frontistrの梁要素／シェル要素の解説梁要素: type=beam シェル要素: type=shell...

2016年2月2日

第25回 FrontISTR研究会＜事例・サービスの紹介／FrontISTRの構造要素 (シェル要素／梁要素)の解説＞

FrontISTRの梁要素／シェル要素の解説

東京大学新領域創成科学研究科

人間環境学専攻橋本学

『FrontISTRに実装されている定式化を十分に理解し，解きたい問題に対してソースコードを自由にカスタマイズ(要素タイプを追加，材料の種類を追加，ユーザサブルーチンを追加) できるようになること』を最終目標とします

今回は，FrontISTRに実装されている構造要素 (Bernoulli-Euler梁要素／MITCシェル要素) を解説しますまた，シェル要素／梁要素とソリッド要素を混ぜた解析メッシュを使用する場合の計算方法について解説します

2

FrontISTRのメッシュファイル

ヘッダー

節点の番号 I と節点の座標値(xI , yI , zI )

要素の番号 e と要素内の節点同士のつながり(コネクティビティ)

節点グループ

セクションデータ材料データ

セクションの設定によって要素グループに材料データが与えられる

境界条件や集中荷重(外力)を与える

ファイルの終わり

梁要素: TYPE=BEAMシェル要素: TYPE=SHELL

梁要素：TYPE=611シェル要素：TYPE=741

TYPE=743

3

(注意) 解析メッシュにソリッド要素，梁要素，シェル要素が混在する場合，節点自由度数を3に揃えるため，*ではなく**の要素タイプ番号を使用してください

4

要素種類要素タイプ番号節点数節点自由度数説明

線要素111 2 3 2節点リンク要素112 3 3 3節点リンク要素

平面要素

231 3 3 三角形1次要素232 6 3 三角形2次要素241 4 3 四角形1次要素242 8 3 四角形2次要素 (Serendipity族)

ソリッド要素

301 2 3 2節点トラス要素341 4 3 四面体1次要素342 10 3 四面体2次要素351 6 3 プリズム1次要素352 15 3 プリズム2次要素361 8 3 六面体1次要素362 20 3 六面体2次要素 (Serendipity族)

インターフェース要素541 4×2 3 四角形面1次要素542 8×2 3 四角形面2次要素

梁要素611* 2 6 2節点梁要素 (Bernoulli-Euler梁)641** 2×2 3 2節点梁要素 (Bernoulli-Euler梁)

シェル要素

731* 3 6 三角形1次要素 (MITC3シェル)761** 3×2 3 三角形1次要素 (MITC3シェル)741* 4 6 四角形1次要素 (MITC4シェル)781** 4×2 3 四角形1次要素 (MITC4シェル)743 9 6 四角形2次要素 (MITC9シェル)

5

611

3次元ソリッド要素3○○

シェル要素7○○

梁要素6○○

要素形状

要素形状

要素形状

6

静解析

動解析

荷重増分解析不要

荷重増分解析要

直接時間積分

固有値解析

周波数応答解析

微小変形理論 (線形弾性体のみ)

微小変形理論

有限変形理論

微小変形理論 (線形弾性体のみ)

有限変形理論!SOLUTION,TYPE=DYNAMIC!DYNAMIC下のidx_respを1に設定

!SOLUTION,TYPE=EIGEN

!SOLUTION,TYPE=DYNAMIC!DYNAMIC下のidx_respを2に設定

!SOLUTION,TYPE=NLSTATIC

!SOLUTION,TYPE=STATIC

!DYNAMIC,TYPE=LINEAR

!DYNAMIC,TYPE=NONLINEAR

材料定義においてINIFINITEを追記例：!ELASTIC, INFINITE

構造解析

熱伝導解析定常解析

非定常解析!SOLUTION,TYPE=HEAT!HEATの下に記述無または0.0と記述

ひずみの2次以上の項がある

微小変形理論

(微小変位) 微小ひずみ

線形弾性体

弾塑性体

粘弾性体

クリープ材

有限変形理論

(有限変位)

微小ひずみ

線形弾性体

弾塑性体

粘弾性体

クリープ材

大ひずみ

弾塑性体

超弾性体

粘弾性体

クリープ材

7

0 0 T 0 0 T0

1 ( ) ( ) ( ) ( )2

t t t t t E u u u u 0 0 0 0( , , ...)t t t tf S E E E

変位こう配の2次項がある

有限変形理論大ひずみ

ひずみ応力

!ELASTIC

!ELASTICと!PLASTIC

!HYPERELASTIC

!ELASTICと!VISCOELASTIC

!ELASTIC

!ELASTICと!PLASTIC

!ELASTICと!CREEP

!ELASTICと!VISCOELASTIC

!ELASTICと!CREEP

青字はFrontISTRで解析可能な材料

8

x

ut

b

有界領域 [mN]

境界 [mN - 1]

物質点の位置ベクトル [m]

変位 [m]

トラクション [Pa]

t 時刻 [s]

ナブラ [1/m]

単位質量当たりの体積力 [N/kg]

次元 (3次元：N = 3)N

密度 [kg/m3]

0 0 T 0 0 T0

1 ( ) ( ) ( ) ( )2

t t t t t E u u u u

時刻 t の物理量

基準となる時刻が時刻0の意味

, , A B a b

,a b

,a b スカラー

ベクトル

2階のテンソル

: ij ijA BA B =i ia ba b =

n 外向き単位法線ベクトル [-]

9

目次

１．FrontISTRにおけるBernoulli-Euler梁要素／MITCシェル要素を用いた解析・理論・現バージョンのプログラム・解析事例

２．シェル要素／梁要素とソリッド要素を混ぜた解析・理論・現バージョンのプログラム・解析事例

10

目次



(a) 時刻 t = 0に梁の中立軸に垂直な直線は梁が変形する間も直線であるが，変形した中立軸に垂直である(せん断変形は考慮されない)Bernoulli-Eulerの仮定

(b) 梁の断面は変形しない微小ひずみの仮定

MMt = 0

11

(2)

(2)

(2)

(2)

(2)

(2)

x

y

z

x

y

z

u

u

u

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

x

y

z

x

y

z

u

u

u

(1)

(2)

Bernoulli-Euler梁要素

1eref 1

2ref 1

ˆˆˆ |

e ee

| e e

3 1 2ˆ ˆ ˆ e e e

xe

yeze

x

yz

1x

3x

2x

鷲津久一郎, 宮本博, 山田嘉昭, 山本善之, 川井忠彦共編, ''有限要素法ハンドブック I 基礎編'' (1981), p.218-220.

中立軸方向の一様引張・一様圧縮

曲げ

ねじり

方向変位：の1次式を仮定1x 1x



方向回転：の1次式を仮定1x 1x

微小変形を仮定

23

1

ˆˆˆux

32

1

ˆˆˆux

方向回転：3x

方向回転：2x

並進自由度と回転自由度

12

(2)

(2)

(2)

(2)

(2)

(2)

x

y

z

x

y

z

u

u

u

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

x

y

z

x

y

z

u

u

u

(1)

(2)

Bernoulli-Euler梁要素

1eref 1

2ref 1

ˆˆˆ |

e ee

| e e

3 1 2ˆ ˆ ˆ e e e

xe

yeze

x

yz

1x

3x

2x1 1 11

2 2 2 2

3 3 3 3

ˆ ˆ ˆˆˆ ˆ ˆˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

x y z x

x y z y

x y z z

uuu uu u

e e e e e e

e e e e e e

e e e e e e

鷲津久一郎, 宮本博, 山田嘉昭, 山本善之, 川井忠彦共編, ''有限要素法ハンドブック I 基礎編'' (1981), p.218-220.

eT局所座標成分全体座標成分

ˆ ˆˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )ij i j ij i j

e ei j i k kl l j ik kl jlT T

e e e e

e e e e e e

ˆˆˆ ˆ( )

i i i i

ei i j j ij j

u u

u T u

u e e

e u e e

13

変位ベクトル

応力テンソル並進自由度と回転自由度

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 33

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ

x y z x

x y z y

x y z z

e e e e e e

e e e e e e

e e e e e eeT局所座標成分全体座標成分

2節点Bernoulli-Euler梁要素 (3/4)

14

3 3 3 33 2 3 2

2 2 2 23 2 3 2

1 1

2 2 2 22 2

3 3 3 32 2

33

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

12 6 12 60 0 0 0 0 0 0 0

12 6 12 60 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6 4 6 20 0 0 0 0 0 0 0

6 4 6 20 0 0 0 0 0 0 0ˆ

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

120

e

EA EAl l

EI EI EI EIl l l l

EI EI EI EIl l l l

GJ GJl l

EI EI EI EIl l l l

EI EI EI EIl l l l

EA EAl l

EIl

K

3 3 32 3 2

2 2 2 23 2 3 2

1 1

2 2 2 22

3 3 3 3

6 12 60 0 0 0 0 0 0

12 6 12 60 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6 2 6 40 0 0 0 0 0 0 0

6 2 6 40 0 0 0 0 0 0 0

EI EI EIl l l

EI EI EI EIl l l l

GJ GJl l

EI EI EI EIl l l l

EI EI EI EIl l l l

(1)1

(1)2

(1)3

(1)1

(1)2

(1)3

(2)1

(2)2

(2)3

(2)1

(2)2

(2)3

ˆ

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

e

u

u

u

u

u

u

u

ˆˆ ˆe e eK u f局所座標系

: Young率 : 梁の長さ：断面2次モーメント : ねじり定数E l 3,2I I J

2節点Bernoulli-Euler梁要素 (4/4)

15

T T

ˆˆ

e e e

e e ee e e

e e e

e e e

T O O O T O O O T O O OO T O O O T O O O T O O

K u fO O T O O O T O O O T OO O O T O O O T O O O T

eK ef

全体座標系の要素剛性マトリックスを作成後，を全体剛性マトリックスに加える

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(2)

(2)

(2)

(2)

(2)

(2)

x

y

z

x

y

ze

x

y

z

x

y

z

u

u

u

u

u

u

u

eKeK

(a) 時刻 t = 0にシェルの中立面に垂直な直線はシェルが変形する間も直線であるが，変形した中立面に垂直である必要はない(せん断変形は考慮される)Reissner-Mindlin板の仮定

(b) シェルのディレクタは変形しない微小ひずみの仮定

MMt = 0

16

1g2g3g

1

3

1

2

(1)1V

(1)2V

(1)3V

(2)1V

(2)2V

(2)3V

(3)1V

(3)2V

(3)3V

(4)1V

(4)2V

(4)3V

3

4

1e

2e3e

1x

2x3x

2

FrontISTRでは微小変形を仮定したMITCシェル要素が実装されている

1g2g3g

1

3

3

1

(3)1V

(3)2V

(3)3V

(1)1V

(1)2V

(1)3V

(2)1V

(2)2V

(2)3V

2

1e

2e3e

1x

2x3x

2

MITC4シェル要素

1

2

(1)1V

(1)2V

(1)3V

(2)1V

(2)2V

(2)3V

(3)1V

(3)2V

(3)3V

(4)1V

(4)2V

(4)3V

3

4

1e

2e3e

1x

2x3x

1g2g3g

1

3 2 5

6

8

7

9 (6)1V

(6)2V

(6)3V

(5)1V

(5)2V

(5)3V

(7)1V

(7)2V

(7)3V

(8)1V

(8)2V

(8)3V

(5)1V

(5)2V

(5)3V



Bathe, K.J., Finite Element Procedures, Prentice Hall, (1995).

17

(a) Isoparametric degenerated shell element

(b) The covariant components measured in the convectedsystem are used as the Green-Lagrange strain components.

(c) The transverse shear strain components are evaluated using the values interpolated at sampling points.

Bathe, K.J., Finite Element Procedures, Prentice Hall, (1995). 18

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2

x x y y z zu u u

u e e e

V V

Fig. MITC4 shell element

(α) (α) (α)1 2 3V , V , V : 節点での単位直交ベクトル

: ディレクタベクトル

a : 厚さ

位置ベクトル

変位ベクトル

(微小変形を仮定)

1 2 3 =

x x xg , g , g

: 共変基底ベクトル

節点あたり5自由度

(α)3V

00 (α) 3

3 03 |

gV

| g

1g2g3g

1

2

(1)1V

(1)2V

(1)3V

(2)1V

(2)2V

(2)3V

(3)1V

(3)2V

(3)3V

(4)1V

(4)2V

(4)3V

3

4

xe

yeze

x

yz

4( ) ( ) ( )

31

( , )2aN

x x V

4( ) ( ) ( ) 0 ( )

3 31

4( ) ( ) ( ) 0 ( )

31

( , ) ( )2

( , ) ( )2

aN

aN

u u V V

u V

0

4( ) ( ) ( ) 0 ( )

3 31

( , ) ( )2aN

u x x

u V V

Dvorkin, E.N. and Bathe, K.J., “A Continuum Mechanics Based Four-node Shell Element for General Non-linear Analysis,” Engineering Computations, Vol.1, pp.77-88, (1984).

19

AS AS AS31 31 31, A 31,C

AS AS AS23 23 23, D 23, B

1 1(1 ) (1 )2 21 1(1 ) (1 )2 2

* 31 DI 23 DI31 31 23 23( ) ( )

V VdV dV

31A C

23D B

( ) (1 ) ( ) (1 )

(1 ) ( ) (1 ) ( )

1g2g

1 2

4 3

1g2g

1 2

4 3C

A

D B


0 0

0 0

iji j

ij

i j

g g

g g

Tensorial components: C

t

1 :2V S V

dV dS dV u t u b

20

t

:V S V

dV dS dV u t u b

* 0 より，仮想仕事の原理

AS DI DI31 31 31 31

AS DI DI23 23 23 23

1 1(1 ) (0, 1, 0) (1 ) (0, 1, 0)2 21 1(1 ) ( 1, 0, 0) (1 ) (1, 0, 0)2 2

Mixed Interpolation of Tensorial Components


1g2g

1 2

4 3

1g2g

1 2

4 3C

A

D B

21

1g2g

1

2

1 2

4 3


1g2g

1

2

1 2

4 3

せん断ひずみ成分

1g2g

1

2

1 2

4 3C

A

D B

22

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2

x x y y z zu u u

u e e e

V V




a : 厚さ

位置ベクトル

変位ベクトル




(α)3V

00 (α) 3

3 03 |

gV

| g

1g2g3g

3

1

(3)1V

(3)2V

(3)3V

(1)1V

(1)2V

(1)3V

(2)1V

(2)2V

(2)3V

2

xe

yeze

x

yz

Lee, P.S. and Bathe, K.J., “Development of MITC Isotropic Triangular Shell Finite Elements, Computers & Structures, Vol.82, pp.945-962, (2004).

1 2 3 =

x x xg , g , g

3( ) ( ) ( )

31

( , )2aN

x x V

3( ) ( ) ( ) 0 ( )

3 31

3( ) ( ) ( ) 0 ( )

31

( , ) ( )2

( , ) ( )2

aN

aN

u u V V

u V

0

3( ) ( ) ( ) 0 ( )

3 31

( , ) ( )2aN

u x x

u V V

23

Lee, P.S. and Bathe, K.J., “Development of MITC Isotropic Triangular Shell Finite Elements, Computers & Structures, Vol.82, pp.945-962, (2004).

BC

1g

2g

1

2

4

A


24

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2

x x y y z zu u u

u e e e

V V




a : 厚さ

位置ベクトル

変位ベクトル




(α)3V

00 (α) 3

3 03 |

gV

| g

xe

yeze

x

yz

1

2

(1)1V

(1)2V

(1)3V

(2)1V

(2)2V

(2)3V

(3)1V

(3)2V

(3)3V

(4)1V

(4)2V

(4)3V

3

4

1g2g3g

5

6

8

7

9 (6)1V

(6)2V

(6)3V

(5)1V

(5)2V

(5)3V

(7)1V

(7)2V

(7)3V

(8)1V

(8)2V

(8)3V

(5)1V

(5)2V

(5)3V

1 2 3 =

x x xg , g , g

9( ) ( ) ( )

31

( , )2aN

x x V

9( ) ( ) ( ) 0 ( )

3 31

9( ) ( ) ( ) 0 ( )

31

( , ) ( )2

( , ) ( )2

aN

aN

u u V V

u V

0

9( ) ( ) ( ) 0 ( )

3 31

( , ) ( )2aN

u x x

u V V

Bucalem, M.L. and Bathe, K.J., “Higher-order MITC general shell element,” International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol.36, pp.3729-3754, (1993).

25

Bucalem, M.L. and Bathe, K.J., “Higher-order MITC general shell element,” International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol.36, pp.3729-3754, (1993).

1g2g

1

2

1 5 2

4 7 3

8 9 61g

2g1

2

1 5 2

4 7 3

8 9 61g

2g1

2

1 5 2

4 7 3

8 9 6


26

0 0 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ijkli j k l

ijkli j k l

C

C

C g g g g

e e e e

1 2 3ˆ ˆ ˆe , e , e : 単位直交ベクトル

1 2 3 =

x x xg , g , g


弾性テンソル

k : せん断補正係数

E

: Young率

: Poisson比

3 2 33 1 2 3 1

3 2 3

ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ= , ,ˆ| | |

g g ee e = e e e

| g g e

1g2g3g

1

23

1

2

(1)1V

(1)2V

(1)3V

(2)1V

(2)2V(2)

3V

(3)1V

(3)2V

(3)3V

(4)1V

(4)2V

(4)3V

3

4

1e2e3e


各節点において

(α) (α) (α) (α) (α)3 13 3 2 1 2 3

3 1

ˆˆ , ,ˆ| |

e eV e V V =V Ve e

弾性テンソル成分の変換

1111 1122 1112 1123 1131

2211 2222 2212 2223 2231

1211 1222 1212 1223 12312

2311 2322 2312 2323 2331

3111 3122 3112 3123 3131

1 0 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 0 0 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

10 0 0 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ21

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 10 0 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

C C C C C

C C C C CEC C C C C

C C C C C kC C C C C

02

10 0 0 02

k

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

( : ) :ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )( )( )( )

ijkl i j k l

mnop i j k lm n o p

C

C

C g g g g

e g e g e g e g27

(A) 隣接要素の節点で同じディレクタベクトルを使用する場合(B) 隣接要素の節点で別のディレクタベクトルを使用する場合

(1) 5自由度として計算する場合(ディレクタ回りの回転自由度を計算しない場合)

(2) 6自由度として計算する場合(ディレクタ回りの回転自由度をdrilling DOFとして計算する場合)

FrontISTRでは，(2) と (B) の定式化を使用しています

28

シェル要素の節点あたりの自由度数を6として，六つ目の自由度 (drilling DOFと呼ばれる三つ目の回転自由度) を考慮 (Hughes and Brezzi 1989)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

x x y y z z

x x y y z z

u u u

u e e e

e e e

t

** 31 DI 23 DI31 31 23 23

0 03 3

1 : ( ) ( )2

1 1: :2 2 2

V S V V V

V

dV dS dV dV dV

dV

u t u b

V e V e

drilling DOFを考慮した場合のエネルギー

( / 0.0001 1.0)

( ) 1 2 ( ) 3 ( ) 0 ( )3 3

1

( ) 1 2 ( ) 3 ( ) 0 ( )3

1

( , ) ( )2

( , ) ( )2

n

n

aN

aN

u u V V

u V

0 0 T1 ( )2

u u ijk i j ke e e e e

Hughes, T.J.R. and Brezzi, F., Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol.72, pp.105-121, (1989).

Nguyen-Van, Hieu and Mai-Duy, Nam and Tran-Cong, Thanh, CMES: Computer Modeling in Engineering and Sciences,Vol.49, No.2, pp.81-110, (2009). 29

t

0 03 3

1 1: : :2 2V V

S V

dV V V dV

dS dV

e e

u t u b

** 0 より，仮想仕事の原理

AS DI DI31 31 31 31

AS DI DI23 23 23 23

1 1(1 ) (0, 1, 0) (1 ) (0, 1, 0)2 21 1(1 ) ( 1, 0, 0) (1 ) (1, 0, 0)2 2

( / 0.0001 1.0)

30

03V

03V

03V 0

3V 03V

03V

03V

(A) 隣接要素の節点で

同じディレクタベクトルを使用する場合

(B) 隣接要素の節点で別のディレクタベクトルを使用する場合

31

32

目次



33

目次



シェル要素とソリッド要素の計算結果の比較

集中荷重1mN

集中荷重1mN

薄膜構造の円筒

半径100mm

高さ200mm

Pinched cylinder model(Bucalem and Bathe 1993)

メッシュの規模による計算精度の違い

Bucalem, M.L. and Bathe, K.J., International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol.36, pp.3729-3754, (1993). 34

「奥田洋司, 早田浩平, 橋本学, 上島豊, “クラウドCAEシステムを用いた効率的な有限要素モデリング,” 日本計算工学会第18回計算工学講演会, 2013.」より

42

目次



43

要素混在問題における3×3BCSR形式での格納

1g2g3g

1

3

(3)

(1)

(3)1V

(3)2V

(3)3V

(1)1V

(1)2V

(1)3V

(2)1V

(2)2V

(2)3V

(2)

2

1g2g3g

1

3

(1)

(2)

(1)1V

(1)2V

(1)3V

(2)1V

(2)2V

(2)3V

(3)1V

(3)2V

(3)3V

(4)1V

(4)2V

(4)3V

(3)

(4)2

( )

( )

( )

x

y

z

u

u

u

( )

( )

( )

( )1( )2

x

y

z

u

u

u

( )

( )

( )

( )

( )

( )

x

y

z

x

y

z

u

u

u

Hughes, T.J.R. and Brezzi, F., Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol.72, pp.105-121, 1989.

Nguyen-Van, Hieu and Mai-Duy, Nam and Tran-Cong, Thanh, CMES: Computer Modeling in Engineering and Sciences,Vol.49, No.2, pp.81-110, 2009.

11 12 13 3 3 3 3 3

21 22 23 3 3 3 3 3

1 23 3 3 3 3 3

N

N

N N NN

K K K

K K KK

K K K

drilling DOF[7][8]

( )

( )

( )

x

y

z

( )

( )

( )

x

y

z

u

u

u

3 DOFs at each node

: Number of original and dummy nodesN

Dummy node

5 DOFs at each node

6 DOFs at each node

3 DOFs at each node

Stiffness matrix (sparse matrix)

Fig. BCSR format for solid and shell elements.3 3

FrontISTRの既存の要素データの利用 (1/2)

44

611梁要素

6○○



ソリッド要素と梁要素／シェル要素を混在させる場合，節点あたり3自由度のデータ構造に統一して，剛性マトリックスを作成し，線形ソルバーに渡すようにする

梁要素のデータ構造が節点あたり3自由度を持つように，四面体要素341のデータ構造を利用した要素タイプ641を導入する

節点あたりの自由度

・ 3次元ソリッド要素：3・シェル要素：6・梁要素：6

FrontISTRの既存の要素データの利用 (2/2)

45

611梁要素

6○○



ソリッド要素と梁要素／シェル要素を混在させる場合，節点あたり3自由度のデータ構造に統一して，剛性マトリックスを作成し，線形ソルバーに渡すようにする

MITC4シェル要素のデータ構造が節点あたり3自由度を持つように，六面体要素361のデータ構造を利用した要素タイプ761を導入する

節点あたりの自由度

・ 3次元ソリッド要素：3・シェル要素：6・梁要素：6

要素タイプ641 (1)

46

(2)1

(2)2(2)

3

x

x

x

(1)1

(1)2(1)

3

x

x

x

(1)

(2)(2)

(1)

(3)

(4)

(1)1

(1)2(1)

3

x

x

x

(1)1

(1)2(1)

3

x

x

x

(2)1

(2)2(2)

3

x

x

x

(2)1

(2)2(2)

3

x

x

x

FrontISTRのメッシュファイルでは，節点座標を二つ用意する(メッシュを表示する際に都合が良いためであるが，

計算には使用しないので (3) と (4) の節点座標はどのような値でも良い)

計算したい梁要素611

入力データとして用意するのは四面体要素431のデータ構造


47

FrontISTRのプログラム内では，(3) と (4) の節点変位は梁の回転自由度となる

(2)1

(2)2(2)

3(2)

1(2)

2(2)

3

u

u

u

(1)1

(1)2

(1)3(1)

1(1)

2(1)

3

u

u

u

(1)

(2)

計算したい梁要素611

(1)1

(1)2(1)

3

u

u

u

(2)

(1)

(3)

(4)

(2)1

(2)2(2)

3

u

u

u

(2)1

(2)2(2)

3

(1)1

(1)2(1)

3

FrontISTRのプログラム内では四面体要素431のデータ構造


48

1,1 1,2 1,11 1,12

2,1 2,2 2,11 2,12

11,1 11,2 11,11 11,12

12,1 12,2 12,11 12,12

K K K K

K K K K

K K K K

K K K K

K =

剛性マトリックス (梁要素611)

1,1 1,2 1,11 1,12

2,1 2,2 2,11 2,12

11,1 11,2 11,11 11,12

12,1 12,2 12,11 12,12

K K K K

K K K K

K K K K

K K K K

K =

FrontISTRのプログラム内では，梁要素の剛性マトリックス成分をテーブルに従って変更する

(2)1

(2)2

(2)3(2)

1(2)

2(2)

3

u

u

u

(1)1

(1)2(1)

3(1)

1(1)

2(1)

3

u

u

u

(1)1

(1)2(1)

3

u

u

u

(2)1

(2)2

(2)3

u

u

u

(1)1

(1)2(1)

3

(2)1

(2)2

(2)3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

テーブル

4,8 7,5K K 例えば，

FrontISTRのプログラム内で計算する剛性マトリックス

49

目次



50

目次



梁の曲げ解析 (解析モデル)

51

Txx ,max = 60 MPaTxx ,min = －60 MPa

x

y

L

H

M

Txx ,max

Txx ,min

Young’s modulus: E = 200,000 MPaPoisson’s ratio: ν = 0Geometry: L = 100 mm, H = 10 mm

O

梁の曲げ解析 (メッシュ)

52

611 411

111711

211811

511311

11

601

701

801

501

301

1 11

405

105

703

603

205

307503

803

303

605

705

805

105

205

305

405

5

505 507

707

807

309509

809

109409

609607

709

9209

1 11

Case A : 梁1次要素

Case B : ソリッド1次要素 (非適合要素)

Case C : 梁1次要素とソリッド1次要素の混合

梁の曲げ解析 (梁1次要素とソリッド1次要素の混合)

53

x x z y

y y x

z z x

u u y z

u u z

u u y

中立軸上の節点5の変位を，回転自由度をとすると，同じ断面上にある節点105，205，305，405，505，605，705，805の変位を以下の式によって拘束する (ただし，微小変形を仮定)

x

y

z 405

105

703

603

205

307503

803

303

605

705

805

105

205

305

405

5

505 507

707

807

309509

809

109409

609607

709

9209

1 11

梁の中立軸と x 軸を一致させる

( , , )x y zu u u ( , , )x y z

( , , )x y zu u u

梁の曲げ解析 (梁1次要素とソリッド1次要素の混合)

54

105 5 5

205 5

305 5 5

405 5 5

505 5 5

605 5 5

705 5

805 5 5

2

2

2

2

2

2

x x z

x x

x x z

x x z

x x z

x x z

x x

x x z

Hu u

u uHu u

Hu u

Hu u

Hu u

u uHu u

梁の曲げ解析 (計算結果：Case AとCase B)

55

0.0E+00

5.0E-02

1.0E-01

1.5E-01

2.0E-01

2.5E-01

3.0E-01

3.5E-01

0.0E+00 2.0E+01 4.0E+01 6.0E+01 8.0E+01 1.0E+02

u y[m

m]

x [mm]

Exact

Case A

変形の拡大率 ×100

0.0 0.3 [mm]

Case Bの変形形状

Displacement

0.0E+00

5.0E-02

1.0E-01

1.5E-01

2.0E-01

2.5E-01

3.0E-01

3.5E-01

0.0E+00 2.0E+01 4.0E+01 6.0E+01 8.0E+01 1.0E+02

u y[m

m]

x [mm]

Exact

Case B

梁の曲げ解析 (計算結果：Case C)

56

変形の拡大率 ×100

0.0 0.3 [mm]

Case Cの変形形状

Displacement

0.0E+00

5.0E-02

1.0E-01

1.5E-01

2.0E-01

2.5E-01

3.0E-01

3.5E-01

0.0E+00 2.0E+01 4.0E+01 6.0E+01 8.0E+01 1.0E+02

u y [

mm

]

x [mm]

Exact

Case C

frontistrの梁要素／シェル要素の解説梁要素: type=beam シェル要素: type=shell...

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