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Funciones Cuadráticas
Dra: Carmen Ivelisse Santiago
Definición de función cuadrática
• Sea a, b y c números reales con a‡0. La función de x dada por:– f(x)= ax²+ bx + c
será llamada una función cuadrática.
La gráfica de una función cuadrática
• La gráfica de una función cuadrática tiene forma de U y se le llama parábola.
Partes de una parábola
Vértice: (-3, -6)
Interceptos en x:
Interceptos en y: (0, 3)
Formas…
f(x) = x² f(x) = - x²
Punto mínimo Punto máximo
La gráfica es cóncava hacia arriba La gráfica es cóncava hacia abajo
Alteraciones de las funciones cuadráticas
f(x) = x²
f(x) = 8x²
f(x) = (1/12)x²
Cuando dividimos, se abre la gráfica
Cuando multiplicamos la función, cierra la gráfica
Movimientos de las gráficas
f(x) = (x + 6)²f(x) = (x - 4)²
Si sumamos dentro del paréntesis, se mueve hacia la izquierda
f(x) = (x + 6)² -4 f(x) = (x - 4)² + 3Si restamos dentro del paréntesis, se mueve hacia la derecha
Si restamos en la función, se mueve hacia abajo
Si sumamos en la función, se mueve hacia arriba
Ejercicio
• ¿Cómo describirías la función?:f(x) = 2(x+2)²- 1
Respuesta:
Al multiplicarse por positivo 2, será más estrecha y será cóncava hacia arriba, al sumarse dos dentro del paréntesis, se mueve dos veces hacia la izquierda y al restarle 1 a la función, bajará una unidad.
La forma estándar de la función cuadrática
• Una función cuadrática en la forma de f(x) = ax²+ bx + c
• Se puede escribir en la forma estándar:
f(x) = a(x-h)²+ k, donde (h,k)
representan el vértice de la
función.
¿Cómo convertir una función cuadrática en su forma
estándar?• Sea f(x) = 2x²+ 8x + 7
• Escríbela en su forma estándarPasos:
1. Escojamos los primeros dos términos para completar el cuadrado. f(x) = (2x² + 8x) + 7
2. Sacamos el dos como factor común
f(x) = 2(x² + 4x) + 7
3. Completamos el cuadrado
f(x) = 2(x² + 4x + 4 – 4) + 7
4. Factorizamos y sumamos f(x) = 2(x + 2)² + 7 - 8
5. Forma estándar f(x) = 2(x + 2)² -1
Repetición del ejercicio
• f(x) = 2x²+ 8x + 7 función cuadrática
f(x) = (2x²+ 8x) + 7Escoges los primeros dos términos para completar el cuadrado
f(x) = 2(x²+ 4x) + 7 Sacas el dos como factor común
f(x) = 2(x²+ 4x + 4 – 4) + 7 Completas el cuadrado
f(x) = 2(x + 2)²+ 7 - 8 Factorizas y restas el número añadido
f(x) = 2(x + 2)²- 1 Ya está en su forma estándar
Trata los siguientes ejercicios
• Escribe la siguiente función cuadrática como una función estándar:
1. f(x) = -x² + 6x – 8
2. f(x) = x² - 8x + 16
3. g(x) = 2x² + 16x + 11
1. f(x) = -(x – 3)²+ 1
2. f(x) = (x – 4)²
3. f(x) = 2(x + 4)²- 21
(3, 1)
(4, 0)
Los interceptos de las funciones cuadráticas
• Encontramos los interceptos en x cuando la gráfica pasa por el eje de de x.
• Para hallar los interceptos en x, igualamos la función a cero.
• Ejemplo:– Halla los interceptos de la siguiente
función: f(x)= x²-9x + 18
Solución
• f(x)= x²-9x + 18
1. Halla los interceptos en Y (iguala la x=0)
f(0)= 0²-9(0) + 18
(0, 18)
Intercepto en y
2. Halla los interceptos en x: (igualar la función a cero) f(x) = 0
x²-9x + 18 = 0
Factorzas: (x-3)(x-6) = 0
X=3 ; x=6
(3, 0) y (6, 0)
Hallar el vértice
Recuerda completar el cuadrado:
F(x) = x²-9x + 18
(x²-9x) + 18
(x²-9x + 20.25 – 20.25) + 18
(x – 4.5)²+ 18 – 20.25
(x – 4.5)²– 2.25
Así que el vértice es el punto:
(4.5, -2.25)
GráficaCuando tenemos los interceptos y el vértice, ya se puede trazar la gráfica
Intercepto en y
(0, 18)
Interceptos en x: (3,0) y (6,0)
Vértice: (4.5, -2.25)
f(x) = x²-9x + 18
Práctica
• Halla los interceptos y el vértice de las siguientes funciones:– 1. Y= 2x²+ 4x + 8
– 2. Y = -3x² + 6x - 2
Respuestas:
1. Int. y (0, 8): No int. en
x y vértice en (-1, 1)
2. Int. en y (0,-2)
int. en x (.5, 0) y (1.5, 0)
vértice en (1,1)
Otra manera de obtener el vértice de una función cuadrática
• Utiliza la fórmula:
2
bx
a
Sea f(x) = x² - 9x + 18
a =1, b = -9
Sustituyes los valores en la fórmula y luego evalúas la función con el resultados de x
Funciones pares e impares
• Funciones pares:1. Si es simétrica con
el eje de y
2. Si f(-x) = f(x)
• Funciones impares1. Si es simétrica con
el origen.
2. Si f(-x) = -f(x)
Determina si las siguientes gráficas son pares, impares o
ningunaimpar par par
Prueba si las siguientes funciones son pares, impares o
ninguna• Para determinar si es par, sustituimos
el valor de x por –x y nos vuelve a dar la función original es par y si es impar nos dará el opuesto de la función:– Ejemplo:
• F(x) = x5 + x
F(-x)= (-x)5 + (-x)
F(-x) = -x5 - x
F(-x)= -(x5 + x) por tanto es impar porque f(-x) = -f(x)
Práctica
• Determina si las siguientes funciones son pares, impares o ninguna:– 1. f(x) = x-2
– 2. f(x) = x²+ x
– 3. f(x) = x³+ x impar
ninguna
par