funciones armónicas. problema de dirichlet. fórmulas de ...jana/calc3_2011/clase11.pdfteorema...
TRANSCRIPT
![Page 1: Funciones armónicas. Problema de Dirichlet. Fórmulas de ...jana/calc3_2011/clase11.pdfteorema teorema teorema (unicidad soluciones (D)) si existe solución de (D) ˆ 4u = 0 en u](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071419/61173f702ae23104f12b5990/html5/thumbnails/1.jpg)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
Funciones armónicas. Problema de Dirichlet.Fórmulas de Green
Jana Rodriguez HertzCálculo 3
IMERL
7 de abril de 2011
![Page 2: Funciones armónicas. Problema de Dirichlet. Fórmulas de ...jana/calc3_2011/clase11.pdfteorema teorema teorema (unicidad soluciones (D)) si existe solución de (D) ˆ 4u = 0 en u](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071419/61173f702ae23104f12b5990/html5/thumbnails/2.jpg)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
laplaciano
Laplaciano
definición (Laplaciano)
f : Ω→ R3 función C2
Laplaciano de f
4f = ∇2f = ∇.∇f = fxx + fyy + fzz
![Page 3: Funciones armónicas. Problema de Dirichlet. Fórmulas de ...jana/calc3_2011/clase11.pdfteorema teorema teorema (unicidad soluciones (D)) si existe solución de (D) ˆ 4u = 0 en u](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071419/61173f702ae23104f12b5990/html5/thumbnails/3.jpg)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
laplaciano
Laplaciano
definición (Laplaciano)
f : Ω→ R3 función C2
Laplaciano de f
4f = ∇2f = ∇.∇f = fxx + fyy + fzz
![Page 4: Funciones armónicas. Problema de Dirichlet. Fórmulas de ...jana/calc3_2011/clase11.pdfteorema teorema teorema (unicidad soluciones (D)) si existe solución de (D) ˆ 4u = 0 en u](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071419/61173f702ae23104f12b5990/html5/thumbnails/4.jpg)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
laplaciano
Laplaciano
definición (Laplaciano)
f : Ω→ R3 función C2
Laplaciano de f
4f = ∇2f = ∇.∇f = fxx + fyy + fzz
![Page 5: Funciones armónicas. Problema de Dirichlet. Fórmulas de ...jana/calc3_2011/clase11.pdfteorema teorema teorema (unicidad soluciones (D)) si existe solución de (D) ˆ 4u = 0 en u](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071419/61173f702ae23104f12b5990/html5/thumbnails/5.jpg)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
laplaciano
Laplaciano
definición (Laplaciano)
f : Ω→ R3 función C2
Laplaciano de f
4f = ∇2f = ∇.∇f = fxx + fyy + fzz
![Page 6: Funciones armónicas. Problema de Dirichlet. Fórmulas de ...jana/calc3_2011/clase11.pdfteorema teorema teorema (unicidad soluciones (D)) si existe solución de (D) ˆ 4u = 0 en u](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071419/61173f702ae23104f12b5990/html5/thumbnails/6.jpg)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
funciones armónicas
funciones armónicas
definición (función armónica)
f función armónica si
4f = ∇2f ≡ 0
(ecuación de Laplace)
![Page 7: Funciones armónicas. Problema de Dirichlet. Fórmulas de ...jana/calc3_2011/clase11.pdfteorema teorema teorema (unicidad soluciones (D)) si existe solución de (D) ˆ 4u = 0 en u](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071419/61173f702ae23104f12b5990/html5/thumbnails/7.jpg)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
funciones armónicas
funciones armónicas
definición (función armónica)f función armónica si
4f = ∇2f ≡ 0
(ecuación de Laplace)
![Page 8: Funciones armónicas. Problema de Dirichlet. Fórmulas de ...jana/calc3_2011/clase11.pdfteorema teorema teorema (unicidad soluciones (D)) si existe solución de (D) ˆ 4u = 0 en u](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071419/61173f702ae23104f12b5990/html5/thumbnails/8.jpg)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
funciones armónicas
funciones armónicas
definición (función armónica)f función armónica si
4f = ∇2f ≡ 0
(ecuación de Laplace)
![Page 9: Funciones armónicas. Problema de Dirichlet. Fórmulas de ...jana/calc3_2011/clase11.pdfteorema teorema teorema (unicidad soluciones (D)) si existe solución de (D) ˆ 4u = 0 en u](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071419/61173f702ae23104f12b5990/html5/thumbnails/9.jpg)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
funciones armónicas
funciones armónicas
definición (función armónica)f función armónica si
4f = ∇2f ≡ 0
(ecuación de Laplace)
![Page 10: Funciones armónicas. Problema de Dirichlet. Fórmulas de ...jana/calc3_2011/clase11.pdfteorema teorema teorema (unicidad soluciones (D)) si existe solución de (D) ˆ 4u = 0 en u](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071419/61173f702ae23104f12b5990/html5/thumbnails/10.jpg)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
transferencia del calor (solución estacionaria)
Ω corona 2 ≤ r ≤ 4
u : Ω∗ → R temperatura enla coronadatos:u(4 cos θ,4 sin θ) =4 sin(5θ)
u(2 cos θ,2 sin θ) = 0cómo se transfiere el calorde un borde al otro?
![Page 11: Funciones armónicas. Problema de Dirichlet. Fórmulas de ...jana/calc3_2011/clase11.pdfteorema teorema teorema (unicidad soluciones (D)) si existe solución de (D) ˆ 4u = 0 en u](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071419/61173f702ae23104f12b5990/html5/thumbnails/11.jpg)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
transferencia del calor (solución estacionaria)
Ω corona 2 ≤ r ≤ 4u : Ω∗ → R temperatura enla corona
datos:u(4 cos θ,4 sin θ) =4 sin(5θ)
u(2 cos θ,2 sin θ) = 0cómo se transfiere el calorde un borde al otro?
![Page 12: Funciones armónicas. Problema de Dirichlet. Fórmulas de ...jana/calc3_2011/clase11.pdfteorema teorema teorema (unicidad soluciones (D)) si existe solución de (D) ˆ 4u = 0 en u](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071419/61173f702ae23104f12b5990/html5/thumbnails/12.jpg)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
transferencia del calor (solución estacionaria)
Ω corona 2 ≤ r ≤ 4u : Ω∗ → R temperatura enla coronadatos:
u(4 cos θ,4 sin θ) =4 sin(5θ)
u(2 cos θ,2 sin θ) = 0cómo se transfiere el calorde un borde al otro?
![Page 13: Funciones armónicas. Problema de Dirichlet. Fórmulas de ...jana/calc3_2011/clase11.pdfteorema teorema teorema (unicidad soluciones (D)) si existe solución de (D) ˆ 4u = 0 en u](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071419/61173f702ae23104f12b5990/html5/thumbnails/13.jpg)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
transferencia del calor (solución estacionaria)
Ω corona 2 ≤ r ≤ 4u : Ω∗ → R temperatura enla coronadatos:u(4 cos θ,4 sin θ) =4 sin(5θ)
u(2 cos θ,2 sin θ) = 0cómo se transfiere el calorde un borde al otro?
![Page 14: Funciones armónicas. Problema de Dirichlet. Fórmulas de ...jana/calc3_2011/clase11.pdfteorema teorema teorema (unicidad soluciones (D)) si existe solución de (D) ˆ 4u = 0 en u](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071419/61173f702ae23104f12b5990/html5/thumbnails/14.jpg)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
transferencia del calor (solución estacionaria)
Ω corona 2 ≤ r ≤ 4u : Ω∗ → R temperatura enla coronadatos:u(4 cos θ,4 sin θ) =4 sin(5θ)
u(2 cos θ,2 sin θ) = 0
cómo se transfiere el calorde un borde al otro?
![Page 15: Funciones armónicas. Problema de Dirichlet. Fórmulas de ...jana/calc3_2011/clase11.pdfteorema teorema teorema (unicidad soluciones (D)) si existe solución de (D) ˆ 4u = 0 en u](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071419/61173f702ae23104f12b5990/html5/thumbnails/15.jpg)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
transferencia del calor (solución estacionaria)
Ω corona 2 ≤ r ≤ 4u : Ω∗ → R temperatura enla coronadatos:u(4 cos θ,4 sin θ) =4 sin(5θ)
u(2 cos θ,2 sin θ) = 0
cómo se transfiere el calorde un borde al otro?
![Page 16: Funciones armónicas. Problema de Dirichlet. Fórmulas de ...jana/calc3_2011/clase11.pdfteorema teorema teorema (unicidad soluciones (D)) si existe solución de (D) ˆ 4u = 0 en u](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071419/61173f702ae23104f12b5990/html5/thumbnails/16.jpg)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
transferencia del calor (solución estacionaria)
Ω corona 2 ≤ r ≤ 4u : Ω∗ → R temperatura enla coronadatos:u(4 cos θ,4 sin θ) =4 sin(5θ)
u(2 cos θ,2 sin θ) = 0cómo se transfiere el calorde un borde al otro?
![Page 17: Funciones armónicas. Problema de Dirichlet. Fórmulas de ...jana/calc3_2011/clase11.pdfteorema teorema teorema (unicidad soluciones (D)) si existe solución de (D) ˆ 4u = 0 en u](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071419/61173f702ae23104f12b5990/html5/thumbnails/17.jpg)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
problema de dirichlet
problema de dirichlet
problema de dirichlet
encontrar u : Ω→ R tal que
(D)
4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω
![Page 18: Funciones armónicas. Problema de Dirichlet. Fórmulas de ...jana/calc3_2011/clase11.pdfteorema teorema teorema (unicidad soluciones (D)) si existe solución de (D) ˆ 4u = 0 en u](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071419/61173f702ae23104f12b5990/html5/thumbnails/18.jpg)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
problema de dirichlet
problema de dirichlet
problema de dirichlet
encontrar u : Ω→ R tal que
(D)
4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω
![Page 19: Funciones armónicas. Problema de Dirichlet. Fórmulas de ...jana/calc3_2011/clase11.pdfteorema teorema teorema (unicidad soluciones (D)) si existe solución de (D) ˆ 4u = 0 en u](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071419/61173f702ae23104f12b5990/html5/thumbnails/19.jpg)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
problema de dirichlet
problema de dirichlet
problema de dirichlet
encontrar u : Ω→ R tal que
(D)
4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω
![Page 20: Funciones armónicas. Problema de Dirichlet. Fórmulas de ...jana/calc3_2011/clase11.pdfteorema teorema teorema (unicidad soluciones (D)) si existe solución de (D) ˆ 4u = 0 en u](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071419/61173f702ae23104f12b5990/html5/thumbnails/20.jpg)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
teorema
teorema
teorema (unicidad soluciones (D))
si existe solución de
(D)
4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω
entonces es única
![Page 21: Funciones armónicas. Problema de Dirichlet. Fórmulas de ...jana/calc3_2011/clase11.pdfteorema teorema teorema (unicidad soluciones (D)) si existe solución de (D) ˆ 4u = 0 en u](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071419/61173f702ae23104f12b5990/html5/thumbnails/21.jpg)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
teorema
teorema
teorema (unicidad soluciones (D))si existe solución de
(D)
4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω
entonces es única
![Page 22: Funciones armónicas. Problema de Dirichlet. Fórmulas de ...jana/calc3_2011/clase11.pdfteorema teorema teorema (unicidad soluciones (D)) si existe solución de (D) ˆ 4u = 0 en u](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071419/61173f702ae23104f12b5990/html5/thumbnails/22.jpg)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
teorema
teorema
teorema (unicidad soluciones (D))si existe solución de
(D)
4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω
entonces es única
![Page 23: Funciones armónicas. Problema de Dirichlet. Fórmulas de ...jana/calc3_2011/clase11.pdfteorema teorema teorema (unicidad soluciones (D)) si existe solución de (D) ˆ 4u = 0 en u](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071419/61173f702ae23104f12b5990/html5/thumbnails/23.jpg)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
teorema
teorema
teorema (unicidad soluciones (D))si existe solución de
(D)
4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω
entonces es única
![Page 24: Funciones armónicas. Problema de Dirichlet. Fórmulas de ...jana/calc3_2011/clase11.pdfteorema teorema teorema (unicidad soluciones (D)) si existe solución de (D) ˆ 4u = 0 en u](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071419/61173f702ae23104f12b5990/html5/thumbnails/24.jpg)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
teorema
demostración
al final de esta clase
![Page 25: Funciones armónicas. Problema de Dirichlet. Fórmulas de ...jana/calc3_2011/clase11.pdfteorema teorema teorema (unicidad soluciones (D)) si existe solución de (D) ˆ 4u = 0 en u](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071419/61173f702ae23104f12b5990/html5/thumbnails/25.jpg)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
fórmula de green 1
fórmula de green 1
fórmula de green 1
u : Ω∗ → R función C2
⇒ ∫∂Ω
ds =
∫∫Ω∇2u dx dy
![Page 26: Funciones armónicas. Problema de Dirichlet. Fórmulas de ...jana/calc3_2011/clase11.pdfteorema teorema teorema (unicidad soluciones (D)) si existe solución de (D) ˆ 4u = 0 en u](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071419/61173f702ae23104f12b5990/html5/thumbnails/26.jpg)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
fórmula de green 1
fórmula de green 1
fórmula de green 1
u : Ω∗ → R función C2
⇒ ∫∂Ω∇u.~nds =
∫∫Ω∇2u dx dy
![Page 27: Funciones armónicas. Problema de Dirichlet. Fórmulas de ...jana/calc3_2011/clase11.pdfteorema teorema teorema (unicidad soluciones (D)) si existe solución de (D) ˆ 4u = 0 en u](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071419/61173f702ae23104f12b5990/html5/thumbnails/27.jpg)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
fórmula de green 1
fórmula de green 1
fórmula de green 1
u : Ω∗ → R función C2
⇒ ∫∂Ω
∂u∂n
ds =
∫∫Ω∇2u dx dy
![Page 28: Funciones armónicas. Problema de Dirichlet. Fórmulas de ...jana/calc3_2011/clase11.pdfteorema teorema teorema (unicidad soluciones (D)) si existe solución de (D) ˆ 4u = 0 en u](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071419/61173f702ae23104f12b5990/html5/thumbnails/28.jpg)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
fórmula de green 1
demostración
teo. divergencia (Gauss):∫∂Ω~X~nds =
∫∫Ω div ~X dx dy
considerar ~X = ∇u
![Page 29: Funciones armónicas. Problema de Dirichlet. Fórmulas de ...jana/calc3_2011/clase11.pdfteorema teorema teorema (unicidad soluciones (D)) si existe solución de (D) ˆ 4u = 0 en u](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071419/61173f702ae23104f12b5990/html5/thumbnails/29.jpg)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
fórmula de green 1
demostración
teo. divergencia (Gauss):∫∂Ω~X~nds =
∫∫Ω div ~X dx dy
considerar ~X = ∇u
![Page 30: Funciones armónicas. Problema de Dirichlet. Fórmulas de ...jana/calc3_2011/clase11.pdfteorema teorema teorema (unicidad soluciones (D)) si existe solución de (D) ˆ 4u = 0 en u](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071419/61173f702ae23104f12b5990/html5/thumbnails/30.jpg)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
fórmula de green 1
demostración
teo. divergencia (Gauss):∫∂Ω~X~nds =
∫∫Ω div ~X dx dy
considerar ~X = ∇u
![Page 31: Funciones armónicas. Problema de Dirichlet. Fórmulas de ...jana/calc3_2011/clase11.pdfteorema teorema teorema (unicidad soluciones (D)) si existe solución de (D) ˆ 4u = 0 en u](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071419/61173f702ae23104f12b5990/html5/thumbnails/31.jpg)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
fórmula de green 2
fórmula de green 2
fórmula de green 2
u : Ω∗ → R función C2
⇒ ∫∂Ω
u∂u∂n
ds =
∫∫Ω
(u∇2u + (∇u)2)dx dy
![Page 32: Funciones armónicas. Problema de Dirichlet. Fórmulas de ...jana/calc3_2011/clase11.pdfteorema teorema teorema (unicidad soluciones (D)) si existe solución de (D) ˆ 4u = 0 en u](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071419/61173f702ae23104f12b5990/html5/thumbnails/32.jpg)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
fórmula de green 2
fórmula de green 2
fórmula de green 2
u : Ω∗ → R función C2
⇒ ∫∂Ω
u∂u∂n
ds =
∫∫Ω
(u∇2u + (∇u)2)dx dy
![Page 33: Funciones armónicas. Problema de Dirichlet. Fórmulas de ...jana/calc3_2011/clase11.pdfteorema teorema teorema (unicidad soluciones (D)) si existe solución de (D) ˆ 4u = 0 en u](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071419/61173f702ae23104f12b5990/html5/thumbnails/33.jpg)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
fórmula de green 2
fórmula de green 2
fórmula de green 2
u : Ω∗ → R función C2
⇒ ∫∂Ω
u∂u∂n
ds =
∫∫Ω
(u∇2u + (∇u)2)dx dy
![Page 34: Funciones armónicas. Problema de Dirichlet. Fórmulas de ...jana/calc3_2011/clase11.pdfteorema teorema teorema (unicidad soluciones (D)) si existe solución de (D) ˆ 4u = 0 en u](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071419/61173f702ae23104f12b5990/html5/thumbnails/34.jpg)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
fórmula de green 2
demostración
teo. divergencia (Gauss):∫∂Ω~X~nds =
∫∫Ω div ~X dx dy
considerar ~X = u∇u
![Page 35: Funciones armónicas. Problema de Dirichlet. Fórmulas de ...jana/calc3_2011/clase11.pdfteorema teorema teorema (unicidad soluciones (D)) si existe solución de (D) ˆ 4u = 0 en u](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071419/61173f702ae23104f12b5990/html5/thumbnails/35.jpg)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
fórmula de green 2
demostración
teo. divergencia (Gauss):∫∂Ω~X~nds =
∫∫Ω div ~X dx dy
considerar ~X = u∇u
![Page 36: Funciones armónicas. Problema de Dirichlet. Fórmulas de ...jana/calc3_2011/clase11.pdfteorema teorema teorema (unicidad soluciones (D)) si existe solución de (D) ˆ 4u = 0 en u](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071419/61173f702ae23104f12b5990/html5/thumbnails/36.jpg)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
fórmula de green 2
demostración
teo. divergencia (Gauss):∫∂Ω~X~nds =
∫∫Ω div ~X dx dy
considerar ~X = u∇u
![Page 37: Funciones armónicas. Problema de Dirichlet. Fórmulas de ...jana/calc3_2011/clase11.pdfteorema teorema teorema (unicidad soluciones (D)) si existe solución de (D) ˆ 4u = 0 en u](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071419/61173f702ae23104f12b5990/html5/thumbnails/37.jpg)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
demostración
demostración unicidad soluciones (D)
sup u1,u2 soluciones de
(D)
4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω
u∗ = u1 − u2
FG2:∫∂Ω u∗
∂u∗∂n ds =
∫∫Ω(u∗∇2u∗ + (∇u∗)2)dxdy
0 =∫∫
Ω(∇u∗)2dxdy∇u∗ ≡ 0⇒ u∗ = cte⇒ u∗ ≡ 0
![Page 38: Funciones armónicas. Problema de Dirichlet. Fórmulas de ...jana/calc3_2011/clase11.pdfteorema teorema teorema (unicidad soluciones (D)) si existe solución de (D) ˆ 4u = 0 en u](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071419/61173f702ae23104f12b5990/html5/thumbnails/38.jpg)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
demostración
demostración unicidad soluciones (D)
sup u1,u2 soluciones de
(D)
4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω
u∗ = u1 − u2
FG2:∫∂Ω u∗
∂u∗∂n ds =
∫∫Ω(u∗∇2u∗ + (∇u∗)2)dxdy
0 =∫∫
Ω(∇u∗)2dxdy∇u∗ ≡ 0⇒ u∗ = cte⇒ u∗ ≡ 0
![Page 39: Funciones armónicas. Problema de Dirichlet. Fórmulas de ...jana/calc3_2011/clase11.pdfteorema teorema teorema (unicidad soluciones (D)) si existe solución de (D) ˆ 4u = 0 en u](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071419/61173f702ae23104f12b5990/html5/thumbnails/39.jpg)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
demostración
demostración unicidad soluciones (D)
sup u1,u2 soluciones de
(D)
4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω
u∗ = u1 − u2
FG2:∫∂Ω u∗
∂u∗∂n ds =
∫∫Ω(u∗∇2u∗ + (∇u∗)2)dxdy
0 =∫∫
Ω(∇u∗)2dxdy∇u∗ ≡ 0⇒ u∗ = cte⇒ u∗ ≡ 0
![Page 40: Funciones armónicas. Problema de Dirichlet. Fórmulas de ...jana/calc3_2011/clase11.pdfteorema teorema teorema (unicidad soluciones (D)) si existe solución de (D) ˆ 4u = 0 en u](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071419/61173f702ae23104f12b5990/html5/thumbnails/40.jpg)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
demostración
demostración unicidad soluciones (D)
sup u1,u2 soluciones de
(D)
4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω
u∗ = u1 − u2
FG2:∫∂Ω u∗
∂u∗∂n ds =
∫∫Ω(u∗∇2u∗ + (∇u∗)2)dxdy
0 =∫∫
Ω(∇u∗)2dxdy
∇u∗ ≡ 0⇒ u∗ = cte⇒ u∗ ≡ 0
![Page 41: Funciones armónicas. Problema de Dirichlet. Fórmulas de ...jana/calc3_2011/clase11.pdfteorema teorema teorema (unicidad soluciones (D)) si existe solución de (D) ˆ 4u = 0 en u](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071419/61173f702ae23104f12b5990/html5/thumbnails/41.jpg)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
demostración
demostración unicidad soluciones (D)
sup u1,u2 soluciones de
(D)
4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω
u∗ = u1 − u2
FG2:∫∂Ω u∗
∂u∗∂n ds =
∫∫Ω(u∗∇2u∗ + (∇u∗)2)dxdy
0 =∫∫
Ω(∇u∗)2dxdy∇u∗ ≡ 0⇒ u∗ = cte
⇒ u∗ ≡ 0
![Page 42: Funciones armónicas. Problema de Dirichlet. Fórmulas de ...jana/calc3_2011/clase11.pdfteorema teorema teorema (unicidad soluciones (D)) si existe solución de (D) ˆ 4u = 0 en u](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071419/61173f702ae23104f12b5990/html5/thumbnails/42.jpg)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
demostración
demostración unicidad soluciones (D)
sup u1,u2 soluciones de
(D)
4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω
u∗ = u1 − u2
FG2:∫∂Ω u∗
∂u∗∂n ds =
∫∫Ω(u∗∇2u∗ + (∇u∗)2)dxdy
0 =∫∫
Ω(∇u∗)2dxdy∇u∗ ≡ 0⇒ u∗ = cte⇒ u∗ ≡ 0