funçao densidade de probabilidade - geoestatistíca
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Aula de Função Densidade de ProbabilidadeTRANSCRIPT
ICT 320 – Tecnologia de Informação
Aplicada a Geoestatística
Aula 3 – Conceitos probabilísticos: Função
de densidade de probabilidade
Eng. de Minas Edmo da Cunha Rodovalho Prof. Msc. / ICT – UNIFAL-MG
Experimento Aleatório
Todo experimento, que repetido em condições idênticas, pode apresentar resultados diferentes.
Ponto Amostral
É um resultado possível de um experimento aleatório.
Um resultado no lançamento de um dado : 5
Teor de cobre de uma amostra tomada aleatoriamente : 2,5%
Espaço Amostral ( Ω )
Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Ω = X є IR | 0 ≤ X ≤ 100%
Evento
É um subconjunto do espaço amostral.
A= 2, 4, 6 A representa o evento de sair um número par no lançamento de um dado de 6 faces.
A um dado evento qualquer A, pode-se associar um número entre O e 1, chamado de probabilidade do evento A ocorrer, P(A), e que representa as chances de ocorrência deste evento. P(A) é dado por:
possíveis resultados de número
A evento ao favoráveis resultados de número
)(
)()(
n
AnAP
n
nfAP
n lim)(
Quando o experimento é repetido n vezes, tem-se:
Onde: nf é o número de experimentos em que o evento A ocorreu n é o número de vezes em que se repete o experimento.
Quando o experimento é repetido n vezes, tem-se:
Onde: nf é o número de experimentos em que o evento A ocorreu n é o número de vezes em que se repete o experimento.
É uma variável que pode assumir a priori qualquer resultado possível em um
experimento aleatório.
As variáveis aleatórias podem ser quantitativas ou qualitativas.
Para se referir a uma variável aleatória de forma geral será utilizada uma letra
maiúscula.
Um valor específico que a variável aleatória pode assumir será representado
por letra minúscula.
P(Z>z)
V.A. Quantitativa
Associa à cada elemento da população um valor numérico para uma
característica a ser analisada.
As variáveis aleatórias quantitativas podem ser discretas ou
contínuas.
V. A. Discreta
Em um dado experimento pode assumir, a priori, qualquer valor
dentro de um conjunto finito ou uma seqência infinita de valores.
Exs.: - uma v. a. binária em que 0 e 1 indicam se o valor de uma
variável está acima ou abaixo de um dado valor fixo.
- número de veículos que chegam a uma estação dentro de um
intervalo de tempo.
V, A. Contínua
Em um dado experimento pode assumir, a priori, qualquer valor
dentro de um dado intervalo pertencente ao seu espaço amostral.
Ex.: tempo de ciclo de um equipamento
Função massa de probabilidade de uma v. a. discreta X - p(x)
p(x) associa a cada valor possível de X assumir, a probabilidade de
sua ocorrência, ou seja: p(x) = P(X = x)
Função massa do somatório de pontos no lançamento de 2 dados
0.000
0.028
0.056
0.084
0.112
0.140
0.168
0.196
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
X
p(x
)
ix
ixp 1)(
Função densidade de probabilidade de uma v. a. contínua X - f(x)
A função densidade de probabilidade (fdp) associa um valor f(x) a cada
valor x de uma v. a. contínua X, tal que a probailidade de X estar entre x
e x+dx (dx infinintesimal) é dado por f(x).dx.
Propriedades de f(x)
área sob a curva entre a e b
Função massa de probabilidade de uma v. a. discreta X - p(x)
p(x) associa a cada valor possível de X assumir, a probabilidade de
sua ocorrência, ou seja: p(x) = P(X = x)
Função massa do somatório de pontos no lançamento de 2 dados
0.000
0.028
0.056
0.084
0.112
0.140
0.168
0.196
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
X
p(x
)
ix
ixp 1)(
Função densidade de probabilidade de uma v. a. contínua X - f(x)
A função densidade de probabilidade (fdp) associa um valor f(x) a cada
valor x de uma v. a. contínua X, tal que a probailidade de X estar entre x
e x+dx (dx infinintesimal) é dado por f(x).dx.
Propriedades de f(x)
área sob a curva entre a e b
Função de repartição, ou Lei de repartição ou Funçào de distribuiçào
acumulada de uma variável aleatória X - F(x)
)()( xXPxF
Para uma variável discreta X
xt
ii
i
ttXPxXPxF )()()(
Para uma variável contínua X
tdttfxXPxF
x
)()()(
Propriedades de F(x)
1. F(x) é uma função não decrescente.
2. Quando x → -∞ F(x) → 0
x → ∞ F(x) → 1
3. P(a ≤ X < b) = F(b) – F(a)
)()(
)( .4 ' xFdx
xdFxf
b
a
dxxfaFbFbXaP )()()()( .5
Histogramas
Tipos
Frequência Simples
→ Função massa ou densidade
Frequência Relativa
Frequência Acumulada Simples
→ Função ou lei de Repartição
Frequência Acumulada Relativa
A forma do histograma é sensível ao número de classes.
Sugestões para o cálculo do número de classes K
1. Critério de Sturges
2.
3.
n é o número de dados.
205 k
O agrupamento em classes simplifica o cálculo do histograma
acumulado crescente. Para se obter um histograma de frequência
acumulado mais rigoroso, ele deveria ser construído ponto a ponto
da seguinte forma:
1. Ordenar crescentemente todos os valores de X medidos.
2. Atribuir a cada valor Xi do conjunto ordenado, o valor
para a sua respectiva função de repartição.
1n
i
Para o caso de um histograma de frequências relativas, pode-se
dizer que quando os intervalos de classes são iguais, as alturas são
proporcionais a f(x) e que a área compreendida entre dois valores x1
e x2 fornece a probabilidade da variável X assumir um valor entre
eles.
O número de trens carregando minério que chegam a um porto de exportação em um dado intervalo de tempo é uma variável aleatória que segue a seguinte distribuição de probabilidade:
Exercício Proposto
valoresdemaisospara
xparax
e
xp
x
0
... ,1,0 !)(
onde λ é a taxa média de chegada (número médio de chegada por unidade de
tempo).
Admitindo-se que λ seja igual a 6,5 trens por hora, pede-se:
a) Calcular a probabilidade de chegada de 3 trens no intervalo de uma hora.
b) Calcular a probabilidade de chegada de até 3 trens no intervalo de uma
hora.