SITUACIÓN PARA INICIAR EL ESTUDIO DE LA FUNCIÓN DE SEGUNDO GRADO

Un vidriero cuenta con una pieza de espejo en forma triangular. De esta necesita obtener un espejo rectangular con la mayor área posible. Al determinar las medidas de sus catetos, estos miden 40 y 60 centímetros, respectivamente.

Calcula las medidas del espejo rectangular en cuestión.

Representemos la situación con un gráfico:

Si ubicamos este gráfico en un plano cartesiano, y hacemos coincidir el ángulo recto con el origen del plano y los catetos con los ejes x e y, tenemos:

Como sabemos, el área de un rectángulo es el producto de las longitudes de la base y la altura de este. Las coordenadas x e y del punto P representan el largo y el alto del espejo buscado. Es decir, el área del rectángulo es:

· (1)

40 cm 

60 cm

x

y

C(0 , 40)

A(0 , 0)

P(x , y)

B(60 , 0)

Y

X

 

yx 31202 −=−

Como podemos ver, el punto P de coordenadas x e y representa todos los puntos de la hipotenusa BC del triángulo rectángulo ABC. Esto significa que el segmento de recta BC tiene como dominio el intervalo 0 , 60 1, y como recorrido, el intervalo 0 , 40 . Es decir:

0 , 60 y

0 ,40 .

Puesto que la hipotenusa BC representa una función lineal, podemos encontrar su ecuación cartesiana ya que se conocen dos puntos:

1

1

12

12

xxyy

xxyy

−−

=−−

Reemplazamos los puntos B(60 , 0) y C(0 , 40); nos queda:

600

600040

−−

=−−

xy

Reducimos términos:

Aplicamos la propiedad de fracciones equivalentes:

Aplicamos la propiedad distributiva:

Despejamos la altura del rectángulo (variable y):

yx=

−−

31202

(2)

La expresión (2) determina la altura del rectángulo en función del ancho de este. Sustituyendo (2) en (1), se produce:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

=31202xxA

Al aplicar la propiedad distributiva, se tiene:

xxA 4032 2 +−= (3)

La expresión matemática que se acaba de obtener es una función cuadrática de x (largo del rectángulo) en relación con A (área del espejo buscado). Elaboremos una tabla de valores para analizar el comportamiento de dicha expresión.

                                                            1 Tanto el largo como el ancho del rectángulo pueden tomar valores reales. 

6032

−=

− xy

yx 3)60(2 −=−

 

Representemos estos puntos en el plano cartesiano y usemos una escala adecuada (se puede usar un graficador).

x 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 A=f(x) 0 216 384 504 576 600 576 504 384 216 0

0 10 20 30 40 50 600

100

200

300

400

500

600

x

A=f(x)

(6,216)

(12,384)

(18,504)

(24,576)(30,600)

(36,576)

(42,504)

(48,384)

(54,216)

Observamos la tendencia y unimos los puntos con una línea continua.

0 10 20 30 40 50 600

100

200

300

400

500

600

x

A=f(x)

(6,216)

(12,384)

(18,504)

(24,576)(30,600)

(36,576)

(42,504)

(48,384)

(54,216)

 

La curva que se acaba de graficar se denomina parábola. Tiene por dominio el intervalo 0 , 60

y tiene por recorrido el intervalo 0 , 600 ; la curva responde a la expresión xxA 4032 2 +−=

que es un caso particular de la expresión general Rcbaconcbxaxy ∈++= ,,2 . Donde a,

b y c son: 040,32

==−= cyba .

En la gráfica, el eje horizontal representa el valor de la base del espejo rectangular y el eje vertical representa el área del espejo buscado. Claramente se puede ver que el espejo de mayor área está representado en la parte más alta de la gráfica, esto es 600 cm2. Esta área es generada por un rectángulo de base determinada por el centro del dominio 0 , 60 , 30. Esto significa que el vértice de la parábola tiene por coordenadas el punto (30 , 600). Confirma estos valores,

usando la expresión , , cuya deducción la puedes estudiar en el anexo 1.

Si el área máxima está generada por un rectángulo de base 30 cm, podemos encontrar la altura del rectángulo usando la fórmula del área.

· Reemplazamos datos: 600 30 · Despejamos y: 20 También puedes confirmar este resultado usando la fórmula (2). Ahora podemos concluir que para obtener el espejo deseado, el vidriero debe recortar un rectángulo de 30 cm de base por 20 cm de alto.

 

ANEXO 1

Analicemos la expresión Raconaxyxf ∈== 2)( . Para esto, usemos la función 22)( xyxf == como un caso particular. Elaboremos una tabla de datos y observemos el

gráfico resultante.

x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 y=f(x) 72 50 32 18 8 2 0 2 8 18 32 50 72

-6 -4 -2 2 4 6

10

20

30

40

50

60

70

x

y=f(x)

(-6,72)

(-5,50)

(-4,32)

(-3,18)

(-2,8)

(-1,2)(0,0)

(1,2)

(2,8)

(3,18)

(4,32)

(5,50)

(6,72)

Efectivamente es una parábola, cuyo punto más bajo, denominado vértice, se encuentra en el origen de coordenadas. Es decir, esta parábola tiene el vértice en el punto (0 , 0). También podemos ver que la gráfica tiene dos ramales simétricos al eje y, con lo cual podemos asignar al eje de simetría la ecuación 0=x . (Como ejercicio se propone realizar las gráficas de las

funciones 28)( xyxf == , 22,0)( xyxf == y 22)( xyxf −== , que responden al modelo 2)( axyxf == ; solicite analizar el eje de simetría y el vértice).

Las funciones que responden a la expresión 2)( axyxf == , que también puede ser escrita como 0 0,

tienen como vértice el punto (0, 0), eje de simetría 0 y

su cóncava si 0 y convexa si 0. En resumen:

Expresión Características Vértice Simetría Concavidad Gráfico

2axy = 2)( axxf =

(0 , 0) 0

0 Positiva: Cóncava

0 Negativa: Convexa

x

y

x

y

 

Ahora analicemos la expresión RCaconCaxyxf ∈+== ,)( 2 ; igual que en el caso anterior, tomemos una función que responde a este modelo, construyamos una tabla y grafiquémosla, 52)( 2 +== xyxf : 

 x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 y=f(x) 77 55 37 23 13 7 5 7 13 23 37 55 77

-6 -4 -2 2 4 6

10

20

30

40

50

60

70

x

y=f(x)(-6,77)

(-5,55)

(-4,37)

(-3,23)

(-2,13)

(-1,7)(0,5)

(1,7)

(2,13)

(3,23)

(4,37)

(5,55)

(6,77)

Como podemos observar en la gráfica, el vértice se ha desplazado 5 unidades en el eje de las y según indica el valor C, mientras que el la coordenada del eje de las x se mantiene en 0. Esto significa que la función tiene como vértice las coordenadas (0 , 5). El eje de simetría es la recta

de ecuación x 0. Analiza las funciones 105)( 2 +== xyxf , 532)( 2 −== xyxf y

52)( 2 +−== xyxf que también responden al modelo Caxyxf +== 2)( , al cual lo podemos escribir como:

0 . Este modelo tiene como vértice el punto de coordenadas (0 , C), mientras que el eje de simetría siempre es la recta de ecuación x 0.

 

Observa la siguiente tabla, en la que se resume lo analizado:

Modelo Características Vértice Simetría Concavidad Gráfico

caxy += 2 caxxf += 2)(

(0 , c) 0

a > 0 Positiva: Cóncava

(o,C)

a < 0 Negativa: Convexa

(o,C)

Tomando en cuenta los resultados obtenidos hasta el momento, enseguida podemos analizar el modelo cbxaxyxf ++== 2)( . Para hacer el análisis de este, tal y como se hizo con los anteriores, debemos expresarlo en la forma f x y a x h C. En este modelo, el vértice estará dado por las coordenadas (h , C). Empecemos:

cbxaxy ++= 2 Extraemos factor común a:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

acx

abxay 2 A la expresión

abx +2   le  completamos  el 

trinomio cuadrado perfecto:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++=

ac

ab

abx

abxay

222

22

Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

ac

ab

abxay

22

22

Aplicamos la distributiva:

ca

ba

bxay +−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

42

22

Con esto hemos demostrado que el modelo Cbxaxy ++= 2 es equivalente al modelo

ca

ba

bxay +−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

42

22

. Esto significa que . Para obtener este resultado

02

=+a

bx , de  lo cual se sigue que a

bh2

−= . Con esto  tenemos que el vértice del modelo 

Cbxaxy ++= 2 es el punto de coordenadas ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−− c

ab

ab

4,

2

2

y el eje de simetría a

bx2

−= .

x

y

x

y

x

y

x

y

 

Observa en la siguiente tabla el resumen de todo lo analizado:

Modelo Características Vértice Simetría Concavidad Gráfico

cbxaxy ++= 2 cbxaxxf ++= 2)( ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−− c

ab

ab

4,

2

2

2

0 Positiva: Cóncava

0 Negativa: Convexa

Monotonía

1. Se dice que una función es creciente si para todos los elementos de un intervalo , , si x1<x2, se cumple que f(x1)< f(x2). En el caso de la función cuadrática, se analiza la

monotonía en los intervalos ∞, y , ∞ .

2. Se dice que una función es decreciente si para todos los elementos de un intervalo , , si x1<x2, se cumple que f(x1)> f(x2). En el caso de la función cuadrática, se

analiza la monotonía en los intervalos ∞, y , ∞ .

Observemos la siguiente tabla, que resume el análisis de la monotonía para la función cuadrática.

Modelo Intervalo Monotonía Gráficos

cbxaxy ++= 2 cbxaxxf ++= 2)(

∞,2

Decreciente Para todo x1, x2 elemento del intervalo, si x1<x2, f(x1)> f(x2).

Creciente Para todo x1, x2 elemento del intervalo, si x1<x2, f(x1)< f(x2).

2, ∞

Creciente Para todo x1, x2 elemento del intervalo, si x1<x2, f(x1)< f(x2).

Decreciente Para todo x1, x2 elemento del intervalo, si x1<x2, f(x1)> f(x2).

En todas estas representaciones gràficas, el eje de simetría tiene por ecuación la expresión:

2

Créditos: Equipo Técnico del Nuevo Bachillerato Ecuatoriano.

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y