ELECTROSTATICAEs la parte de la física que estudia a los fenómenos relacionados con las cargas eléctricas en reposo.

ESTRUCTURA DEL ÁTOMO1. Los átomos es un conjunto de partículas subatómicas

2. Las partículas subatómicas son tres: el electrón (e), elprotón (p ) y el neutrón (n)

3. El núcleo del átomo esta formado por los protones y3. El núcleo del átomo esta formado por los protones yneutrones4. El número de electrones, protones y neutrones dependedel átomo en referencia

5. Considerando el modelo atómico de Niels Bohr donde loselectrones giran alrededor del núcleo describiendo órbitas yasean circulares o elípticas, se tiene:

El diámetro atómico se considera del orden de 10-8 cmEl diámetro nuclear se considera del orden de 10-12 cm

6. El protón es una partícula con carga positiva, el electrón con carga negativa y el neutrón no tiene carga

7. La masa del protón (mp) es aproximadamente igual a la masa del neutrón (mn)

8. La masa del protón es aproximadamente igual a 1840veces que la masa del electrón, es decir:

mp ≅≅≅≅ mn ≅≅≅≅ 1840 me me = 9,1 x 10-31 kg

9. La carga del electrón es igual en valor a la carga del9. La carga del electrón es igual en valor a la carga delprotón, pero de signos contrarios, es decir:

Coulomb 10 x 1,6 Q Q 19-

ep ==

10. Un átomo se llama neutro, cuando tiene el mismonúmero de electrones y protones.

11. Un átomo que pierde electrones se llama ión positivo y elátomo que gana electrones se llama ión negativo

CARGA ELÉCTRICAEs una propiedad de la materia y mide el exceso o defecto de electrones que posee la materia.

La carga eléctrica es positiva cuando existe un defecto deelectrones y será negativa cuando exista un exceso deelectrones

La carga en la naturaleza está cuantizada en múltiplosenteros de la carga fundamental del electrón, es decir:enteros de la carga fundamental del electrón, es decir:

q = n e n ∈∈∈∈ Z

La carga eléctrica total en toda interacción o reacción entrecuerpos cargados siempre se conserva, es decir, no se creani se destruye.

∑ ∑= FINALESINICIALES q q

'

n

'

3

'

2

'

1n321 q ... q q q q ... qq q ++++=++++

ELECTRIZACIÓN DE UN CUERPO

1. POR FROTAMIENTO

SEDA

VIDRIOANTES DE FROTAR

SE FROTA

++

++

+

- - - - - -- - - - - -

- - - - - -

DESPUES DE FROTAR

- - - - - -

En el ejemplo: la barra de vidrio queda cargadapositivamente (pierde electrones) y la tela de sedaqueda cargada negativamente (gana electrones)

2. POR INDUCCIÒN

Aislante

Inducido

Fig (a)

-----

Inductor

----Aislante

Inducido

--+

Fig (b)

+++--

-----

Inductor

---- e-

Aislante

Inducido

--+

Fig (c)

+++--

-----

Inductor

----

Tierra

---

Cuerpo cargado

Aislante

+

Inducido: cuerpo neutro

Inductor: cuerpo cargado

3. POR CONTACTO

Aislante

Inducido

Fig (a)

-----

Inductor

----Aislante

Inducido

--+

Fig (b)

+++--

-----

Inductor

----

+

Aislante

--+

Fig (c)

+++--

-----

Inductor

----

Cuerpo cargado

Aislante

-

OBSERVACIONES1. Cuando dos esferas conductoras de igual radio se ponen en contacto, las cargas eléctricas se reparten equitativamente.

q1 q2

Antes

r r

q1

Contacto

r

q2

r

Después

r r

'

1q'

2q

Antes Contacto Después

2

q q q q 21`'

2

'

1

+==

2. Cuando dos esferas conductoras se diferentes radios se ponen en contacto, las cargas eléctricas se reparten directamente proporcional al cuadrado de los respectivos radios

q1 q2

Antes

r1 r2

q1

Contacto

r1

q2

r2

q¹1 q¹2

Después

r1 r2

Antes Contacto Después

2

2

2

1

'

2

'

1

r

r

q

q=

Por conservación de cargas '

2

'

121total q q q qQ +=+=

Haciendo las operaciones convenientes

2

2

2

1

2

1'

1r r

r Q q

+= 2

2

2

1

2

2'

2r r

r Q q

+=

3. Cuando dos esferas conductoras se diferentes radios se conectanmediante hilos muy delgados y largos, las cargas eléctricas sereparten directamente proporcional a sus respectivos radios

q1

q2

r1 r2

2

1

'

2

'

1

r

r

q

q= Por la conservación de carga

'

2

'

121 q q q q Q +=+=

Haciendo las operaciones convenientes

21

1'

1r r

r Q q

+=

21

2'

2r r

r Q q

+=

LEYES DE LAS CARGAS ELÉCTRICA1. LEY CUALITATIVA Dos cargas eléctricas con signos iguales de repelen y consignos diferentes se atraen.

2. LEY CUANTITATIVA O LEY DE COULOMB “La fuerza de atracción o de repulsión entre dos cargaseléctricas puntuales es directamente proporcional alproducto de la mismas e inversamente proporcional alcuadrado de la distancia que las separa”cuadrado de la distancia que las separa”

+ -r

q1 q2F21F122

21

2112r

q qk F F ==

F12 y F21 son las fuerzas eléctricas de atracción en Newton (N) q1 y q2 son las cargas eléctricas en Coulomb (C) r es la distancia de separación entre cargas en metro (m k es la constante de proporcionalidad en

2

2

C

m N

OBSERVACIÓN

0 4

1 K

επ= εεεεo es la permitividad eléctrica del medio

Para el vacío o el aire2

29

C

m N10 x 9 K =

Para el vacío o el aire 2

212-

om N

C 10 x 8.85 =ε

Por la tercera ley de Newton: El módulo de las fuerzas F12 es igual F21Por la tercera ley de Newton: El módulo de las fuerzas F12 es igual F21pero tienen sentidos diferentes.

1. Se desea electrizar una pequeña esfera de vidrio con + 80 uC,para ello se realiza el proceso de frotamiento con una tela deseda. Determinar el número de electrones transferido en elfrotamiento

Q = 80 uC = 80 x 10-6 C

C 10 x 1,6

e 1 x C 10 x 80 Q

19-

6-=C 10 x 1,6

10 x 5 en 14=

2. En un triángulo rectángulo ABC recto en A, con cateto ABhorizontal e igual a 4 cm y AC igual a 3 cm, en el vértice A se colocauna carga de 3 uC, en B 2 uC y en C 5 uC. Determinar la fuerzaeléctrica resultante en el vértice B.

C

3 x 10-2 m

QA= 3 x 10-6 C

QB= 2 x 10-6 C

QC= 5 x 10-6 CF1

A B4 x 10-2 m

75,33 10 x 16

10 x 2 x 10 x 3 10 x 9

d

Q QK F

4-

-6-69

2

AB

BA1 ===

150 10 x 9

10 x 5 x 10 x 3 10 x 9

d

Q QK F

4-

-6-69

2

AC

CA2 ===

F2

A B

C

4 x 10-2 m

3 x 10-2 m

F1

F2

N 75,33 F1 =

N 150 F2 =

37º

El Módulo de la resultante de F1 y F2 será:El Módulo de la resultante de F1 y F2 será:

37º cos F F 2 F F R 21

2

2

2

1 ++=

(0,6) 0)(33,75)(15 2 (150) (33,75) R 22 ++=

6075 000 225 1139,2 R ++= 232214,2 R =

N 482 R =

3. En la figura el sistema seencuentra en equilibrio. La cargaq1 es de 2 100 uC, la carga q2 es de900 uC. Calcular la tensión en lacuerda que sujeta a q2

q2

q1

3 cm

4 cm

74º

FE

q2

T74º

37º

153º Aplicando lamy

q1

74º

5cmmg

74º

37º

153º Aplicando lamy

(1) .... 74sen

F

153sen

T E=

2

21E

d

q qk F =

22-

-6-69

E)10 x (5

10 x 900 x 10 x 2100 10 x 9F =

4. Dos cargas eléctricas están localizadas como sigue: q1 = 30 x10-6 C en el origen de coordenadas y q2 = - 40 x 10-6 C en el punto(0,3) m. ¿Cuál es la fuerza eléctrica sobre otra carga q3 = 10-6 Clocalizada en el punto (2,1) m?

q3

Y

(2,1)

F13

q1 q2

q3

X(0,3)

F23

FORMA VECTORIAL PARA LA LEY DE COULOMBconsideramos un origen de un sistema de coordenadas rectangular

q2F21

Y

ubicamos a las cargas q1 y q2

Las fuerzas eléctricas de repulsión serán

Sea el vector unitario en la dirección de las fuerzas de repulsión

la ley de coulomb la podemos escribir:

u21

+

+q1

P2( x2 , y2 )

P1 ( x1 , y1 )F12

0 X

212

2121 u

r

q qk F =

u21

+

+q1

q2

P2( x2 , y2 )

P1 ( x1 , y1 )

F21

F12

0 X

Y

212

2121 u

r

q qk F =

Donde:

r: es la distancia entre los puntos P1 y P2

u12: es un vector unitario entre los puntos P1 y P2

Para hallar el vector unitario es necesario conocer dos puntos, comopor ejemplo: Si se tiene P(x1 ; y1) y Q(x2; y2), entonces el vector unitario

)y(y )x(x

j )y(y i )x(x u

2

12

2

12

1212PQ

−+−

−+−=

EXPRESIÓN DE LA LEY DE COULOMB PARA UNADISTRIBUCIÓN DISCRETA DE CARGAS PUNTUALES

+q2

+q3

+q1

F

F13

F14

+q4

F12

R =F12 + F13 +F14 + …. +F15

R =F12 u12 + F13 u13 + .... + F1n u1nj i

n

1ji,

j i uF R ∑=

=

EXPRESIÓN DE LA LEY DE COULOMB PARA UNA DISTRIBUCIÓN CONTÍNUA DE CARGA

q0dF

Q

dQ

rr

2

0

r

dQ qk dF =

∫=Q

0 20r

dQ qK F

DENSIDAD LINEAL DE CARGA ( λλλλ )

Es la relación entre la carga eléctrica y la unidad de longitud

x

dQ

L

Q

dx L

Q =λ

dx

dQ =λ

DENSIDAD SUPERFICIAL DE CARGA ( σ )DENSIDAD SUPERFICIAL DE CARGA ( σ )

Es la relación entre la carga eléctrica y la unidad de superficie

S

Q

dS

dQ S

Q =σ

dS

dQ =σ

DENSIDAD VOLUMÉTRICA DE CARGA ( ρ )

Es la relación entre la carga eléctrica y la unidad de volumen

VQ

V

Q =ρ

dV

dQ =ρ

dQdVV dV

PROBLEMA. Tres partículas idénticas de 18 g cada una, se encuentraen equiulibrio tal como se muestra, determine la cantidad de cargaeléctrica “q” que tiene cada partícula L = 50 cm

+q +q +q

L45º 45º

Por equilibrio en “A” R = 0

FBFC

T 45º

+q +q +q

L45º 45º

ABC

T

W

FBFC

O,5 m O,5 m

W

W

FF 1 tg45º AB +

== (1) ..... W FF AB =+

2

2

2BL

qk

L

q qk F == 2

2

2C4L

qk

(2L)

q qk F ==

N 10x10 x 18 g m W -3==

Reemplazando en ( 1 )

W4L

qk

L

qk 2

2

2

2

=+

W4L

qk 52

2

=

2-

2

29

10 x 180,5) 4(

q 10 x 95x =

0,5) 4(

uC 2 q =

PROBLEMA. Sabiendo que el sistema mostrado se encuentra enequilibrio, determine “q1”. Desprecie toda forma de rozamiento.

q2 = - 6o uC , m2 = 60 g

--

0,4 m --q2

53º

0,4 m

FE

q1

T

F

EN

T

--q1 q2

53º

Pared

aislante WW

FE

W T

53º

53 cos T FE =

53 cos g m FE =

53 cos g m r

q qk 2

=

5

3 x 10 x 10 x 60

(0,3)

10 x 60 q10 x 9 3-

2

-6

1

9

=

O,3 m

uC 0,06 q1 =

5. Se tiene una barra delgada lineal de longitud “l”, que tiene unacarga “q” distribuida uniformemente en toda su longitud.Calcular la fuerza total que ejerce la barra sobre una cargapuntual Q, situada a una distancia “a” de un extremo de la barra.

L

q

Q

ax

dx

dq

Entre Q y q existe una fuerza eléctrica F que se desea hallar

FdF

Entre Q y dq existe una diferencial de fuerza eléctrica dF

Por la ley de Coulomb2r

dq Qk dF =

2a)x-(L

dq Qk dF

+= ∫ +

=L

0 2a)x-(L

dq kQ F ∫ +

=L

0 2a)x-(L

dqkQ F

dq =λλλλ dx ∫ +=

L

0 2a)x-(L

dx kQ F λ ∫ +

+=

L

0 2a)x-(L

a)x-d(L kQ - F λ

∫ ++

=L

0 2a)x-(L

a)x-d(L kQ - F λ

∫ ++=L

0

2- a)x-d(La)x-(L kQ - F λ

L

0a)x-(L

1 kQ - F

+= λ

)a0L(

1

a)L-(L

1 kQ - F

+−−

+= λ

)aL(

1

a

1 kQ - F

+−= λ

a)a(L

L kQ - F

+= λ

L)La(a

kQqL - F

+=

L)a(a

kQq - F

+=

6. Una varilla semicircular de radio “a”, delgada esta con una carga eléctrica “Q” uniforme a lo largo de su longitud. Determinar la fuerza eléctrica sobre una carga q puntual colocada en el centro de curvatura.-

Q

a

ds=a dθ

θ

dQ

dθ

q

senθ dFsenθ dF

Entre q y dQ existe un dF

dF

Por simetría tomemos otro ds

dF

Componentes horizontal y vertical para los dF

Por simetría las componentes horizontales se anulanComponentes verticales: senθ dF

senθ dFsenθ dF

La fuerza diferencial resultante será: dR = 2 senθ dF

dR = 2 senθ dF

dF sen 2 dF sen 2 R ∫ ∫== θθ

Por la ley de Coulomb2a

dQ kqdF =

Q ds=a dθ

θ

dQ

dθ

dF dF

q

senθ dFsenθ dF

a

Reemplazando

∫∫ == dQ sena

2kq

a

dQ kq sen2 R

22θ

θ

Pero: dQ = λ ds = λ a dθ

Reemplazando

∫∫ == θθλ

θλθ d sena

2kq d a sen

a

2kq R

2

∫=/2

0d sen

a

2kqR

πθθ

λ 2/

0cos -

a

2kqR

πθ

λ= ) 0 cos - 2/(cos -

a

2kqR π

λ=

a

2kq R

λ=

a) a(

2kqQ R

π=

2a

2kqQ R

π= RPTA

CAMPO ELECTRICOCONCEPTO DE CAMPO FÍSICOEs una región del espacio en la que cada punto (x,y,z) se le asocia una propiedad física. por ejemplo:

campo gravitatorio, campo de velocidad, campo de temperatura, etc

+Q

FR

+d -

Q FR

+d+ +

qod - +

qod

El campo eléctrico en un punto del espacio que rodea a una carga Q sedefine matematicamente como la relación entre la fuerza eléctrica quese ejerce en ese punto por unidad de carga eléctrica qo, es decir:

0q

F E =

Es la fuerza eléctrica de atracción o repulsión en (N)F

qo Es la carga de prueba positiva en (C)

E Es el campo eléctrico en ( N/C )

CAMPO ELÉCTRICO DEBIDO A UNA CARGA PUNTUAL ( Q )

+Q

+qo

X

Y

Z

0

P(x,y,z)r

FE

Fu

kQq El valor o módulo del campo

oq

FE =

)1......(qEF o=

Por Coulomb

)2......(ur

kQqF F

2

o=

F2

oo u

r

kQqqE =

F2

ur

kQE =

El valor o módulo del campoesta dado por:

2r

kQE =

La dirección del campoeléctrico esta dado por

Fu

CAMPO ELÉCTRICO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN DISCRETA DECARGAS ELÉCTRICAS

Sea “n” cargas eléctricas puntuales, se desea hallar el campo eléctricoresultante en un punto tal como P

+

q0

E2

E3

r2

r1

+q1

+q2

P

Los valores E1 , E2 , etc secalcula con la fórmula:

2r

kQ E =

E1

r3

+q3

P

r3

ET =E1 + E2 +E 3+ …. +Fn

ET =E1 u1 + E2 u2 + .... + En un

2r

Los vectores unitarios u1 , u2 ,etc se calcula conociendo dospuntos por donde pasa ladirección del campo eléctricorespectivo

CAMPO ELÉCTRICO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN CONTÍNUA DECARGAS ELÉCTRICAS

Q

PdQ

r

dE

qo

+

PASOS A SEGUIR1. Se toma un diferencial de carga dq, a una distancia r del punto P.1. Se toma un diferencial de carga dq, a una distancia r del punto P.

3. Se halla el diferencial de campo dE en el punto P debido aldiferencial de carga dQ

4. Determine el dE y realizar la integración obtenida

2. En el punto P se coloca una carga de prueba qo (+)

2r

kdQ dE = ∫=

Q

0 2r

dQk E

PROBLEMA

Una carga de 2x10-5 C y otra de 4x10-5 C están a una distancia de 1 m.¿A qué distancia de la primera carga la intensidad de campo eléctricoes nulo?

SOLUCIÓN+ +1 m

Q1=2x10-5 Q2=4x10-5

q0

+

x 1-x

E1E2

Para que el campo sea nulo E = EPara que el campo sea nulo E1 = E2

2

2

2

1

x)-(1

Qk

x

Qk =

2

-5

2

-5

x)-(1

10 x 4k

x

10 x 2k =

22 x)-(1

2

x

1=

21y x 21x 21 −−=+−=

¿Cuál es la respuesta? 21x1 +−=

PROBLEMA

Una esfera metálica de 2,5 N está en equilibrio si su carga es 5 uC. Hallela intensidad del campo eléctrico

74ºE

E

SOLUCIÓN

D.C.L. PARA LA ESFERA

74º

Y

F=Eq0

T

mg=2,5

x74

16º

Por equilibrio

sen90

2.5

90)sen(74

q E=

+

1

2.5

cos(74)

q E=

q

74) (2.5)(cos E =

6-10 x 5

25

7(2.5)

E =

N/C 1014,0 E 6x=

SOLUCIÓN

PROBLEMA

En la fig. el electrón sale con una velocidad inicial v0= 5x106 m/s, halle

El tiempo en que el electrón alcanza la placa positiva.

a) La magnitud de la intensidad de campo eléctrico

+ + + + + +

- - - - - - -E

37º+

-+ + + + + + +

+x

- - - - - - -16 cm

-+ + + + + +

- - - - -E

37º

16 cm

+F= Eq0

Como F no varía la aceleraciónes constante

F = ma = Eq0

(1) ... m

q E a 0=

Eje horizontal (MRU)

t))(cos(V x 0 α=

t)( 37 cos10 x 5 10 x 16 6-2 =

+y

t = 4 x 10-8 s RPTA

+ + + + + +

- - - - -E

37º

16 cm

+

Eje vertical2

ta - (t))sen (v y

2

0 α=

214 /sm 10 x 1,5 a =

Reemplazando en (1)

(1) ... m

q E a 0=

m = 9,1 x 10-31 kg

2-88-6

2

)10 x 4 ( a - )37)(4x10sen 10 x (5 0 =

m = 9,1 x 10

q0 = 1,6 x 10-19 C

10 x 9,1

10 x 1,6 E 10 x 1,5

31-

-1914 =

E = 8,53 x 102 N/C

2-88-6

2

)10 x 4 ( a - ))(4x10

5

3 10 x (5 0 =

a )104

3 10 x (2

8

6 =−

xE = 853 N/C

PROBLEMA

Determinar el campo eléctrico a una distancia perpendicular “d” frente a un discomuy grande cargado uniformemente con densidad superficial de carga σσσσ.

●d

R

Tomemos un diferencial de anillo de radio r

sθ

Cálculo del diferencial de campo debido al diferencial de anillo

r

dqdE

dEdE

θCosθ dE

●dθ

drdE

Como existen infinitos diferenciales de anillos, estos forman un cono de revolución donde la resultante estará en el eje horizontal ya que en la vertical se anulan por simetría

dEdE

dE

Para un dE su componente horizontal será: cos θ dE

θ

∫= dE cosER θ2s

kdq dE Pero = ∫=

2Rs

dqk cosE θ

●d

R

sθ

dr

r

dq

dEθ

Cosθ dE

∫=2R

s

dqk cosE θ ∫=

2Rs

dqk cosE θ ∫=

2Rs

dq cosk E θ

Pero dq = σ dA ∫=2R

s

dA cosk Eσ

θ ∫=2R

s

dA cosk E θσPero dq = σ dA ∫=

2Rs

cosk E θ ∫=2R

s cosk E θσ

Pero A = π r2 d A = 2 π r dr ∫=2R

s

drr 2 cosk E

πθσ

(1) ..... s

drr cosk 2 E

2R ∫= θσπ r = d tg θ ……. (2) dr = d sec2θ dθ … (3)

s = d sec θ s2 = d2 sec2θ …… (4)(4),(3) y (2) en (1)

sec d

d sec d tgd cosk 2 E

22

2

R ∫=θ

θθθθσπ

d tgcosk 2 ER ∫= θθθσπ

sec d

d sec d tgd cosk 2 E

22

2

R ∫=θ

θθθθσπ

d senk 2 E/2

0R ∫=

πθθσπ

2/

0R cosk 2 Eπ

θσπ −=

0 cos 2/cosk 2 ER +−= πσπ

)1(k 2 ER σπ=

RPTA k 2 ER σπ=

4

1 2 E

0

R σπε

π=

RPTA 2

E0

R εσ

=

EXAMEN: FUERZA ELÉCTRICA Y

CAMPO CAMPO ELÉCTRICO

1, En los vértices de un triángulo equilátero de lado “a” se colocan cargas (-q) y en el baricentro la carga (+Q). ¿Cuál debe ser el valor de Q para que la fuerza sobre cualquiera de las cargas negativas sea nula?

- -

-

a a

a

+

xy

Los valores de “x” e “y” se determinan por relaciones geométricas.

3

3a y , )

2

3a(

3

1 x ==

Por la ley de Coulomb2

2

1

q kF =

X

Y-

F1

F2

30º

F1

60º

Por la ley de Coulomb21

)(akF =

2

2

)3

3a(

q QkF =

22)(a

q Q 3kF =

Para el equilibrio

cos60ºFF2FFF 11

2

1

2

1

2

2 ++= 11

2

1

2

1

2

2 FFFFF ++=

2

1

2

2 F3F = 3FF 12 =2

2

2 )a(

3qk

)(a

q Q 3k =

3

3 q Q =

2. Se tiene una barra delgada lineal de longitud “l”, que tiene unacarga “q” distribuida uniformemente en toda su longitud.Calcular la fuerza total que ejerce la barra sobre una cargapuntual Q, situada a una distancia perpendicular “a” del centrode la barra.

L qdq

a

Q

dL

x

d

Entre dq y Q existe un dFTomemos otro dL simétricamenteLas componentes horizontales de los dF se anulan por simetría θθθθ

dF cosθ 2dFR = dF θ cos 2FR ∫=dF

dF

dF cosθ 2dFR = dF θ cos 2FR ∫=

)x(a

xd λ

d

akQ 2F

22R += ∫

2Rd

dq kQ θ cos 2F ∫=

)x(a

xd

)x(a

1Q a λk 2F

222/122R ++= ∫

2/322

L/2

0R

)x(a

xd Q a λk 2F

+= ∫

3. Una carga de 16 x 10-9 C, está fija en el origen de coordenadas;una segunda carga de valor desconocido se encuentra en el puntoA(3,0), y una tercera carga de 12 x 10-9 C está en el punto B(6,0).Encuentre el valor de la carga desconocida, si el campo eléctricoresultante en el punto C(8,0) es 20,25 N/C, dirigido hacia la derecha.

q0=16x10-9 C

qB= 12x 10-9 C0

q0

3 6

qA=? qB

8●EE= 20,25 N/C

BA0R EEEE ++=

BA

0R

kqE

kqE ++= 2

-99

A2

-99

2

10 x 12x 9x10E

8

10 x 16x 9x1020,25 ++=

2

B

A2

0

Rd

Ed

E ++= 2A2 2E

820,25 ++=

27E25,220,25 A ++=

N/C 9EA −=

N/C 95

q 9x102

9

−= C 10 x 25 q -9−=

4. Determine el campo eléctrico en el centro de un anillo, de carga Qy radio “r” , al que se le ha cortado un pequeño pedazo “θθθθ”, como semuestra en la figura

El campo eléctrico producido por (1) seanula con el campo producido por (2)

La única carga que origina el campo es (3)

θ/2 dx dq

β β

β β

θ/2 dx dq

dEdE

dE cosβ 2dER = dE cosβ 2ER ∫=

2Rd

dqk cosβ 2E ∫=

2Rr

dx λ cosβk 2E ∫=

2Rr

rdβ cosβλk 2E ∫= r

dβ cosβλk 2ER ∫=

dβ cosβλk 2

Eθ/2

∫=θ/2

R senβ λk 2

E =dβ cosβr

λk 2E

0R ∫= 0R senβ

rE =

0sen - θ/2sen r

λk 2ER =

r

θ/2sen λk 2ER =

RPTA

RPTArr π2

θ/2sen Qk 2ER =

2Rr π

θ/2sen Qk E =