funciones hiperbolicas inversas
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FUNCIONES HIPERBOLICAS INVERSAS
La función seno hiperbólica es continua y creciente para todo x y, por lo tanto, según el
teorema donde se hace mención “Si una función f es continua y creciente en un intervalo
ba, , entonces f tiene una función inversa 1f que es continua y creciente en el intervalo
bfaf , . ”Esta función se denomina seno hiperbólico inverso y se denota por 1senh .
Como xsenh esta definido en términos de xe , es de esperar que 1senh pueda expresarse
en términos de la inversa de la función exponencial natural, es decir, del logoritmo natural
ln .
Definiciones (Funciones Hiperbólicas Inversas)
1) 1y Senh x si y sólo Senhy x
, x R y R
2) 1y Cosh x si y sólo si Coshy x
1, 0,
3) 1y Tanh x si y sólo si Tanhy x
1,1 ,
4) 1y Coth x si y sólo si Cothy x
, 1 1, ,0 0,
5) 1y Sech x si y sólo si Sechy x
0,1 0,
6) 1y Csch x si y sólo si Cschy x
, ,
Teorema:
1) 1 2ln 1Senh x x x ,
2) 1 2ln 1Cosh x x x 1x
3) 1 1 1ln
2 1
xTanh x
x
1x
4) 1 1 1ln
2 1
xCoth x
x
1x
5) 2
1 1 1ln
xSech x
x
0 1x
6) 2
1 1 1ln
xCsch x
x x
0x
Demostración
1) 1y Senh x Si y sólo si Senhy x
1
2 2
yy y y
ee e ex x
2
211 2
2
yy y
y
ex e xe
e
2 2 1 0y ye xe
Sea yu e
2 2 1 0u xu
2
22
2 4 4
2
2 2 11
2
x xu
x xx x
2 1yu e x x
2
2
1
ln 1
ye x x
y x x
El signo (-1) no se considera porque ye es positiva x y 21 1 0x
2) 1y Cosh x si y sólo si Coshy x
1
2 2
yy y y
ee e ex x
2 2 1 0y ye xe
Sea yu e
2 2 1 0u xu
2
22
2
2
2
2 4 4
2
2 2 11
2
1
1
ln 1
y
x xu
x xx x
u x x
e x x
y x x
3) 1y Tanh x si y sólo si Tanhy x
1
1
yy y y
y yy
y
ee e ex xe e
ee
2
2
1
1
y
y
ex
e
2 2
2 2
2
1
1
1 1
y y
y y
y
e xe x
e xe x
e x x
2 1
1
y xe
x
12 ln
1
xy
x
1ln
1
2
x
xy
4) 1y Coth x si y sólo si Cothy x y y
y y
e ex
e e
2 2
2
2
1
1 1
1 1
1 1
y y
y
y
e e x x
e x x
x xe
x x
2 1ln ln
1
12 ln
1
1 1ln
2 1
y xe
x
xy
x
xy
x
5) xhy 1sec si y sólo si xhy sec
2
2 2
1
y
y y y
ex x
e e e
22 0y ye xe x
Sea yu e
2
2
2 0
2 0
xu u x
xu u x
2
2 2
2 4 4
2
2 2 1 1 1
2
xu
x
x x
x x
21 1y xe
x
21 1ln
xy
x
El signo negativo no se considera por que x
x211 <1 y 1ye , 0,1x
6) xhy 1csc si y sólo si xhy csc
2
2
2
1
2
1
y y
y
y
y
y
xe e
x
ee
ex
e
2
2
2
2 0
y y
y y
e xe x
xe e x
Sea yu e 2 2 0xu u x
2 22 4 4 1 1
2 2
x xu
x x
21 1y xe
x x
21 1ln
xy
x x
21 1ln
xy
x x