibrePa
rtie 2
: S
tatiqu
e
P. F. S. Théorème du moment en un point O
quelconque :
1
0
1 1 1 0 0 0( ) ( ) 0
s
s
f s G s Ods M s R s G O M s R s G O
1
0
0 1( ) ( ) 0, ,
s
s
d df s G s O M s R s G s O ds s s
ds ds
D’où :1 0
d M sx R s
ds
G1
Or :
1
( )( ) ( )
( )( )
d R sd dG s OR s G s O G s O R s
ds ds ds
G sf O ss R x
G0
s1
s0
f
G0
1x
4. EquilibrePa
rtie 2
: S
tatiqu
e
Bilan des efforts :
Les actions de la partie {s>s1} en s1
Les actions de la partie {s<s0} en s0
La densité linéique
La force ponctuelle F
P. F. S. Théorème de la résultante :
1
0
1 0( ) 0
s
s
f s ds R s R s F
** * 0
sR s R s F R F
D’où :
*
=0
0 *
pour s de part et d'autre de s
en ss
d R sf s
ds
R F
En faisant tendre les abscisses curvilignes vers s* , on a:
F
s1
s0
f
G0
1x s*
4. EquilibrePa
rtie 2
: S
tatiqu
e
Définitions:
1NxR T
1torsio flexin onM xM M
G2x3x
1x
1 2 3,; ,x xG x
Base locale
Effort normal
Effort tranchant
Moment de torsion
Moment fléchissant
Torsion
Flexion
4. EquilibrePa
rtie 2
: S
tatiqu
e
Récapitulatif :
*
=0
0 *
pour s de part et d'autre de s
en ss
d R sf s
ds
R F
1 0d M s
x R sds
Lorsque l’on va dériver le vecteur il faudra dériver le vecteur
tangent sauf dans la cas de la poutre droite où ce vecteur est constant! (idem
pour les moments)
1R Nx T
4. EquilibrePa
rtie 2
: S
tatiqu
e
Conditions aux extrémités de la poutre:
1
1
*
*
F
M
R s s
M s s
s1
f
*F
*M
s0
F
**M
En s=s1, l’extérieur est situé pour les s>s1
En s=s0, l’extérieur est situé pour les s<s00
0 **
R s s
M
F
Ms s
4. Equilibre: poutres droites chargées dans leur planPa
rtie 2
: S
tatiqu
e
Exemple de la traction :
+ g =0
N(x=L)=F
dN
dx =0
( ) 0
0
( ) 0
f
f
dT
dx
T L
dMT
dx
M L
0
( ) 0t
tdM x
dx
M L
1 Fx
1 gx
2x
Choix des axes: 1 2 3 1 2 2, , ; //x x x x x x T
On suppose que la poutre reste dans le plan 1 2( , )x x
On note x la variable sur l’axe de la poutre
4. Equilibre: poutres droites chargées dans leur planPa
rtie 2
: S
tatiqu
e
+ g=0( ) ( )
N(x=L)=F
dN
N x g x L Fdx
=0 ( ) 0
( ) 0
0 0( ) 0
( ) 0
f
f
dT
T xdx
T L
dM
M xdx
M L
00,0
( ) 0t
t
t
dM x
M x x Ldx
M L
1 Fx
1 gx
2x
Part
ie 2
: S
tatiqu
e
Autre exemple en traction :
=0 ( )=dN
N x ρgx+Constantedx
g1 gx
2x
On ne connaît pas la valeur de N sur une des extrémités, on ne peut donc pas
déterminer la solution. On a besoin de relations supplémentaires, données par la loi
de comportement.
4. Equilibre: poutres droites chargées dans leur plan
4. Equilibre: poutres droites chargées dans leur planPa
rtie 2
: S
tatiqu
e
Exemple de la flexion :
=0
N(x=L)=0
dN
dx
- g =0
( )
0
( ) 0
f
f
dT
dx
T L F
dMT
dx
M L0
( ) 0t
tdM x
dx
M L
Choix des axes: 1 2 3 1 2 2, , ; //x x x x x x T
On suppose que la poutre reste dans le plan 1 2( , )x x
On note x la variable sur l’axe de la poutre
2x
2 Fx
2 gx
4. Equilibre: poutres droites chargées dans leur planPa
rtie 2
: S
tatiqu
e
=0( ) 0
N(x=L)=0
dN
N xdx
2
2
- =0 =0
0 0
( ) ( )
( ) 0( ) 0
f
f f
f
f
f
dMdTg T
dx dx
dM d MT g
dx dx
dMT L F L F
dxM L
M L
00,0
( ) 0t
t
t
dM x
M x x Ldx
M L
2)
( ) ( ); ( ) )2
f
(x LM x g F x L T x g(x L F
2x
2 Fx
2 gx
Partie 3: Déformations
Part
ie 3
: Défo
rmation
s
Hypothèses fondamentales de la
RDM :
Hypothèse des Petites
Perturbations.
Hypothèse de Saint Venant
Hypothèse de Navier Bernoulli
HPP : La poutre s’écarte peu de la configuration de référence. On assimile la
configuration de référence et la configuration déformée.
Saint Venant : Tous les efforts sont schématisés par leur torseur résultant.
On ne connaît pas la répartition des efforts en chaque point de la section mais
seulement leur moyenne et la moyenne des moments en un point.
1. Hypothèses fondamentales en théorie des poutres
Navier Bernoulli : Les sections restent planes et normales à la fibre moyenne.
Navier Bernoulli : Les sections restent planes et normales à la
fibre moyenne.
Avant déformation
Après déformation
D’autres modèles sont utilisés, ne respectant pas cette
hypothèse
1. Hypothèses fondamentales en théorie des poutresPa
rtie 3
: Défo
rmation
s
2. Schématisation du déplacement dans une poutre
1x
est le vecteur unitaire tangent.
1x
G
Chaque point G (d’abscisse curviligne s ) de la ligne moyenne représente une
section droite.
Hypothèse simplificatrice sur la non déformation des sections (Navier Bernoulli)
Le déplacement est caractérisé par un torseur :
( )
( )
s
u s
cinémT
Translation de la section
Rotation de la section droite
GP
( ) ( ) ( )u P u G s GP
Part
ie 3
: Défo
rmation
s
( ) ( ) ( )u P u G s GP
La déplacement en tout point d’une section est donné
par :
3. Schématisation des déformations dans une poutre
1x
est le vecteur unitaire tangent.
1x
G
La déformation est caractérisée par un torseur :
GP
1
( )
( )
ds
ds
dus x
ds
déformationT
Allongement
Distorsion
Part
ie 3
: Défo
rmation
s
3. Schématisation des déformations dans une poutre
1 1
1 1
( (( )
( )
) )
() )(
T
T
s
xs
s x
s
s
s
11( ) ( ) ( )Tu s u ss x u
: Décomposition de la translation, de la rotation et de la déformation :
1x
G u1
Tu
( )u G
11
11 1
( ) ; ( )
( ) ; ( ) ( )
TT
TT T
d ds s
ds ds
du dus s x
ds ds
1x
G
T
1u
1 1( ) ( ) ( )Ts s x s Pa
rtie 3
: Défo
rmation
s
3. Schématisation des déformations dans une poutre
Par définition, on a1( )
ds
dx
Interprétation physique dans le cas des poutres droites: cas de 1
La section a tourné d’un angle d autour de l’axe de la poutre
C’est la rotation suivant l’axe, par unité de longueur. Cela caractérise la
TORSION
d
ds
Part
ie 3
: Défo
rmation
s
Torsion
3. Schématisation des déformations dans une poutre
représente la variation par unité de longueur des angles de rotation de
la section droite autour d’un axe perpendiculaire à l’axe de la poutre 2 ( )
ds
dx
Interprétation physique dans le cas des poutres droites: cas de 2 et 3
Dans le cas de la flexion autour d’un axe perpendiculaire à la poutre, la section
a tourné d’un angle d autour de cet axe.
2 et 3
caractérisent la FLEXION
Part
ie 3
: Défo
rmation
s
3. Schématisation des déformations dans une poutre
Le premier terme représente l’angle dont tourne le vecteur
tangent. Le second terme représente l’angle dont a tourné
la section.
212
2( )
dux x
dx
Interprétation physique dans le cas des poutres droites : cas de 2 et 3
1 caractérise la TRACTION
représente l’allongement par unité de longueur.1
1( )du
xdx
NAVIER BERNOULLI : = 3 =0
Part
ie 3
: Défo
rmation
s
3. Schématisation des déformations dans une poutre
212
2( )
dux x
dx
Conséquence de l’hypothèse de Navier Bernoulli dans les poutres droites
NAVIER BERNOULLI : = 3 =0
2 21 3
2
3 31 2
3
0
0
du dux
dx dx
du dux
dx dx
Part
ie 3
: Défo
rmation
s
4. Loi de comportement élastique
Hypothèses :
matériau homogène, isotrope (E, ),élastique linéaire
Variation continue et lente (ou nulle) des sections droites S
Poutre élancée (le rapport de la longueur et du diamètre est d’au moins 8)
1 2 3; , ,G x x x
Choix des axes et du repère: ; axes
principaux géométriques de la section.
2 3,x x
Objectif : écrire le lien entre les efforts dans la poutre et les déformations, en
essayant de retrouver le plus possible des résultats analogues à ceux que
l’on a dans des cas simples de la théorie 3D.
Part
ie 3
: Défo
rmation
s
4. Loi de comportement élastique
Cette solution correspond à la solution exacte du problème 3D.
1( )sES
N
Traction Simple :
2 3 1 2 3 0
Module d’Young
Effort normal
Aire de la sectionAllongement longitudinal
Part
ie 3
: Défo
rmation
s
4. Loi de comportement élastique
2
2
2
( )flex
I
Ms
E
Flexion simple :
1 2 3 1 03
3
3
( )flexM
sEI
Moment de flexion
Module d’Young
Moment d’inertie/axe x2
Cette solution correspond à la solution exacte du problème 3D.
Part
ie 3
: Défo
rmation
s
4. Loi de comportement élastique
1
1( ) tors
I
Ms
Torsion
1 2 3 2 3 0
Moment de torsion
Module de glissement
Moment d’inertie
Cette solution ne correspond pas à la solution exacte du problème 3D.
Elle ne prend pas en compte le gauchissement des sections. Pour cela
il faudrait prendre en compte 2 et que la théorie de Navier Bernoulli
considère comme nuls.
Part
ie 3
: Défo
rmation
s
4. Loi de comportement élastique
NB. On ne sait pas relier l’effort tranchant à une déformation dans la théorie
de Navier Bernoulli. On a remplacé ce lien par la condition :
1( )sES
N 2
2
2
( )flex
I
Ms
E
3
3
3
( )flex
I
Ms
E1
1( ) tors
I
Ms
2 3 0
Récapitulatif dans le cas des poutres droites :
Part
ie 3
: Défo
rmation
s
Traction :
1
1 =0 dN x
dx
duN ES
d
f
x
x
1 0; 0fle
fle fle
d M x dT xx T x
dx dx
dM x EI
d
f x
x
4. Equations des poutres droites élastiques (récapitulatif)
Flexion :
11
0tors
tors
dM x
dx
dM x I
dx
Torsion :
Part
ie 3
: Défo
rmation
s
Traction :
1
1 =0 dN
dx
duN ES
d
f
x
x
4. Equations des poutres droites élastiques de type Navier Bernoulli
2
11
2
1
=0 d u
ESdx
duN ES
dx
f x
Conditions aux limites
A chaque extrémité, elles portent :
Soit sur u1
Soit sur N (et donc sur la dérivée de u1)
Principe général : Ou l’on sait ce que l’on veut faire, ou l’on sait ce que l’on veut obtenir !
C’est N C’est u1
Part
ie 3
: Défo
rmation
s
Exemple en traction :
4. Equations des poutres droites élastiques de type Navier Bernoulli
2
1
2
1
1
0
(0
( )
0)
( )
d uES
dx
u
du LN L ES
dxF
g
1 Fx
1 gx
2x
1 ( )2
( ) ( )
F
E
xu L x x
ES
N x
g
g
S
Fx L
2
11 =
2
du xES gx A ESu g Ax B
dx
1(0) 0 0Bu
1( )= ( )du
N L F ES Ldx
gL A F A F gL
Part
ie 3
: Défo
rmation
s
Exemple en traction :
4. Equations des poutres droites élastiques de type Navier Bernoulli
1 ( )2
( ) ( )
Fx
u L x xES
N F
g
gx x L
Quelle est la valeur de la réaction due à l’encastrement?
0(0)N Lg F F
Remarque : elle ne dépend que du chargement et de la longueur de la poutre
1 Fx
1 gx
2x
Part
ie 3
: Défo
rmation
s
Exemple en traction :
4. Equations des poutres droites élastiques de type Navier Bernoulli
2
1
2
1
1
=0
(0)
( 0)
0
d uES
dx
u
u L
g
1 ( )2
( ) ( )2
u x L xES
LN x
g
g x
2
11 =
2
du xES gx A ESu g Ax B
dx
1(0) 0 0Bu
12
( ) 0g
u LL
A
1 gx
2x
0(0) ( )2 2
L
L LN N L F Fg g
Part
ie 3
: Défo
rmation
s
Flexion:
2
3
2
2
3
2
23 3 3 2
0
NB
d M x
dx
d d uM EI EI
dx dx
f
4. Equations des poutres droites élastiques de type Navier Bernoulli
4
23 4
2
23 2
2
3
=0 d u
EIdx
d uM EI
dx
f x
Conditions aux limites
A chaque extrémité, elles portent :
Soit sur u2, Soit sur T2
ET
Soit sur 3, Soit sur M3
Principe général : Ou l’on sait ce que l’on veut faire, ou l’on sait ce que l’on veut obtenir!
C’est M3 ou T2 C’est u2 ou w3
Part
ie 3
: Défo
rmation
s
4. Equations des poutres droites élastiques de type Navier Bernoulli
Exemple en flexion :2x
2 Fx
2 gxChoix des axes: 1 2 3 1 2 2, , ; //x x x x x x F
4
323
2
3 2
24
2
=0
(0) (
( ) 0;
0
)
0
(
; 0
)du
dMd uE
M L T L
I Td
udx
d
F
x xg
4 3 2
3 2 =24
gEI u x Ax Bx Cx D
22 (0) (0) 0 0D C
duu
dx
2 3
32 23 2 32 3( ) 0 ; ( )
dMd u d uM L T L F EI
dx dx dx2( )
;26 2
gL F LA B g FL
Part
ie 3
: Défo
rmation
s
4. Equations des poutres droites élastiques de type Navier Bernoulli
Exemple en flexion : 2x
2 Fx
2 gx
2 24 3
3 2
22
3
2
( ) = ( )
24 6 2 2
( ) ( )2 2
( )
g gL F L xEI u x x FL g
g LM x gL F x FL g
T gx gL F
Au point d’encastrement :
2
3 0
2 0
(0) ( )2
(0) ( )
LM FL g M
T F gL F
Part
ie 3
: Défo
rmation
s
2. Conditions cinématiques usuelles dans une poutre
Liaisons usuelles :
point de contact
0
0vT Encastrement :
Point de contact
( ) 0u s
vT Rotule sphérique :
Dans le cas des poutres chargées dans leur plan on a :
point de contact
0
0
u
l iaisonT Encastrement :
point de contact
0u
l iaisonT Articulé = Rotule :
2 3
point de contact
0u ul iaisonT Appui simple :
Part
ie 3
: Défo
rmation
s
Exemple de résultats expérimentaux
Partie 4: Méthodes Energétiques
1. DéfinitionsPa
rtie4: M
éth
odes
éne
rgétiqu
es
Objectifs (non exhaustif) :
Avoir des formulations qui permettront d’avoir facilement des
renseignements en certains points de la poutre sans les calculer en tous
points.
Connaître l’effet en certains points d’une variation du chargement.
Cadre général : le Principe des Travaux Virtuels
On va s’intéresser aux énergies mises en jeu lors de la déformation de la poutre
sous l’effet des sollicitations imposées.
1. Définitions
( ) (( . )).P v s sF s M s
( ). ( )f
Poutre
Ρ f s v s ds
Densité linéique de forces :
Forces et Moments ponctuels en s* :
Au total : ( ) ( ). ( ) (. )) (( .)Poutre
L v f s v s ds v sF Ms s s
Travail des efforts extérieurs L(v) : on applique la définition issue
de la Mécanique du Solide Rigide pour un déplacement de type
Navier Bernoulli, défini par:( )
( )
s
v s
Part
ie4: M
éth
odes
éne
rgétiqu
es
1. Définitions
Energie élastique :
2 2 2 2
1 1 1 2 2 3 3
1( )
2Poutre
W v ES I EI EI ds
Exprimée en fonction des déformations (poutres droites) :
Exprimée en fonction des efforts intérieurs (poutres droites) :
2 222
32
1 2 3
1*
2
tors
Poutre
M MMNW ds
ES I EI EI
1 1
1.
2flextors T
Poutre
W N M M ds
Part
ie4: M
éth
odes
éne
rgétiqu
es
1. Définitions
Energie potentielle : on la définit pour n’importe quel champ de type Navier
Bernoulli, respectant les conditions aux limites cinématiques (portant sur les
déplacements et les rotations)
( ) ( ) ( ). ( ) (0). .Poutre
v W v f s v s ds Fv ML
( ) ( ) ( )v W v L v
Energie élastique Travail des efforts extérieurs
Part
ie4: M
éth
odes
éne
rgétiqu
es
MF
fExemple :
1. Définitions
Energie complémentaire : on la définit pour n’importe quel torseur T, vérifiant
l’équilibre et respectant les conditions aux limites statiques (portant sur les
efforts)
*( ) *( )WT T
* * *( ) ( ) ( )W LT T T
Energie élastique Travail des efforts de liaison
HYPOTHESE : On ne travaillera dans ce qui suit qu’avec des liaisons
parfaites, pour lesquelles le travail des efforts de liaison est nul
Part
ie4: M
éth
odes
éne
rgétiqu
es
Les théorèmes qui sont présentés dans cette partie sont tous basés sur :
Part
ie4: M
éth
odes
éne
rgétiqu
es
2. Théorèmes de minimisation d’énergie
Les théorèmes qui sont présentés dans cette partie sont tous basés sur les
résultats suivants:
( ) *( )u efforts intT
Pour la solution, et pour la solution seulement, l’énergie potentielle est égale
à l’opposé de l’énergie complémentaire.
Part
ie4: M
éth
odes
éne
rgétiqu
es
Le déplacement de type Navier Bernoulli, solution du problème de poutre
considéré minimise l’énergie potentielle, quelque soit v, champ de Navier
Bernoulli respectant les conditions cinématiques imposées.
( ) ( )vu
Le torseur solution du problème de poutre considéré minimise l’énergie
complémentaire, quelque soit le champ de torseur respectant l’équilibre et les
conditions statiques imposées.
*( ) *( )efforts int TT
2. Théorèmes de minimisation
2.1 Théorème de Menabrea
Part
ie4: M
éth
odes
éne
rgétiqu
es
Si le système est hyperstatique de degré p, on peut exprimer les efforts
intérieurs en fonction de p inconnues. Ces inconnues hyperstatiques prennent
alors la valeur qui minimise l’énergie complémentaire (= énergie élastique car
les liaisons sont parfaites).
2 gx
2x
Exemple :
2
3 3
20 ; 0
( ) 0
d M x dMT
dx dx
M L
g
2
3
2
( ) ( )2
( )
B
B
gM x L R x L
T g x L R
1 inconnue hyperstatique RB=T2(L)
2. Théorèmes de minimisation
2.1 Théorème de Menabrea
Part
ie4: M
éth
odes
éne
rgétiqu
es
2 gx
2x
Exemple :
2
3
2
( ) ( )2
( )
B
B
gM x L R x L
T g x L R
1 inconnue hyperstatique RB=T2(L)
2223
3 3
1 1* ( ) ( )
2 2 2B
Poutre Poutre
M gW dx x L R x L dx
EI EI
4 3
3
* 1 30
2 8 3 8
BB
B
RW g gLL L R
R EI
A B
2. Théorèmes de minimisationPa
rtie4: M
éth
odes
éne
rgétiqu
es
2 gx
2x
Exemple :
3
8B
gLR
2
3
2
( ) ( )2
( )
B
B
gM x L R x L
T g x L R
et
Conclusions :
On peut déterminer les efforts sans calculer le déplacement.
On peut calculer directement certains efforts.
On aurait pu prendre de la même façon la réaction ou le moment au point
d’encastrement A.
2. Théorèmes de minimisationPa
rtie4: M
éth
odes
éne
rgétiqu
es
Intérêt :
On peut déterminer l’influence en un point donné d’une charge mobile
SANS avoir à tout recalculer.
2.1 Théorème de réciprocité (Maxwell-Betti)
On étudie deux chargements différents sur une même structure. Le travail du
chargement 1 dans le déplacement solution du problème 2 est égale au travail
du chargement 2 dans le déplacement solution du problème 1. La
démonstration de ce théorème s’appuie sur le Principe des Travaux Virtuels.
2. Théorèmes de minimisationPa
rtie4: M
éth
odes
éne
rgétiqu
es
Exemple :
2x
ABC
2F xChargement 1
2x
ABC
2Qx
D
Chargement 2
Travail du chargement 1 dans le déplacement solution du pb 2 :(2) ( )FP u B
Travail du chargement 2 dans le déplacement solution du pb 1 :(1). ( )P uQ D
Si on connaît la solution du pb 1 on en déduit alors le déplacement
en B du pb 2(1)
(2) . ( )( )
u Du B
F
Q
2. Théorèmes de minimisationPa
rtie4: M
éth
odes
éne
rgétiqu
es
Intérêt :
On peut déterminer très simplement les déplacements les plus
intéressants.
2.1 Théorème de Castigliano
Si une structure est soumise à une force (respectivement un couple) concentré
alors la dérivée de l’énergie de déformation par rapport à cette force (resp. ce
couple) donne le déplacement (resp. la rotation) de son point d’application
dans sa direction.
Q
A
B
C
D
M
2
* *( ); ( )
W WB u D
M Q