Funciones exponenciales y logartmicas

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS

1. Funciones exponenciales. Una funcin exponencial es una funcin cuya expresin es

siendo la base a un nmero real positivo y distinto de 1.

Distinguimos dos casos:

xy-40,2-30,3-20,44-10,670111,522,2533,37545,06

xy-40,0625-30,125-20,25-10,501122438416

xy-40,012-30,037-20,11-10,3011329327481

xy-439,1-315,625-26,25-12,50110,420,1630,06440,0256

xy-416-38-24-120110,520,2530,12540,0625

xy-45,06-33,375-22,25-11,50110,6720,4430,340,2

En general si DominioRecorridoMonotona Estrictamente crecienteAcotacin Acotada inferiormente por 0Puntos de corte con los ejes Y (0,1) X ninguno

En general si DominioRecorridoMonotona Estrictamente decrecienteAcotacin Acotada inferiormente por 0Puntos de corte con los ejes Y (0,1) X ninguno

No Solution

2. Funciones logartmicas. Definicin de logaritmo

Una funcin logartmica es una funcin cuya expresin es:siendo la base a un nmero real positivo y distinto de 1.

Distinguimos dos casos:

xy1/8-31/4-21/2-110214283164

xy1/27-31/9-21/3-1103192273

xy1/831/421/21102-14-28-316-4

xy8/2734/922/31103/2-19/4-227/8-3

En general si DominioRecorridoMonotona Estrictamente crecienteAcotacin No est acotada Puntos de corte con los ejes Y (1,0) X ninguno

En general si DominioRecorridoMonotona Estrictamente decrecienteAcotacin No est acotada Puntos de corte con los ejes Y (1,0) X ninguno

3. Logaritmo de un nmero. El logaritmo de un nmero, m, positivo, en base a, positiva y distinta de uno, es el exponente al que hay que elevar la base para obtener el nmero m dado:

Cuando la base es a = 10, se llaman logaritmos decimales y se expresan por log en vez de log10 , es decir:

Cuando la base es a = e, se llaman logaritmos neperianos y se expresan por ln o L en vez de loge , es decir:

Ejemplos.

Propiedades. El logaritmo de la unidad es cero:

El logaritmo de la base es uno:

El logaritmo de una potencia de la base es el exponente:

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de sus factores:

Propiedades. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:

El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia:

El logaritmo en base a de un nmero se transforma en el logaritmo en otra base mediante:

Logaritmos con bases iguales:logb x = logb yEjemplo: logb (x + 5) = 2 logb 3 x + 5 = 32 x = 9 5 x = 4ObservacinHorrores-Error Comunes: Notar que no se puede 1) simplificar la expresin y que no conduce a hallar la solucin de la ecuacin logaritmica. No es lo mismo que logb [m / n] como dice la propiedad de divisin. 2) Notar que no se puede simplificar y por lo tanto estas dentro del parntesis es 3) conducente a ver la expresin como un nmero. No es lo mismo que logb m*n como dice la propiedad del producto de logaritmos.

Escribir la expresin como la suma o diferencia de logaritmos. Expresar todas las potencias como factores.

Escribir la siguiente expresin como un logaritmo simple.

Aplicaciones a las CienciasEn 1989 se report un terremoto en una ciudad de California con 6.9 grados en la escala Richter (R). Cmo se compara esta intensidad con la intensidad en la escala dada por la ecuacin: I es la intensidad que reporta el sismo I0 es la intensidad de referencia

Supongamos que la intensidad de un terremoto fue 50,000 veces mayor que la intensidad de referencia, o sea, I = 50,000(I0), Cul es el nmero de grados en escala Richter del terremoto?Recuerda: Notar que I0 cancela

4. Ecuaciones exponenciales. Una ecuacin es exponencial cuando la incgnita aparece en el exponente de una potencia.

Nos podemos encontrar distintos tipos de ecuaciones exponenciales:

-Ecuaciones reducibles a igualdad de potencias de igual base.

-Ecuaciones resolubles por cambio de variable.Ejemplos. Se busca una base comn para todos los nmeros que aparecen:

Se opera:

Se igualan los exponentes:

Se resuelve:

Ejemplos. Se hace un cambio de variable:

Se opera con la ecuacin para que aparezca el cambio de variable que vamos a realizar:

Queda:

Se opera:

Se deshace el cambio:

Se resuelve:

Ejemplos. Se hace un cambio de variable:

Se opera con la ecuacin para que aparezca el cambio de variable que vamos a realizar:

Queda:

Se resuelve:

Se deshace el cambio:

6. Ecuaciones logartmicas. Una ecuacin es logartmica cuando la incgnita aparece afectada por un logaritmo.

Para resolverlas aplicamos las propiedades vistas anteriormente de los logaritmos.

Ejemplos. 2 log x log (x-16) = 2

Se sustituyen en la ecuacin inicial y se ve que ambas son vlidas.

Ejemplos. log (x+1) = log (5x-13) log (x-3)

Se sustituyen en la ecuacin inicial y se ve que x2=2 no es vlida, ya que aparece el logaritmo de un nmero negativo que no existe. Por tanto la nica solucin es x = 5.

Ejemplos.

Se sustituyen en la ecuacin inicial y se ve que ambas son vlidas.

EMBED Equation.2