13.11.2018

1

Füüsika

Võnkumised ja lained

Harmooniline võnkumine

Võnkumiseks nimetatakse füüsikalise suuruse muutust,

milles see kaldub oma keskmisest väärtusest kõrvale

kord ühes, kord teises suunas.

Mehaaniline võnkumine on keha liikumine, milles see

kaldub oma tasakaaluasendist kõrvale kord ühes, kord

teises suunas.

Võnkumine võib olla perioodiline või mitte. Perioodilistest

on kõige lihtsam harmooniline võnkumine.

Harmooniliseks nimetatakse võnkumist, milles võnkuv

suurus muutub ajas sinusoidaalse seaduspärasuse järgi.

Võnkumise demonstratsioon

13.11.2018

2

Harmooniline võnkumine tekib ühtlase ringliikumise

projekteerimisel sirgele, mis asub ringliikumise tasandis.

Kui selline võnkumine „laiali laotada“ võnkumisega

ristuvas suunas, saamegi sinusoidi.

Raadiusega 𝐴0 ja nurkkiirusega 𝜔0 pöörlev punkt asub

ajahetkel 𝑡0 = 0 asendis 𝜑0 . Ajahetkeks 𝑡 on nurk

suurenenud 𝜔0𝑡 võrra, omades väärtust

𝜑 = 𝜔0𝑡 + 𝜑0

Võnkumiste juures nimetatakse 𝜑 faasiks ja 𝜑0 algfaasiks.

Faas kirjeldab olukorda, milles võnkuv keha antud hetkel

viibib. Näited:

1) 𝜑 = 0 või 𝜋 = 180° - keha on tasakaaluasendis. 0korral läbib seda ühes suunas, 𝜋 korral aga

vastassuunas.

13.11.2018

3

2) 𝜑 = Τ𝜋 2 - ühes äärmises asendis, kõige kaugemal

tasakaaluasendist. Seda kaugust 𝐴0 nimetatakse

võnkumiste amplituudiks.

3) 𝜑 = − Τ𝜋 2 või 3 Τ𝜋 2 - teises äärmises asendis. Iga 2𝜋tagant hakkab füüsikaline olukord korduma, seega faasi

muutumise perioodiks on 2𝜋 .

Faasiväärtuse 2𝜋 võib lugeda jällegi nulliks, samuti 4𝜋,

− 2𝜋 jne.

Suurust 𝜉, mis mõõdab kõrvalekaldumist tasakaalu-

asendist või nullväärtusest, nimetatakse hälbeks.

Amplituud 𝐴0 on hälbe maksimaalväärtus. Aega, mille

jooksul hälve sooritab ühe täisvõnke, nimetatakse

võnkumise perioodiks 𝑇0 . Selle pöördväärtust, so

võngete arvu ühes ajaühikus, nimetatakse sageduseks

𝜈0 =1

𝑇0Kui aeg muutub perioodi võrra, siis muutub faas 2𝜋 võrra.

Valemist 𝜑 = 𝜔0𝑡 + 𝜑0 saame tingimuse

𝜔0 𝑡 + 𝑇0 + 𝜑0 − 𝜔0𝑡 + 𝜑0 = 2𝜋

Siit tuleneb

𝜔0 =2𝜋

𝑇0= 2𝜋𝜐0

Võnkumiste juures nimetatakse 𝜔0 ringsageduseks või

nurksageduseks. See on ka faasi muutumise kiirus, sest

näitab faasi muutust ajaühikus, ühik rad/s.

13.11.2018

4

Hälbe muutumist ajas kirjeldav avaldis

𝜉 = 𝐴0 sin 𝜔0𝑡 + 𝜑0

on üks näide eelnevalt käsitletud liikumisseadustest. Võttes

sellest tuletise aja järgi, saame keha liikumise kiiruse

ሶ𝜉 = 𝑣𝜉 = 𝐴0𝜔0 cos 𝜔0𝑡 + 𝜑0 = 𝑣𝑚𝑎𝑥 sin 𝜔0𝑡 + 𝜑0 +𝜋

2Kiiruse faas on hälbe omast Τ𝜋 2 võrra ees. Näiteks kui 𝜉 on

alles null, omab kiirus juba maksimaalset väärtust

𝑣𝑚𝑎𝑥 = 𝐴0𝜔0

Teine tuletis annab kiirenduseሷ𝜉 = 𝑎𝜉 = −𝐴0𝜔0

2 sin 𝜔0𝑡 + 𝜑0 = 𝑎𝑚𝑎𝑥 sin 𝜔0𝑡 + 𝜑0 + 𝜋

Selle faas on Τ𝜋 2 võrra kiiruse või 𝜋 võrra hälbe omast ees.

Viimase võrduse võib kirjutada ka kujulሷ𝜉 + 𝜔0

2𝜉 = 0See on harmoonilise võnkumise diferentsiaalvõrrand. Sellist

seost peavad rahuldama kõik võnkumisseadused, mis

kujutavad harmoonilisi võnkumisi.

Vedrupendel

Vaatleme vedru külge kinnitatud keha liikumas

hõõrdumisvabalt horisontaalsel pinnal.

Keha väljaviimisel tasakaaluasendist 0 tekib alati sinna

tagasi viiv jõud. Elastsete deformatsioonide piires on

see võrdeline hälbega (Hooke’i seaduse kohaselt)

𝐹 = −𝑘𝑥kus 𝑘 on vedru jäikus – ühikdeformatsiooni põhjustav

jõud, mõõtühik N/m.

13.11.2018

5

Avaldame jõu kiirenduse 𝑎 = ሷ𝑥 kaudu

𝑚 ሷ𝑥 = −𝑘𝑥ehk

ሷ𝑥 +𝑘

𝑚𝑥 = 0

See on harmooniliste võnkumiste diferentsiaalvõrrand,

milles ringsageduse ruutu asendab kordaja Τ𝑘 𝑚.

Järelikult hakkab keha võnkuma harmooniliselt

ringsagedusega

𝜔0 =𝑘

𝑚

Võnkeperiood on siis

𝑇0 = 2𝜋𝑚

𝑘

Need suurused olenevad keha massist ja vedru jäikusest

(tühise vedru massi korral). Millise amplituudiga 𝐴0 ja

algfaasiga 𝜑0 keha võnkuma hakkab, see oleneb

algtingimustest – kui suure jõuga keha tasakaaluasendist

välja viiakse ja millisel ajahetkel see vabaks lastakse.

Eelneva põhjal võib samuti väita, et

harmooniline võnkumine on võnkumine hälbega

võrdelise ja tasakaalu-asendi poole suunatud jõu

mõjul.

Kui võrdelisus ei ole täpne, siis ei ole ka võnkumine täpselt

harmooniline.

13.11.2018

6

Matemaatiline pendel

Matemaatiline pendel kujutab endast kaalutu ja venimatu

niidi otsa riputatud ainepunkti.

Tasakaalu poole viiv jõud arvutub valemiga

𝐹 = −𝑚𝑔 sin 𝛼See põhjustab tangentsiaalse kiirenduse

𝑎𝜏 =𝐹

𝑚= −𝑔 sin 𝛼

Sama kiirenduse võib arvutada ka nurk-

kiirenduse ሷ𝛼 ja pöörlemisraadiuse 𝑙korrutisena. Nii saame tekkiva võnkumise

diferentsiaalvõrrandiks

ሷ𝛼 +𝑔

𝑙sin 𝛼 = 0

Võrreldes saadud võrrandit ሷ𝛼 +𝑔

𝑙sin 𝛼 = 0 harmooniliste

võnkumiste diferentsiaalvõrrandiga ሷ𝜉 + 𝜔02𝜉 = 0 leiame, et

üldjuhul ei ole võnkumine harmooniline. Sellise saame, kui

paneme pendli võnkuma väikese amplituudiga –

mõnekraadise nurga all. Siis võib, nurka radiaanides

mõõtes, teha asenduse sin 𝛼 ≈ 𝛼 ja võrrand muutub

harmoonilise võnkumise omaks

ሷ𝛼 +𝑔

𝑙𝛼 = 0

Nurksageduseks saame

𝜔0 =𝑔

𝑙ja perioodiks

𝑇0 = 2𝜋𝑙

𝑔

13.11.2018

7

Füüsikaline pendel

Füüsikaliseks pendliks nimetatakse iga reaalset keha, mis

ripub kinnitatuna raskuskeskmega mittekokkulangevast

punktist.

Raskuskese asugu punktis C.

Tasakaaluasendisse viiv jõud 𝐹põhjustab momendi

𝑀 = 𝐹𝑙 = −𝑚𝑔𝑙 sin 𝛼Pöördliikumise dünaamika

põhiseaduse järgi võrdub see

inertsimomendi 𝐼 ja nurkkiirenduse

ሷ𝛼 korrutisega. Inertsimoment peab

olema arvutatud telje suhtes, mis

läbib kinnituspunkti O ja on keha

pöörlemisteljeks.

Seega saame diferentsiaalvõrrandi

ሷ𝛼 +𝑚𝑔𝑙

𝐼sin 𝛼 = 0

Selle pendli võnkumine ei ole üldjuhul harmooniline.

Ainult mõnekraadiste nurkade puhul saame sellise

võnkumise

ሷ𝛼 +𝑚𝑔𝑙

𝐼𝛼 = 0

Seega

𝜔0 =𝑚𝑔𝑙

𝐼

ja

𝑇0 = 2𝜋𝐼

𝑚𝑔𝑙

13.11.2018

8

Kui tähistada

𝑙′ =𝐼

𝑚𝑙siis saame ringsageduse ja perioodi valemile anda

matemaatilise pendli omaga kokkulangeva kuju.

Suurust 𝑙′ nimetatakse füüsikalise pendli redutseeritud

(taandatud) pikkuseks.

Sellise pikkusega matemaatiline pendel võngub täpselt

sama sagedusega nagu antud füüsikaline pendel.

Füüsikalise pendli periood oleneb pendli massist, massi

paiknemisest pendli kinnituspunkti suhtes ja

massikeskme kaugusest kinnituspunktist.

Harmoonilise võnkumise energia

Vaatleme veelkord vedrupendlit. Arvutame töö keha

väljaviimisel tasakaaluasendist:

𝐴 = න0

𝑥

𝐹𝑑𝑥 = 𝑘න0

𝑥

𝑥𝑑𝑥 =1

2k𝑥2

Sama suur on vedrupendli potentsiaalne energia hetkel,

mil hälve on 𝑥

𝑊𝑝 =𝑘𝑥2

2=𝑘𝐴02

2sin 2 𝜔0𝑡 + 𝜑0

Hälbe järgi on energia muutumine paraboolne, ajas

toimub see siinuse ruudu funktsiooni järgi.

Kuidas aga muutub kineetiline energia?

𝑊𝑘 =𝑚𝑣2

2=𝑚 ሶ𝑥2

2=𝑚𝜔0

2𝐴02

2cos 2 𝜔0𝑡 + 𝜑0

13.11.2018

9

Kiiruse järgi on kineetilise energia muutus paraboolne, ajas –

koosinuse ruudu funktsioon. Muutuste amplituud on sama, mis

potentsiaalsel energial, sest valemist 𝜔0 =𝑘

𝑚tuleneb, et

𝑚𝜔02 = 𝑘. Nüüd saame kogu mehaanilise energia jaoks

kirjutada

𝑊 = 𝑊𝑝 +𝑊𝑘 =𝑘𝐴02

2sin 2 𝜔0𝑡 + 𝜑0 + cos 2 𝜔0𝑡 + 𝜑0 =

𝑘𝐴02

2Mehaaniline energia säilib ajas, ka amplituud säilib.

Võnkuva keha energia on võrdeline amplituudi ruuduga.

Potentsiaalne ja kineetiline energia muutub nii, et kui üks on

null, on teine maksimaalne -𝑘𝐴0

2

2- ja vastupidi. Toimub pidev

energia üleminek ühest liigist teise. Jõud, mis kehale mõjub,

kord vähendab, kord suurendab selle kineetilist energiat. Olles

alati suunatud tasakaaluasendi poole, see vähendab kineetilist

energiat keha kaugenemisel tasakaaluasendist, tasakaalu

poole liikumisel aga suurendab.

Samas sihis toimuvate võnkumiste liitmine

Võnkuvale kehale võib samaaegselt mõjuda mitu

tasakaaluasendi poole viivat jõudu. Neid võib liita ja

vaadelda võnkumist ikkagi ühe jõu põhjustatud

liikumisena. Võib ka liita erinevate jõudude poolt

tekitatud liikumisi. Siis räägitakse võnkumiste liitmisest.

Tulemus kannab liitvõnkumiste nime.

Üks jõud eraldi võetuna põhjustagu võnkumist

amplituudiga 𝐴1 ja faasiga 𝜑1

𝜉1 = 𝐴1 sin𝜑1,Teine amplituudiga 𝐴2 ja faasiga 𝜑2

𝜉2 = 𝐴2 sin𝜑2.Missuguseks kujuneb keha liikumine siis, kui mõlemad

jõud mõjuvad koos. Siin saame anda vastuse ainult

juhul, kui summaarne jõud 𝐹1 + 𝐹2 ei põhjusta väljumist

elastsuse piiridest.

13.11.2018

10

Siis kehtib ka summaarse jõu korral võrdeline sõltuvus

nihke ja jõu vahel (Hooke’i seadus). Sellisel juhul on

liitvõnkumiste hälve 𝜉 hälvete 𝜉1 ja 𝜉2 summa

𝜉 = 𝜉1 + 𝜉2.Erinevate jõudude põhjustatud nihked liituvad. Et valitseb

võrdeline seos summaarse jõu ja nihke vahel, siis on

liitvõnkumine samuti harmooniline võnkumine mingi

amplituudiga 𝐴 ja faasiga 𝜑:𝐴 sin𝜑 = 𝐴1 sin𝜑1 + 𝐴2 sin𝜑2

Kujutame seda liitmist ringliikumise abil – pöörlevate

vektorite projektsioonide liitmisena.

Liitvõnkumist kujutava pöörleva vektori saame liidetavaid

võnkumisi kujutavate vektorite summeerimisegaԦ𝐴 = Ԧ𝐴1 + Ԧ𝐴2

Vertikaaltelje asemel võime projekteerimise teha ka

horisontaalteljele. Sellisel juhul saame tulemuseks

𝐴 cos𝜑 = 𝐴1 cos𝜑1 + 𝐴2 cos𝜑2

13.11.2018

11

Leitud avaldiste suhe annab valemi liitvõnkumiste faasi

arvutamiseks

tan𝜑 =𝐴1 sin 𝜑1 + 𝐴2 sin𝜑2

𝐴1 cos 𝜑1 + 𝐴2 cos𝜑2

Projektsioonide avaldiste ruututõstmine ja liitmine annab

𝐴2 sin2𝜑 + cos2𝜑 = 𝐴12 sin2𝜑1 + cos2𝜑1 +

+2𝐴1𝐴2 sin𝜑1 sin𝜑2 + cos 𝜑1 cos𝜑2 + 𝐴22 sin2𝜑2 + cos2𝜑2

ehk

𝐴2 = 𝐴12+ 𝐴22+ 2𝐴1𝐴2 cos 𝜑2 −𝜑1

See on liitvõnkumiste amplituudi arvutusvalem. Summaarne

amplituud oleneb nii liidetavate võnkumiste amplituudidest kui

ka faasierinevusest – faasivahest 𝜑2 − 𝜑1.

Faasivahel on kaks erilist väärtust

1) 𝜑2 − 𝜑1 = 2𝑛𝜋, kus 𝑛 = 0,±1,±2, (paarisarv 𝜋-sid).

Öeldakse, et võnkumised liituvad samas faasis. Sel juhul

𝐴2 = 𝐴12+ 𝐴22+ 2𝐴1𝐴2 = 𝐴1 + 𝐴2 2 ; 𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2Amplituudid liituvad. Võnkumised tugevdavad teineteist

maksimaalselt.

2) 𝜑2 − 𝜑1 = 2𝑛 + 1 𝜋, (paaritu arv 𝜋-sid).

Öeldakse, et võnkumised liituvad vastasfaasis. Sel juhul

𝐴2 = 𝐴12+ 𝐴22− 2𝐴1𝐴2 = 𝐴1 − 𝐴2 2 ; 𝐴 = 𝐴1 − 𝐴2Amplituudid lahutuvad. Võnkumised nõrgendavad

teineteist maksimaalselt.

Kui 𝐴1 = 𝐴2, siis maksimaalsel tugevdamisel amplituud

kahekordistub ja energia neljakordistub. Nõrgendamisel

aga saavad mõlemad võrdseks nulliga. Keha ei võngu,

vaid püsib paigal, vaatamata sellele, et ta võtab osa

kahest võnkumisest – kehale mõjub kaks vastassuunalist

võnkumapanevat jõudu.

13.11.2018

12

Tuiklemine

Vaatleme ühte samasihiliste võnkumiste liitmise erijuhtu –

liidetavad võnkumised olgu harmoonilised. Siis on faasid

avaldatavad lineaarfunktsioonidena

𝜑1 = 𝜔1𝑡 + 𝜑01

𝜑2 = 𝜔2𝑡 + 𝜑02

Faasivahe on

𝜑2 − 𝜑1 = 𝜔2 − 𝜔1 𝑡 + 𝜑02 − 𝜑01

See muutub samuti ajas lineaarselt. Seepärast muutub ka

liitvõnkumiste ruut 𝐴2 = 𝐴12+ 𝐴22+ 2𝐴1𝐴2 cos 𝜑2 −𝜑1 ajas

sinusoidaalselt. Muutumise ringsagedus on 𝜔2 − 𝜔1 .

Võnkumised kord tugevdavad, kord kustutavad teineteist..

Joonisel 𝐴1 = 𝐴2. Selle võrduse mittekehtimisel amplituud ei

kahane miinimumides nullini, vaid saavutab mingi väärtuse

𝐴1 − 𝐴2.

Kirjeldatud nähtust nimetatakse tuiklemiseks. Tuiklemise või

faasivahe muutumise periood 𝑇 on määratud liidetavate

võnkumiste sageduste vahega. Nähtust nimetatakse

tuiklemiseks ainult siis, kui 𝜔1 − 𝜔2 ≪ 𝜔1,2, st kui liituvad

lähedaste sagedustega võnkumised. Suure sageduste vahe

korral ei ole liitvõnkumiste pilt nii lihtne. Selget amplituudi

suurenemist ja vähenemist ei ole märgata.

13.11.2018

13

Ristuvates sihtides toimuvate võnkumiste liitmine

Selline juht võib esineda näiteks joonisel näidatud kehade

süsteemis.

Üks vedrude paar paneb keha

võnkuma X-telje, teine Y-telje

sihis. Kui hälbed on väikesed,

siis on mõlemad võnkumised

eraldi võetuna harmoonilised:

൝𝑥 = 𝐴𝑥 sin 𝜔𝑥𝑡 + 𝜑𝑥𝑦 = 𝐴𝑦 sin 𝜔𝑦𝑡 + 𝜑𝑦

Keha tegelik liikumine on nende

liikumiste summa. Üldisel juhul

tekivad väga keerulised

trajektoorid. Neid nimetatakse

Lissajous’ kujunditeks.

Lissajous’ kujundeid

13.11.2018

14

Jules Antoine Lissajous (1822 –1880)

Vaatleme ühte lihtsamat erijuhtu 𝜔𝑥 = 𝜔𝑦 = 𝜔. Leiame 𝑥 ja 𝑦

vahelise seose, mis ei sisalda aega. Seda nimetatakse

trajektoori võrrandiks.

Kirjutame liikumisseadused ümber järgmiselt:𝑥

𝐴𝑥= sin𝜔𝑡 cos𝜑𝑥 + cos𝜔𝑡 sin𝜑𝑥

𝑦

𝐴𝑦= sin𝜔𝑡 cos 𝜑𝑦 + cos𝜔𝑡 sin𝜑𝑦

Korrutame võrdusi vastavalt cos 𝜑𝑦 ja cos 𝜑𝑥 ning lahutame

esimesest teise𝑥

𝐴𝑥cos 𝜑𝑦 −

𝑦

𝐴𝑦cos𝜑𝑥 = cos𝜔𝑡 sin𝜑𝑥 cos𝜑𝑦 − cos𝜑𝑥 sin 𝜑𝑦 =

= cos𝜔𝑡 sin 𝜑𝑥 − 𝜑𝑦

13.11.2018

15

𝑥

𝐴𝑥sin𝜑𝑦 −

𝑦

𝐴𝑦sin𝜑𝑥 = −sin𝜔𝑡 sin 𝜑𝑥 cos 𝜑𝑦 − cos𝜑𝑥 sin𝜑𝑦 =

= sin𝜔𝑡 sin 𝜑𝑥 − 𝜑𝑦

Tõstame saadud avaldised ruutu ja liidame

𝑥

𝐴𝑥

2

+𝑦

𝐴𝑦

2

− 2𝑥𝑦

𝐴𝑥𝐴𝑦cos𝜑𝑥 cos 𝜑𝑦 + sin𝜑𝑥 sin𝜑𝑦 =

= sin 2 𝜑𝑥 −𝜑𝑦 cos 2𝜔𝑡 + sin 2𝜔𝑡

Nii saime seose 𝑥 ja 𝑦 vahel – trajektoori võrrandi

𝑥

𝐴𝑥

2

+𝑦

𝐴𝑦

2

− 2𝑥𝑦

𝐴𝑥𝐴𝑦cos 𝜑𝑥 −𝜑𝑦 = sin 2 𝜑𝑥 − 𝜑𝑦

See on ellipsi võrrand.

Ellips asub ristkülikus

mõõtmetega 2𝐴𝑥 × 2𝐴𝑦.

Selle kuju ja asetus

ristkülikus oleneb

faasivahest 𝜑𝑥 − 𝜑𝑦.

Vaatleme erijuhtusid.

1) Samas faasis liitumine:

𝜑𝑥 − 𝜑𝑦 = 2𝑛𝜋; cos 𝜑𝑥 − 𝜑𝑦 = 1; sin 𝜑𝑥 −𝜑𝑦 = 0.

Saame vahe ruudu, mis võrdub nulliga

𝑥

𝐴𝑥−

𝑦

𝐴𝑦

2

= 0; 𝑦 =𝐴𝑦

𝐴𝑥𝑥.

Ellips on kõdunenud sirgeks.

13.11.2018

16

2) Vastasfaasis liitumine:

𝜑𝑥 −𝜑𝑦 = 2𝑛 + 1 𝜋; cos 𝜑𝑥 − 𝜑𝑦 = −1; sin 𝜑𝑥 −𝜑𝑦 = 0.

Saame nulliga võrduva summa ruudu:

𝑥

𝐴𝑥+

𝑦

𝐴𝑦

2

= 0; 𝑦 = −𝐴𝑦

𝐴𝑥𝑥.

See on samuti sirge, kuid koordinaattasandi I ja IV veerandit

läbiv.

3) 𝜑𝑥 − 𝜑𝑦 = ±𝜋

2; cos 𝜑𝑥 −𝜑𝑦 = 0; sin 𝜑𝑥 − 𝜑𝑦 = ±1.

𝑥

𝐴𝑥

2

+𝑦

𝐴𝑦

2

= 1

Saime koordinaattelgede suhtes sümmeetriliselt asetseva

ellipsi. Positiivse faasivahe puhul 𝜑𝑥 > 𝜑𝑦 toimub

pöörlemine vastassuunas kellaosuti liikumisega,

negatiivse puhul – päripidiselt.

13.11.2018

17