ft13-capitulo1_parte2de2 (1)

DAIMF - UNMSMFLUJO TURBULENTO

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1.5 DEFINICION DE TURBULENCIANo existe una definición única y estricta de turbulencia, cada estudioso de estefenómeno aporta algo de su propio punto de vista. En 1937, G. I. Taylor y T. vonKármán dieron la siguiente definición: “Turbulencia es un movimiento irregular que engeneral se presenta cuando los fluidos, gaseosos y líquidos, se mueven próximo asuperficies sólidas o cuando corrientes contiguas del mismo fluido fluyen próximos oinciden mutuamente”. De acuerdo a esta definición, el flujo turbulento tiene quesatisfacer la condición de ser irregular. Esta condición es un rasgo muy importante delmovimiento turbulento. Debido a la irregularidad es imposible describir el movimiento en

GEOFFREY INGRAM TAYLOR(London 1886 – Cambridge 1975)

todos sus detalles como unafunción del tiempo y lascoordenadas espaciales.Sin embargo, afortunada-mente, el movimiento esirregular en el sentido quees posible describir por lasleyes probabilísticas. Estoposibilita revelar los valorespromedios de las magnitu-des físicas tales como:velocidad, presión, tempera-tura, etc. THEODORE VON KÁRMÁN

(Budapest, 1881 – Aquisgrán 1963)

HINZE (1959, pp, 1-2), basado en la condición de irregularidad, da la siguiente definiciónclásica de turbulencia: “Movimiento turbulento de un fluido es una condición irregular delflujo en la cual las diferentes magnitudes muestran una variación aleatoria con el tiempoy las coordenadas espaciales, pero de tal manera que estadísticamente se puedendistinguir los diferentes valores promedios”.

CHAPMAN & TOBAK (1985)8 han descrito la evolución de nuestra comprensión de laturbulencia, en el período comprendido entre 1883 y 1984 (100 años), en función de lassiguientes tres épocas, o “movimientos”, que se traslapan, denominado por ellos como(ver hoja adicional):i) Movimiento estadístico,ii) Movimiento estructuralista, yiii) Movimiento determinista.

La siguiente es una definición de la turbulencia en el contexto de las ideas delmovimiento determinista: "La turbulencia es cualquier solución caótica [irregular] de lasecuaciones 3D de Navier-Stokes que es sensible a los datos iniciales y que se producecomo resultado de inestabilidades sucesivas de flujos laminares cuando un parámetro debifurcación9 se incrementa a través de una sucesión de valores."

La turbulencia puede también definirse como un movimiento vortiginoso que tiene unamplio espectro de tamaños de remolinos (ver figuras 1.8a-b) y el correspondienteespectro de frecuencias de fluctuación. El movimiento es siempre rotacional. Lasformas de los remolinos grandes (de frecuencias de fluctuación relativamente pequeñas)son usualmente determinadas por las dimensiones características del contorno delproblema, mientras que las formas de los remolinos pequeños (de mayores frecuenciasde fluctuación) son determinadas por las fuerzas viscosas.

8 Ver McDONOUGH (2007, p, 5).9 En dinámica de fluidos un “parámetro de bifurcación” es usualmente llamado parámetro de transición (ver McDONOUGH,

2007, p, 13).


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(a): Representación esquemática de los remolinos de un campo de flujo turbulento. Se muestra elperfil de velocidad promedio, los remolinos grandes del orden de L y los remolinos máspequeños del orden de .

(b): Visualización de flujo de un chorroturbulento, hecho mediante flúores-cencia inducida por láser. El chorromuestra un amplio rango de escalas delongitud, una importante característicade flujo turbulento

Figura 1.8

La definición moderna de la turbulencia está asociada al empleo de los métodosnuméricos computacionales para modelar la turbulencia. Así, la definición dada por laDinámica de Fluidos Computacional (DFC) dice: “La turbulencia es simplemente todofenómeno debido al movimiento irregular que ocurre a escalas por debajo de aquellasque son posibles de resolver sobre una malla usada para propósitos computacionales”.Así, desde este punto de vista, la definición de la turbulencia es relativa al tamaño de lamalla que emplea cada modelador. De este modo, lo que es turbulencia para unmodelador que usa malla gruesa, puede constituir un flujo de fluido calculable para otromodelador que usa una malla más fina.

1.6 CARACTERISTICAS DE LA TURBULENCIALas teorías clásicas, en vez de dar una definición formal de la turbulencia, prefierenabordar el fenómeno partiendo de las características o propiedades observadas en lanaturaleza; así como una enfermedad puede ser reconocida por sus síntomas, laturbulencia puede ser detectada por sus manifestaciones. Entre estas características lasmás importantes, con la salvedad de que algunas de ellas no son encontradas en cadaflujo turbulento, son (KUNDU, 1990, p, 417; PANTON, 1984, pp, 705-709; ABBOTT & BASCO,1989, pp, 303-304):


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a).- IrregularidadEl flujo turbulento es demasiado complicado e irregular, que no se puede seguir nidescribir completamente de un modo “económicamente razonable”.

El flujo turbulento parece irregular, caótico e impredecible. A esta característica, algunosautores denominan aleatoriedad. Por ejemplo, los flujos turbulentos tienen fluctuacionesde velocidad en las 3 direcciones. La intensidad de las fluctuaciones es variable, perohabitualmente es el 10%, o menos, de la velocidad media. Un registro en el tiempo de lavelocidad en un punto se parece a una señal aleatoria. Sin embargo, hay una estructurapara las fluctuaciones, y no es absolutamente cierto decir que las fluctuaciones sonaleatorias (los matemáticos tienen una definición del término “variable aleatoria”, la cuallas irregularidades turbulentas no reúnen).

b).-VorticidadLa turbulencia se caracteriza por tener altos niveles de vorticidad fluctuante; es decir, laturbulencia se caracteriza por las fluctuaciones, no sólo de la velocidad, sino también delvector vorticidad (ver Sección 1.9-f). Las irregularidades en el campo de la velocidadtienen una cierta estructura espacial conocido como remolino o torbellino. Remolino(eddy o whirl, en inglés) es un término vago que se aplica a un cierto patrón espacial deflujo (de un bloque de moléculas o “pedazo” macroscópico de fluido -GERHART et al.,1995, p, 390) que persiste por un tiempo corto. Un remolino puede ser como un vórtice,un chorro sumergido, o alguna otra forma identificable. Los remolinos no son aislados;pequeños remolinos existen dentro de grandes remolinos; a su vez, remolinos aún máspequeños existen dentro de los pequeños. Una de las características más importantesde un flujo turbulento es una continua distribución de tamaños de remolino. Unavisualización de flujos turbulentos muestra varias estructuras: coalescencia(aglutinamiento o fusión), división, expansión y sobre todo movimiento giratorio.

c).-No LinealidadLos flujos turbulentos son sumamente no lineales. La no linealidad sirve para dospropósitos: primero, causa la correspondiente no linealidad de parámetros, por decirNúmero de Reynolds (Re), Número de Rayleigh (Ra) o la inversa del Número deRichardson ( 1

iR ), a exceder un valor crítico. En flujos inestables, pequeñas perturbacio-nes crecen espontáneamente y se equilibran frecuentemente como perturbaciones deamplitud finita. Posteriormente, superando el criterio de estabilidad, el nuevo estadopuede volverse inestable para otras perturbaciones más complicadas, y así,eventualmente, el flujo puede alcanzar un estado caótico. Segundo, la no linealidad deun flujo turbulento causa el estiramiento de los vórtices (vortex stretching, en inglés, verSección 1.9-f), un proceso clave debido al cual los flujos turbulentos tridimensionalesmantienen su vorticidad (KUNDU, 1990, p, 417).

d).-DifusividadDebido a la mezcla macroscópica de partículas fluidas, los flujos turbulentos secaracterizan por una alta tasa de difusión de momentum, masa y calor. El términodifusión de remolino (eddy difusión, en inglés) es frecuentemente usado para distinguireste efecto de la difusión molecular. Según PANTON (1984), la difusión de remolinopuede ser 10 á 100 veces más fuerte que la difusión molecular.

e).-Cambio de EscalaLos flujos turbulentos involucran procesos que cambian la escala de los remolinos.Estos procesos actúan en ambos sentidos: Un remolino pequeño crece y se transformaen remolino grande, o viceversa. En el caso de reducción, continuamente son formadosremolinos con escala cada vez más pequeña, hasta cuando la extensión espacial de los


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remolinos se vuelve muy pequeña y las fuerzas viscosas se vuelven importantes por elfuerte gradiente de velocidad y tienden a destruir a los remolinos pequeños. Lageneración de movimientos de escala pequeña a partir de los de escalas mayores puedeexplicarse mediante el estiramiento de los vórtices (BARRERO & PÉREZ-SABORID, 2005, p,465), ver Sección 1.9-f.

f).- AutosostenimientoLa turbulencia en un flujo es autosostenida (self-sustaining, en inglés). Ocurrenprocesos que generan más turbulencia y mantienen el movimiento irregular. Una vezque el flujo se vuelve inestable y se desarrolla la turbulencia, ésta no se extingue sinocontinúa y perdura sin disminuir. Para que la turbulencia sea autosostenida debe existirun esfuerzo cortante o tangencial promedio, y por lo tanto, debe existir gradiente de lavelocidad promedio. En este caso, el autosostenimiento es en el sentido de que laturbulencia se desarrolla como una consecuencia de los esfuerzos tangenciales, los quea su vez persisten como consecuencia de las fluctuaciones turbulentas. La turbulenciano puede surgir ni persistir en la ausencia de esfuerzos tangenciales.

g).-DisipaciónDebido a que los remolinos de pequeña escala de los flujos turbulentos tienen gradientesde velocidad muy fuerte, la disipación generada por flujos turbulentos es mucho mayorque la disipación viscosa en un flujo real. La energía disipada en los pequeñosremolinos domina a la energía disipada dentro de los remolinos grandes y en el flujomedio. Puesto que los remolinos pequeños al disipar energía tienden a autodestruirse,el proceso de cambio de escala, que produce remolinos pequeños, es un elementonecesario para el autosostenimiento de la turbulencia.

Desde el punto de vista de energía, la turbulencia es un proceso de transferencia en elcual los remolinos grandes, originados por el flujo medio, transfieren energía de rotación(que es abastecida por la energía potencial del flujo medio) a lo largo de una seriecontinua de remolinos pequeños [proceso conocido como cascada de energía, verSección 1.7]. La energía mecánica no es apreciablemente disipada en forma de calordurante la disolución de remolinos grandes en remolinos cada vez más pequeños, peroesta energía no es aprovechable para el mantenimiento de la presión o para vencer laresistencia al flujo, y no tiene importancia para propósitos prácticos. Esta energíamecánica es finalmente convertida en calor cuando los remolinos más pequeños (dediámetros <10 mm) son destruidas por la acción viscosa (McCABE et al., 1987, pp, 44-45). El flujo dentro de los remolinos más pequeños ya no es turbulento sino viscoso, ylos efectos moleculares son dominantes.

h).-Tridireccionalidad (trimensionalidad)La turbulencia es siempre tri-direccional, aun cuando el flujo medio espredominantemente uni o bi-direccional. Las fluctuaciones del flujo siempre tienencomponente en las tres direcciones (ver figura 1.9).

Figura 1.9:Velocidad local instantánea en flujo turbulento.

(Fuente: DAUGHERTY & FRANZINI, 1977, p, 192)


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i).- Otras característicasEl fluido debe ser considerado como un medio continuo. La turbulencia es unacaracterística de un flujo de fluido que ocurre a altos valores de número de Reynolds yno es una propiedad del fluido en particular.


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1.7 ESCALAS DE TURBULENCIAEn la literatura especializada, a las longitudes y tiempos característicos que tienen lugaren un flujo turbulento se les denomina genéricamente escalas de turbulencia10 y a losmovimientos que tienen lugar en dichas escalas, como ya se ha descrito en la Sección1.6-b, se les conoce como remolinos o torbellinos (eddies o whirls, en inglés). Losconceptos de escala y remolino, aunque son ambiguos en gran medida, se usan conprofusión en la literatura para describir de forma cualitativa la física de la turbulencia.

A grandes rasgos, se observa que los remolinos mayores poseen una longitudcaracterística del orden de la longitud característica del dominio fluido, por ejemplo, eldiámetro característico de la sección en el caso del movimiento turbulento en unconducto o en un chorro; el tamaño característico del objeto para el caso de un flujoexterno alrededor del mismo; etc.; el tiempo característico de variación de dichosremolinos puede estimarse a partir de su longitud característica y la velocidadcaracterística del flujo determinada por las condiciones de contorno impuestas alsistema, tales como el caudal, diferencias de presiones, etc.

Al ser el número de Reynolds siempre alto en los flujos turbulentos, los efectos viscososson muy pequeños para el movimiento en los remolinos grandes y, mediantemecanismos que no son bien conocidos todavía, se hacen inestables frente aperturbaciones dando lugar a un proceso de generación de remolinos cada vez demenor tamaño, hasta que la longitud característica de los mismos es tan pequeña quelas fuerzas de viscosidad entran en juego y detienen el proceso [característica decambio de escala, Sección 1.6-e]. De esta forma, y como puede observarse en algunoscasos cotidianos, partículas fluidas que en cierto instante se mueven en remolinosgrandes se arremolinan en instantes sucesivos en remolinos cada vez más pequeñoshasta que disipan una fracción importante de su energía cinética en forma de calor enlos más pequeños. Puesto que los remolinos grandes coexisten con los pequeños, debeproducirse un suministro continuo de energía, denominado cascada de energía(Sección 1.6-g), desde el movimiento de escalas grandes, hacia el movimiento enescalas pequeñas, al mismo tiempo que el movimiento en las escalas grandes debeadquirir su energía del exterior a través de las condiciones iniciales y/o de contornoimpuestas al sistema. De hecho, la turbulencia es extraordinariamente disipativa, siendouna experiencia común que para que un flujo turbulento pueda mantenerse necesita unsuministro suficiente y continuo de energía externa, de otra forma la disipación que tienelugar en las pequeñas escalas disminuirá pronto la energía cinética del flujo y laturbulencia desaparecería [característica de autosostenimiento, Sección 1.6-f].

Esta noción de cascada de energía, descrita primero de forma cualitativa (y poética) porRichardson y, más tarde, de forma cuantitativa por Kolmogórov, ha producido resultadosmuy fructíferos en el estudio de la turbulencia, tanto para su entendimiento físico comopara su tratamiento analítico y numérico.

LEWIS FRY RICHARDSON(Newcastle, Eng., 11/10/1881 –Kilmun, Scotland, 30/09/1953) (Fuente: HOYAS, 2010)

Teoría de Kolmogórov:

10 Denominada también “escalas turbulentas”; ver BARRERO & PÉREZ-SABORID (2005, p, 461).


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En particular, la teoría de Kolmogórov (conocida también como teoría K41) permiteestimar los valores característicos correspondientes a los remolinos más pequeños quepueden observarse en un flujo turbulento. En efecto, como se ha señalado líneas arriba,si la longitud típica del dominio fluido es L y lavelocidad característica impuesta por las condicionesde contorno es U , entonces, el tiempo característicode variación para el movimiento en los remolinos

grandes (T ) es del orden deU

L [“tiempo advectivo”].

De este modo, es aceptable suponer que este es elorden de magnitud del tiempo que, en promedio, laspartículas fluidas tardan en pasar desde los grandesremolinos a otros más pequeños, lo que proporcionauna energía cinética por unidad de masa ( k ) del ordende 2U que entra en el flujo turbulento (es decir, k ~ 2U )y se disipa en los torbellinos pequeños. Así, la tasa detransferencia de energía cinética por unidad de masaserá:

ANDRÉI NIKOLÁIEVICH KOLMOGÓROV(Tambov, 25/04/1903 – Moscú, 20/10/1987)

T

k~

L

U

UL

U

T

U 322

/ (1.11)

Por otra parte, si 0u y representan la velocidad y longitud características de losremolinos más pequeños, la tasa de energía mecánica por unidad de masa disipada enlos mismos puede estimarse como

~ ):(1

Vl

~2

20

u (1.12)

donde ])([ Tl VV

es el tensor esfuerzo viscoso, y el resultado del producto (:)

de los tensores l

y V

es un escalar (ver, por ejemplo, BIRD et al., 1973, p, A-4).

Igualando (1.11) y (1.12), puesto que la energía cinética que entra se disipa, resulta

~2

20

u~

L

U 3

(1.13)

Además, puesto que los efectos no estacionarios son del mismo orden que losadvectivos [y difusivos] para todas las escalas turbulentas, se tendrá:

t

V

~ VV

)( ~ V

2 , (1.14)

entonces, si 0 denota el tiempo característico de variación en la escala pequeña, lasrelaciones (1.14) proporcionan los siguientes órdenes de magnitud para la escalapequeña:

0

0

u

~

20u

~20

u (1.15)

En consecuencia, los órdenes de magnitud de 0u , y 0 , se pueden hallar de lasiguiente manera:

De la relación (1.15),

20u

~20

u, de donde,

0u ~

0u

~ 1 (1.16)


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es decir, en la escala de Kolmogórov el número de Reynolds tiene orden de magnitud de1, el cual indica que las fuerzas viscosas, que provocan la disipación, son del mismo

orden de magnitud de las fuerzas de inercia. Asimismo, de la relación (1.12) ~2

20

u;

en donde, ~ 20

20

20

2

202

)(u

uuu

~ 40u (teniendo en cuenta 1.16); del cual se obtiene:

0u ~ 4/1)( (1.17)

Similarmente, de (1.16): ~0u

. Entonces, teniendo en cuenta (1.17), se tiene

~ 4/13

)( (1.18)

Por otro lado, por definición: 0 ~0u

; por tanto, dividiendo (1.18) entre (1.17), resulta

0 ~ 2/1)(

(1.19)

Los valores relativos de 0u , y 0 respecto a los valores característicos de la escalagrande, se obtienen de la siguiente manera:

De (1.17), teniendo en cuenta (1.13),

0u ~4/1

4/14

4/14

4/13

4/1 )()()()(eR

ULU

U

LU

U

L

U

, de donde,

U

u0 ~ 4/1eR (1.20)

Asimismo, de (1.13),2

20

u~

L

U 3

, de donde,L

~3

20

U

u

. Pero, de (1.16), 0u

;

entonces,L

~ 303

30 )(

U

u

U

u . Por último, teniendo en cuenta (1.20), resulta

L

~ 4/3

eR (1.21)

Finalmente,T

0 ~0

0

/

/

u

U

LUL

u ; de donde, teniendo en cuenta (1.20) y (1.21), resulta

T0 ~ 2/1

eR (1.22)

En las relaciones (1.20) a (1.22),

LURe y

U

LT son el número de Reynolds y el

tiempo [advectivo] característico para movimiento de escala grande.

Las estimaciones (1.17) al (1.19) ponen de manifiesto que para un valor dado de , losvalores característicos de las escalas pequeñas dependen de los de las grandes escalassolamente a través de la tasa de energía por unidad de masa suministradaexternamente a los grandes remolinos, que es a su vez la que debe disiparse por laviscosidad en los remolinos pequeños. Los valores


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4/1)(du 4/13

)( d

2/1)( d (1.23)

se denominan microescala de Kolmogórov y definen, de acuerdo con las relaciones(1.17) al (1.19), el orden de magnitud de las escalas turbulentas más pequeñas, aquellaspara las que los efectos de disipación son importantes.

Espectro de Energía Cinética:Basado en consideraciones dimensionales, Kolmogórov encontró, además, la forma dela distribución de energía para las escalas turbulentas de tamaño comprendido en elrango denominado inercial,11

dL . En efecto, debido a que la longitudcaracterística del flujo, L , es mucho mayor que la de las escalas inerciales, éstas [de lasescalas inerciales] pueden considerarse localmente homogéneas e isotrópicas, por loque un análisis de Fourier del campo de velocidades12 proporciona el espectro deenergía cinética )(kE , donde /2k es el número de onda de la escala de longitud .El significado físico de dicho espectro es que dkkE )( es la energía cinética por unidadde masa contenida en las escalas con números de onda comprendidos entre k y dkk .Además, debido a su pequeña longitud característica, el flujo en el rango inercial debeser independiente de las detalles del flujo en la escala grande, y sólo depende de éste[movimiento de escala grande] a través de la tasa de energía por unidad de masadisipada, . Se tiene entonces

),,()( kfkE (1.24)

y el análisis dimensional proporciona

)/(4/54/1 kkgE d , (1.25)

donde,4/3

4/122

ddk , y )/( kkg d es una función universal (válida para cualquier flujo

turbulento) que se determina experimentalmente.

La figura 1.10 muestra un espectro de energía obtenido para turbulencia de grilla; noobstante, se observa experimentalmente que dicho espectro es universal para valoresaltos de número de onda k (escalas pequeñas) en el sentido de que es independientedel tipo de flujo considerado, lo que no ocurre para valores pequeños de k (escalasgrandes). Para valores de )/( kkd , el espectro de energía debe ser independientede la viscosidad, por lo que si se supone que g posee un comportamiento de la forma

)2/()/( kkCg d para )/( kkd , donde C es una constante, se obtiene

kCE 4/34/4/54/1 , (1.26)

La expresión (1.26) es independiente de sólo si 3/5 , lo que proporciona3/53/2)( kCkE (1.27)

11 En general, hay 4 conjuntos principales de escalas en un flujo turbulento (puede haber más si otros fenómenos físicos, porejemplo, transferencia de calor y/o la combustión son importantes), estos son: Escala grande, Escala integral, Microescalade Taylor (en realidad, subrango inercial de Kolmogórov) y Escala de Kolmogórov (ver McDONOUGH, 2007, pp, 47-49).

12 mediante la transformada de Fourier, se transforma el campo de velocidades u en el espacio físico en el espacio de

Fourier ku , donde está descrito en función de los números de onda (ver artículo “Capítulo 2, Notas de turbulencia”, p, 8).


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Figura 1.10: Espectro de energía-número de onda de la turbulencia(Fuente: BARRERO & PEREZ-SABORID, 2005, p, 464)

Para terminar esta Sección se comprobará que la microescala de Kolmogórov es, engeneral, mucho mayor que la escala de movimiento molecular, por lo que la turbulenciaes realmente un fenómeno del fluido como medio continuo (y en equilibrio termodinámicolocal). Para ello se toma el caso más desfavorable de un gas, donde el recorrido libremedio entre colisiones moleculares es del orden de m ~ a/ (ver por ejemplo laecuación de Maxwell), donde a es la velocidad molecular del gas relativa a la velocidaddel fluido (siguiendo direcciones al azar), y que es del orden de la velocidad del sonido(FERNÁNDEZ, 2005, pp, 518-519). De (1.21), se tiene ~ 4/3

eRL , entonces

m ~

4/3

/eLR

a=

4/1eR

M ,

(1.28)

donde aUM / es el número de Mach. Como 1eR y M es a lo sumo del orden de

unidad en la mayoría de las ocasiones, se tiene que 14/1

eR

M , por lo que m .

Análogamente, el tiempo característico entre colisiones es del orden c ~ am / , dedonde (teniendo en cuenta 1.22), se obtiene

0 c ~

2/1

2

eR

M (1.29)


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Ejemplo 1.5: Cálculo del orden de magnitud de microescalasComo trabajo preliminar para un estudio con detectores, en un laboratorio se mezclaráFreón12 en un recipiente con 100 kgm de agua a 25ºC. Se usará un agitador manual de200W para el mezclado. El coeficiente de difusión molecular para Freón12 en agua es

9100.1 D m2/s.

a).-¿A qué escala [de longitud] las fluctuaciones de velocidad se desvanecerán por laviscosidad?

b).-¿A qué escala [de longitud] desaparecerán los gradientes de concentración deFréon12?

SoluciónConociendo las magnitudes del movimiento de escala grande, se desea saber el ordende magnitud de la microescala de longitud.

Datos:Agua a 25ºC: 610003.1 m2/s; 100m kgm;Coeficiente de difusión de Freón12: 9100.1 D m2/s;Potencia del agitador: 200P W.

Se debe calcular la tasa de disipación de energía mecánica por unidad de masa ( ),puesto que la relación de escalas está en función de esta variable.

Hipótesis:La magnitud de la tasa de disipación de energía mecánica por unidad de masa será delorden de magnitud de:

~m

P (a), ya que según (1.12) ~ ):(1

Vl

, entonces

~ [3

1ML

] [2L

F ] [L

V ]

~ [M

L3

] [3L

VF ] ~ [M

FV ]

~ [M

P ]

Cálculos:

mkg

W

100

200 = 2 m2/s3 Equivalencia: 1W = 1Nm/s = 1 kgmm2/s3

a).-A la escala de Kolmogorov, los gradientes de velocidad se desvanecen por laviscosidad, es decir por (1.18):

~ 4/13

)(

~

4/136

2

)10003.1(

~ 5105.2 m = 2105.2 mm

b).-Los gradientes de concentración de la masa (un escalar) se desvanecerán a laescala de Batchelor dada por:

B ~ 4/12

)(D

(b)

B ~

4/1629

2

10003.1)100.1(

~ 7108 m= 4108 mm


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1.8 TIPOS DE TURBULENCIANo todos los flujos turbulentos son semejantes. Así, las características universales deun chorro turbulento y aquellas de un flujo en tubería muestran ciertas diferencias. Agrosso modo, los flujos turbulentos se pueden clasificar en 3 grandes grupos (PANTON,1984):

a).- Turbulencia de GrillaLa turbulencia de grilla (gridlike flows, en inglés) es un tipo especial de turbulencia queviola la definición por que no es autosostenida. Para crear este flujo, se coloca unarejilla (por ejemplo de varillas cilíndricas) perpendiculares a una corriente uniforme. Losremolinos generados por las varillas interactúan, y después de una cierta distanciaaguas abajo se tiene un campo de flujo turbulento homogéneo e isotrópico. Muchasexperiencias en laboratorio han sido llevadas a cabo en este tipo de turbulencia.

Figura 1.10: Turbulencia homogénea detrás de una grilla.(Fuente: FRISCH, 2004, p, 9)

b).- Turbulencia de Pared13

La presencia de una pared rígida tiene un efecto dominante sobre el proceso deformación de una región con gradiente de velocidad transversal próxima a la superficie(wall shear layers, en inglés) donde se genera la turbulencia. Pertenecen a este grupo,por ejemplo, las capas límites y todos los flujos internos (flujo en tuberías).

Figura 1.11: Desarrollo de turbulencia de pared en una tubería(escalas muy distorsionadas)

(Fuente: DAUGHERTY & FRANZINI, 1977, p, 205)

13 “Turbulencia parietal”, ver BARRERO & PÉREZ-SABORID, 2005, p, 484.


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c).- Turbulencia LibreLa turbulencia libre (free shear layers, en inglés) incluye no solo a las típicasturbulencias por mezcla de capas de dos flujos a diferente velocidad, sino también atoda clase de chorros y estelas. Una región de transición, cerca del origen de estosflujos, precede a la región turbulenta. Aguas abajo, la extensión de la región turbulentaes siempre creciente.

Figura 1.12: Chorro turbulento(Fuente: KUNDU, 1990, p, 443; R. BALLESTEROS, 2004)

Figura 1.13: Estela detrás de un cuerpo rígido(Fuente: KUNDU, 1990, p, 443)

Figura 1.14: Zona o capa de mezcla en fluidos(Fuente: KUNDU, 1990, p, 443)

Figura 1.15: Esquema de un penacho[flujo ascensional de aire caliente]

(Fuente: CRESPO, 2008, p, 488)

1.9 DEFINICIONES RELACIONADAS CON LA ESTRUCTURA DE LA TURBULENCIADEL CAMPO DE FLUJO

a).- Turbulencia HomogéneaCuando la turbulencia tiene cuantitativamente la misma estructura en todas las partesdel campo de flujo se dice que la turbulencia es homogénea. Dicho de otro modo, laturbulencia homogénea es independiente de las coordenadas de posición. En términosde intensidad de turbulencia, la homogeneidad significa que los componentes de laintensidad no dependen de la posición en el espacio.

b).- Turbulencia IsotrópicaSe denomina turbulencia isotrópica si sus características estadísticas no tienenpreferencia por alguna dirección, de modo que prevalece un perfecto desorden. Enotras palabras, la turbulencia isotrópica es independiente de la dirección. En flujoturbulento isotrópico, no puede ocurrir ningún esfuerzo cortante promedio y,


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consecuentemente, ningún gradiente de velocidad promedio (HINZE, 1959, pp, 2 y 27).Por lo tanto, esta turbulencia no es autosostenida. Turbulencia aproximadamenteisotrópica ocurre, por ejemplo, en el eje central de una tubería o fuera del espesor de lacapa límite.

En todos los casos donde la velocidad promedio muestra un gradiente de velocidad, laturbulencia será no isotrópica, o sea, anisotrópica. Dado que este gradiente de lavelocidad promedio está asociada con la ocurrencia de un esfuerzo cortante promedio,la expresión “turbulencia de flujo cizallante” (shear-flow turbulence, en inglés) essiempre usado para designar esta clase de flujo. La turbulencia originada por una paredrígida y la turbulencia libre anisotrópica pertenecen a esta clase de turbulencia noisotrópica.

c).- Turbulencia HomólogaEl concepto de turbulencia homóloga (homologous turbulence, en inglés) fue introducidopor von Kármán para designar el caso de un esfuerzo cortante promedio constante através del campo de flujo (HINZE, 1959, p, 2).

d).- Pseudo TurbulenciaLa expresión “pseudo turbulencia” (pseudo turbulence, en inglés) es usadafrecuentemente para referirse al hipotético caso de un campo de flujo con un patrónregular que muestra una periodicidad diferente constante en tiempo y espacio. Ladiferencia entre pseudo turbulencia y turbulencia real es notoria si se comparafotografías tomadas de estos dos tipos de flujo. La fotografía de la seudo turbulenciamuestra un patrón de flujo regular con periodicidades constantes a través de todo elcampo, mientras que la fotografía de una turbulencia real puede mostrar esta condiciónsólo en un instante (el próximo instante el patrón puede haber cambiado en forma ymagnitud).

Los campos de flujo pseudo-turbulento pueden ser muy útiles para simular camposturbulentos reales, para ellos puede ser más viable un tratamiento teórico; esrelativamente fácil, por ejemplo, calcular la disipación de energía cinética por efectosviscosos en campos de flujo pseudo-turbulento. Sin embargo, al hacer el estudio eneste tipo de campo se debe poner mucho cuidado en la interpretación de los resultadospara los campos de turbulencia real (HINZE, 1959, pp, 2-3).

e).- Campo de Flujo Cuasi-PermanenteLa expresión “campo de flujo cuasi-permanente” (quasi-steady flow field, en inglés) esempleada por HINZE (1959, p, 28) para designar “un campo donde el patrón de flujopromedio no cambia con el tiempo”. Por otro lado, en estudios de turbulencia, eltérmino “flujo medio”, o “flujo promedio” (“mean flow", o “average flow", en inglés)14 es elque resulta del flujo si las fluctuaciones turbulentas son filtradas (ver, por ejemplo,EIGER, 1989, p, 89). En consecuencia, en un flujo turbulento cuasi-permanente losvalores promedios de las magnitudes, tal como velocidad media, densidad media,presión media, etc., no presentarán variación con el tiempo aún cuando las magnitudesinstantáneas y sus fluctuaciones sí varían con el tiempo. Un oscilograma de unamagnitud de un flujo turbulento cuasi-permanente se esquematiza en la figura 2.2(a).

Asimismo, HINZE (1959, p, 6) hace la siguiente precisión: “Los rasgos característicos dela turbulencia: irregularidad y el estado de desorden, involucran la impermanencia delas diferentes frecuencias y también de las diferentes periodicidades y escalas. Poresta razón hemos usado el adjetivo “cuasi”. En adelante, si tenemos en mente estecarácter impermanente, podemos por conveniencia omitir el “cuasi”.”

14 Ver, por ejemplo, RODI (1993, p, 2).


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De este modo, en esta separata los términos “cuasi-permanente” y “permanente” (o“estacionario”) serán empleados indistintamente.

f).- Vorticidad, Estiramiento de Vórtices y Tridimensionalidad de la turbulenciaConforme se ha expuesto en Secciones precedentes, los flujos turbulentos no sonnunca irrotacionales, sino que se caracterizan por niveles muy altos de las fluctuacionesde la vorticidad (rotacional de la velocidad) V

. Estas fluctuaciones no se

podrían mantener en un flujo bidimensional ya que el principal mecanismo que generavorticidad es el estiramiento de los vórtices (vortex stretching, en inglés). Dichomecanismo está asociado al término V

. de la siguiente ecuación de vorticidad en el

flujo de un fluido ideal

VDt

D

)( (1.23)

y puede explicarse teniendo en cuenta que, como enuncia la segunda ley de Helmholtz,un elemento infinitesimal de línea de vorticidad15, 0x

inicialmente paralelo al vector

vorticidad,

, se mantiene paralelo al mismo en su movimiento supuesto éstebarótropo16, con fuerzas másicas que derivan de un potencial y efectos viscososdespreciables, lo que sucede excepto para las escalas más pequeñas; además, lalongitud de dicho elemento infinitesimal es proporcional al módulo de vorticidad, esto es,

xx

0

0 , de donde,

00 x

x

(1.24)

Asimismo, si S

es cualquier elemento de área que contiene al punto cuya vorticidades

, a partir de la tercera ley de Helmholtz, se establece que

S

S

0

0

(1.25)

Por tanto, de (1.25), si, debido a una fluctuación turbulenta, un tubo de vorticidad seestrecha ( S

disminuye), aumentará localmente su vorticidad (

) y, con ello, los

gradientes de velocidad, lo que significa que se habrá generado movimiento en unaescala menor que la original. Por otra parte, de (1.24), si un tubo de vorticidad se acorta( x

disminuye), su verticidad (

) disminuye dando lugar a un proceso inverso de

generación de una escala mayor a partir de otra menor. No obstante, el fenómeno noes estrictamente reversible y, en media, la generación de movimiento de escalaspequeñas predomina sobre el proceso inverso como se observa en la figura 1.16. Enefecto, a medida que se genera vorticidad ésta se disipa por efectos viscosos cuando laescala del movimiento es suficientemente pequeña y el término w

2 (…) se haceimportante y (1.24) deja de ser válida; por tanto, no toda la vorticidad presente en lasescalas pequeñas está disponible para generar movimiento de escalas mayores.

15 Una línea de vorticidad es aquella curva que es tangente al vector vorticidad en todos sus puntos. Un tubo de vorticidadestá constituido por la familia de líneas de vorticidad que pasan por una curva cerrada (BARRERO & PÉREZ-SABORID, 2005,p, 206; FERNÁNDEZ, 2005, p, 292).

16 El movimiento es barotrópico si ),( tp . Según KUNDU (1990, p, 106) un flujo en el cual )( p es llamado flujo

barotrópico, del cual el flujo isotermal y el flujo isentrópico ( constp k / , siendovp cck / ) son casos especiales.


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Conviene indicar que el mecanismo de estiramiento de vórtices no puede operar enflujos bidimensionales, para los que se tiene:

22121211 ˆ),,(ˆ),,( etxxuetxxuV

, 32

1

1

2 ˆ)( ex

u

x

u

y, por tanto, 0. V

;

de esta forma, se pone de manifiesto el carácter esencialmente tridimensional de laturbulencia. (ver BARRERO & PÉREZ-SABORID, 2005, pp, 465-466; FERNÁNDEZ, 2005, pp,292-296)

Figura 1.16:Generación de movimiento de escalas peque-ñas en la evolución de dos líneas fluidas[líneas de tiempo] inicialmente paralelasvisualizadas en el movimiento turbulentodetrás de una rejilla.(Fuente: BARRERO & PÉREZ-SABORID, 2005, p, 465)

Figura 1.17: Tubo de vorticidadFormado por la familia de líneas de vorticidad,siendo éstas tangente al vector vorticidad.

(Fuente: FERNÁNDEZ, 2005, p, 203)

Figura 1.18: Fotografía de un tornadoLa nube giratoria es una visualización de un tubo de vorticidadmuy estrecho donde la vorticidad es muy intensa que muereen las nubes de la tormenta. Cuando las nubes superiores semueven, el tornado se dobla, es decir, el tubo de vorticidad es“convectado” por el flujo aumentando la vorticidad en granparte del tornado al estrecharse la sección transversal del tubode vorticidad.

(Fuente: BARRERO & PÉREZ-SABORID, 2005, p, 208)


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