funciones

C.E.Te.C Carrera: Técnico Superior En Análisis De Sistemas Asignatura: Matemática II Funciones I

FUNCIONES REALES

El concepto mas importante de todas las matemáticas es, sin dudarlo, el de función. Las funciones son las herramientas matemáticas principales en las descripciones de determinados sucesos. Analizaremos la definición de función y estudiaremos algunas de las funciones. Definición provisional Una función es una regla que asigna a cada uno de ciertos números reales un número real. Ejemplos:

La regla que asigna a todo número su cuadrado.

La regla que asigna a todo número x el número: ( )( )

11

xx

+−

La regla que asigna a cada número r positivo (radio) el número llamado área, de manera que: A = π.r2

La temperatura a la cual hierve el agua depende de la altitud sobre el nivel del mar (el punto de ebullición es mas bajo conforme se asciende).

El interés que se paga por una inversión depende del tiempo de dure ésta.

En cada caso, el valor de una variable (la cual podríamos llamar y) depende del valor de otra cantidad variable (que podríamos llamar x). Dado que el valor de y está completamente determinado por el valor de x, decimos que y es una función de x.

xy

f

y = f(x), “y es el transformado de x por la regla f “ Definición de función:

Decimos que f es una función de un conjunto A en otro B, y escribimos , si y BAf →:sólo si para todo x perteneciente a A, existe un único elemento y, perteneciente a B, talque f(x) = y.

Simbólicamente, deben cumplirse:

a)(existenci )(/y ,) yxfBAxi =∈∃∈∀

1 1 2 1 1 2) ( ) ( ) (unicidad)ii si y f x y f x y y= ∧ = ⇒ =

Dominio y Codominio Consideremos una función f que va del conjunto A en el conjunto B, . BAf →:

El conjunto de todos los valores a los cuales está permitido aplicar f es el dominio de la función. Es decir que ( )A Dom f=

El conjunto B o conjunto de llegada es el codominio de la función. Es decir : ( )B Cod f=

Prof. Alfonso Página 1 de 17


Ejemplo 1: Sea donde f (x) = 2x. ZZf →: Esta función asigna a cada elemento del dominio su doble. Es decir, que a cada número entero (x) le asigna un elemento (y) que es un número particular. Luego, existen elementos del codomio (Z), por ejemplo el número 3, que no le corresponde a ningún elemento del dominio. Esto nos lleva a definir un nuevo concepto: la imagen de una función Imagen de una función Llamaremos imagen de una función al subconjunto de B que se obtiene mediante la aplicación de f sobre los elementos de A.

BAf →:

En símbolos: { }yxfAxByf =∈∃∈= )(/:)Im( En el ejemplo 1 se tiene :

• ( )Dom f Z=

• Cod(f) = Z • ( ) { }Im / 2 ,f y Z y t t Z= ∈ = ∈ , es decir, el conjunto de los números

pares. Representación gráfica de una función

Las funciones se pueden representar mediante una gráfica sobre unos ejes llamados ejes coordenados. Al eje horizontal se lo suele llamar eje x o eje de abscisas; sobre él se sitúa la variable independiente. Al eje vertical se lo suele llamar eje y o eje de ordenadas; sobre él se sitúa la variable dependiente. Para situar las variables sobre los ejes, hay que dar una escala en cada uno de ellos.

Si P es un punto del plano, trazando por P la paralela el eje y, obtenemos un punto x0 sobre el eje x que llamamos abscisa de P. Trazando por P la paralela al eje x, obtenemos un punto y0 sobre el eje y al que llamamos ordenada de P. Diremos que x0 e y0 son las coordenadas de P y escribiremos . Gráficamente: ),( 00 yxP =

y

xx 0

y 0

),( 00 yxP =

El conjunto de puntos (x,y) del plano, tal que y = f(x) para todo x perteneciente al dominio de f se denomina gráfica de f Ejemplos Sea la función . Algunos puntos de su gráfica son :(0,1), (1,4), (-1,-2) 13)(/: +=→ xxfRRf (1/3,2). De esta manera obtenemos la siguiente representación gráfica de f:



21

-2

0

4

2

-1

1

* Consideremos la función ( ) 2: /f f x xℜ → ℜ = . Para obtener su gráfico aproximado podríamos dar distintos valores a x y obtener los correspondientes de y. Para ello es cómodo hacer una tabla como la que sigue:

y

4

1

x-2 -1 1 2

x ( ) 2f x x= -2 4 -1 2 0 0

0,5 0,25 1 1 2 4

Ejercicios Determinar el dominio, la imagen y el codominio de las siguientes funciones. A B x1 y1

x2 y2 x3 y3



x

y

-6 -4 -2 0 2 4 6

-2

0

2f(x)= 2x Dom(f):

Img(f):Cod(f)

x

y

-6 -4 -2 0 2 4 6

-2

0

2

f(x)=ax+b

Dom(f):

Img(f):

Cod(f)

Función Creciente Sea , diremos que f es una función estrictamente creciente en un intervalo si

RRAf →⊆:AI ⊆ Ixx ∈∀ 21 , se verifica que cuando )()( 2121 xfxfxx <⇒<

Diremos que es creciente si se verifica que cuando 1 2,x x I∀ ∈ )()( 2121 xfxfxx ≤⇒< Función Decreciente Sea , diremos que f es una función estrictamente decreciente en un intervalo si se verifica que cuando

RRAf →⊆:AI ⊆ Ixx ∈∀ 21 , )()( 2121 xfxfxx >⇒<

Diremos que es decreciente si se verifica que cuando Ixx ∈∀ 21 , )()( 2121 xfxfxx ≥⇒< Función Monótona Llamaremos a una función monótona cuando creciente o decreciente en su dominio. Ejercicios Determinar el dominio, imagen, codominio e intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones.

x

y

-6 -4 -2 0 2 4 6

0

2

f(x)= a a>0

Dom(f):

Img(f):

Cod(f)

crece si x

decrece si x

x

y

-6 -4 -2 0 2 4 6

0

2

f(x)=ax a >1

Dom(f):

Img(f)

Cod(f):

crece si x

decrece si x



x

y

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

1

2

3

4

5

x

y

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4

-2

0

2

4

Función Par: La función y = f(x) es par si resulta que f(x) = f (-x) ∀x ∈ Dom(f) . Gráficamente una función es par si es simétrica respecto del eje y. Función Impar: La función y = f (x) es una función impar si resulta que f(x) = -f (-x) ∀x ∈ Dom(f). Gráficamente una función es impar si es simétrica respecto del origen. Ejercicio: Observar las gráficas anteriores y determinar se cada una de las funciones que representan son pares, impares o ninguna de las dos.



Funciones Polinómicas

Una función polinómica es aquella tal que y RRf →: 011

1 ...)( axaxaxaxf nn

nn ++++= −

−

Las funciones polinómicas tienen como dominio el conjunto de los números reales y el grado del polinomio es el grado de la función. De esta manera la función de primer grado o lineal es un polinomio de grado uno, es decir el mayor exponente de la variable independiente es uno, la función polinómica de segundo grado o función cuadrática es un polinomio de grado dos. Básicamente estudiaremos las funciones de primer grado, segundo grado y tercer grado o cúbica.

FUNCION LINEAL Una función lineal es una función f de la forma f (x) = ax + b, donde a y b son números reales. El dominio de una función lineal es ( )Dom f = ℜ , a es la pendiente y b la ordenada al origen. Si realizamos una tabla de valores, se puede observar que la gráfica de una función lineal es una recta. Ejemplo: Sea f (x) =2x + 1

y

x 2x +1=y210-1-2

x-1-2

-1

-3

-3

1

3

5

531-1

La característica de poseer como gráfica a una recta se puede generalizar a todas las funciones lineales de la forma f(x) = a.x + b. Recíprocamente, toda recta del plano que no es paralela al eje de las ordenadas es la gráfica de una función lineal. Se excluyen las rectas paralelas al eje y como gráficas de funciones lineales ya que una recta vertical no representa una función. ¿Por qué? Pendiente de una recta Consideremos la función lineal del ejemplo anterior f (x) = 2x + 1. Si efectuamos el cociente entre la diferencia de las segundas componentes y la diferencia de las primeras componentes de los pares de puntos pertenecientes a la recta resulta:

0 ( 5) 5(-3,-5) y (-½,0) 21 5 / 2( 3)2

− −= =

− − −

3 1(0,1) (1,3) 21 0

y −=

−



5 1 4(0,1) (2,5) 22 1 2

y −= =

−

Observamos que, dada una recta (no paralela al eje y), esta tiene la propiedad de que cualesquiera

que sean los puntos ),(),( 111000 yxPyyxP == pertenecientes a la recta, el cociente 01

01

xxyy

−−

=a

es constante. Llamaremos a dicha constante a pendiente de la recta Dada la ecuación de una recta y = ax + b , el coeficiente a es la pendiente de dicha recta Gráficamente:

y

α

xx 1

y 0

y1

x 0

),( 00 yxP =

),( 11 yxQ =

Consideremos los puntos ),(),( 1100 yxQyyxP == de la gráfica. Ya vimos que la pendiente a de

la recta está dada por 01

01

xxyy

−−

=a .

En la gráfica podemos ver que 0101 y xxyy −− representan los catetos opuesto y adyacente de un triángulo rectángulo. Luego:

)(adyacente catetoopuesto cateto

01

01 αtgxxyy

==−−

=a

Es decir que : )(αtg=a , donde α es el ángulo que forma la recta con el eje positivo de las x. Ordenada al origen de una recta: Dada la recta y = a.x + b, si calculamos el valor de y para x = 0 resulta:

y = a.0 + b = b.

Por lo tanto el punto (0,b) pertenece a la recta; y gráficamente es el punto en el cual la recta corta al eje y. Por esta razón a b se lo llama ordenada al origen. Crecimiento y decrecimiento de una función lineal. Según la definición que hemos visto de función creciente y función decreciente, podemos observar que:

Si la pendiente es positiva (a>0) f es creciente. ⇒ Si la pendiente es positiva (a<0) ⇒ f es decreciente.



x

y

-6 -4 -2 0 2 4 6

0

2 f(x)= ax a<0 Rxdecrecef ∈∀

x

y

-6 -4 -2 0 2 4 6 0

2

f(x)= ax a>0

Rxcrecef ∈∀

Rectas paralelas y perpendiculares • En el siguiente gráfico se tienen dos rectas paralelas: 1 2//L L

'αα

y = a’x + b’

y = ax + b y

x

En el gráfico podemos observar que los ángulos que ambas rectas forman con el eje x ( 'αα y ), coinciden, es decir que 'αα = , entonces 'αα tgtg = . Luego a = a’

Dos rectas son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente • Recordemos que dos rectas son perpendiculares cuando forman un ángulo recto.

x

y

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-1

0

1

2

3

4

y=a’x +b’y=ax +b



En el caso de rectas perpendiculares no es tan fácil encontrar una relación entre sus pendientes. Sin embargo, se puede demostrar que para que sean perpendiculares se debe cumplir la siguiente

relación: '

1a

a −=

Dos rectas, con pendiente distinta de cero, son perpendiculares si y sólo si la pendiente de una es la

inversa de la otra cambiada de signo Nota: Si la pendiente de una recta es cero, por ejemplo y = 3, una recta perpendicular a ésta tiene la forma . 0 0x x x= ∀ ∈ℜ Intersecciones de una recta con los ejes coordenados • Para hallar la intersección de una recta con el eje de las x, debemos hallar un punto de la recta

cuya coordenada en y sea cero. Veamos esto con un ejemplo: Sea la recta y = -x + 4, su gráfica sería la siguiente:

x

y

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-1

0

1

2

3

4

Para hallar la intersección con el eje x debemos encontrar el punto de la recta de la forma . Para ello igualamos a cero la variable y en la ecuación de la recta, y despejamos el

valor de la variable x. ( 0 ,0x )

0 = -x + 4 es el punto de intersección de la recta con el eje de las x. )0,4(4 =⇒=⇒ Px

• De la misma manera, para hallar la intersección de la recta con el eje de las y, debemos hallar un punto de la recta cuya coordenada en x sea cero; es decir debemos encontrar un punto de la recta de la forma (0,yo). Para ello debemos igualar x a cero en la ecuación de la recta y despejar el valor de y correspondiente. Es decir : y = -0 + 4 es el punto de intersección de la recta con el eje de las y. )4,0(4 =⇒=⇒ Qy



Ecuación de una recta que pasa por un punto con pendiente dada Supongamos que queremos hallar la ecuación de una recta teniendo en cuenta los siguientes datos : pasa por el punto ( )0 0,x y y tiene pendiente a. La ecuación de cualquier recta sabemos que tiene la siguiente forma: , pero además sabemos que debe pasar por el punto

.y a x b= +

( )0 0,x y , por lo tanto se debe verificar que : 0 0.y a x b= + . Lugo podemos despejar el valor de la ordenada al origen b: 0.0b = y a x− Con lo cual la recta buscada sería: 0 0:L y ax y ax= + − O, equivalente mente: 0 0: (L y y a x x− = − ) Ejemplo: Hallar la recta que pasa por el punto (1,2) y que es paralela a la recta y = 2x + ½ - Para hallar la ecuación de la recta tenemos dos datos: un punto ( ) ( )0 0, 1,x y = 2 y la pendiente a

=2 (pues si la recta que buscamos debe ser paralela a la recta dada, tiene la misma pendiente). Con estos datos y teniendo en cuenta la ecuación de la recta que pasa por un punto con

pendiente dada: )( 00 xxyy −=− a

La ecuación de la recta resulta: 2 2( 1) 2 2 2 2y x y x y x− = − ⇒ = − + ⇒ =

Ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados Supongamos ahora que queremos hallar la ecuación de una recta teniendo en cuenta los siguientes datos: Pasa por los puntos ( ) ( )0 0 1 1, y ,x y x y . La ecuación de una recta que pasa por un punto con pendiente dada que analizamos anteriormente es. (*) )( 00 xxyy −=− a

Pero ya hemos visto que la pendiente de una recta se puede hallar del siguiente modo: 1 0

1 0

y yax x

−=

−

Por lo tanto, reemplazando en (*) resulta: ( )1 00 0

1 0

.y yy y x xx x

−− = −

−

O equivalentemente: 0 0

1 0 1

y y x xy y x x

− −=

− − 0

Ejemplo: Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto (1,3) y corta al eje x en x = 5 Para hallar la recta tenemos dos datos: la recta pasa por el punto ( ) ( )0 0, 1,x y = 3 y por el punto

( ) ( )1 1, 5,x y = 0 . Utilizando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados resulta :

3 1 3 1 4 12 3 3 4 3 15 0 3 5 1 4 4y x y x y x y x− −

= ⇒ − = − + ⇒ = − + ⇒ = − +− −

5



FUNCION CUADRATICA - FUNCION POLINOMICA DE SEGUNDO GRADO Una función polinómica de segundo grado tiene la siguiente expresión : , donde cba ++= xxy 2

0a ≠ . Y su dominio son todos los números reales. La función cuadrática más sencilla es y = x2, y su gráfica se presenta a continuación. y

4

1

x-2 -1 1 2

x f(x) = x2

-3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9

El gráfico obtenido se denomina parábola, al igual que el gráfico de cualquier función cuadrática. Observemos que el menor valor que toma y es 0, cuando x = 0, y que y no puede tomar valores negativos. El punto (0,0) se denomina vértice de la parábola. Distintas formas de expresar una función cuadrática La expresión recibe el nombre de forma polinómica de la función. Pero existen otras dos maneras de expresar una función cuadrática y que nos proporcionan distintos datos respecto del gráfico.

cbxaxxf 2 ++=)(

Expresión Polinómica Expresión Canónica Expresión factorizada

( ) 2. .f x a x b x c= + + ( ) ( )2 ( ) ( )( )1 2f x a x r x r= − − f x a x h k= − + Información Información Información Coeficiente Cuadrático “a” Vértice v Raíces );(: 00 yx 21 rr ,Coeficiente Lineal “b” Valor máximo o mínimo ¿Cómo calcularlas? Coeficiente Independiente “c” de la función. ¿Por qué? P:(0,c) pto. Donde las ramas cortan al eje de las ordenadas Resulta de interés conocer la manera de poder expresar una función dada de las tres maneras. Por ello se analizará el pasaje de una forma a otra. Expresión canónica Dada la expresión para lograr la expresión canónica debemos realizar el proceso de completamiento de cuadrados. Este consiste en lograr un trinomio cuadrado perfecto, de manera de poder expresarlo como un binomio al cuadrado.

cbxaxxf 2 ++=)(



Veamos cómo funciona Dada ( ) 2f x ax bx c= + + Polinómica Paso 1) Analizamos si la expresión es un trinomio cuadrado perfecto con a = 1. Si lo es, expresarlo como un binomio al cuadrado. Caso contrario seguir.

Paso 2) Extraer factor común “a” ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

acx

abxaxf 2)(

Paso 3) Analizar si la expresión entre paréntesis es un trinomio cuadrado perfecto. Si lo es expresarlo como el cuadrado de un binomio y. Caso contrario seguir. Paso 4) Sumar y restar el cuadrado de la mitad del segundo coeficiente b/a.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++=

ac

a2b

a2bx

abxaxf

222)(

Observar que como se ha sumado y restado el mismo número, la expresión obtenida es igual a la del paso anterior. Por otra parte hemos logrado un trinomio cuadrado perfecto ya que

22

2

a2bx

a2bx

abx ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++

Paso 5) Expresar el trinomio como un binomio al cuadrado.

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

ac

a2b

a2bxaxf

22

)(

Paso 6) Distribuir el coeficiente “a”

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

ac

a2ba

abxaxf

22

.)(

Reescribiendo la expresión tenemos

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

ac

a4ba

a2bxaxf 2

22

.)(

Paso 7) Reemplazando a4

bckdoreemplazanya2

bh2

−=−= resulta

khxaxf +−= 2).()( Canónica



Expresión factorizada Ya hemos visto en la unidad de estudio anterior, que podemos hallar las raíces de un polinomio de segundo grado igualando dicho polinomio a cero, y utilizando la fórmula de Baskara. Es decir:

a2ac4bbrrcbxax0

2

212 −±−

=⇒++= , .

Luego el polinomio queda factorizada del siguiente modo ))(()( 21 rxrxaxf −−= Pero existe otra forma de hallar las raíces sin utilizar la fórmula de Baskara: si hallamos la expresión

canónica hxakhx

akhx

akkhxa −=

−⇒−=

−⇒−=

−⇒+−= 222 )()().(0

hakrh

akr

hakxoh

akx

akhxo

akhx

+−

−=+−

=

⇒+−

−=+−

=⇒−

−=−−

=−⇒

21

Por lo tanto es posible hallar las raíces simplemente despejando de la ecuación de la expresión canónica igualada a cero. Desplazamientos del gráfico de una función cuadrática Dada la expresión canónica de una función cuadrática ( ) ( )2f x a x h k= − + , se analizará continuación las variaciones en el gráfico al variar los parámetros a, h y k

* Supongamos que h=0 y k=0, entonces la función resulta de la forma 2y ax= . En el siguiente gráfico se tienen las parábolas que resultan de hacer a=1, a= -1, a=3, a= -3, a=½ , a= -½ .

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-4

-2

0

2

4

a = ½ a = 3 a = 1

a =- ½ a =- 3 a =- 1



Conclusión 1:

Si a > 0, las ramas de la parábola apuntan hacia arriba Si a < 0, las ramas de la parábola apuntan hacia abajo. Cuando “ a ” crece, la función tiende a pegarse al eje de las ordenadas

Cuando “ a ” decrece, la función tiende a pegarse al eje de las abscisas

Supongamos ahora a =1 y k =0, entonces la función es de la forma . En el siguiente gráfico se muestran la parábolas resultantes para h = 0, h = -2, h = 2, h = 4 y h = -5

2kxxf )()( −=

x

y

-6 -4 -2 0 2 4 60

1

2

3

h = -5 h = -2 h = 2 h = 4 h = 0

Conclusión 2 :

Si h>0, la parábola se desplaza hacia la derecha. Si h<0, la parábola se desplaza hacia la izquierda.

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3

-2

0

2

4

Supongamos a = 1 y h = 0, entonces la función tiene la forma . En el siguiente gráfico se tienen las parábolas que se obtienen de hacer k = 0, k = -1 , k = 1, k = -2 y k = 2

kxxf 2 +=)(

k = 2

k = 1

k = 0

k = -1

k =-2

Conclusión 3: Si k>0, la parábola se desplaza hacia arriba Si k<0, la parábola se desplaza hacia abajo.



Conclusión final Dada la forma canónica de una función cuadrática ( ) ( )2f x a x h k= − + , se tiene que :

El valor de a indica la amplitud y el sentido de las ramas de la parábola. El valor de h indica el desplazamiento horizontal (izquierda - derecha) de la parábola. El valor de k indica el desplazamiento vertical (arriba - abajo) de la parábola. El punto (h, k), es el vértice de la parábola.

Como hemos analizado anteriormente, dada la forma canónica de una función cuadrática:

, podemos determinar que el vértice de la parábola es (h ,k) y el sentido de las ramas según sea el signo de a. Por lo tanto, dad una función cuadrática expresada en forma canónica, sólo debemos obtener su expresión canónica y la podremos graficar fácilmente.

khxaxf +−= 2)()(

Otra característica a tener en cuenta en el gráfico de una parábola es que posee un eje de simetría, cuya ecuación es x=h, y que la divide en dos ramas simétricas como se observa en el siguiente gráfico:

x

y

-1.5 -1 -0.5 0 0.5

Ejemplo: Graficar la siguiente función: ( ) 22 12 1f x x x 8= + +

);(:;;

)()()()()(

03v18c12b2a

3x2xf9x6x2xf18x12x2xf 222

−===⇓⇓

+=⇒++=⇒++=

P:(0,c) = (0,18) valor mínimo de f

Cálculo de las raíces (x;0)

333030)3(0)3(20)( 2122 −==⇒−==⇒=+⇒=+⇒=+⇒= rrxoxxxxxf

=)(xf 18x12x2 2 ++ 23x2 )( += = )3)(3(2 ++ xx ( )Dom f = ℜ

Como ( ) [ )2 2( 3) 0 2( 3) 0 Im 0,x x f+ ≥ ⇒ + ≥ ⇒ = +∞

1 1.5 2 2.5 3 3.5

-2

0

2

4

21xy 2 −−= )( Eje de simetría x = 1



Como ),(:)(, 180Pc18xfresulta0xcuando18c ⇒===⇒= punto en el que las ramas cortan al eje de las ordenadas. Si ( ) [ )3 ( 3) 2( 3 3) 0 Im 0; : ( 3;0)x f y como f V= − ⇒ − = − + = = +∞ ⇒ − es el mínimo valor que toma la función. Como a > 0 entonces las ramas van hacia arriba. Para graficar, ubicamos el vértice, las raíces, el punto en el cual las ramas cortan al eje de las ordenadas y trazamos la grafica en forma aproximada, debe coincidir con la imagen hallada y con la información que nos brinda el coeficiente cuadrático.

x

y

-8 -6 -4 -2 00

5

10

15

f(x) = 2(x+3)2

r :(-3;0)

P :(0;18)

X = 3 Eje de simetría

Como podemos observar el valor de h indica el desplazamiento horizontal de la función. Consideremos un último ejemplo

( )

( )29

23)2()(

49

232)(

23

2332)()3)(2()(62)(

22

22222

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=⇒

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+−−=⇒−−=⇒+−=

xxfxxf

xxxfxxxfxxxfSea

Cálculo de las raíces ( ),0x

( ) 2/32/34/9)2/3(2/92/3)2(02/923)2(0)( 22

2

=−⇒=−⇒−=−−⇒=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⇒= xxxxxf

3003 21 ==⇒==⇒ ryrxox

( )

( ) ( ]

2 2

2 2 2

( ) 2 6 ( 2)( 3 / 2) 9 / 2 ( 2)( 0)( 3)2

60 : (0;0)

( 3 / 2) 0 ( 2)( 3 / 2) 0 ( 2)( 3 / 2) 9 / 2 9 / 2Im ;9 / 2

: (3 / 2;9 / 2) máximo valor de la

f x x x x x xa ramas hacia abajobc PDom f

Como x x xf

v f

= − + = − − + = − − −= − ⇒== ⇒

= ℜ

− ≥ ⇒ − − ≤ ⇒ − − + ≤

= −∞

⇒



x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3

-4

-2

0

2

4

P:(0,0)r1

f(x)=-2x2+6x

r1:(0,0) r2:(3,0)

Eje de Simetría x=3/2

v:(3/2;9/2)


funciones

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