funcÃo logarÍtmica
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FUNÇÃO LOGARÍTMICAJohn NEPER (1550 - 1617)
A invenção dos logaritmos ( palavra de origem grega:(logos) = tratado,arithmos (ariqmos) = números), deve-se ao matemático escocês JohnNapier, barão de Merchiston (1550-1617), que se interessoufundamentalmente pelo cálculo numérico e pela trigonometría. Em 1614, eao fim de 20 anos de trabalho, publicou a obra Logarithmorum canonis
descriptio, onde explica como se utilizam os logaritmos, mas não relata oprocesso como chegou a eles
Um ano depois, em 1615, o matemático inglês Henry Briggs(1561-1631), visitou Napier e sugeriu-lhe a utilização da base 10. ANapier agradou-lhe a ideia e resolveram elaborar as respectivastábuas dos logaritmos decimais. Com a morte de Napier é Brigs queconclui o trabalho e em 1618, publica Logarithmorum Chiliaes prima,primeiro tratado sobre os logaritmos de base 10 e faz o calculo paraos números de 1 a 20 000 e de 90 000 a 100 000
Já conhecemos as operações :adição, subtracção, multiplicação, divisão, potenciação eradiciação. Vamos agora introduzir duas novas operações: a logaritmização e aexponenciação.
Os logaritmos vêm facilitar a vida na medida que vão permitir simplificar cálculos maiscomplicados. E porque ? por que com eles vamos baixar o grau de dificuldade das operaçõestransformando:
multiplicações em adições
divisões em subtracções
potenciação em multiplicação
radiciação em divisão
Definição de logaritmo :
Chama-se logaritmo de x na base a a um número b tal que se elevarmos a ao expoente b
obtemos x:. Isto é :
Exemplo:
b será portanto o logaritmo de x na base a o que significa que b é o expoente a que deve ser
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elevado a para obter x.
Exemplos:
1- log10 1000=3 pois 103 =1000
2- log3 81 = 4 já que 34 = 81
Uma nota:
Vamos tentar calcular manualmente o log210 . Como 23<10<24 o valor do log será um número entre23 e quatro logo do tipo 3,... Assim já temos a chamada característica do logaritmo (isto é a parte
inteira) podemos procurar uma primeira casa décimal , de facto 23.4=10.55 e 23.3=9.84 concluimos que aparte decimal inicia-se com 3 e log210=3,3.... mantissa ( do latim excesso).
Então o logaritmo de um número será da formma c,m onde c Z e 0<m<1
A base a é sempre um número real e positivo diferente de 1 . Qual a razão ?
Calculadora de logaritmos
Um scrip simples para calcular logaritmos
Base do logaritmo: Número: Resultado:
Propriedades e regras operatórias:
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Do exposto verifica-se que a função logarítimica é uma aplicação bijectiva do conjunto R+ ,sobre o conjunto dos reais :
Veremos mais tarde que a inversa da função logarítmica é a denominada função exponencial.
Estudo da Função Logarítmica :
Chama-se função logaritmica à função real de variável real :
A função logaritmica é uma aplicação bijectiva de R+ em R :
Observações:
Os números negativos e o zero não têm logaritmo
A função logaritmica de base a é a reciproca da exponencial de base a ou seja: y = ax
As funções logaritimicas mais usuais são as de base 10 (log. decimais) e as de base e
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=2,718281 (log. naturais).
Gráfico da função logarítmica :
a>1
0<a<1
Logaritmos decimais :
A base mais utilizada é a base 10 ou seja os logaritmos decimais é por essa razão que muitasvezes, neste caso, se omite a base
Vejamos um exemplo de como os logaritmos podem facilitar os cálculos usando as regras
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anteriormente dadas no quadro
:
Logaritmos Neperianos ou de base natural :
Estes logaritmos que tem por base o número e (base de Neeper) e escreve-se muitas vezes .
Mudança de base :
Exemplo : Determina log3 7 com aprox. de 6 decimais.
De antemão sabemos que a resposta será um número entre 1 e 2 pois 31 = 3 e 32 = 9 , e o 7 está
entre 3 e 9. Vamos mudar a base dos logaritmos para 10, log3 7 pode se escrever como . ou
mais simplesmente . Utilizando a calculadora teremos::
Claro está que se fossemos verificar a validade do resultado faríamos.
Que é um resultado aproximado como desejavamos
Antilogaritmo :
É o número que corresponde a umlogaritmo dado. Consiste no problema inverso do cálculodo logaritmo de um número.
ou o que é omesmo: consiste em elevar a base ao número obtido no logaritmo :
ver exponencial
Cologaritmo :
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Designa-se por cologaritmo de um número x ao logaritmo do seu recíproco ou inverso :
justifica a segunda parte desta igualdade
Alguns valores uteis
Equações logarítmicas :
Trata-dse de equações que à incógnita foi aplicada a operação logaritmo.
É fácil concluir que a igualdade entre os logaritmos de duas expressões implica a igualdadade ambas. (este é o principio em que se fundamenta a resolução deste tipo de equações ou oque se poderá dizer de outra maneira: aplicando o antilogaritmo)
Exemplo:
log x = log (x3+5) + 10 x = x3 +5 + log 10 x = x3+5 +1
Sistemas de Equações logarítmicas :
Como é fácil depreender trata-se de um sistema de equações em que a as) incógnita(s) estãosujeitas à operação logaritmo. A sua resolução faz-se como normalmente outros sistemas sóque tendo em atenção as propriedades dos logaritmos para efectuar as transformaçõesnecessárias. Exemplo :
A recordar...
Se a > 1Os números menores que 1 têm logaritmo negativoOs números maiores que 1 têm logaritmo positivo
Se 0 < a < 1Os números menores que 1 têm logaritmo positivoOs números maiores que 1 têm logaritmo negativo
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