1

FUERZAS Y TORQUES MAGNÉTICOS

1. Un modelo simple de un magnetrón rectangular consiste de dos placas conductoras

paralelas separadas en una distancia d. Se aplica al sistema un voltaje V y un campo magnético uniforme

kBB ˆ=

. La placa negativa puede emitir electrones por calentamiento (Efecto Termoiónico).Suponiendo un electrón de masa m y carga –e que parte del origen con una velocidad inicial jbiav ˆˆ

0 += , hallar: (a) La velocidad de posición del electrón en función

del tiempo. (b) El campo magnético de CORTE del magnetrón. Rpta.:

( )

( )

−++

=

=

==

−−−+

=+

−−=

−

−+

=

−+=

bmVeba

edmBb

mBe

Zv

tsenbBEtat

BEy

BEtb

BEtsenav

tbBEtsenaxtsenb

BEtav

a

c

z

y

x

2)(

0,0

1cos1,cos

cos11

,cos

)(

22

ωωω

ωω

ωω

ωω

ωω

ωω

2. Un modelo simple de un magnetrón “rectangular” consiste de dos placas conductoras paralelas con separación d y voltaje V0. Se aplica un campo magnético uniforme al sistema de B

= B0 k. El cátodo puede emitir electrones por calentamiento. Suponiendo que un electrón parte del origen con velocidad inicial

cero, hallar: a. La trayectoria del electrón. b. El campo magnético de “corte” del magnetrón para un voltaje

aplicado V0 (El “corte” ocurre cuando i = 0). Depreciar las deformaciones del campo eléctrico cerca de las ranuras resonantes del cátodo y en los bordes.

a.

Rpta.:

)(,,:

)(,)cos1(

020

cicloidalatrayectorim

eBt

eBmERcon

senRyRx

===

−=−=

ωωφ

φφφ

Y +V B

Vo

• • X

d

2

b. 20

0

2de

VmB =

3. Un modelo simple de un magnetón “rectangular” consiste de dos placas conductoras paralelas con separación d y voltaje V0. Se aplica un campo magnético uniforme al sistema .ˆ00 kBB =

El cátodo puede emitir electrones por calentamiento.

Suponiendo que un electrón parte del origen con velocidad inicial jbV ˆ

0 =

, hallar: a) La trayectoria del electrón. b) El campo magnético de “corte” del magnetrón.

a.

Rpta.:

tm

eBbRB

ERcon

senRRRyRRx

ϖφϖϖϖ

φφφ

====

−−=−−=

,,,:

)(),cos1()(

00

0

00

b.

−+

= 1

21 20 bm

deEedmbB

PRODUCCIÓN DE CAMPOS MAGNÉTICOS

PREGUNTAS 1. Explique las implicancias de la ecuación 0. =BV

PROBLEMAS 1. Un cable coaxial trabaja con corrientes iguales pero no uniformes, cuyas densidades

son :

<<

<<

−

=)(ˆ

)(ˆ1

2

1

drckrdJ

brakrbJ

J

Hallar: (a) El potencial vectorial magnético en todo el espacio. (b) El campo Magnético en todo el espacio. (c) La relación entre J1 y J2.

Rpta.: (a) y (b): 0,0 11 == BA

d 1 2 3 4 5 c b

3

01

010210

2

102 ˆ22

,ˆ24

aabraJbrJBkrLnabaJbrrJA

−+

−=

−−

−−= µµµµ

( )0

2

103210

3 ˆ2

,ˆ).(2

arabJBkrLnabJA −== µµ

02042

20204 1,ˆ arddJBkrLndJdrJA

−=+−= µµµ

0,0 55 == BA

(c ) )(2

)( 21

2 cddabJJ−−=

2. Cuatro líneas de corriente se disponen paralelamente como se indica en la figura. Hallar, en coordenadas rectangulares:

a) El potencial vectorial magnético en P(x1y1z) b) El campo magnético en P(x1y1z) c) La ecuación de la línea de flujo

magnético que pasa por P(x, y, z). Grafique algunas líneas de flujo.

a.

Rpta.:

kayxyaxayxyaxLn

iA ˆ

])([])[(

])([])[(

4 2222

22220

++++−++−−=

πµ

b.

++−

+++−

+++−

−++

+−−=

+++−

++−

−+−+

+−−=

22222222220

22222222

)([][()(

)([)(

])([)()(

2

])([)(

)[()()(

)2

ayxx

yaxax

yaxax

ayxx

yaxaxi

B

ayxay

yaxy

ayxay

yaxyLnioB

y

x

πµ

πµ

0=zB

c. =++++−++−

])([])([])([])([

2222

2222

ayxyaxayxyax

constante

Se adjunta la gráfica de algunas líneas de flujo magnético.

4

3. a. Hallar la fuerza que ejerce un campo magnético no uniforme dado por: kyxB ˆ2=

(con B en teslas, x é y en metros), sobre la espira rectangular OABCO de lados a y b, un corriente eléctrica i. b. la corriente que produce el campo magnético.

a.

Rpta.:

newtonsenjaibF

+= ˆ

2ˆ

3

b. jyixyJ ˆˆ2(0

−=µ

)

4. Un cilindro conductor infinito y hueco con radios a y b, conduce una corriente eléctrica no uniforme, con densidad :

kJ ˆρα=

siendo • una constante conocida. Hallar:

(a) El potencial vectorial magnético en las regiones 1, 2 y 3. (b) El campo magnético correspondiente por derivación de A

(a–b):

0A1 =

, 0B1 =

ka

Lna

ˆ31

3A

330

2

−= ρρ

αµ

, •

330

2 ˆ13

B aa

a

−

= ρ

ραµ

( ) kLnab ˆ3

A 3303 ρ

αµ−−=

, •

330

3 ˆ3

B aab

−=ρ

αµ

5. Se tiene un alambre delgado de longitud 2• y corriente i, dispuesto según la figura

adjunta. Usando directamente la ley de Biot- Savart, hallar el campo magnético en un punto P (• , • , z).

5

6. Un conductor en forma de cilindro hueco, con radios a, b y

longitud infinita, conduce una corriente uniforme con densidad kJJ =

. Hallar, en las regiones 1,2 y 3:

a) El potencial vectorial magnético.

b) El campo magnético mediante AxB

∇=

6. Dos espiras circulares con radios y corrientes

eléctricas: a,i1 y b,i2 respectivamente, se disponen como se indica en la figura adjunta; de modo que la primera esta sobre el plano(z,y) y centrada en el origen, mientras que la segunda esta centrada en el punto(c,0,0) con su plano girado en un ángulo φ alrededor del eje z. Hallar:

a) a.- La fuerza F21 b) b.- El torque t21

8. Una bobina cilíndrica de radio R= 2cm. y longitud =10cm. tiene un bobinado uniforme de alambre de cobre esmaltado delgado con un numero de vuel- tas N=1000. Hallar la corriente en la bobina para producir un campo magnético B=100 Gauss en su centro. (05 P.) 9. Para una línea de transmisión bifilar muy larga, pa- ralela al eje z, con corriente en ida y vuelta i, como se indica en la figura adjunta, hallar en el punto P(x,y,o) : a) El potencial vectorial magnético b) El campo magnético. (05 P.) 10. Una bobina cilíndrica de radio R y longitud L tiene una concentración

de vueltas uniforme n. La bobina se suspende del extremo superior y del inferior se cuelga una masa m. Suponiendo que L R , hallar la corriente mínima en la bobina para que esta no se alargue.

(05 P)

11. Para campos magnéticos con simetría axial (alrededor del eje z) se cumple:

6

kBaBB Z

+= ˆρ con OB =φ y ρB , ZB independientes de

φ .En este caso se demuestra que se cumple:o

z

zBB

≅

∂∂

−≅ρ

ρρ2

para puntos muy cercanos al eje z. Usando este hecho hallar ρB

en el punto P(1.0,50)mm., para la espira circular mostrada en la figura con R=10cm,i=1A .(05P)

12. Se tiene un cilindro conductor hueco de gran longitud y radios

a y b, el cual conduce una corriente no uniforme cuya densidad

es dada por: kJ

ρα= , siendo α una constante conocida.

Hallar en las regiones 1,2 y 3: (05 P) a) El potencial vectorial magnético A

b) El campo magnético derivando A

.

INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA 1. Un cable coaxial está formado por dos cilindros

conductores coaxiales como se indica en la figura. Asumiendo que trabaja con corriente eléctrica uniforme, hallar la inductancia del cable por unidad de longitud.

Rpta.: ( )

−+

=

bcLn

bcc

abLnL 22

20

2πµ

2. Un cable bifilar muy largo está formado por dos conductores cilíndricos paralelos que

trabajan con corrientes eléctricas uniformes e iguales en ida y vuelta. Hallar la inductancia por unidad de longitud del cable.

Rpta.:

+=

bcLmLαπ

µ 20 1

2

3. Una línea conductora infinita con corriente

eléctrica alterna dado por: )(cos0 φϖ += ti es coaxial con un anillo

Y X a b c

7

magnético de permeabilidadµ, radios a y b y espesor . El anillo contiene una bobina uniforme de N vueltas. a) Hallar el valor eficaz de la f.e.m. inducida en la bobina. b) ¿Se puede usar este sistema como amperímetro?

a.

Rpta.:

+

=

bbaLnNi

πϖµε

220

b. Si se puede. Ejemplo: el amperímetro de pinza.

4. Dos líneas telefónicas bifilares de alambres delgados se disponen paralelamente sobre un plano común como se indica en la figura. Hallar la inductancia mutua entre las dos líneas por unidad de longitud.

Rpta.:

−= 2

20

21 12 b

aLnMπµ

5. Una línea de transmisión está formada por dos cintas conductoras largas, delgadas y

paralelas de ancho 2a y separadas en una distancia d. Si la corriente eléctrica en ida y vuelta es uniforme en cada cinta, hallar la inductancia de la línea por unidad de longitud.

++

=∴ −

210 1

2adLn

datg

adL

πµ

6. Un cascarón cilíndrico conductor muy delgado de radio a, espesor ( )0•• ≈ , longitud 1,

con conductividad • se introduce paralelamente dentro de un campo magnético uniforme que oscila con el tiempo según:

ktBB ˆcos00 =

Hallar: (a) La distribución de corriente eléctrica inducida en el

conductor. (b) La potencia eficaz disipada en el conductor.

8

(a) φωω

atsenB

J ˆ2

• a 0

=∴

(b) Pef = 4

• B 3220 ρωπ a

7. Una esfera conductora de radio a, conductividad σ y permeabilidad magnética µ0, se introduce en un campo magnético uniforme, que oscila armónicamente con el tiempo según: ktBCosB ˆω=

. Hallar en la esfera:

a) La distribución de corriente inducida. b) La potencia calorífica disipada. c) Indique alguna aplicación de este fenómeno.

8. Se tiene un campo magnético uniforme que oscila armónicamente con el tiempo según:

0B B Cos tkω=

Se introduce dentro de este campo, un cuerpo conductor no magnético de conductividad σ en forma de semiesfera de radio R que tiene una cavidad cónica vacía de abertura angular α .Hallar en el conductor: a) La distribución de corrientes inducidas b) La potencia eficaz disipada por efecto Joule. c) Explique el funcionamiento básico de un Horno de Inducción.

(05P.) (Asuma oscilaciones lentas y use coord. esféricas)

9. En el circuito magnético mostrado, la sección recta A es

uniforme. Hallar: (05P) a) La inductancia de la bobina b) La corriente mínima en la bobina para que la mitad inferior no caiga. 10. Se tiene un campo magnético uniforme que varía armónicamente con el tiempo

según: tCosBB ω0=

k

, dentro del cual se introduce,

coaxialmente con este, un cuerpo conductor de constantes σµ ,0 que tiene la forma de un elipsoide de revolución cuya superficie

9

tiene por ecuación: 12

2

2

2

=+bz

aρ

(en coord. cilin.). Hallar en el conductor: (05 P)

a) La distribución de corrientes inducidas b) La potencia eficaz disipada por efecto Joule. 11. Se tiene una línea conductora infinita con corriente alterna dada por tCosii ω0= . En el

mismo plano que contiene a la línea se encuentra una espira triangular moviéndose con velocidad uniforme dada por

ivv

= .Hallar en la espira: (05P) a) La fem. de transformador inducida b) La fem. de generador inducida

PROPIEDADES MAGNÉTICAS DE LA MATERIA

1. Un anillo circular de acero con radio medio a y sección recta uniforme, tiene un

pequeño entrehierro de aire de longitud e ( ae<< ).El anillo contiene una bobina apretada con N vueltas y corriente eléctrica i. Si la curva de Histéresis del acero, en la zona de interés, puede ser expresado aproximadamente como :

βα += HB

Siendo α y β dos constantes conocidas, hallar: (a) La ecuación de la recta de desmagnetización del

acero. (b) Los valores de B y H en el acero y en el

entrehierro de aire.

Rpta.:

10

( )( )

( )( )

( )( )α

αβµα

βααβ

µπµ

++=

+−=

++==

=≅+−=

abaH

abH

abaBB

eNib

eaaconbHaBa

02121

0011

1,,

,2

)(

2. Un imán cilíndrico muy largo, de radio a, está magnetizado uniformemente con

magnetización JMM ˆ00 =

. Hallar: a) La distribución de potencial escalar magnético

dentro y fuera del imán. b) La ecuación de la recta de desmagnetización del

imán. ¿Cómo procedería en el casi de conocer la curva de Histéresis del imán?.

a.

Rpta:

)(2

)(2

20

0

asenaM

asenM

m

m

≥=

≤=

ρρφϕ

ρφρϕ

b. HB 0µ−=

Se intercepta la recta de desmagnetización con la curva de histéresis y se usa la “historia magnética” del imán.

3. Un electroimán tiene una bobina con N vueltas, corriente i y un núcleo de hierro de

longitud media l y sección recta uniforme A. Los polos del núcleo están separadas en una pequeña distancia d. Asumiendo que la relación entre B y H del hierro en la región de interés está dada aproximadamente por: B = ∝ H + β Siendo ∝ y β constantes conocidas, hallar B y H en el entre hierro de aire.

dNib

daconBH

aabB oµµ

µαβα ===

++= ,:, 0

0

Rpta.:

4. Se desea magnetizar una muestra de acero de longitud l2

colocándolo entre los polos de un electroimán. Suponiendo que inicialmente (i = 0) los aceros están desmagnetizados y que luego se aumenta i llevando los materiales a la saturación y finalmente se anula la corriente. Hallar H2 y B2 en la muestra, asumiendo que en la zona de interés de plano H, B, las curvas de Histéresis son representadas aproximadamente por : B1 = • H1 + • (núcleo del Electroimán)

11

B2 = • H2 + • (muestra) Siendo • , • , • y • constantes conocidas. Rpta.

( )( )••

•2 +

−−=a

H β

( )( )••

• ••2 +

+=

aa

Bβ

5. Una esfera de radio a, de un material con permeabilidad µ , se coloca dentro de un

campo magnético inicialmente uniforme, en el vacío.

kBB ˆ00 =

. Hallar mϕ en todo el espacio. Rpta.

( ) •cos2

3

0

01 rB

µµϕ

+−=

( )( ) •cos

21

3

0

0

0

02

+−−

−=

rarB

µµµµ

µϕ

6. Un circuito magnético de sección recta uniforme A, de longitud • 2, contiene un imán permanente cuya curva de histéresis se conoce. Otra parte es de hierro dulce de permeabilidad µ y longitud total • 1 con un entrehierro de aire de longitud total • 0. Además existe una bobina de N vueltas con corriente i y sentido tal que favorece la magnetización del imán. Hallar: B2 y H2 en el imán.

7. Un anillo circular de hierro de longitud media L = 0.5m y

sección recta de 10cm2, tiene una ranura transversal angosta de longitud • =1cm. El anillo esta bobinado con N = 2000 vueltas y corriente i = 5A.También se sabe que la relación B = f(H) para el hierro, en la zona de interés, es dada aproximadamente por B = αH, con α=51µ0. Hallar:

a) a.- B y H en el hierro y en el entrehierro de aire. b) b.- La inductancia de la bobina.

8. Un núcleo de hierro tiene dos materiales diferentes: el primero (1) es hierro dulce de

permeabilidad µ y longitud media y el segundo (2) es una aleación de longitud 5

y permeabilidad desconocida, sin embargo se sabe que su curva de histéresis, en la zona de interés, es representada aproximadamente por la ecuación:

2 2B Hα β= + . Con 1 2ε ε⟩ , hallar en la aleación:

12

a) Los campos H y B. b) La permeabilidad magnética. (05 P)

9. Se sabe que la condición de frontera sobre el vector de campo H

en la interfase que separa dos medios materiales diferentes es: 2 1t tH H j⊥− = .

a) Demuestre que esta condición puede ser expresada en forma vectorial. b) Aplicar a) a la superficie de un superconductor. (05 P) 10. Se fabrica un imán permanente utilizando un anillo circular de aleación ferromagnética

inicialmente desmagnetizada cuya curva de histéresis en el 2° cuadrante del plano (H,B) se muestra; con radio medio R= 15cm. y un entrehierrro de aire pequeño de longitud d= 2mm. Para tal efecto se le introduce dentro de un campo magnetizador intenso y luego se le retira del campo. Hallar los valores de H,B y µ en el Imán. (05 P.)

11. Un imán esférico de radio R esta magnetizado uniformemente con

magnetización kMM

= .Hallar en el imán: (05 P). a) Las distribuciones de cargas magnéticas y corrientes de

magnetización. b) El campo magnético en su centro. 12. a) Demuestre que la carga magnética total de un material magnetizado es siempre cero.

(01 P).

b) ¿ Qué implica la ecuación 0=⋅∇ B

?. Explique. (02 P). c) Explique el funcionamiento de un detector de metales. (02 P).

13. En el circuito magnético mostrado, el hierro dulce tiene

longitud media total de 6 y permeabilidad magnética µ mientras que los imanes permanentes tienen longitudes iguales a y magnetizaciones 1M y 2M . Hallar: (05P)

a) La ecuación de la recta de desmagnetización de cada imán b) Si se conociese sus curvas de histéresis, explique como

procedería para encontrar sus estados magnéticos.

13

ENERGÍA MAGNÉTICA

PREGUNTAS 1. Explique el origen de la energía magnética.

PROBLEMAS 1. Se tiene una bobina cilíndrica de radio a y longitud l, con N vueltas uniformes y

corrientes eléctrica i. Se introduce parcialmente un cilindro de hierro de permeabilidad µ y radio a. Para la posición indicada, hallar la fuerza magnética que jala al cilindro hacia el interior de la bobina (asuma que l>>a).

Rpta.:

22

0

222

,:]([

)(21 aANncon

xAinoF o πµµµ

µµµµ ==−−

−=

2. Una línea de transmisión bifilar muy larga con separación de hilos 2a y corriente

eléctrica i se halla suspendida en el aire a una altura h del suelo. Si se asume que la tierra se comporta como un medio magnético semi-infinito de permeabilidad µ hallar: (a) La energía de interacción magnética del sistema

por unidad de longitud. (b) La fuerza magnética por unidad de longitud que

actúa sobre la línea.

(a) 2'

012 1

+=

zaLn

iiU

πµ

, con ii

+−=

0

0'µµµµ

(b) ( )kazzaiF ˆ

22

22

0

0012 +

+−

−=µµµµ

πµ

3. Dos estructuras de hierro idénticas de longitud media ,

permeabilidad µ , masa m y sección recta uniforme A, se disponen como se observa en la figura adjunta. El cuerpo de masa M que cuelga de la “U” inferior es no magnética. Hallar la corriente eléctrica mínima que se debe aplicar a la bobina para que el cuerpo no caiga. (05 P)

14

4. En el mismo plano que contiene una línea conductora infinita con corriente

alterna tCosii ω011 = , se encuentra una espira rectangular de lados a y b y

corriente 2i . Hallar: (05 P) a) La energía de interacción magnética

b) La fuerza magnética sobre la espira.

ECUACIONES DE MAXWELL

1. Un conductor no magnético de conductividad • tiene la forma de un

Elipsoide de revolución hueco cuyas superficies son:

1´´

:

1´

:

2

2

2

22

2

2

2

2

22

1

=++

=++

bz

ayxS

bz

ayxS

El conductor se introduce en un campo magnético uniforme que

oscila con el tiempo según: B

= B0 cos ω t k Hallar: a) La distribución de corrientes inducidas en el conductor y b) La potencia eficaz disipada en el conductor.

a.

Rpta.:

2

20 1´:ˆ´

2 bzaconatsenoJ −=≤

= ρρφϖρβϖ

b. ´)´()(151 4422

0 babaBp −= ϖσπ

2. Un cuerpo conductor, no magnético, de conductividad σ, en forma de

un Elipsoide de revolución cuya superficie tiene la ecuación :

12

2

2

22

=++bz

ayx

Es introducido dentro de un campo magnético uniforme pero que varía senoidalmente con el tiempo, según: ktBB ˆcos0 ϖ= Hallar: a) La distribución de corriente incluida en el cuerpo y b) La potencia calorífica media que se disipa en el conductor. Rpta.:

15

a. 2

20 1ˆ´

2 bzaýconatsenBJ −=≤

= ρρρϖρϖσ

φ

b. ( )baBP 422015

1 ϖσπ=

3. Para campos electromagnéticos que oscilan armónicamente con el tiempo, demostrar

que:

>=< *.

21

Re ccd JEP

siendo >< dP el valor eficaz de la potencia específica disipada en el medio.

cc JJEE

Re,Re ==

Esta relación permite definir la potencia específica disipada compleja dcP como:

( )*.21

ccdc JEP

=

tal que: <Pd> = Re(Pdc)

4. Un condensador de placas paralelas circulares de radio b y separación d, contiene dos dieléctricos imperfectos de constantes K1 y K2 y pequeñas conductividades σ1 y σ2. El dieléctrico 1 tiene forma cilíndrica con radio a. El condensador se carga aplicándole un voltaje V y luego se aísla. Hallar en función del tiempo: a) La carga eléctrica. b) La corriente eléctrica de conducción.

5. Un condensador cilíndrico con radio a y b y longitud •

contiene entre sus placas un dieléctrico imperfecto de permitividad ε y una pequeña conductividadσ. El condensador se carga aplicando un voltaje V y luego se aísla. Hallar: a) Las corrientes eléctricas de conducción y de

desplazamiento en función del tiempo. b) ¿Existe campo magnético en este sistema? Explique.

16

6.

a) Demuestre que las ecuaciones de Maxwell contienen el principio de conservación de la carga eléctrica.

b) A partir de los potenciales electromagnéticos retardados reales, encuentre su forma compleja, para fuentes armónicas en el tiempo. (05 P)

ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

PREGUNTAS 1. Describa alguna forma de hacer visible un objeto metálico, a las ondas de radar 2. mediante un telescopio se observa una estrella que esta a 1000 años luz de la tierra.

¿Hace cuanto tiempo se produjo dicha imagen en al fuente. Explique 3. ¿Que se entiende por potenciales magnéticos retardados?. Explique 4. Indique los efectos más importantes que se producen en una OEM que se propaga en

un medio conductor.

PROBLEMAS 1. Un cable coaxial muy largo, con radios a y b, propaga una OEM en el modo TEM, de

modo que su campo eléctrico, es dado por:

( )εµωββ

==−

conrar

EEzje

ˆ0

Hallar: (a) El campo magnético de la OEM. (b) Las ondas de voltaje y de corriente V(Z), I(Z), que

acompañan a la OEM. (c) La impedancia característica del cable coaxial Z0.

Rpta.:

==

−

εµη

η θ

β

conar

eEHazj

ˆ)( 0

zjzj eEzIeabLnEzVb ββ

ηπ −− =

= 0

0

2)(,)()(

=

abLnZc

πη2

)( 0

17

2. El campo eléctrico que existe entre dos planos conductores infinitos y paralelos, separados en una distancia a, es :

jeEE zKtj ˆ)(

0−= ω

Con :. HallarK εµω=

(a) Las densidades de carga sobre los planos. (b) Las densidades de corriente eléctrica en los planos. (c) El vector de Poynting entre los planos. Rpta.

kE

Sc

conkeEjkeEjb

eea

zKtja

zKtj

zKtja

zKtj

ˆ2

)(

)(ˆ,ˆ)(

,)(

2

0

)(0)(00

)(0

)(00

η

εµη

ηη

εεσεεσ

ωω

ωω

=

=−==

−==

−−

−−

3. Cinco antenas 2λ

idénticas se disponen paralelamente como se indica en la figura. Si

las amplitudes de las corrientes son: αααα jjjj eiieiieiieiiii 2

05042

030201 ,,,, −− =====

siendo α una constante con radianes. Hallar el patrón de radiación del arreglo en ).,,( 2 φπrP Rpta.:

)cos(2cos2)cos(cos21)( φβαφβαφ aaF ++++=

4. Una línea de transmisión de Microcinta es formada por dos cintas conductoras delgadas de ancho l y de gran longitud, las cuales se disponen paralelamente separadas en una distancia a. Asumiendo que las cintas conducen corrientes eléctricas uniformes ± i y que l >> a, hallar: a. El potencial vectorial magnético entre las cintas. b. La distribución de campo magnético. Grafique líneas de flujo. c. La inducción por unidad de longitud.

Rpta.: Kl

yiA ˆ

= µ

, b) il

iB ˆ

= µ

, c) laL µ=

5. Una OEM plana y monocromática que se propaga en el dirección -z, incide

sobre la superficie de una esfera de radio R. Hallar:

Y a µ,ε o X

Z 5 4 a 1 a y 2 a 3

18

2

1

21

−=

=

ϖϖβ

πµε

ϖ

cK

an

c

a) El flujo de Potencia Electromagnética, en tiempo promedio, que incide sobre la mitad superior de la esfera.

b) ¿Cuál es el flujo, si la OEM tiene diferentes frecuencias? Rpta.

ηπ

2|| 22

0 REs −=Φ

a.

b. ∑−=Φj

jt ER 20

2

||2ηπ

6. Una guía de onda está formada por dos laminas conductoras paralelas e infinitas, separadas en una distancia 2a.

a) Resolver la ecuación de onda transversal en el modo TM y hallar los componentes de HyE

para la OEM que se propaga en +z. b) Hallar ωc y β (Suge: por simetría Ez = ƒ(x) y C.F. (Ez)x=±a = 0)

a.

Rpta.:

)(2

cos2

0

0

)(2

cos2

)(2

20

20

0

axa

nKa

njEH

HH

axa

nKanjEE

axa

nSenEE

cy

zx

y

cx

z

+−=

==

=Ε

+=

+=

πεϖπ

πβπ

π

b.

7. Una OEM plana y monocromática de frecuencia σ y

amplitud E1 en el medio dieléctrico 1, incide normalmente sobre la interfase plana S, que la separa de otro medio 2. En la interfase existe una película conductora muy delgada de espesor • y conductividad • . Hallar:

a) Las amplitudes de la onda reflejada y transmitida. b) La condición para que la onda reflejada se anule

a.

Rpta.:

S

1. •1 µ1 2. •2 µ2

x

z

• , σ

1E

1S o

19

[ ])21(

2,

)21(

)21(

212

12

212

2121

´1 ησδηηησδηη

ησδηη−+

−+−−

=EEEE

b.

−=

12

11

2

1

ηησδ

8. Una OEM de amplitud E1 y frecuencia ω en el medio 1, incide oblicuamente bajo un

ángulo θ1, sobre la superficie plana de un conductor perfecto. Suponiendo que E1 está en el plano de incidencia, hallar:

a) El ángulo de reflexión θ´1, y la amplitud E´1 de la onda reflejada.

b) La densidad de corriente eléctrica superficial inducida en el plano conductor.

Rpta.:

a. 11´

11 ,´ EE −== θθ

b. ieEj senxKj ˆ2 11

1

1 θ

η−−=

9. Una antena lineal delgada de longitud 0.5m tiene una corriente eléctrica alterna de

amplitud i0 = 0.1 Amp. y frecuencia de 1 MHZ. Asumiendo que se comporta como un dipolo corto, hallar:

Usar: η

θπ

µϖ θφ

β

θEHsen

relijE

rj

=∆=−

,4

0

a) La Potencia en tiempo promedio que radia la antena para 0 < θ < π/3.

b) La Resistencia de Radiación. c) ¿Cuál es el rango de frecuencias para que ésta antena

pueda ser considerada como dipolo corto.

a.

Rpta.:

waltsxLiP 622

022

107.1||

3845 −≅∆=

ηπµϖ

b. πηπ

µϖ 422

022

108.112

|| −≅∆= xiRR

c. MHzf 12<

20

10. Una OEM en el vacío, con amplitud E1 incide normalmente de izquierda a derecha sobre una plancha dialéctica de constantes 00 4, ε== εµµ y espesor •/ = (siendo

• la longitud de onda en la plancha). Hallar las amplitudes de todas las ondas producidas en las regiones 1, 2 y 3.

Rpta.

0'1 =E , 12 43 EE = ,

4' 12

EE = , 13 EE −=

11. En una guía de onda rectangular vacía de

dimensiones transversales a=3cm, b=1.5 cm se propaga una OEM de frecuencia f = 10GHz, en el modo dominante TE10 cuyos campos son dados por:

0=xE , zj

y ea

xsenaHjE βπ

π−−= 1µ•

0=zE , zjx e

ax

senaHj

H βππ

β −−= 1

0=yH , zjz e

ax

HH βπ −= cos1 , con mAH /01.01 =

(a) La constante de propagación y frecuencia de corte. (b) La velocidad de fase y de grupo. (c) El flujo de potencia electromagnética promedio. Resp.: (a) GHzfc 5= , 13.181 −≅ mβ (b) smv f /1046.3 8×= , smvg /106.2 8×=

(c) •4.29 mPem >≅∴<

12. En un medio conductor de conductividad • se ha establecido una distribución de

corriente eléctrica uniforma kJJ 00 =

. Si se perfora una cavidad esférica de radio a en éste medio, hallar la nueva distribución de corriente en el conductor.

Rpta.

21

•

3

0r

3

0 a•r

11J-a•cos

r1 sena

zaJJ

+

−=∴

13. Una OME de amplitud E1 = 20V/m que se propaga en el

aire (µ0, ε0) de izquierda a derecha, incide normalmente sobre la superficie plana de un bloque de vidrio (µ0, n = 1.5). Hallar: a) Las amplitudes de las ondas reflejada y transmitida. b) Los coeficientes de reflexión y transmisión de flujo

de potencia electromagnética. 14. Una OEM que se propaga en al dirección z,

tiene una campo eléctrico dado por: ( ) .ˆcos0 ikztEE −= ω

Hallar: a) La energía electromagnética en el volumen

del cilindro mostrado. b) el flujo del vector de Poynting a través de

la superficie del cilindro. c) ¿Se cumple el teorema de Poynting?

Explique. 15. Una OEM plana, monocromática y linealmente polarizada de frecuencia ω , se

propaga de izquierda a derecha en el vacío (medio 1) e incide normalmente sobre la superficie plana de interfase S12 (z = 0) que la separa de una plancha dieléctrica (medio 2) de constantes

0 0, 25µ µ ε ε= = y espesor . A la derecha de la plancha y en contacto con ella (S23) existe un medio 3 de cobre. Asumiendo que en el medio 2 se cumple K =π :

a) Plantear en cada medio las soluciones generales de onda. b) Hallar las amplitudes de las ondas reflejadas y transmitidas. c) La densidad de corriente superficial en la superficie del cobre.

(Sugerencia.: Suponga que en primera aproximación el cobre puede ser considerado superconductor) (05 P)

22

16. Tres antenas lineales cortas idénticas de longitud∆ se disponen como se muestra en al figura adjunta. Si las corrientes de las antenas son iguales a

0j ti i e ω= , hallar el Patrón de Radiación del arreglo de antenas

en plano (x,y). (05 P)

17. Una OEM de frecuencia 1 MHz se propaga de izquierda a derecha en el vacío é incide normalmente sobre la superficie de interfase S que la separa de una región

medianamente conductora. Si se sabe que 6ˆ 40jeπ

η π= en Ω , hallar la fracción relativa porcentual del flujo de potencia electromagnética media después que la OEM ha recorrido 100 metros en el medio conductor. (Asuma que 0j =

en S). (05 P) 18. La antena de un teléfono celular tiene una longitud de 5 cm. y trabaja con una

frecuencia portadora de 10 MHz. a) ¿Esta antena puede ser considerada como un dipolo corto?. Explique. b) Suponiendo afirmativa su respuesta en (a), calcular, para la frecuencia portadora: la

potencia media radiada por la antena así como su resistencia de radiación. (Asuma aire seco y 6

0 10i −= A). (05 P)

19. La amplitud compleja de una OEM plana, monocromática y linealmente polarizada, que

se propaga en la dirección z, es: 1 2ˆjkz jkzE E e E e i− = +

.Hallar:

a) Usando una de las ecuaciones de Maxwell, la amplitud compleja de H

b) Los campos Re alE

y Re alH

.

Asuma que 1E y 2E son reales.(05 P)

20. Una OEM de frecuencia 3MHz se propaga en un medio conductor de constantes 0 0,µ ε y

0/ 8σ ωε = . Hallar la distancia que debe recorrer para que el valor eficaz del flujo de potencia electromagnética se reduzca a la mitad. (05 P)

21. Una antena de dipolo corto de longitud ∆ y corriente alterna compleja 0j ti i e ω= se

encuentra centrada en el origen y alineada con el eje z. Hallar: a) El flujo de potencia electromagnética radiada, en un punto P ( , , )r θ φ . b) La potencia electromagnética total emitida por la antena.

(Suge.: Usar los campos de radiación) (05 P).

22. Una OEM plana, monocromática y linealmente polarizada

de frecuencia ω y amplitud E1 que se propaga de izquierda

23

a derecha en el vacío, incide normalmente sobre la superficie plana S de un medio conductor de constantes .,, σεµ Hallar el valor eficaz del flujo de potencia electromagnética de la OEM luego de haber recorrido una distancia dentro del conductor. (05 P)

23. Una antena de dipolo corto de longitud cm10=∆ con corriente alterna tjeii ω

0= siendo i0=5mA y f=1 MHz, se encuentra en el vacío, centrado en el origen y alineado con el eje z. (05 P)

a) verifique la pequeñez relativa de la antena b) Hallar la potencia electromagnética total radiada por

la antena.(Suge.:hallar ⟩⟨ alSRe

usando los campos de radiación e integrarlo sobre una superficie esférica centrada en el origen).

24. En un medio dieléctrico disipativo (con conductividad) es importante no solamente la

atenuación, sino también la distorsión de una señal que se propaga en el medio. Un factor relacionado con este efecto se denomina el Factor Q del medio dieléctrico y se define como la razón de la densidad de corriente de desplazamiento a la densidad de corriente de conducción, para la frecuencia portadora ω de la señal. (05P)

a) Demostrar que Q=ωε /σ b) Hallar Q para el vidrio a la frecuencia de1 MHz.

(Usar 221112 /1064.6,10 mNCS −×≅≅ −− εσ ) 25. Una antena en forma de una gran lámina conductora plana y

delgada que se halla en el vacío, conduce una corriente eléctrica superficial alterna y uniforme dada por:

iejj tj ω0−= . (con 00 >j y real). Hallar en las regiones 1 y

2: (05 P) a) Los campos radiados por la antena b) Los vectores de Poynting de las ondas c) La potencia electromagnética, por unidad de área, emitida por la antena. 26. Para una antena de dipolo corto, en el vacío, con longitud cm1=∆ y corriente

tjei6102 ×= π : (05P)

a) Verificar que se cumple ⟨∆ λ⟨ b) Calcular la potencia eficaz radiada por la antena c) La resistencia de Radiación de la antena. 27. Una OEM plana, monocromática y linealmente polarizada de amplitud mVE 7101 = , se

desplaza de izquierda a derecha dentro de un medio conductor 1 è incide normalmente

24

sobre la superficie plana (plano z=o) de un medio superconductor 2. Si la impedancia intrínseca del medio 1es Ω= ene j 3/20 πη , hallar: (05P)

a) La amplitud de la onda reflejada b) La densidad de corriente superficial Real en la superficie del conductor.

28. Para la antena de dipolo corto mostrada, con corriente

compleja tjeii ω0= hallar, para grandes distancias de

esta: (05P) a) El vector de Poynting complejo en coordenadas

esféricas. ¿Por qué el resultado es real?

b) Integre el vector de Poynting sobre una superficie esférica de radio r centrada en el origen. Interprete su resultado hallando su resistencia equivalente.