ft x(t) x(f)ej2 ∫−∞ - infocom.uniroma1.itinfocom.uniroma1.it/~biagi/tds2_2.pdf · modulo...
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Modulo TLC:TRASMISSIONI – Fondamenti sui segnali analogici
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Trasformata di Trasformata di Fourier Fourier (1/7)(1/7)
Def: Un segnale x(t) è impulsivo se ( )x t d t+ ∞
− ∞< + ∞∫
FT : }{ +∞<<∞−== ∫+∞
∞−
− f,)t(xFTdte)t(x)f(X ftj π2
FT-1 : }{ +∞<<∞−== −+∞
∞−∫ tfXFTdfefXtx ftj ,)()()( 12π
X(f) è una rappresentazione di x(t) nel dominio della frequenza(dominio “spettrale”) anziché del tempo
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Trasformata diTrasformata di Fourier Fourier (2/7)(2/7)
X(f) = R(f) + j I(f) = M(f)e j ∫ +=f
fftj dfefMtx ))(2()()( ϕπ
f
M(f)
f
R(f)
f
(f)ϕ
f
I(f)
(f)ϕ
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Trasformata diTrasformata di Fourier Fourier didi segnalisegnali realireali(3/7)(3/7)
)( tx segnale reale:
∫∫+∞
∞−
+∞
∞−−= dtfttxjdtfttxfX )2sin()()2cos()()( ππ
)()( fRfR −= )()( fIfI −−=
)()( fMfM −= )()( ff −−= ϕϕ)()( * fXfX −=
Simmetria coniugata:
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Trasformata diTrasformata di Fourier Fourier didi segnalisegnali realireali(4/7)(4/7)
Conseguenza :Per segnali reali si può fare riferimento alle sole frequenze positive della X(f)
f
M(f)
f
M(f)
f
(f)ϕ
f
(f)ϕ
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Trasformata diTrasformata di Fourier Fourier –– Banda Banda di di un un segnale di banda segnale di banda base base (4/7)(4/7)
Un segnale reale x(t) si dice limitato nella banda [-W,W] se la sua trasformata di Fourier X(f) è identicamente nulla per f ∉[-W,W]
• La quantità W si misura in Hz (o suoi multipli) e costituisce la “Larghezza di Banda” del segnale x(t)• Poiché X(f)≠0 in un intorno [-W,W] di f=0, il segnale x(t) si dice “segnale di banda base”
-W W f
X(f)
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Un segnale reale x(t) si dice limitato in banda, con banda 2W centrata intorno alla frequenza f0 (Hz) se:
1) f0 >W;2) X(f) è identicamente nulla per f ∉[- f0-W,- f0 +W]U [f0-W,f0 +W]
• La quantità 2W (Hz) costituisce la larghezza di banda del segnale x(t)• Poiché X(f)≠0 in un intorno di ±f0 non adiacente all’origine f0, il
segnale x(t) si dice “segnale in banda traslata”.
Trasformata diTrasformata di Fourier Fourier –– Banda Banda di di un un segnale di banda segnale di banda base base (6/7)(6/7)
-f0-W -f0 W-f0 -W+f0 f0 f0+W f
X(f)
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Trasformata diTrasformata di Fourier Fourier –– Unità di Unità di misura della larghezza di bandamisura della larghezza di banda (7/7)(7/7)
• La larghezza di banda W (2W) di un segnale x(t) di banda base (di banda traslata) si misura in
o in suoi multipli
1sec
Hz =
3
6
9
1 kHz 10 Hz1 MHz 10 Hz1GHz 10 Hz
=
=
=
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Trasformata diTrasformata di Fourier e Fourier e Teorema di Teorema di ParsevalParseval
1. E’ possibile calcolare l’energia di un segnale “impulsivo” o “di energia” x(t) mediante la sua trasformata X(f).
2. In particolare, vale il seguente risultato noto come “Teorema diParseval per segnali impulsivi e/o di energia”:
2X(f ) dfx
+∞
−∞
= ∫ε
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Trasformata diTrasformata di Fourier: Fourier: esempi esempi (1/4)(1/4)
)()( trecttx T=
)(sin)sin(22
)(2
22
2
2
2
22
2
2 fTcTfTfTT
fjee
fjedtefX
TfjTfjT
Tt
ftjT
Tftj π
ππ
ππ
ππππ ==
−−
=−
==+−
=
−
−
−∫
essendo )sin(2
zjee jzjz
=− −
t2T
−2T
1)(tx
)( fX
fT1
−T1••• •
T2
T2
−
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Trasformata diTrasformata di Fourier: Fourier: esempiesempi (2/4)(2/4)
)(tx
t
1
2T
)()( ttx δ= 1)( =fX
t
1
)( fX
f
( ) sinc( )X f T fT= π
f1T
−• 1
T
•2
T−
1)
2)
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Trasformata diTrasformata di Fourier: Fourier: esempiesempi (3/4)(3/4)
ctx =)( )()( fcfX δ=
t
)(txc
f
)( fXc
)(2
)(2
)2cos()( 2oo
ftjo ffAffAdtetfAfX ++−== −∞+
∞−∫ δδπ π
t
)(tx )( fX
fof− of
2A
2A
( )tfcosA)t(x oπ2=
3)
4)
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Trasformata diTrasformata di Fourier: Fourier: esempiesempi (4/4)(4/4)
)()( 1 tuetxt
−
−= τ
τπτ
fjfX
21)(
+=
22241)(
τπτ
ffM
+=
)2()( τπϕ farctgf −=
)(txt
)(tx
t
τ piccolo:
f
)()( fXfM =
f)( fM
5)
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RelazioniRelazioni tempo/tempo/frequenzafrequenza
Segnali brevi (in t) banda larga (in f)
Segnali lunghi (e lenti) banda stretta (in f)
Segnali rapidamente varianti in t
f
f
t
t
banda larga (in f)
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Proprietà della trasformata diProprietà della trasformata di FourierFourier
1) Linearità:( ) ( )x t X f⇔( ) ( )y t Y f⇔
{ ( ) ( )} ( ) ( ) (linearità)FT x t y t X f Y fα +β = α +β
2) Ritardo: ( ) ( )x t X f⇔ 2{ ( )} ( ) (sfasatura)j fFT x t X f e− π τ− τ =
3) Modulazione: ( ) ( )x t X f⇔ 2
0{ ( ) } ( ) (modulazione)oj f tFT x t e X f fπ = −
4) Derivazione:
( ) ( ) /y t dx t dt= ( ) 2 ( )Y f j f X f= π
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TdF diTdF di unun segnale periodicosegnale periodico
∑ −=+=n
nTtgTtxtx )()()(
tfj
nn
neXtx π2)( ∑∞+
−∞=
=SdF:
TdF: )()( ∑ −=n
nn ffXfX δ
)( fX
n
nX
f
•
•
•• • •• • •
•
(segnale periodico)
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Proprietà fondamentale della Proprietà fondamentale della convoluzioneconvoluzione
La trasformata di Fourier della convoluzione
è pari al prodotto delle trasformate
dove
( ) ( )* ( )y t x t h t=
( ) ( ) ( )Y f X f H f=
( ) { ( )}Y f FT y t=( ) { ( )}X f FT x t=
( ) { ( )}H f FT h t=
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RispostaRisposta inin frequenza difrequenza di unun sistemasistema LP (LP (filtrofiltro))
Prodotto (in frequenza):
( ) ( ) ( )Y f H f X f=
)( fX )( fY)( fH
∫∞+
−∞=−=
ττττ dthxty )()()(
Convoluzione (nel tempo):
)(ty)(tx )(th
dfefXfHdfefYtyf
ftj
f
ftj ∫∫ ⋅== ππ 22 )()()()(
)(th : risposta impulsiva del filtro : risposta in frequenza del filtro o funzione di trasferimento del filtro)( fH
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FiltraggioFiltraggio analogicoanalogico (1/2)(1/2)
Meccanismo di filtraggio:
f
)( fX
f
f
)( fH
)( fY
1
Filtro passa-basso:
Filtro passa-alto
Filtro passa-banda
(LP, low-pass)
(HP, high-pass)
(BP, band-pass)
f
)( fH
f
)( fH
f
)( fH
Filtro
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FiltraggioFiltraggio analogicoanalogico (2/2)(2/2)
)(th reale )()( fHfH −= ∗ (simmetria coniugata)
E’ sufficiente conoscere solo per le frequenze positive, perché le f negative si deducono dalla simmetria coniugata
)( fH
f
)( fH
f
)( fϕ
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RispostaRisposta didi un un filtrofiltro al al segnale segnale sinusoidalesinusoidale
Le sinusoidi sono largamente impiegate nelle trasmissioni(esempi: fax, tastiera telefono, GSM, …)
)2cos()( θπ += tfAtx o ))(2cos()()( ooo ftffHAty ϕθπ ++=
)( fH )(ty)(tx
t
of1
)(2 ofHAA2
t
of1
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ProprietàProprietà duale delladuale della FTFT
)()()( thtxty = ( ) ( ) ( ) ( ) * ( )Y f H X f d X f H fσ
= σ ⋅ − σ σ =∫
Proprietà della FT: alla convoluzione in t corrisponde il prodotto in f
Proprietà duale: al prodotto in t corrisponde la convoluzione in f
( ) ( ) ( )Y f H f X f=∫∞+
−∞=−=
ττττ dthxty )()()(
La convoluzione in t aumenta la durata temporale del segnale
Il prodotto in t aumenta la banda (occupazione in frequenza) del segnale
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SegnaleSegnale aleatorio aleatorio (Gaussiano)(Gaussiano)
Funzione densità di probabilità di una variabile:esprime la probabilità che la variabile
assume un valore nell’intorno di x)(xpx
Densità di probabilità gaussiana:(media nulla, varianza )2σ
2
2
222
1)( σ
πσ
x
x exp−
=
Sono più probabili i valori piccoli e meno probabili i valori grandi (positivi e negativi in ugual misura)
x
)(xp
t
)(txSegnale aleatorio:
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SegnaleSegnale aleatorioaleatorio (Gaussiano)(Gaussiano): : esempiesempi
Esempi di segnale con “distribuzione” Gaussiana:
Voce umana Suoni“rumore” caotico (voci da stadio, radio fuori sintonia, …)
I segnali aleatori sono tipicamente segnali di potenza