funciones hiperb¶olicas inversas. -...
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Funciones hiperbolicas inversas.
a) Argumento seno hiperbolico.
y = arg shx =⇒ x = senh y = ey − e−y
2 =⇒ 2x = ey − e−y.
Multiplicando por ey, 2xey = e2y − 1 =⇒ e2y − 2xey − 1 = 0,
de donde ey = x±√x2 + 1, es decir
y = ln(x +
√x2 + 1
), x ∈ (−∞,∞)
Nota 1: La funcion no existe para el signo − delante de la raız.
b) Argumento coseno hiperbolico.
y = arg chx =⇒ x = cosh y = ey + e−y
2 =⇒ 2x = ey + e−y.
Multiplicando por ey, 2xey = e2y + 1 =⇒ e2y − 2xey + 1 = 0,
de donde ey = x±√x2 − 1, es decir
y = ln(x +
√x2 − 1
), x ∈ [1,∞)
Nota 2: El logaritmo existe para ambos signos, si x ∈ [1,∞). Pero tomamosuno solo (el positivo) por tratarse de una funcion.
c) Argumento tangente hiperbolica.
y = arg thx =⇒ x = tanh y = ey − e−y
ey + e−y = e2y − 1e2y + 1
.
Entonces x (e2y + 1) = e2y − 1 =⇒ e2y = 1 + x1− x , es decir
y =1
2ln
(1 + x
1− x
)= ln
√1 + x
1− x, x ∈ (−1, 1)
Ejercicio: Razonense los campos de existencia indicados.
d) Derivadas de las funciones hiperbolicas inversas.
(arg shx)′ =[ln
(x +
√x2 + 1
)]′=
(x +
√x2 + 1
)′
x +√
x2 + 1= 1√
x2 + 1.
(arg chx)′ =[ln
(x +
√x2 − 1
)]′=
(x +
√x2 − 1
)′
x +√
x2 − 1= 1√
x2 − 1.
(arg thx)′ = 12
[ln
(1 + x1− x
)]′= 1
2
(1 + x1− x
)′:(
1 + x1− x
)= 1
1− x2 .