frenado de un disco metÁlico mediante el dipolo...
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FRENADO DE UN DISCO METÁLICO MEDIANTE EL DIPOLO
ELECTROMAGNÉTICO
Juan Leonardo Hernández Anda
Abismos #1, Colonia Atlanta, Cuautitlán Izcalli, Estado de México 54740, México.
E-mail: [email protected]
Angel Alfonso Rojas Salgado
Departamento de Ingeniería Mecánica, Facultad de Ingeniería, UNAM.
Apartado postal 70 256, Cd Universitaria, 04510 México D.F., México.
E-mail: [email protected]
RESUMEN
Aplicando la teoría de las imágenes que retroceden,
propuesta por Maxwell, a los dipolos magnéticos
generados por un electroimán sobre un disco en
movimiento de rotación, se obtienen expresiones
algebraicas para calcular la fuerza de frenado que
detiene al disco debido a las corrientes parásitas que
se generan durante su movimiento. El resultado del
cálculo de esta fuerza para varias condiciones de
operación, tanto del disco como del electroimán, se
muestra gráficamente.
ABSTRACT
Applying the theory of images that receding,
proposed by Maxwell, the magnetic dipole generated
by an electromagnet on a rotary disc, algebraic
expressions are obtained to calculate the braking
force that stops the disk due to the eddy currents
generated during its movement. The calculation about
this force for several operations, both the disc and the
electromagnet, is shown graphically.
I. INTRODUCCIÓN
En trabajos como el de W. M. Saslow [2], se muestra
que la fuerza de frenado que produce un electroimán
sobre un disco con movimiento de rotación depende
de la densidad de flujo magnético, inducido en el
disco. Éste depende, a su vez, del tipo de material del
disco, de la separación entre el electroimán y el disco
y del monopolo magnético generado por la corriente
que alimenta el electroimán.
Sin embargo, debido a que los monopolos magnéticos
no se conocen, hasta ahora, libres en la naturaleza
sino formando dipolos magnéticos en los imanes; el
cálculo del monopolo magnético, q, ha sido inexacto,
ya que se ha considerado como la razón entre el
dipolo magnético y la separación que se deja entre el
disco y el extremo del electroimán para evitar
rozamiento.
Mediante un algoritmo basado en la teoría de las
imágenes de Maxwell [2], se construye una expresión
algebraica del potencial escalar para un dipolo
magnético, y con ésta, se calcula la fuerza de arrastre
producida por las corrientes de remolino sobre un
disco metálico en movimiento de rotación.
El algoritmo muestra la independencia de la fuerza de
arrastre de la permeabilidad, , del material del
núcleo del electroimán, pero está en función de la
conductividad del material del disco, de la
separación entre el polo del electroimán y el disco, h,
de la permitividad del aire, 0, de la corriente que
circula en la bobina, I, y del área limitada por su
trayectoria, A.
A continuación se muestra la forma de obtener los
resultados
II. POTENCIAL MAGNÉTICO
El potencial escalar magnético generado por un
dipolo magnético [1], se define como:
(1)
Donde el dipolo magnético
(2)
tiene dimensiones de intensidad de corriente por área
; 0 es la permeabilidad magnética del vacío y
ri la distancia del centro del dipolo al punto de
prueba. La densidad de flujo magnético se calcula, [2],
mediante
(3)
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III. IMÁGENES DE MAXWELL
Siguiendo la teoría de las imágenes de Maxwell, Fig.
1, un dipolo magnético, moviéndose a una velocidad
v en el eje x, sobre una lámina de espesor d,
conductividad y a una altura constante h, crea
trenes de imágenes de dipolos iguales y opuestos en
cada incremento de su movimiento, iguales en la
posición inicial y opuestos en cada incremento, de tal
forma que el potencial de los dipolos intermedios con
respecto a la posición final del dipolo fuente se
cancelan.
La trayectoria de cada dipolo imagen, , tiene
una pendiente v0/v, donde v0 es la velocidad con la
que las imágenes “retroceden” (velocidad de
retroceso) desde la superficie del conductor hacia el
infinito [2] y se calcula mediante
(4)
Fig.1 Imágenes inducidas por el dipolo magnético
alejándose de la lámina con una velocidad v0 << v
II. POTENCIAL MAGNÉTICO DEL TREN DE
IMÁGENES
Aplicando la ecuación (1) al tren de imágenes
generadas por el dipolo fuente durante su
movimiento, Fig. 1, y teniendo en cuenta que la
distancia entre los polos es l, resulta
(5)
Mediante las sustituciones, n=t, = dt, usando la
expansión binomial y despreciando términos en dt2, la
ecuación (5) se puede escribir en forma de una
integral
Integrando y evaluando el resultado en x=0, que es la
posición del dipolo fuente, y usando la ecuación (2),
se obtiene
(6)
y el campo magnético será
(7)
La fuerza de levitación, producida por un dipolo
magnético es
Derivando y evaluando la ecuación (6) en z=h, y
sustituyendo en la ecuación previa se obtiene;
(8)
La fuerza de frenado [6], se obtiene mediante la
relación
v
z+hh
LÁMINA
v0
+-
v0
v
z+h+(n+1)v0
x+nv
l
q
q
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(9)
Esta expresión es la misma que la obtenida por Reitz
[3].
IV. MOMENTO MAGNÉTICO DE UNA ESPIRA
CUADRADA
Mediante la ley de Biot-Savart [7],
se puede calcular la densidad de flujo magnético
producido por una espira cuadrada, de lado b, a lo
largo del eje z, Fig. 2, obteniéndose
(10)
Para z<<b, el campo magnético producido por el
solenoide es
Fig. 2 Espira cuadrada
(11)
En esta última ecuación, el dipolo magnético ha
sido sustituido por m.
En general, el dipolo magnético de una bobina con N
espiras de cualquier geometría, se halla mediante
(12)
I es la corriente que circula por la bobina y , el
área limitada por las espiras,
Puede observarse entonces, que el momento del
dipolo magnético no depende del material con el que
está construido el solenoide.
VII. PAR DE FRENADO EN UN DISCO DE
ACERO
En esta sección se presenta el cálculo del par de
frenado que produce el campo magnético de un
electroimán sobre un disco en movimiento, para
distintas velocidades del disco, en rpm, y varias
corrientes I, de alimentación al electroimán
El disco de acero, de conductividad
, tiene un radio, en el polo, r=0.141m y un
espesor d=0.019m. El electroimán cuadrado con
núcleo de acero tiene N=30 espiras, lado b=0.0443 m,
y es perpendicular al disco.
La separación entre el disco y el electroimán es de
0.0013m.
El par de frenado MT se halla mediante del producto
de la fuerza de arrastre electromagnética FD y del
radio en el polo r, es decir
(13)
que al sustituir en la ecuación anterior, la ecuación
(9), se llega a:
(14)
Donde:
0 es la permeabilidad del vacío
m dipolo magnético de la bobina ( ecuación 12)
h la separación entre el disco y el electroimán
la velocidad de retroceso
la velocidad angular del disco
la conductividad del acero
d el espesor del disco
En la Fig. 3 Se grafica el par de frenado disco en
función de su velocidad angular, para intensidades de
corriente en la bobina I, de 4, 8, 12 y 14 amperes:
PAR DE FRENADO
Fig.3 Par de frenado del disco en función de su
velocidad angular
b
x
y
z
I
R
rm
b
0 80 160 240 320 4000
133.333
266.667
400
533.333
666.667
800
PAR DE TORSIÓN
RADIANES / S
N-m
Mt 14 r ( )
Mt 12 r ( )
Mt 8 r ( )
Mt 4 r ( )
r
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La Fig. 4 es la gráfica del par de frenado, variando la
corriente de la bobina para cuatro valores discretos de
la velocidad angular del disco entre 100 y 400 s-1
.
PAR DE FRENADO
Fig.4 Par de torsión generado por el electroimán en
función de la corriente en la bobina
Los valores de la velocidad angular -
y de la corriente de alimentación de la
bobina Amperes, se han tomado con el fin
de inspeccionar la forma de las gráficas de par para
distintas velocidades de operación de un vehículo
automotor que se mueve sobre los rodillos de un
dinamómetro que es frenado mediante electroimanes.
La velocidad angular de - corresponde a una
velocidad de 40 km/h, para la verificación de
emisiones.
El valor de corresponde a 150 km/h,
aproximadamente, y se estableció con el fin de
conocer el comportamiento del par de freno
magnético en el disco de acero a altas velocidades.
La Fig. 5 muestra la variación del par de frenado en
función de la corriente en la bobina y de la velocidad
angular del disco.
PAR DE FRENADO N-m
Fig.5 Par de torsión en función de la corriente en la
bobina y la velocidad angular del disco
VIII. COMPORTAMIENTO DEL DISCO DE
FRENO CONSTRUÍDO DE OTROS MATERIALES
El par que se opone al movimiento del disco,
ecuación (14), está en función de la velocidad de
retroceso
, y ésta, en función de la
conductividad del material del disco. La Fig. 6
muestra la variación de v0 en relación con la
conductividad de distintos metales.
VELOCIDAD DE RETROCESO
Fig.6 Variación de la velocidad de retroceso, v0, en
relación con la conductividad de distintos metales
A medida que aumenta la conductividad del material
la velocidad de recesión, v0, disminuye, reduciendo el
par de frenado. Este resultado se muestra en la Fig. 7,
para el aluminio que tiene mayor conductividad que
la de hierro, con y en la Fig.
8 para el cobre con
PAR DE FRENADO
Fig. 7 Par de frenado de un disco de aluminio
4 6 8 10 12 140
100
200
300
400
500
600
PAR DE TORSIÓN
AMPERES
N-m
Mt I 400 ( )
Mt I 300 ( )
Mt I 200 ( )
Mt I 100 ( )
I
1 107
2 107
3 107
4 107
5 107
0
2.5
5
7.5
10
VELOCIDAD DE RECESIÓN
v0 ( )
0 80 160 240 320 4000
83.333
166.667
250
333.333
416.667
500
PAR DE TORSIÓN
RADIANES / S
N-m
Mt 14 r ( )
Mt 12 r ( )
Mt 8 r ( )
Mt 4 r ( )
r
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PAR DE FRENADO
Fig. 8 Par de frenado de un disco de cobre
Es decir; si el material es mejor conductor de la
corriente eléctrica, el campo magnético deja de
penetrarlo [1, 5], el par de torsión tiende a cero y
únicamente se producen fuerzas de levitación,
ecuación (8).
IX. CONCLUSIONES
- Se ha mostrado una forma alternativa para detener
vehículos en movimiento mediante la corriente
eléctrica en lugar de la fricción con materiales
contaminantes.
- Esta forma de frenado ya se usa como auxiliar de los
sistemas hidráulicos, mediante frenos
electromagnéticos montados directamente en los ejes
de transmisión de potencia.
- El método para hallar el par mediante el dipolo
magnético es aplicable a cualquier tipo de
electroimán y se usa en el cálculo de frenos
electromagnéticos.
- Los buenos conductores de la electricidad no
generan altos pares de torsión.
- A mayor velocidad del móvil el par de frenado
disminuye, requiriéndose un mayor número de
electroimanes para generar el par requerido.
- La variación de los parámetros de las ecuaciones
permite controlar el par resultante
X. REFERENCIAS
1. Feynman R. The Feynman Lectures on Physics,
definitive edition, Pearson, 2006
2. W. M. Saslow, Maxwell's theory of Eddy currents
in thin conducting sheets, and applications to
electromagnetic shielding and MAGLEV. Am Journal
of Physics, 60 (8), August 19923.
3. John H. Reitz, Forces on Moving Magnets due to
Eddy Currents, Journal of Applied Physics, Volume
41, number 5, April 1970
4. Halliday, D., Resnick R. & Walker J.,
Fundamentos de Física, volumen 2 versión extendida,
CECSA, 2006.
5. W. M. Saslow, “How a superconductor Levitates a
magnet”, American Journal of Physics. 59, 16-25,
1991.
6. Hernández J.L., Rojas A, “Fuerza de arrastre
producida por un campo magnético sobre un disco en
movimiento”, XVI SOMIM, 2010.
7. Serway R. A., “Física, Electricidad y
Magnetismo”, CENGAGE, 2009
0 80 160 240 320 4000
66.667
133.333
200
266.667
333.333
400
PAR DE TORSIÓN
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